Premier CAS. ^{s)estxinecon&tante. — Posons d'abord

C étant une constante. On aura la formule de décomposition

En vue des applications ultérieures, nous mettrons cette formule sous la forme

(s — w)(s — v) u — vs — u u — VS — V

et nous aurons ainsi :

J (5 — m) (« — v) u - vj s — u II — vj s — V

(i-W ■-■ a—bi a~bi

Cette relation se transforme par Inéquation (i) dans la sui vante :

— / ,u\ ± =J ±- / e(« «)' di

Si Ton fait tendre 6 vers Pinfini, on aura, par les formules du nM2:

i« poury>1, — ; / ?(« = li-i? 1^^^

2^ poury<f, — / ^(s • ^ - =

^jrij/ U— u)(8 — u)

a-ooi

18. Del'xiémecas. cp(«)e«/wne/'racaous/w>pfe. — Posonsensuiie

et supposons qu*on ait toujours la relation cîR (a -h *) > 0. On aura la formule de décomposition (on suppose t« et t; différents de A:)

i ABC

les coefficients ayant pour valeur

^^ î ^ fM g^ ^ fW

Diaprés cela, nous pourrons écrire Téquation

a-\-bi a-i-bi

^TiiJ is — u) (s — v) M — V ^xij s — u

a-bi a-bi

a+bi

a—bi

(m + k){v'\'k) 2irt

a-\-bi

yUU

a- bi

En transformant ces intégrales par Téquation (1), il viendra

a—bi — OB

sin //(

V— u vj l

dt

— oc

Si Ton fait tendre 6 vers Tinfini, on trouvera donc par les relations du n* 11 :

pour y >

/ a-|-oot

*> \ o-oe<

[u -f- /c) (tî H- A;

il y a donc maintenant un terme de plus que dans le cas précédent.

19. Si Ton fait en particulier *= — 1, dans la formule précé-

dente, on obtiendra, pour y > 1,

a+ooi

27tie/ 5 — \ (s — u)(s— v) M— -r |w — 1 V — \\

(*) • • A o-ooi

20. Combinaison des cas précédents. — Supposons maintenant que ^{s) soit la somme d*une constante et d'un nombre limité de fractions simples, soit

Il est clair que Ton obtiendra par Tapplication répétée des formules de Tun des deux cas précédents à chacun des termes de cette somme

a+H ly

Ittî,/ (s— w)(s — V) . U — V TvJ i

a— ht — 00

ly

u — V rtj t

sin bt .

dt

2y~-*H \ /* ^ . ^ ^ sin 6f ,

Par conséquent, si Ton fait tendre 6 vers Tinfini, il viendra, poury>l,

a4*oo<

a-oo<

(u-^k„)(V'^k„) Il est bien entendu que dans cette formule on doit supposer ti

— SS- CI V différents de fc, et, en outre,

^(«-ii)>0, c^(a-v)>0, rJR(aH- A:J>0.

21. Exleiision au cas où (f{s) a un développement illimité. Passons inaintcnanl au cas où

se développe en une somme illimitée de fractions simples. On ne peut pas généraliser^ sans examen^ les dernières formules, et il faut étudier les choses d*un peu plus près. On peut cependant énoncer le théorème général suivant où Ton verra Tutilité des calculs précédents :

Théorème. — Si la quantité, variable avec n,(îR(a -+• kj reste toujours comprise entre.deux limites positives indépendantes de n (/a limite zéro étant exclue); si, d'autre part, la série à termes positifs

est convergente; enfin^ si la série

èl « -*- ^„

est uniformément convergente dans toute région finie du plan s qui ne renferme pas de pôles — k„, on aura, pour y > 1 ,

èif''^

o+ooi

a—ooi

On suppose que u et \ ne sont pas des pôks et que les relations Si (h — u) > 0, <ÎR (a — v) > sont vérifiées.

Démonstration. A cause de runiformilé supposée de la convergenee, on peut intégrer sans difficulté la série pour toute valeur finie de b. On trouve donc, comme dans le cas précédeni,

1 fTù) y^' yw.v"^ A(«-)'!iîij

IniJ ' (s — u)(.s— r) u — V T^ t

u — V -kJ t

a-\-bi . ^y !

sin 6î dt

y-kn \ /* , . ^ Sin 6«

2 / e^"^*"^' dt.

Je dis maintenant que, considérée comme fonction de 6, la série du second membre converge uniformément alors même que b peut croîlre indéfiniment.

Pour le montrer, posons a -h A:„=a„ h- ^J. La partie réelle «„ variera entre des limites finies par hypothèse (la limite zéro étant exclue). Par conséquent, on peut appliquer le théorème du n*" 15 : la quantité

^ Ê , ,u . sin bt .

mod-v*" / e^*+*»>' dt

ne pourra pas surpasser, quand 6 et k„ varient, une quantité de la forme

ou, ce qui revient au même, une quantité de la forme

dans laquelle M est une constante donnée. Notre série aura donc tous ses termes moindres que ceux d'une série de la forme

qui est absolument convergente par hypothèse et dont les termes ne dépendent pas de 6. Donc sa convergence uniforme est assurée.

On peut donc en toute rigueur faire tendre 6 vers Tinfini et passer à la limite dans chaque terme. On obtient alors la relation énoncée dans le théorème et celui-ci est par conséquent démontré.

22. Application. — Le théorème précédent s'applique, en particulier, à la fonction

dans laquelle la sommation s'étend à toutes les racines imaginaires de la fonction Ç(5) rangées par ordre de modules croissants (n° 8). En effet, toutes les racines p ont leur partie réelle comprise entre zéro et wn,. et par conséquent, pourvu que Ton prenne a> 1, la partie réelle S{(a—f^) ne pourra pas s'aimuler et restera finie. D'autre part, la série

2 mod (1)^

est convergente (n** 6). On aura donc, dans ce cas particulier,

^nij (s — w) {s — r) u — V -< (m -^ p) (v — p)

et cette équation suppose que Ion a

y>U a>i, rîl(a-w)>0, ^(tt — 1;)>0.

11 est encore important de remarquer que dans la dernière série

la convergence est absolue, car les termes de cette série décrois-

sent comme ceux de la série £p,qui est absolument convergente, tl n'y a donc plus aucune attention à prendre à Tordre dans lequel les termes sont rangés.

23. Nouvelle extension du théorème précédent. — Soit F (s) une fonction entière du genre zéro ou du genre un. Désignons en général par p^ (i«=l, 2, ... n, ...) les zéros de cette fonction. Si ces zéros p sont tous situés à gauche d'une droite x=h, et si ta série

est absolument convergente^ on aura, pour a > h,

— / DioffFs) = . U"— ^— V"— -^

2^i/ » ^\s'-u)(s — v) u — vl^ F(a} ^ F{v)\

n-oot

yP<

pi» — P() (« — Pi)

Si la fonction F (s) est du genre zéro, on retombe immédiatement sur le théorème du n® 21. Supposons donc que F (s) soit du genre un. On peut poser par la formule de Weierstrass

F(5) = F(0)e«'n(l --]eP',

et Ton sait que ce produit est uniformément convergent dans toute région finie du plan s. Prenons les dérivées logarithmiques, il vient

F(») ib-pi p,r

et cette série est uniformément convergente dans toute région ne contenant pas de racines p,. donc, en particulier, pour

Désignons par (p^(s) la somme des n premiers termes de la série [supposée illimitée, car on retomberait sur un théorème antérieur (20) dans le cas contraire]

s L^ - pi pij

on aura sans difficulté pour toute valeur finie de 6, comme au n*» 20,

^^ij ^^ ^ (5— 14)(5— V) U — VtJ t

a~bi —00

__ fJvli Z-^,..»,, fin

U — V vj t

sin bt .

dt

^ f/P' i /• , sin 6/

Si {u — Pi) (v — Pi) xj i

Si Ton fait tendre n d'abord vers Pinfini, ?„(«) converge uniformément vers sa limite D log F («) sous le signe d'intégration au premier membre, et il vient, sans difficulté pour toute valeur finie de 6,

— / DoffF(s) ^ = — —- I e^« ">' dt

a—hi — «

V" F'(v)1 r' „sin6«

tl VF (t?) TTt/

ly

J (u—Pi){v^Pi) tJ t

Si Ton fait maintenant tendre b vers Tinfini, je dis que cette dernière série converge uniformément.

En effet, on sait (n"* 15) que Texpression

dans laquelle 6 el p, varieni et où S{ (a — p.) ne peut tendre vers zéro, admet une limite supérieure de la forme

Ml/^mod pt

où M est une constante, indépendante de 6 et de p. Donc tous les termes de la série qui nous occupe sont inférieurs en valeur absolue aux termes correspondants de la série

(U — Pi) (v — p)

qui est absolument convergente par hypothèse et dont les termes ne dépendent pas de 6.

L^uniformité de la convergence est donc établie, 6 variant arbitrairement. Si on fait tendre 6 vers Tinfini, on peut, dans la dernière équation, passer rigoureusement à la limite dans chaque terme, et Ton obtient ainsi Téquation qui figure dans renoncé du tliéorème.

Application, — On peut poser, dans le théorème précédent,

Cette fonction remplit toutes les conditions du théorème et les zéros p sont de la forme

On trouve ainsi, en changeant les signes.

rt-ÛCI

«ti (2m -+- w) (2m -4- v) Cei«' équation suppose qiron a

§ 3- — Application des résultais précédents à la fonction

■ DlogÇ(s).

24. Forme particulière de l'intégrale du paragraphe précédent pour (f (s) = D log Ç(s). — Rappelons la formule établie au n° 8 :

fis) lOffT \ h \ '

^ ^ ^ li,s) 2 6- - I "^ \4 /

Appliquons-lui respectivcmenl les formules clos n°' 17, 19, 22 ei 23, nous obtiendrons, pour ?/ > 1,

a-oci

Dans celte formule on doit d'abord supposer que u ou v n*est ni un pôle ni un zéro deÇ(s). On doit admettre que a est > 1 et supérieur aux parties réelles de u et de v.

Enfin, nous rappellerons que y est une variable réelle positive et plus grande que un. La formule cesserait d'être vraie dans le cas contraire (*).

25. Nouvelle expression de la même intégrale. — Nous allons chercher maintenant une autre expression de la même intégrale. Elle se déduit de l'expression de Ç(^) en produit infini pour S{(s)> i (n" 1). On. trouve

Dlogç(8) = -2-T^

v^ xi^». \!lL

On en conclut sans difiiculté pour toute valeur finie de 6, et pour a> 1,

1 /• , , y'ds ^ ^ i riy\' ^

/M\ / a+bi

a—bi

On peut transformer les intégrales du second membre par les formules (2) du n* 17. On y fera d'abord cp(«) = 1, puis on changera suocessivcmeni y en (p, (|,), ... Une quelconque des intégrales du second membre se décompose alors comme il suit :

a+bt \p*"/

± rljL]' ^?.. =L (l.Yi /•e.--)'!!îL^'d<

U — %) \p'"l ttJ i

(*) La vérification de la formule est facile en remarquant que le second membre est la somme des résidus de la fonction sous le signe d'intégration, relatifs aux pôles situés à gauche de la droite x=ia.

Lorsque Ton fait tendre 6 vers rinfini, la limite du second membre de celle dernière équation est nulle (n" H) pour y < P"*; pour yyp^i au contraire, cette limite est égale à

Pour y =/)"•, celte limite serait encore différente, mais nous supposerons que y n'est pas une puissance d'un nombre premier.

Faisons maintenant tendre b vers Tinfîni et passons à la limite. Je dis que dans le second membre de Féquaiion (5) on pourra remplacer chaque terme par sa limite. Pour justifier cette assertion, il faut monirer que le second membre converge uniformément quand b varie de celte manière.

C'est ce qui a lieu. En effet, en vertu du théorème du n" 14, Texpression

reste inférieure, quel que soit 6, à une quantité de la forme

où M est une conslante convenable indépendante de 6, de p et de m. On peut affirmer la même chose de Fintégrale

a-bi

qui se décompose par la formule (6) en deux expressions de cette nature. Donc, les termes du second membre de Téquation (5) sont inférieurs à ceux d'une série de forme

qui est absolument convergente pour a > 1, et dont les termes ne dépendent pas de 6. Donc, le second membre de Téqua* tion (5) est uniformément convergent, comme nous voulions rétablir.

On peut donc passer à la limite dans chaque terme de cette équation et Ton trouve

Pour lie pas compliquer inutilement les formules, nous écrirons en abrégé

p^<yP p<» r p-oj H p^<y H

Au second membre, les sommes s'étendent respectivement aux nombres premiers < y, puis aux nombres premiers dont le carré est < y^ ... et ainsi de suite jusqu'à ce que les sommes s*annulent d'elles-mêmes.

26. Comparaison des deux résultats. Formule générale. — En comparant ce dernier résultat à celui du n^ 24, on trouve réquation

__ (tf — r) y

^ ^j (2iw ^- u) (2m -f- v)

Les sommes du premier membre s'étendent à toutes les puissances des nombres premiers qui sont inférieures à y, comme on Fa défini au numéro précédent.

Cette équation a été établie en supposant que y n*était pas une puissance tfun nombre premier. Mais il est facile de s'assurer que cette restriction peut disparaître. Nous allons montrer, en effet, que les deux membres de l'équation sont des fondions continues dey, pour y >1.

Le second membre est une fonction continue de y pour y > 1 . En effet, la série

^i (2m -♦- m) ('im -*- v)

est une série potentielle qui- converge très rapidement. D'autre part, la somme étendue aux racines p

a tous ses termes inférieurs à ceux de la série

yl

qui est absolument convergente, parce que la série ^-^ jouit de cette propriété. Donc la série étendue aux racines p (|ui nous intéresse est uniformément convergente et a pour somme une fonction continue de y. Donc enfin le second membre de l'équation est une fonction continue de y.

Le premier membre de Téqtialion est aussi une fonction continue de y y car les deux sommes

présentent les mêmes discontinuités : elles augmentent brusquement Tune et Tautre de Ip chaque fois que y passe par une valeur de la forme p"* égale à une puissance entière d'un nombre premier. Donc cos discontinuités se détruisent dans le premier membre de Téquation, qui reste continu pour toute valeur dey. Voici encore une remarque importante. Les quantités u et v

ont été précédemment assujetties à certaines conditions, mais toute restriction disparait dans Péqualion (7). En effet, le second membre est une fonction uniforme du u et de v dans toute retendue du plan et il en est de même du premier membre. Donc régalité doit subsister pour toute valeur de u et de t;. On remarquera de plus que le premier membre, composé d'un nombre limité de termes, est holomorphe dans toute retendue du plan ; donc toutes les discontinuités apparentes du second membre doivent disparaître en se détruisant cnire elles. Il conviendra donc, pour les valeurs de u et de t; qui rendent discontinus certains termes, de modifier la disposition du second membre de manière à mettre cette circonstance capitale en pleine lumière. C'est ce que nous allons faire dans les cas particuliers qui vont suivre.

27. Premier cas particulier : i; = 0. — Posons t;= et divisons par ]y*, la formule (7) deviendra

»4p"" y\é/ ^b(«) r^'wJ

(8) . . . ( -♦-- — y-«— iy5-Jî^ —

T ^ni(''2m -I- m) Il ne faut pas publier que, d'après son origine (25),

2 ip'=^ ip-^ 2 'p "*" 2 ^p "^ — »

et les sommes du second membre s'étendent respectivement aux nombres premiers qui sont < j/, puis à ceux dont le carré est < y et ainsi de suite jusqu'à ce que les sommes s'annulent d'ellesmêmes.

28. Deuxième cas particulier : t4= 1. — Dans la formijle (8) du numéro précédent, on peut faire encore tendre w vers l'unité. Mais, pour les raisons indiquées à la fln du n® 26, il convient.

avant de passer à la limite, de modifier la disposition des termes du second membre.

On remarquera les relations suivantes, dont la seconde s'obtient par Tappliialion de la règle de L'Hôpital :

lim^! = /v.

En tenant compte de ces relations, Téqualion du numéro précédent devieni, pour ti= 1 ,

29. Bemarqties sur la formule précédente. — La formule que nous venons d'obtenir fournit des conséquences asymptotiques remarquables, sur lesquelles nous aurons à revenir. Nous allons dès maintenant en signaler une qui nous sera utile un peu plus loin.

Si Ton fait tendre y vers Tinfini, les termes du second membre

tendent très rapidement vers zéro.

D'autre part, comme S{(p — 1 ) < 0, la somme S de ce second membre converge plus rapidement que la série

qui est absolument convergente; cette somme a donc une limite supérieure indépendante de y.

Donc, dans le second membre de l'équation, il n'y a qu'un seul terme qui puisse croître indéfiniment avec y, c'est le terme ly.

Dans le premier membre de l'cqualion, le rapport

conserve toujours une valeur voisine de Tunité, comme Ta montré M. Tchebiehef dans un mémoire célèbre (*) et comme on peut d'ailleurs le voir plus facilement (**), Il résulte de là, en divisant toute Féquation par ly^ que Ton aura

lim — y. — = ^'

Ce résultat est connu depuis longtemps el a déjà été utilisé bien des fois. On peut aussi Tobtenir d*une manière élémentaire.

30. Troisième cas particulier. — Cherchons maintenant ce que devient la formule du n°27, quand on fait tendre u vers un zéro imaginaire simple de ^{s) que nous désignerons par p^.

Commençons par isoler de la somme S le terme relatif à ce

zéro; ce terme (avec un signe contraire de celui qu'il a dans réqxiation) peut se décomposer comme il suit :

Pli Pi — u) p,(^, — m) p^{p^ — U)

^pi — U pj Pi Pi — u

On remarque encore que Ton a, par la règle de L'Hôpital,

lim = ly ;

«=,ci Pi pi — u

(•) Mémoire reproduit dans le Cours d'algèbre supérieure de Serret. VoirS^édit.CISee), t. Il, p. 212, formule (8). Le rapport J ,?<y Ip est représenté dans cet ouvrage par ^ {y), {**) Bachmann, Die analylische Zahleniheorie (Leipzig^ 1894), pp. 361 et suiv.

de sorie que la formule du n* 27 deviendra, pour u = pf,

ft

,-Jl«-/9l

Dans le second membre, nous avons accentué la somme S

pour rappeler que le terme relatif à pi en a été éliminé : il faudra se garder d*oublier cette circonstance dans la suite.

31. Combinaison des deux derniers cas particuliers, — Si Ton considère la dernière équation, on n'y trouve que des puissances de //, à part un terme unique — ///. Mais ce terme perturbateur peut être éliminé, car il se trouve en signe contraire dans l'équation (9) obtenue précédemment pour ti = 1 (n* 28).

Ajoutons, à cette On, les deux équations entre elles, en observant que l'on a

lira 1 =1 -f-hm H - h

u»i |ç(ii) u — 1J »=oLj;(i -^ tf) Mj

nous trouverons l'équation importante

= 1 — Iim 1

P, «=o \K{i -* u) ç (|5, + tt)J

fl pip — ^)

-Sm-I

"p pip-— p\)

\) ^* tf 2m (2m

§ 4. — Forme particulière de la dernière équation dans l'hypothèse (impossible) d'une racine de la forme p = 1 -+- {3î.

32. Forme particulière du second membre. — L'équation i\ du numéro précédent va servir de base à la démonstration dePimpossibilité d'une racine p=iH-j3i. Celte démonstration sera faite au chapitre suivant. Mais Téquation du n* 31 est assez compliquée, et il importe d'en simplifier récriture, pour en dégaf^er ce qui sera essentiel à la démonstration.

Supposons, par impossible, qu'il y ait des racines p de la forme 1 -f- (îi, et prenons pour p^ l'une d'elles. Posons donc implicitement p-| = l -+- (3î dans l'équation du n"3l et examinons, dans cette hypothèse, comment se comporte le second membte quand y augmente indéfiniment.

On trouve dans ce second membre : l"" Une constante finie

2^ Trois termes qui tendent très rapidement vers zéro quand y augmente, savoir :

fin- ^ ] ^^(Q) y y y y

S** Un terme purement périodique

P' -r«-^. = fL t/-^':

i — Pi i — pi

4^ Enfin, deux sommes étendues aux racines p qui sont

Dans ces sommes, les exposants de y ne peuvent pas avoir (pour pf =s| + |3() leur partie réelle plus grande que zéro. Ces

sommes convergent donc plus rapidement, quel que soit y (supposé > I ), que les séries correspondantes

y p{p — \)* ^^ 7 p(p — Pi) .

qui sont absolument convergentes et dont les termes ne dëpendent pas de y. Ces sommes sont donc absolument et uniformément convergentes, y variant sans restriction. Nous pouvons, par conséquent, les partager d'abord en deux autres : deux premières sommes que nous désignerons avec une lettre nouvelle S pour les reconnaître des précédentes,

/-l yP-fi*

/= p{p — 'l) p p{p^ pi)

étendues à foutes les racines p de la forme 1 ■+- j3t seulement; deux autres sommes analogues étendues aux autres racines.

Dans ces deux dernières, l'exposant de^ aura sa partie réelle négative, et tous les termes tendront sans exception vers zéro quand y tendra vers Tinfini. Il en sera de même pour ces sommes elles-mêmes, à cause de l'uniformité de la convergence. Les deux premières sommes, au contraire, seront formées de termes purement périodiques.

En définitive, on peut partager le second membre en trois parties :

Une constante C;

Une partie évanouissante pour y infini : e;

Une partie formée de termes périodiques : P.

i —■ Pi p p(p — i) ' p pip — pi)

L'équation du n"* 31 prendra alors la forme

Dans l'expression de P, il ne faut pas perdre de vue que la

somme S s*étend à toutes les racines p de la forme 1 + Pt,

la somme S' aux mêmes racines, sauf p|. Si ces deux sommes

p renferment une infinité de termes, elles seront certainement

absolument ei uniformément convergentes, comme les sommes 1!

d'où elles sont extraites : c*est là un point essentiel. Nous dirons

au chapitre suivant qu^une expressiori composée comme le

second membre de notre équation est une expression de la

forme L -+- P, en désignant par L la partie convergente (C -4- e)

et par P la partie périodique du développement.

33. Forme particulière du premier membre. — Portons notre attention sur le premier membre de Téquation (12) que nous venons d'écrire. On y trouve deux termes que nous allons examiner séparément.

Le premier terme a pour valeur, en développant la -somme £ (voir n*» 25 à la fin),

Rappelons maintenant que p^ = 1 + ^i et que, par conséquent, les deux séries

V 'p V ^P V tp

étendues à tous les nombres premiers, sont absolument convergentes ; il en résultera immédiatement que la somme

est une quantité L qui tend vers une limite finie quand y tend vers Tinfini, et Ton pourra poser

(13) . . . 5 ^p(— -^ -Vl= 5 '/>(--*--7-]-+' L,

la nouvelle somme s*étendant seulement aux nombres premiers < y.

Le second terme du premier membre est susceptible d*une réduction analogue. Eu égard à la relation pi «=» 1 + ^U il se met d abord sous la forme suivante :

^y y ' p"«<y \jf p<y y p*<9 j

Mais quand y tend vers Tinfini, la quantité entre crochets se réduit à son premier terme, car les autres peuvent s^éerire :

Cette somme tend visiblement vers zéro quand y tend vers rinfini, car tous ses termes s'obtiennent en multipliant ceux de la série absolument convergente

par des facteurs tous nuls ou plus petits que un et qui tendent tous vers zéro quand y tend vers TinGni.

En définitive, le second terme de notre équation peut donc s'écrire, le facteur imaginaire {i -+- y"^') étant essentiellement fini,

où e est une quantité évanouissante pour y infini.

34. Forme définitive de l'équation dont il faut démontrer l'impossibilité. — Remplaçons dans le premier membre de l'équation finale (12) du n*" 5â les deux termes du premier membre par leurs nouvelles expressions (13) et(i4), calculées au numéro précédent. Puis faisons passer dans le second membre les con*

stantes et les termes évanouissants pour ^ infini. L'équation prendra là forme définitive

^ ^ ,^J \p pN \y yN 4 ^

Dans eette équation, L est une quantité qui converge vers une limite finie que nous n'avons pas besoin de connaître, et P est une série périodique absolument convergente et qui a pour valeur (32) :

Le chapitre suivant sera consacré à établir que Téquation (15) , renferme une contradiction. Pour cela, nous avons d*abord à établir les propriétés générales des développements de la forme L h- P.