Théorème. La fonction

Zh (s, i/, tj) ^. Zji (s, 1 — w, I — r),

petitf pour S{ (s) > i, se mettre sous la forme

où 6 (s, u, v) désigne une fonction entière de s dans toute l'étefidue du plan et qui vérifie uniformément la condition quand les deux paramètres u c/ v varient dans F intervalle (0, 1).

Démonstration. En ajoutant membre à membre les formules (3) et (3^'') du n^" 27, puis en ajoutant dans le second membre des termes qui se détruisent comme au n® 28, et ayant égard à la relation (2* partie, n* 2)

on mettra la fonction Z^ («, ti, v) -+- Z^ («, 1 — ti, 1 — r) qui nous intéresse sous la forme suivante (correspondant à la décomposition du n"" 28) :

(1-r)T(«)y LxiV. -=^1-. J

(1-rm») L s/ .ây J

fl— /*'e^''+. («. t) l-'dt.

y) ris)./

La première ligne donne lieu à la même discussion que

le terme Y| (s) au n® 28; la seconde, à la même discussion que les sommes correspondantes dans la seconde expression de Y^ (s) au n* 28. Ce sont donc des fonctions entières de s dans tout le plan qui vérifient la condition 8.

Reste à considérer le terme écrit en troisième ligne. Changeons la variable d^intégration ten i : ^ et tenons compte de la relation (2) du n"" 3 de la seconde partie, qui peut se mettre sous la forme

^, L ij = \/î h ^ 2 2 e-**^' cos 2&Ta 1; ce terme se décomposera en deux autres:

^«00 ^*ir I

— - — / e~r-*dt

{\-r)'T{ti)J

Le second terme est, à première vue, par le théorème du n*^ 9, une fonction entière de « qui vérifie la condition 6; le premier devient, en changeant ^ en j >

/ eP''H"^dt.

c'esMi-dire le terme qui figure dans l'énoncé du théorème. Le théorème est donc démontré.

33 . Propriétés analytiques de Z» (s, ti, v). Ces propriétés résultent immédiatement des théorèmes des n*' 28 et 32. On en conclut que Ton peut poser, pour oft. («) > L

(9). . Z, (s, u,v)^e (s, ti, V) ^ ^ J"^ y^* e^'^'t'kt,

àââm

où 6 (s, u» v) est, comme au n® 32, une fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition e.

La fonction Z^ («, ti, v) aura une infinité de pôles ; ce sont ceux de la fonction

" (»rpY \

Ce développement, valable dans tout le plan s, met les pôles en évidence et fait connaître les résidus correspondants, si Ton se rappelle que (n**27)

La fonction Z^ (Sy u, v) possède donc tous les pôles s^^ — A, /cB=sO,l,2...,qui sont ceux delafonction r(s — |]f sauf cependant si tis=:t7, auquel cas P»0 et le pôle «»^ seul subsiste.

Enfin, en multipliant la formule (9) par 1 : r [s — 1|, on en conclut, moyennant le théorème du n^ 18, où Ton changera s eu s — |, que la fonction

Za («, w, v)

est une fonction entière dans toute retendue du plan, qui vérifie la condition 6.