Transformation de la formule (1). La formule (1) se

- so -

transforme d*abord dans la suivante :

(2). . Zft (s, II, v) « ^ f t'-'di 2 e-K'+-'«-y(>+»')«i''.

Nous allons d'abord simplifier récriture de Texponentielle qui est sous le signe d'intégration. On a

(x -f- ti)' — rix-^ vf =a (x -I- w)* — y{X'\'U H- v — m)'

Posons

où a est une fraction comprise entre zéro et un et e la partie entière de ti — ^Zy » c'est-à-dire un entier positif ou négatif. Cet entier sera < A en valeur absolue et l'on aura

(x -*- 1/)* — r(x -¥- vY « (1 — r) [(x -♦- c -♦- «)' — p*], d'où

Z, (s, M, v) — -^ /* r-'Ac^'t'-y^'-' 5 e-(»+«t)-(i-y)rr,

Changeons encore la variable d'intégration t en t : (i — y) ; nous aurons

Cette formule en donne immédiatement une autre. Remplaçons M et v par leurs compléments (1 — u) et (1 — v)\ e se change en — e, a en 1 — a et ^^ ne change pas.

On a donc

Les propriétés de Zj^(s^ u, v) vont découler très aisément des deux théorèmes suivants, dont le premier surtout sera important pour la suite.