Théorémb. La fonelion T(s), définie par la formule

esl une fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition quand a varie dam l'intervalle (0, i)et Ç> entre des limites finies.

(*) Pour se rendre compte de cette convergence, on se rappellera que Ton a, pour les valeurs de x qui entrent dans les sommes, sotis le signe d'intégration,

et une inégalité semblable pour [x — a)' — ^*, Dans les eiponentielles en i, le coeflBcient de t ne peut donc tendre vers zéro et est essentiellement négatif, ce qu assure la convergence iies intégrales dans l'intervalle (/, oo) de /.

Pour démontrer ce ibéorème, remplaçons 4^s(^» P^^ ^^ valeur (6) au n^ 25, savoir

/ Kz — t «/ / Vz — t

et posons, en abrégé,

T. W = 7^ ^^^, f \^'^'t"'dt f ' ^, (a, X)

«•* /** /^* dz

T, (s) == -— / é^^'i*-'di I ^i (a, z) — ^=zi î

on aura la décomposition

Montrons d'abord que le second terme T^ («) vérifie la condition 0. Pour cela, supposons pour un instant que a ne puisse rendre ni vers zéro ni vers un; la formule (2* partie, n" 3)