Théorème. La fonction

Z»(«. M,t;) — Zfc(«, \ — w, 1 — v)

est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie uniformémeni la condition B quand iiet\ varient dans Pintervalle (0, 1 ).

Démonstration. La méthode que nous allons suivre pour démontrer le théorème conduirait, en poussant les calculs jusqu'au bout (ce que nous ne ferons pas), à la formation d*expressions capables de représenter la fonction dans tout le plan. Cette méthode consistera à décomposer la fonction en une somme d'autres qui vérifieront séparément les conditions du théorème.

Posons d*abord

Y,(«) = !^1- — r t'-^dte^'''' \ 5 6'^'^''^*— 5 e-<-«>H •

'^' (i—yYr(8)J \,£^ ,Jf.^, J

On aura évidemment, en vertu des formules (3) et (S**^), où Ion décomposera Tinterval le d'intégration en deux parties (0, 1) et(i,oo),

Z»(«,ii,t;) — Z,(«, I - w,l — v)« Y,(s) -f. Y,(«). Le premier terme Yi (s) ne donne lieu à aucune difficulté :

son expression converge dans tout le plan s (*) et il déiinit une fonelion qui vérifie uniformément la condition 6 par le théorème du n« 9.

Passons au second terme Y^(s), dont Tétude est plus difficile. En ajoutant des termes en nombre 2A, puis soustrayant ces termes, on peut écrire, eu égard à la formule (2) du n® 24,

^ (\—yyr(s)J •'\' ^

-yyrwLiiy .éoJ J

Nous avons écrit en seconde ligne une somme de 2A termes qui vérifient uniformément la condition 6, a et ^ (et par suite u^ v) étant considérés comme variables, cela en vertu du théorème du n® 18, qui s*applique à chacun d'eux. La démonstration du théorème actuel se réduit donc à celle du théorème que voici :