SB

met en évidence que la fonction

/* dz

Vz — l

est une fonction continue de (x, P, ( dans riniervalle (0, i) de < et une fonction synectique de / dans un cercle de rayon suffisamment petit autour de Torigine.

Donc la fonction

est, par le théorème du n*" 19, une fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition 8.

J*ajoute que cette conclusion subsiste si a peut tendre vers zét^o ou vers un. Dans ce cas, il y a, dans Texpression de ^2 (^> ^) donnée ci-dessus, deux termes et deux seulement, où le coefficient de z peut tendre vers zéro, et qui réclament un nouvel examen, savoir

e-«*^' et (i — a) e-î*-«)*^'-.

Les difficultés relatives à ces deux termes se résolvent de la même façon, de sorte qu'il suffit de considérer le premier. Il donne dans Texpression de 0, (l, a, |3) le terme

/*• dz o /^* dz

/*• (te

et, sous cette dernière forme, il saule aux yeux: 1^ que ce terme est encore une fonction continue de /, de a et de P, 2^ que c'est une fonction synectique de i dans le voisinage de Torigine. Il n'y a donc rien è changer à nos conclusions.

Passons à l'examen du premier terme Ti («). En renversant Tordre des intégrations, il devient

puis, en changeant t en iz,

V'^dl

^.(•)-(lT4rn7/'*'<-'')^'"'^'/'^*'''

puis, en changeant encore z en 1 : z et renversant l'ordre d'in (pgration,

T, (») = - =rr- / —== I « '**«.-« dz.

•'^^'•*mw^*

Mais la formule (4) du n® 5 de la seconde partie, qui se met sous la forme

»^, (or, -.1 = 2 2 ^<^'**'^' sin 2A:7ra,

met en évidence : l"" que la fonction

(7). . . j Z*"^' r*^Ja,-jL-'dj5 = e,(«,e,a,l3)

esi une fonction, entière de $ dans tout le plan qui vériGe uniformément la condition 8 (application du théorème du n® 9); 2® que c est, pour toute valeur de s, une fonction fyneciique de L Donc la fonction

est, par le théorème du n^ 19, une fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition 6. Le théorème est donc démontré.

30. Remarque. La fonction T (s) du théorème précédent dépend aussi des trois paramètres «, P, 7; ses dérivées partielles par rapport à ces trois paramètres sont aussi des fonctions entières de s qui vérifient uniformément la condition 8, quand a varie dans Tintervalle (0, 1) et |3 entre des limites finies quelconques.

Nous avons fait, en effet, la décomposition

Notre remarque s^applique à Tj («), en vertu de la formule (6), parce que les dérivées partielles de 82 (^ a, P) par rapport à a et ^ jouissent, comme le montre la formule (5), des propriétés que nous avons attribuées à cette fonction elle-même.

Notre remarque s*applique aussi à T| (i), en vertu de la formule (8), parce que les dérivées partielles par rapport à a et (3 de la fonction 9| {s, t^ a, P), définie par la formate (7), jouissent aussi des propriétés que nous avons attribuées à cette fonction elle-même.

31. THÉORÉtMB. On peut former les dérivées partielles par rapport atêx if*ois paramètres u^\ et y de la fonction

qui dépend de ces trois paramètres. Ces nouvelles fonctions sont encore des fonctions entières de s dans tout le plan qui vérifient uniformément la condition 6, les paramètres u et \ étant considérés comme variables dans l'intervalle (0^ 1).

Dans les numéros 28 et 29, nous avons décomposé la fonction, qui figure dans Ténoncé du théorème, dans la somme suivante:

— 2 / ef" -<'*«'•)'>•'(-'</« .

Tous ces termes dépendent de trois paramètres a, (3 et y. Mais les paramètres a et (3 (n^ 27) sont des fonctions de u, t; et 7 ayant des dérivées partielles bien déterminées et indépendantes de s. H suffit donc de démontrer que les dérivées partielles de la somme ci-dessus par rapport à a et ^ et 7 vérifient la condition 8.

La chose a été faite pour T (s) au numéro précédent. En ce qui concerne Yj (s), on se reportera à la formule (4) du n*28 et Ton verra que Ton peut raisonner sur les dérivées comme sur la fonction elle-même. Enfin, pour tous les autres termes, là conclusion est immédiatement apparente, les dérivées tombant

comme les termes cux*mémes sous Tapplication du théorème du n* 18.