CHAPITRE II
En DE DR LA FONCTION Z^ (Sy H, v) ET DE LA FONCTION
AUXILIAIRE <!^5 ((X, f)
§ 1 . Êhtde de la fonction 4^5 («»
23. Relation entre deux intégrales définies. Soit s «= x h- j/i une variable imaginaire; intégrons la fonction
e^''dz
le long du rectangle ayant |)our côtés : x«bO, xesa; 2/=sO, 2^ es p. Cotte intégrale étant nulle, on aura Féquation
/oc p^ p^ x»«
Égalons les parties réelles et faisons tondre ^ vers rinfini ; nous trouverons la relation connue
r^^' sin (2a2^/) dy = e' «*' / e-'rfx.
Cliangeons I en Td ot a en j; il vient
Cliangeons encore la variable d^intégration x en hx : t; nous
aurons
puis enfin, par la substitution 1 — x> = r,
/* A' /^* Mît' rf«
24. Définition de la fonction <I>5 (a, t). Son développement en série trigonométrique. Nous avons défini , dans la deuxième partie du Mémoire, les fonctions ^^ (a, x) et ^^(a, x); nous allons ajouter à celles-là une nouvelle fonction qui est dans une étroite relation avec elles.
Soient a une quantité réelle, comprise entre et i, et t une quantité réelle et positive quelconque. Nous posons,par définition,
11=) ksl
Cette fonction n'est plus, comme ^^ (a, x) ou ^2 (^9 ^)' "'^^ fonction périodique de a; c'est pourquoi nous nous sommes bornés à Tintervalle (0, 1) du paramètre a. Cette fonction jouit évidemment de la propriété fonctionnelle
l'étude de la fonction dans Tintcrvalle (0, 1) se ramène ainsi à Texamen de Tintervalle (0, i).
On peut assigner à cette fonction des limites supérieure et inférieure indépendantes de a et de t. Pour le montrer, écrivons, en prenant alternativement un terme dans chacune des deux sommes.
,^5 (a, t) = (*-«*^' — ç-i^-KMi ^ gHt+ac;»»-* — ; g-(«-«)tT< ^
Si Ton suppose < a < i, ces termes soni constamment et indéfiniment décroissants. On a donc, dans Tintervalle (0 <a^i)y
et, par conséquent, quel que soit f,
On aurait de même dans Tintervalle (i ^«^ 1)
Nous pouvons développer cette fonction en série trigonométrique par rapport à a dans Tintervalle (0,1). En vertu de la relation (3), ce développement sera de la forme
irsl
les coeflScients ayant pour valeurs
b.^^r^^ (a, t) sin {Ut^) àm^k r c-«*^' sin (2A:r«) d«.
Par la formule (1) du numéro précédent, ces coefficients deviennent
2A: r' -*aTî dz
On a donc le développement trigonomélrique
(4). . .^3(«,0«7 2^sin(2^^«)/^V**'''— ^.
26. Relation entre ^^(a, t) et tp^fa, x). Pour Tobtenir, il faut montrer qu*on peut intervertir les signes de sommation et d'intégration dans la formule précédente.
ÎT —
A cet effet, soit s un nombre positif arbitrairement petit» la série
2 k sin (2A:ïra) e ' ,
(où t est supposé donné) conrerge uniformément dans Tintervaile (e, 1) de la variable z (ce qui n*avait pas lieu dans Tintervalle de à 1). On a donc, puisque Tinterversion des signes est permise dans cet intervalle (s, 1),
'h («, — 7 / , 5 * si" (2A;ir«) e* " '
-♦- - > A: sin (SAijra) / e ' — >
et, en faisant tendre s vers zéro,
+ lim -- > /r sm (2kn%) / e ' — zzzz
Celte dernière limite est nulle. Pour le montrer, changeons z en z : A:^ ; cette limite s*écrira
2 ^ sin nna Z'*** -T-' •=o 7 4Tt k J
dz
Puis, par une intégrajiion par parties portant sur rexponentielle, cette expression se met sous la forme
2 ^ sin âfcira
- *«Tr -i
-lim > — -
Comme la série £&'' est absolument convergente, le second terme tend visiblement vers zéro avec e. Quant au premier, en
posant xs=a€ "^y il peut se réduire à la différence
-> — lim 2 — ï oc'*
Dans celle-ci, le second terme est une série potentielle convergente pour X «a I. Sa limite pour x =» 1 coïncide avec sa valeur pour x=a t, en vertu d'un théorème classique du à A bel. Donc la différence ci-dessus est nulle et Téquation (5) se réduit à
^3(«,/)= / > <:8in(2Ay«)e '.
Changeons la variable d'intégration z en tz\ il viendra
h («, i)^^ f' ^ 2 k sin (â*T«) c-^'^^
c'est-à-dire, par la formule (4) du n^ S de la deuxième partie du Mémoire,
, X- dz ^'("4)
zv z
et enfin, en changeant z en 1 : z,
Telle est la relation fondamentale qui lie les deux fonctions ^^{oL.z) et 4^5(a, 0, pour (0^ a < 1).
Remarque. On peut donner à la formule (6) une forme plus
simple en apparence, quoique moins pratique, en y remplaçant la variable d*intégration z par (z^ + 0* H vient
§ 2. Èiude de la fomlion Z|,(s, u, v)
86. Définition de Z,^(â, u, v). Celle fonction dépend de trois paramètres ti, v, y qui sont réels et compris tous les trois entre et 1 (limites exclues pour y seulement). Elle est déûnie, pour cR (*) > 4t V^^ '« formule
[(x -^ uf — r (x -*- vfY
où la sommation s*étend à toutes les valeurs positives et entières de X égales ou supérieures à un entier donné h.
Cet entier h sera supposé suffisamment grand pour qu*on ait
h > • d'où h > l/r (A ^ I),
ce qui est toujours possible, puisqu'on a, par hypothèse, V^ < 1. Dans ces conditions, la fonction
(x -4- II/ — r (« -♦- v)*
est essentiellement positive pour x ^ A, et il n*y a pas de difficulté dans la définition de la fonction Za(«, ti, x>\ qui sera réelle en même temps que s. Cette fonction est analogue à la fonction Ç(«) de Riemann, mais elle présente des propriétés plus complexes que nous allons chercher à éclaircir.
