CHAPITRE IV
Le théorème de Dirichlet sur la progression arithmétique.
63. La démonstration que nous allons exposer dans le présent chapitre est plus simple ei plus complète que celle qui a été proposée par Dirichlet. Cotte démonstration a déjà fait Tobjet d'un travail antérieur que nous avons eu Thonneur de présenter à la Classe des sciences de TAcadémie royale de Belgique. On reconnaîtra sans peine dans ce travail Torigine des recherches que nous faisons connaître aujourd'hui.
Comme ces premiers résultats sont le préliminaire indispenpensable de Tanalyse plus complète qui nous occupe, nous sommes obligé de les reproduire, au moins succinctement, en renvoyant, pour plus de détails, au mémoire cité.
§ 1 . — Une équation fondamentale et ses conséquences immédiates.
64. Supposons que les caractères ^ soient définis par rapport à un module quelconque M (n^ 45) et reprenons la fonction
^<-'-if-('-f)
En prenant les dérivées logarithmiques des deux membres, il vient, pour iR («) > 1 ,
"^^^^q' fq'{q'-x{q))
Portons notre attention sur le second membre. On y trouve deux termes : le premier peut devenir infini pour s = 1 ; mais le second est constitué par une série absolument convergente pour S{ (s) > i, quel que soit le caractère ^. Son produit par (s — 1) tendra donc vers zéro quand 5 tendra vers Tunité. Ainsi, en multipliant la dernière équation par (s — 1), puis passant à la limite « = 1 , on trouve Véquation fondamentale
(E) . . .lim(.-1)|^=Iim(.-i)2x(9)§»
et cette équation (E) en représente en réalité (f (M) distinctes par réchange des caractères entre eux.
66. Il s.'agit maintenant de rechercher les différentes valeurs du premier membre selon le choix du caractère ^.
En premier lieu, le point «=1 est un pôle simple de Z (s, 5^0) (62) ; on a donc, par la théorie des fonctions, dans le cas du caractère principal,
- hm « — 1 ) -— = l,m .S - I ) 2 ;^ = I ,
car le premier membre doit être égal au degré de multiplicité du pôle 5 s»!.
En second lieu, dans le cas d'un caractère différent du principal, le point 5=1 est un point ordinaire de Z (Sy ^). GVst donc un point ordinaire ou un pôle pour
suivant que ce point n'est pas racine ou est racine de la fonction Dans le premier cas,
-lim(«-<)|^ = liin(,-4)2x(9)^ = 0;
dans le second,
-lim(.-1)^]^î = Iim(.-l)2x(9)^ = -A,
en désignant par l Tordre du zéro ^ «=3 1 .
66. Ajoutons ensemble toutes les équations qui se déduisent de (E) par réchange des caractères entre eux. On obtiendra réquation
-2>=2[^sx(7)],
OÙ £X représente la somme des ordres de multiplicité des zéros 5c==il pour les différentes fondions Z («, ^) qui auraient cette racine. Mais le second membre scsimpliUe, caria sommcgxi?) est nulle, sauf pour les nombres premiers q^ qui vériOent la condition
qi^\ (mod M)
et pour lesquels la somme des caractères est égale àç (M).
Noire é(iualion se réduit donc à
^ -=* it 9'i
Pour 4 réel et > 1, le second membre est essentiellement positif; donc
2a = 0, ou 2a=I,
et il n'y a que deux hypothèses possibles :
1' Aucune des fonctions Z(s, ^) ne s'annule pour s =■ 1 ; !2® Une seule de ces fondions s* annule pour s =s 1 et^ dans ce cas, ce zéro doit être simple.
On montrera plus loin que la seconde hypothèse est impossible; mais on reconnaît déjà que si par impossible elle se présente, la fonction Z (s, y) qui s*annule correspond à un caractère réel, car, dans le cas contraire, la fonction conjuguée Zlsy^j s*annulerait aussi pour s = i. Il y aurait donc deux fonctions distinctes s'annulant pour cette valeur de s, ce qui est impossible, comme on vient de le dire.
§ 2. — Aucune fonction Z (s, ^) ne s'annule pour 8=1.
67. Il reste simplement à démontrer qu'une fonction Z (5, y) ne peut s'annuler pour 5 «a t, dans le cas d'un caractère ^ réel. Pour ^(«) > l,on a
Partageons le produit en deux parties, Tune relative aux nombres premiers q^ pour lesquels^ (9) =a I, Tautre aux nombres 93 pour lesquels 5^ (9) = — i. On aura
z(..x)=fl(.-irn(.-.i)'
En inlrodiiisant des facteurs qui se détruisent dans le second membre, on peut encore écrire
. . . . „„,nMn^,
le second de ces deux derniers produits s*étendant maintenant a tous les nombres premiers qui ne divisent pas M. Mais ce second produit peut se mettre sous la forme
et nous désignerons le premier par
L*équation (1) donne alors
Il est utile de remarquer que si, par impossible, tous les nombres premiers appartenaient à la catégorie g^ pour laquelle ^ (g) s=3 — ly il faudrait simplement remplacer Téquation (2) par
La définition de ^ (s) par (2) n*est légitime que pour «SR (s) > 1 , mais la formule (3) nous donne une définition de ^ (s) applicable dans tout le plan et nous fait connaître les propriétés analytiques de cette fonction :
Elle montre que ^ (s) est méromorphe dans tout le plan. Ses pôles sont d'abord les zéros de
Z(2s, xo), qui ne peuvent avoir leur partie réelle supérieure à i, puis, en
outre, le points = 1 qui est un pôle de
Z(«.x)Z(«,Xo).
sauf si Z (s, y) s*annule pour ««al.
Enfin le point s ^ i étant un pôle de
Z(2«, xo),
sera un zéro de ^ (s).
On conclut de là que si Z (s^ y) s*annule pour ««=>!, la fonction 4» W sera syncctique pour iR («) > i et s*annulera pour 5= j. II y a entre ces deux propriétés une contradiction que nous allons mettre en évidence.
68. Remarquons d*abord que, puisque ^ (i) s=a 0, Téquation (^} est impossible, car si Ton avait
*(s) = ^ pour S{{s)>iy
^ {s) serait égal à Tunité dans tout le plan. Il est donc déjà démontré qu'il y a des nombres premiers de la catégorie q^.
Soit maintenant a une quantité réelle positive. Puisqu'on suppose 4» (s) syneclique pour S{ (s) > i, la fonction de t
<p(l -t- a -*- t) sera syncctique pour
et, en vertu d'un théorème de Cauchy^ nous pourrons la développer par la formule de Maclaurin :
(4) <f(i -4-a-i- <)=^(1 -4-a)-»--t|^'{l -Ha)-*. 7--.f;"(l -i-o)H — , ,
à l'intérieur du cercle de rayon (a -+- i) et sur la circonférence elle-même, car celle-ci ne passe par aucun point critique.
Mais on peut calculer toutes ces dérivées au moyen de la formule
i-qT'
qui est valable pour <!R (s) > 1 . A cet effet, remplaçons-y les facteurs (1 — çr*)~ par leur développement légitime
et effectuons les multiplications; on obtiendra une série telle que
où la somme s*étend à tous les entiers composés au moyen des nombres premiers g^ et où tous les coefficients a. sont essentiellement positifs. Cette série converge uniformément pour Si (s) > 1 4- e, de sorte qu'on peut la différentier comme un polynôme pour cR(«) > 1, et il vient ainsi
On voit que les A^ sont positifs comme les a., et le développement de Maclaurin (4) prend la forme
4>{\ +a-^0 = '/'(l -^ «) — jA, 4- —A,
Dans cette égalité, on peut poser
dans cette hypothèse, le premier membre est égal à ^ (i) et s'annule, tandis que le second se réduit à une somme de termes positifs. La contradiction est donc manifeste et la supposition est fausse : le point s^=i n'est pas un zéro de Z {s, y).
§ 3. — Démonstration du théorème de Dirichlet.
69. La (lémonstrntion du (hcorcme de Dirichlet ne présente plus maintenant aucune difficulté. Revenons à Téquation (E) du n* 64; elle donne :
1o Pour le caractère principal,
lim (5^1)2'^ ==«; «I 7 9
2® Pour un autre caractère,
\m{s-i)2x(qA==0.
Soit N un nombre quelconque premier à M; déterminons, ce qui est toujours possible, un nombre iN' vérifiant la condition
NN' = i (niod M);
puis multiplions Téqualion précédente par ^(N'); il viendra
sauf dans le cas du caractère principal où le second membre est égal à Tunité. Comme tout à Theure, ajoutons toutes les équations qui se déduisent de la précédente en donnant aux caractères leurs différentes valeurs; il viendra
lim(5-i)5pSz(9N')l = l.
Mais le premier membre se simplifie, car
Sx(?N')«y(M), si 9N'=l(modM), et est nul dans tous les autres cas. Désignons donc en général
par 9h les nombres premiers qui vérifient les congruences équi-
v&ipntfis
9„N' a 1 (mod M), 9^ b N (mod M),
c'est-à-dire ceux de la forme linéaire Nx -f- N; on aura
Cette équation montre qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme Mac -+- N si M et N sont premiers entre eux. Elle établit donc le théorème de Dirichlet, mais elle prouve, en outre, que la fréquence des nombres premiers Çi, ne dépend pas de N et est la même pour les différentes progressions arithmétiques ayant même raison M.
70. J'ai montré, dans le mémoire rappelé en tète de ce chapitre, que la dernière équation contient le théorème suivant : Si le rapport
qui a pour numérateur la somme des nombres premiers inférieurs à / et de la forme linéaire (Mx + N) tend vers une limite déterminée quand t tend vers Tinfini, cette limite ne peut être différente de ^^*
Il est très intéressant de savoir si cette limite hypothétique existe. Nous allons compléter la démonstration du chapitre actuel en établissant lexistence effective de cette limite. Cest ce qui fera lobjet du chapitre suivant.
