On déduit sans peine du second théorème de la moyenne

que Ion a

i /^ sin ht i« pour;y>t, lim - / «<«^'>' (/( = i;

1 /* , • sinôl . 1 2' pour y = I, lim- / «<•+*'' * == -;

„ \ /* , « sin 6f , pour î/ < 1 , lim - / e<«^>' rf< = 0.

On en conclut que Ton a aussi

o-l-oot

ds i ,

\ /^ ds \

poury-4. __.yy.__-=y

t r ds

m^mi

C est là un résultat (*) bien connu et qui nous sera utile, mais qui s'obtient plus aisément, par un calcul de résidu. Aussi ce n'est pas pour l'établir que nous avons fait la transformation exprimée par l'équation (1). C'est bien plutôt aCn d*obtenir des limites supérieures du module de l'intégrale quand b varie. Ce sont ces limites que nous allons chercher maintenant;

13. Théorème. — 5/ a -+- k est réel et positif, on peut assigner au second membre de Véquaiion (1), savoir

mod-î/-* / «<"^*)' dt,

une limite supérieure indépendante de k et de b.

Démonstration. La fonction réelle e^'"*'*^'est constamment croissante avec t et Ton peut appliquer à l'intégrale le second théorème de la moyenne, de manière à faire sortir cette exponentielle du signe d'intégration (**). On aura donc, en désignant par l

n On voit que nous considérons ici par définition ces nouvelles intégrales comme étant la limite des intégrales prises entre les limites a — bi^ a + bi quand b tend vers l'infini. Cette convention n'est pas nécessaire pour obtenir les résultats indiqués ici, mais elle l'est pour toute la suite du mémoire et elle sera toujours observée

{'") Ph. Gilbert, Cours d'analyse (4« édition, 1892), n» 816. Équation (A). Le théorème est celui-ci : Si f (x) est constamment croissant, on a

/ f{x)^{X)dx = f{b — ^) I i{x)dx (/>>Ç>a).

On [leut aussi se servir de la formule

/ f{x)^(x)dx = f{b — 0) / ^(a?)daî-f-f(a-i-0) / H^)diS,

qui donne ici le même résultat.

Celte formule subsiste pour a ou 6 infini. Voir sur ce point : G. Jordan, Cours d'analyse, t. U, n» 219 (â« édition, Paris» 1894).

un nombre inconnu mais inférieur à /y,

i , r\ ^ , sin 6« 1 /• sin bi ,

6ft

et on en conclut

ly

\ /'sint ,

mod- y-* / e<"+*ï* rf( < - y"/ rf« < y

14. Théorème. — Si a -+- k = a -t- (3i c«^ ti«e quantité complexe donnée, et y t«n« quantité réelle inférieure à l'unité et qui tend vers zérOf on peut assigner au second membre de l'équation (1)

mod-v"* / f^'^^'^—dt

fine limite supérieure indépendante de b, qm tend vers zéro avec y et qui est du même ordre que y*. On suppose dans ce théorème que b > P ne peut pas tendre vers |3 et que a est > 0.

Démonstration. Décomposons Tintégrale comme il suit :

/*e<«f*v ?î?i j^ = - /*e«'[sin(6 -i- p)( + sin (6 — p)(] -

t /* r tdt

- / e°^'[cos(6 — (3)1 — cos(6 h- P)(] -<

Puisque y est < i, on a /y < 0. D*autre part, e"' est une fonction croissante et Ton peut appliquer aux deux intégrales réelles

du second membre le second théorème de la moyenne. Désignons^ à cet effet, par ^ et i' des quantités négatives inconnues, on pourra poser, en remarquant que é^" = j/%

—'00 ff

dt

■*- \'fj [co8(6 — p)( — co8(6 -»- p)(J y

Les deux premières intégrales du second membre sont respectivement moindres que

/« sin I ~di<..

La différence des deux suivantes se met sous la forme

—di-J -du

On voit ainsi qu'elle est inférieure à

(fi )5)/, (fr-^)?'

quantité qui décroit quand 6> P augmente.

Notre première intégrale vérifie donc une relation de la forme

/, .,, sin bt ,

dans laquelle A reste compris entre des limites finies indépendantes de 6. On a donc aussi

où M reste compris entre des limites finies indépendantes de 6 et de tfy e( c^est le résultat que nous voulions démontrer.

16. Théorème. — Soient a e/ y deux nombres positifs donnés supérieurs à l'unité^ et soit

a H- A: =s « db pt

un nombre complexe variable^ dans lequel aet ^ sont des nombres positifs qui peuvent croître indéfiniment mais où l'on suppose que a ne peut pas tendre vers zéro ; je dis qu'on peut assigner au second membre de V équation (1)

-* ^" sin 6/

itj t

dt

une limite supérieure indépendante de b et de a. Cette limite devra dépendre de ^, mais ne devra pas être d'un ordre supérieur à V^{ni à fortiori o l^mod k).

Nous supposerons dans la démonstration P précédé du signe -h, la démonstration étant la même dans les deux cas.

On peut négliger, dans la démonstration, le facteur

qui conserve toujours une valeur finie, et, par conséquent, se borner à démoninr le théorème pour rinlégralc

Pour faire celle démonslralion, nous décomposons Tintégralc en plusieurs autres vérifiant séparément les conditions do renoncé.

Elle se décompose d'abord en deux autres

ly ly

isin ht . . ^ P sin 6/

3« di.

— 00 -co

ly ly

y-* / e' ces ^\ (h -\- /^-* / e«' sin 't

La première reste inférieure à une limite assignable indépen dante de h et de P, car, par la relation

2 cos (3( sin hl = sin (6 -t- P) « -v- sin (6 — p)^,

elle se décompose encore en deux autres à chacune dcsqucllis le théorème du n*^ 13 est applicable.

Il ne reste donc à examiner que la seconde intégrale

sin ht

t/-« / e^'sinpf dl.

Choisissons une constante c assez grande pour qu'on ait et décomposons Tintégrale en trois autres

♦^a+c V'^tc l.)

y~A I ^ / -+. / e 'sin 6f sin6/ -

Je dis que chacune de ces trois intégrales vérifie les conditions de renoncé :

Dans les deux intégrales extrêmes, on a constamment

sinptsinbt-

<yj

Par conséquent, la première est inférieure à

l/ô -♦- c / e'^'cll < l/ô -H c - iy-« < ~ »

,-ee

et la dernière à

iy-« l/j5-f- c f e'^dl < — ^

Dans rintégrale du milieu, on a

sin bi sin pi

sin pt

et, par l'hypothèse faite sur c,

e«' < ev^^+« <e«''' =- t/«;

donc cette intégrale est inférieure à

Ces trois dernières limites sont de Tordre de V^ par conséquent le théorème est démontré.

a-\-bi

§ 2. — Êhide de l'inlégrale-—. / î>(s) , ^-

a-bi

16. Dans I étude que nous allons faire de celle inlégralc, nous admettrons toujours que Ton a

^(a — ti)>0, -^(a — 1?)>0.

Cette hypothèse est nécessaire, pour que la condition analogue exprimée dans le théorème du n* 11 soit réalisée dans les applications que nous allons avoir à faire de ce théorème.