Revenons i l'équation (1 2), établie pour iH s

D log L(M)= - p^, - 2 ^rz^ - 2 ,-7z:i(;;3r) •

Multiplions cette équation par « — i — /3î, P étant réel et différent de zéro; puis faisons tendre s vers 1 -h ^i. Il viendra, en

(*) Nous avons légèremeDl modifié la réJactlon dont le résumé a paru dans le BuHtiin,

\ pour tenir compie de la niodificalion correspondante apportée k la seconde partie.

négligeant au second membre des termes dont la limite est visiblement nulle,

— lira (s— i— pi)DIogL(«, A:)«-lim (5 — i —fit) 5 \k{c,)-^k{c'')\ ^.

Le premier membre de cette équation est égal à zéro, si le point 1 -4- Pt n'est pas un zéro de L(s, k). Si ce point est au contraire un zéro, le premier membre est égal à — X, en désignant par A Tordre de multiplicité du zéro.

27. Ajoutons ensemble toutes les équations qui se déduisent de la précédente en attribuant aux caractères toutes leurs valeurs. Le second membre de Téquation ainsi obtenue se simplifie, parce que la somme des caractères est nulle, sauf pour les nombres premiers q^ représentables par la classe principale. Pour ceux-ci, cette somme est égale à h. On trouve donc

Au premier membre, SX désigne la somme des ordres de multiplicité des zéros « »» 1 + ^t, pour les différentes fonctions qui s'annulent ; au second membre, la somme s'étend aux nombres premiers Qq représentables par la classe principale.

L'équation précédente peut aussi s'écrire sous la forme

Comparons cette équation à la suivante

l = 2Alim(s — i)5^%

qui est un cas particulier de Téquation (15*) du n® 25. Nous pouvons raisonner sur ces deux équations comme on Ta fait sur les équations (2) et (3) aux n^' 71 et 72 de la seconde partie. On doit nécessairement en conclure SX =» 0. Par conséquent, aucune des fonctions L(«, k) ne s'annule, pour « = 1 + (3i.

§ 2. — Démonstration et cas particuliers de deux formules

générales.

28. Reprenons encore une fois Téquation (12) du chapitre précédent

Multiplions les deux membres par

y'ds

intégrons de (a — bi) à (a + 6i) et faisons tendre b vers Tinfini. Nous supposerons que a est > 1 et que ti et t; ne sont pas des pôles de D log L(s, k). Il vient, dans ces conditions,

I a - 00/ a4-oof

--J. - -P\«) y'ds

i r y'ds \ r

--yDiogM,..)--^=--y^

a-oo' o-oei

k{c^lq y'ds

w ^èif^T'

a-Qof

-X^iJ ^q'- fe(rr') («-!/)(«— v) ■

a-ooi

29. Evaluons d'abord le second membre. Si Ton remarque que Ton a

P(«) fp"-! fp" tP"

i'q'-Hc,) ^ q' -^ ^ q^ ^''^

on trouve, en reproduisant les raisonnements du n^ (74) de la deuxième partie du Mémoire, que ce second membre peut se mettre sous la forme

les sommes de la première ligne s'étendant à toutes les puissances paires p'"*, inférieures à y y des nombres premiers p; celles de la seconde ligne à toutes les puissances entières 9"*, inférieures à ?/, des nombres premiers 9.

30. Passons à révaluation de Tintégrale du premier membre. Il y a deux cas à distinguer : 1*^ Dans le cas du caractère principal, on peut raisonner sur L{s, ko) comme sur Z(s, Xo) ^^^^ la seconde partie (n® 74); 2"* dans le cas d'un antre caractère, on peut raisonner sur L(s, k) comme sur Z(Sy y). Il suiïit donc de changer Z en L et ^ en A: dans les résultats, c est à dire dans les formules (4) et (5) du n^ 74 de la seconde partie.

31. Formules générales. — En définitive, Téquation (1) se transformera dans Tune des deux suivantes :

1^ Dans le cas du caractère principal,

^ . L'(m. k,) , L'(v. feo)

— «4 — 2* Dans le cas d'un autre caractère,

y- 2 [*=(«?) + MO] ^-»- 2 [*(0 + MOJ 5:

32. Premier cas particulier : v => 0, cR(u) = 1. — Si Ton pose t; = dans les équations précédentes et si Ton suppose que la partie réelle de u soit égale à l'unité, on peut simplifier les équations précédentes de la même manière que les équations correspondantes dans ta seconde partie du Mémoire (n*** 76 et 77). On trouvera évidemment, en désignant par e une quantité qui tend vers zéro quand y tend vers l'infini :

1" Dans le cas du caractère principal,

L (w, ko) 1 — M -^

2** Dans le cas d'un autre caractère,

J g<y p»<yr — ^

L'(tt, A)

L (tt, A;)

33. Deuxième cas particulier ; u = 1 . — Faisons w = 1 dans les équations précédentes. On pourra en simplifier récriture, en désignant par jC des quantités qui convergent vers des limites

— us —

finies pour y infini. On trouve ainsi, comme aux n"» 78 et 79 de la deuxième partie :

1° Dans le cas du caractère principal,

2® Pour un autre caraclère,

34. Combinaison des équations précédentes» — Soit c une classe quelconque, positive et proprement primitive. Multiplions (4*) par k{c~) ; cette équation devient

sauf dans le cas du caractère principal où Ton retombe sur (4''). Ajoutons ensemble toutes les équations qui se déduisent de (5) par réchange des caractères entre eux. Comme la somme

8[^(c,Oh-^(c-»O]«0,

sauf pour les nombres premiers q^ représentables par la classe c ou la classe c~*, auquel cas cette somme est égale à

2/*, si c =3 c~* est une classe bilatérale; /i, si c n'est pas une classe bilatérale,

on trouve l'une des deux équations suivantes ; 1** Si c est une classe bilatérale,

L7e<y ïe y <lc<y J

2° Dans le cas contraire,

§3. — Conséquences asymplotiques des formules du paragraphe

précédent.

35. Les équations (6) sont identiques de forme à celle sur lesquelles nous avons raisonné au chapitre IV de la première partie ou au n" (80) de la seconde. Elles conduisent donc respectivement aux conclusions correspondantes :

1 ° Si l'on désigne par h le nombre des formes positives proprement primitives du déterminant ( — A), les expressions

— 2 '^*" ** ^ ^^ ^^^ classe bilatérale ; - 2i '?«» ^^^ ^ ^^ contraire,

expressions où les sommes s'étendent aux nombres premiers < y et représentables par la classe c ont pour limite Vunité quand y tend vers l'infini.

2** Les différences correspondantes

^h^'^-ly ou A 2 --'y.

tendent vers des limites finies et déterminées quand y tend vers l'infini;

Z° Le nombre des nombres premiers <iy et représentable par la classe c a pour expression asymptotique

•^ ou ^

SA /y fi ly

suivant que c est une classe bilatérale ou non^ e désignant une quantité qui tend vers zéro pour y infini.

36. Considérons encore un caractère k différent du principal et reportons- nous è l*équation (3^) diin* 32. Cette équation peut maintenant se simplifier. En effet, on peut y négliger la quantité

qui tend vers zéro, pour y infini, quand ^(ti)»» 1. La démonstration est la même qu'au n* (82) de la seconde partie. On trouve ainsi, pour ^(u)= 1,

è, 7" - k (r,) "*■ i, q^ - k (c-*) " L (i/, k) ,^, p*'^ -^ \ '^ '' e tendant vers zéro pour y infini.

37. En réduisant le premier membre au même dénominateur, on déduit facilement de cette équation le théorème suivant :

La série

étendue à tous les nombres premiers q dont ( — A) est résidu, est convergente pour ^(u) «■ 1 pourvu que le caractère k soit différent du principal,