CHAPITRE V

Compléments du théorème de Dirighlet.

S 1 . — Les fonctions Z (s, 5^) n'ont paslde racines p

de la forme 1 -+- Pi (*).

71. Monlrons d'abord que si p = i -f- (3t est racine d'une des fonctions Z(s,'/}y elle est racine d'une seule de ces fonctions et de plus une racine simple. La démonstration sera toute pareille à celle du § 1 du chapitre précédent, où il s'agissait de racines égales à un.

Revenons à l'équation du n^ 64

Si p est une racine de degré X de Z (s, '^, on aura

liiii(s-p)DlogZ(«,x) — A

•ssp

Eu égard à la précédente, cette équation, pour p =» 1 + (3t, peut se réduire à

(i) . . . . lim(»-0 2z(î)^< >•

Cette équation (1) suppose simplement que S{ {s) est > 1, mais nous supposerons, en outre, que «est réel.

Ajoutons ensemble toutes les équations qui se déduisent de (1) par l'échange des caractères entre eux; il vient, en désignant de

{*) Getle démonstration n'est pas celle que nous avons exposée dans notre résumé; elle est visiblement inspirée par celle que M. Hadamard a publiée après la nôtre» mais elle est encore plus simple. (Voir la note k la fin de la troisième partie.)

nouveau par q, les nombres premiers de la forme Mx -h i ,

(2) . . . . p(M)l^(5-4)2-ÎS^, = -2*-

Mais la somme des modules des lermes du premier membre est égale à Tunité en vertu de 1 équation démontrée au paragraphe 3 du chapitre précédent (n® 69) :

(3) ..... . «»(M)lim(« — n'Çi-'^l.

Donc liX, ne pouvant surpasser cette somme, est égal à zéro ou à un. C cst-à-dire qu'une seule au plus des fonctions Z (s, y) s'annule pour «= 1 + Pt et que ce zéro doit être simple.

72. Je dis maintenant que cette dernière hypolhèse ellemême est impossible. Pour le montrer, ajoutons les équations (2) et (3), en faisant £X =» 1 dans la première. Il vient

lim(5~i)2(i-^77^0'-T = O' et, en égalant les parties réelles,

lira (« — 5 (^ -^ cos plq,) -^ = 0.

Tous les termes sont positifs, car (i -4- ces ^lq\) ne peut être négatif. Si nous multiplions respectivement tous ces termes par (\ — cos (3/qr^) qui est compris entre et 2, nous formerons une nouvelle somme qui sera nulle comme la précédente.

On trouve ainsi, eu égard aux relations

i — cos' p/^i = sin' j3/qf, = - (i — cos ^plqi),

la nouvelle équation

lim (.s — 1) \ (i — cos 'iphi)— == .=1 ^ o;

lais celle-ci est impossible, car si Ton soustrait membre h membre les équations (2) et (3), après y avoir remplacé (3 par 2(3, on trouve, en négligeant la partie imaginaire,

In

f(yi) lim (« — 1) 2 (I — cos 2^/^,) -~ == 1 -^ 2 ^'

Le second membre est égal à 2 ou à 1 suivant que 1 -4- 2 {3f est ou n*est pas racine d'une des fonctions Z (s, ^), mais dans aucune hypothèse il ne peut être nul. Donc aucune des fonctions Z(s, y) n^a de racines de la forme 1 -h (3i.

§ S. — Démonstration d'une équation fondamentale, 73. Revenons encore à Téqnation du n^'Gi

-DIogZ(«,x) = 2-7

Multiplions les deux membres de I équation précédente par

y'ds

OÙ Ton désigne par u et t; des quantités réelles ou complexes distinctes des pôles de D logZ («, 5^). Cela fnii, soit a une quantité réelle supérieure à Tunilé et aux parties réelles de u et de v, et 6 une quantité réelle que nous ferons tendre vers Tinfini. Intégrons les deux membres de notre équation de (a — 6?) à (a -h bi); il viendra à la limite

o-}-ooi

- 5-7 / D 'og ^i"' X) , ~-, :

ZW«,/ .s — II) (s — v)

O+Xl

2it<,/ (.V — »/) (»• — v) •^ o*

74. Evaluons d*abord le second membre. II suffit, pour cela, de reproduire les raisonnements du n"" 25 de la première partie. En remarquant que

on trouve que ce second membre a pour valeur

Par analogie avec ce qui a été fait dans la première partie, nous simplifierons ces notations, en posant en abrégé

La valeur du second membre de notre équation peut alors s*écrire plus simplement

Passons à Tévaluation de Fintégrale du premier membre, savoir, en changeant son signe,

a-|-oo<

— / DlogZ 5,x)p ^, '

^ntj (S — U)(S — V)

a-aoi

Il y a deux cas à distinguer selon qu'on a affaire : l*' au caractère principal ; 2* à un autre caractère. "^ l*" Dans le cas du caractère principal, la fonction

(«— i)Z(«,xo) est une fonction entière du premier genre (62) qui a une infinité

de racines dont la partie réelle est inrérieurc à Tunité et que nous représentons sans distinction par p (Xq). On a d'ailleurs

D log Z(«, xo) = D log (8 - i)Z(s, xo) — D log (« — i),

et, par conséquent, par le théorème du n"* 23 de la première partie,

— / DiogZ{s,xo). — V — ;

2* Dans le cas d'un autre caractère, la fonction Z (5, ^) est une fonction entière du premier genre (63), dont nous représentons en général les racines par p {y). Toutes ces racines ont leur partie réelle égale au plus à Punité. On peut appliquer à cette fonction le même théorème, ce qui donne

hf"

logZ(.s,x) ^

a oc/

(5) . . « r„Z'(ii,x) ,Z>,x)1

u-rL^ Z(f/.x) ^ Z(t),x)J

(ti — p) (y - p)

75. L'équation (1) se transforme ainsi, suivant le choix du caractère, dans Tune des suivantes :

1^ Dans le cas du caractère principal,

2° Dans le cas d'un autre caractère.

=*— y ^rr. — ^. -^ y

Ces équations (6) subsistent, comme on Ta expliqué au n® 26 de la première partie, pour toutes les valeurs de u et de v.

§ 3. — Cas particuliers des équations du paragraphe précédent,

76. Premier cas particulier. Nous allons d*abord faire tendre c; vers zéro dans les formules (6) du numéro précédent. I! peut se faire que Z (s, y) ait des racines nulles; en particulier, c*est toujours le cas pour Z ($, ^q)* Supposons donc, en général, que 5 = soit une racine de degré l de multiplicité de Z (s, y). Dans les seconds membres des équations (6*), les termes qui dépendent de V sont

Isolons (le cotie somme S les termes relatifs aux X racines nulles et accentuons la somme étendue aux autres racines. L*expression précédente pourra s'écrire

OU, en introduisant des ternies qui se détruisent,

Si V tend vers zéro, celte expression a pour limite

Hu H h liin — it y.' —

Si Tan lait donc tendre v vers zéro dans les seconds membres des équations (6) et si i^on tient compte de la transformation cidessus, on trouve, en divisant par y" :

1® Dans le cas du caractère principal, si Z (t;, Xo) ^ ^"^ racine v s de degré 1,

^7 ^ V , Z^'Xo) u . ^, yP-

J 2 lq=^-- -♦--- V*-" — u >'

2° Dans le cas d'un autre caractère, si Z (v, v) a une racine nulle de degré [a,

H fJLlii •+•--♦- lira ^ ) •

Le cas où Z (v, ^) n*a pas de racines nulles est compris dans le précédent pour |x = 0.

77. Deuxième cas particulier. Simplification des équations précédentes dans Vhypolhèse S\. (u) = 1. Supposons que la partie réelle de u soit égale à Tuniié. Les deux membres de Téquation (7) peuvent se simplifier.

Quant au premier membre, on voit, comme au n^ 53 de la première partie, que la somme

ne diffère de

que par une quantité qui tend vers zéro quand y tend "Stv^ rinfini.

Passons au second membre. Le terme écrit sur la seconde ligne tend rapidement vers zéro quand y augmente. La somme absolument convergente

tend aussi vers zéro^ parce que toutes les racines p ont leur partie réelle inférieure à Tunilé.

Si donc on désigne, en général, par e une quantité infiniment petite pour y infiniment grand, les équations (7) donneront, pour (R (u) = 1 :

1*" Dans le cas du caractère principal,

2° Dans le cas d'un autre caractère,

78. On peut encore simplifier l'écriture deces deux équations. Comme on suppose que S\ (u) => i, les deux différences

convergent vers des limites finies quand y tend vers Tinfini. Désignons donc, en général, par L une expression dont on saura seulement qu'elle converge vers une limiie déterminée quand y croit indéfiniment; les équations (8) pourront s'écrire, toujours bien entendu dans Thypothèse cR (m) = 1 :

1^ Dans le cas du caractère principal,

2° Dans le cas d'un autre caractère,

(9'} .... 2x(qÂ-^,2x{q)lq = L.

-Bill est bien entendu que la lettre L ne représente pas la même quantité aux seconds membres de ces deux équations.

§ 4. — Conséquences asyrnptoHques,

79. Si l'on fait, en particulier, tis= 1, dans les équations (9) qui précèdent, il viendra :

1** Dans le cas du caractère principal,

(I0«; .... 2 ~— -2 lV = h •* ^i 2** Pour un autre caractère,

Soient IV un nombre premier à M, et N| un nombre vérifiant la condition NN^ ^ 1 (mod. M). Multiplions la dernière équation par x(Ni); elle devient

(.1) . . . .2^^^^^'--2xW?=i^.

Cette équation est vraie pour tous les caractères, sauf pour le principal, auquel cas on retombe sur l'équation (10").

Ajoutons entre elles toutes les équations qui se déduisent de (11) en y substituant tous les caractères et aussi Téquation qui correspond au caractère principal. La somme des caractères étant nulle, sauf pour les nombres premiers q^ de la forme Mx H- N (n*' 69), cas auquel elle est égale à cp(M), il vient

(12) . . KM) r 2 ~ - 1 2 ^A ^^y-^ *^'

et L désigne loujours une quantité convergente pour y = oo.

80. La dernière é(|uation est de la même forme que celle sur laquelle nous avons raisonné dans la première partie du mémoire (chap. IV, % 2). Elle conduit aux conséquences corres-

pondantes que nous allons énoncer, en renvoyant aux démonstrations de la première partie :

1* L'expression

dans laquelle la somme est étendue aux nombres premiers < y et de la forme Mx -f- N, a pour limite l'unité^ quand y tend vers Vinfini (*).

S* La différence

tend vers une limite finie et déterminée quand y tend vers l'infini. 3"* Quelque petite que soit la cofistante h y le nombre des nombres premiers de la forme Mx -h N compris entre y ei (1 -4- h) y augmente indéfiniment avec y, quelle que soit la manière dont y tende vers l'infini,

81. 4° Le nombre f (y) des nombres premiers de la forme Mx -h N ef < y peut se représenter par l'expression

v(M) ly

où e est infiniment petit pour y infiniment grand.

Démonstration. — Soit, en général, e une quantité qui tend vers zéro quand y tend vers Tinfini. On peut poser, comme on Ta dit au numéro précédent (l*'),

(«) 2 '9n = -77JY y.

Désignons par f(y) le nombre des nombres premiers 91, qui sont < t/ ; on aura Iq^^ < ly, d'où

2 'îN < f(y) ly.

(*) Nous avons communiqué ce théorème à la Société scientifique dans la séance du 46 avril 4896 et il a été publié, pour la première fois, dans le Bulletin de cette session.

el par (a)

(?) f^^y^>-imh

f(M) fy

Soit, d'autre part, S' une somme étendue aux nombres 9n > y • Uyy et < //• Pour ceux-ci, on a /g^ > /y — 2 lly. Comme le nombre des nombres premiers < y ; (JyY est évidemment inférieur à y ; (/y)^, le nombre des termes de la somme S' sera supérieur à f(y) — y : (/y)*. De là les inégalités :

2 'îN > 2' '9« > [a») - A] ih - ^iiy)-

On en tire par Téquation (a)

^-) ■ ■ ■ ■ ^(^)<^^/^-(ijî-

Les seconds membres des inégalités ((3) et (7) sont tous les deux de la forme du second membre de (13). Le théorème est donc démontré.

82. Tous les théorèmes précédents sont des conséquences des équations (9). Nous allons terminer par des théorèmes plus particuliers, qui seront des conséquences des équations (8).

5** Pour tout caractère différent du principal, la série étendue aux nombres premiers q successifs, rangés par ordre de grandeur.

r — X (9) est convergente pour <R (w) «= 1 et a pour somme

Démonstration. — Désignons par 22^ une somme qui s'étend aux nombres premiers avec M et < M et faisons la décomposition

nous voyons que cette somme tend vers zéro pour y infini, parce que tous les rapports

tendent vers la même limite 1 : ^ (M) et que la somme £x(^) ^^^ caractères est nulle.

Pour ^ (w) = 1 , réquation (8*) du n**77 doit donc se réduire à

ce qui démontre le théorème.

6* Dans le cas du caractère principal, la série illimitée cesse d'être convergente pour cft(u)= i^ mais on a alors la formule asymptolique pour y t=s oo :

iiji\ y tq Z'(ti,xo) . y*-

q^-i Z(u,Xo) i—u

dette formule est une conséquence de Tcquaiion (8*) où Ton remplacera le terme

par sa valeur asymptolique y*"*.

Corollaire. — Dans le cas où la somme s'étend à tous les nombres premiers p ^y sans distinction, on aura la formule asymptolique

^ Ip ç'(w) y'-

J»<Sf

A la limite, quand y augmente indéfiniment, le premier membre devient donc, pour r'i{ (u) == 1, ime fonction périodique dey.

SUR