AUXILIAIRES
^ 1. Définition et propriétés des fonctions auxiliaires
*i (W, V, 0» Xi («> V, 0- «fï (W. V, t), Xs («/, V,
34. Définition et propriétés fonctionnelles de <p| (w, v, t). Soit ^ une variable réelle, essentiellement positive, ensuite u et t; des paramètres réels quelconques ; nous définirons la fonction 4^1 (il, V, t) par la somme illimitée
(i). . . ^i{u,v,t)^ 2 e"^"+"^''" cos 2ir (iiH- t/) t?,
«as- 00
OÙ n reçoit toutes les valeurs entières de — oo à h- oo .
La fonction définie par cette formule (1) renferme, comme cas particulier, la fonction ^^ (a, x) de la deuxième partie (n^ 3) avec laquelle elle se confond pour t*B=0. Elle est visiblement, pour toute valeur de v, une fonction paire, continue et périodique de u, dont la période est Tunité.
On peut la développer, pour toutes les valeurs de t/, dans la série trigonométrique
i vf
(2) *4 (w, r, === 5 0». -+- > 0* cos S/rjrw,
les coefficients ayant pour expressions
«4= ^ I ^K (ti, V, X) cos 2*îri/ dv^^ I e"""^' cos(2jri/v)cos(2A jrt/)rftt
= / e""*^' [cos 2;r (u -*- /r) t/ -I tes 2» (r — h) w] c/w
^ r -(*-ff;«7 -(*-»;« y"l
i/rL J
riHMBIIM
Si Ton substitue ces valeurs dans la formule (2), elle devient
(3). . . . «l*! («, r, /) «=s — :; 2 ^ ' ' cos 2^tm.
La comparaison des formules (1) et (3) montre la double , réciprocité qui existe entre les paramètres de la fonction ^^ : d*abord une réciprocité de / avec lui-même, dont nous avons déjà reconnu Timportance dans la seconde partie du Mémoire à propos de ^ii^L^x); ensuite une réciprocité correspondante entre les paramètres u et v.
35. Définition et propriétés fonctionnelles de X| (u, v, t). Laissons aux variables u, v, t le même sens que dans le numéro précédent; la fonction X^ (u, v, t) sera définie par la série doublement illimitée
(4). . . XiKv»')'^ 2 «■^"■^"^*''sin2T(/i+ w)i;.
G*est une fonction impaire de u qui admet Funité pour période. On peut donc, pour toutes les valeurs de u, la développer dans la série trigonométrique
les coefficients ayant pour valeurs
64 = 2 / e-"*'^' sin (Sjrwi?) sin (SA^jri/) du
e-"*^' [cos 2»- {v — k)u— cos 2»- (v -+■ k) u] du
__i^r-,*4..^^-,.-.,.fj
Substituant ces valeurs dans (S), on trouve
et cette formule donne lieu aux mêmes remarques que la formule (3).
36 . Définitions de ^^ (u, v, t) et Xj (u, v, t). Ces fonctions s^obtiennenty à un facteur prés (=h 2 ir), en diflerentiant le» fonctions ^^ et ^| par rapport à t; : on pose, par définition,
^, (w, r, «* 2 (" "^ *') «■*"^" *^' sin 2» (w + «) v,
X« (t/, t?, t) = 2 (^ ■*■ ") «"'"*'"^*'^'cos2t (n + w) r,
et Ton a par conséquent aussi des formules correspondant aux formules (3) et (6)
X« (Uy t?, = :- ^ (^' -*- v) c ' sin 2frîrw.
37. Expressions particulières des fonctions précédentes. Nous aurons à considérer ces fonctions dans le cas particulier où ti et t; varient entre zéro et un et où / est plus grand que tin. Moyennant ces restrictions, les formules précédentes pourront se condenser, en désignant en général par 6 (u, v, t) une fonction continue et limitée de u, v, /, sous les formes suivantes :
^i(M,t?, 0— cos(2T«t?)c— •^'-^cos[23r(l-ti)r]c-<*-"i*''^'-^6(i/,r,0c~'', ^, L, r, -] « l/7[r ''•^' -+- cos(2Tti) «ni-r).,, ^ ^^^^ ^^ ^j ^-r»-^
.^, I M, u, - j =/ l/r[ye"*'^' — (1 — y) cos (ini) «"<*-"'*'•' -h 9>, v, /) e'^'J,
X« ( w, V, -1 =» / l/r[(l — v) sin (iTa)e ^*-'"*^' -+- 9(1/, i?, I) e-'^'] .
Les forniules (9) correspondent aux formules (1) et (3), les formules (iO) à (4) et (6), les formules (M ) et (12) à (7) et (8). On les obtient en isolant les termes relatifs à » s» et n==a — 1 ou bien à A: =» et A: » — 1 . H est à remarquer que 9 (u, t;, t) représente une fonction différente dans chacune de ces formules, mais c'est toujours une fonction limitée de ti, v^ L
§ 2. Étude des fondions A («, w, v) et B {s, w, u).
38. Définitions de A(«,u,t;) et B(s,UfV). Soient « une variable imaginaire, u et t; des paramètres réels. Nous n*imposerons d'abord aucune condition à v, mais nous supposerons que u est compris entre zéro et un (limites exclues). Cette restriction faite, nous posons, par définition, pour cR («) > 1,
^cos2T(/i-t-u)i; ^ ^ ^sin2T(n-«-»)t;*
Ces séries sont absolument et uniformément convergentes pour ^ («) > 1, mais les fonctions existent pour toutes les valeurs de s, comme nous le montrerons tout à Theure.
Le cas où t; est entier se résout immédiatement et nous
pouvons iVliminer du paragraphe actuel. En effet, si v est entier, on a
A(,s,ti,i;)=cos2rwi; 5 : • B(s,M,i?)«sin2»-Mi? ^, ; .
et ces fonctions de s se ramènent à la fonction connue B (a, s) de la deuxième partie du Mémoire (n^ t2); elles sont méromorphes et possèdent un pôle unique et simple ««al. Au contraire, si t; est fractionnaire, les deux Tonctions, ainsi qu'on le montrera bientôt, sont des fonctions synectiques de s dans tout le plan.
39. Réduction au cas où 0<t;<l. Nous pouvons nous borner maintenant au cas où t; n'est pas entier et nous allons montrer qu'on peut même se réduire au cas où v est compris dans l'intervalle (0, I). A cet effet, posons
où a est compris entre zéro et un et où l désigne un entier positif ou négatif. On aura, par les formules (13),
( A («, ti, v) = cos aXîTM A («, M, a) — sîn 2A;rM B {s, M, a), (14) \
( B («, Ut v) s= sin 2Xr{i A (s, ti, a) -»- cos SAtii B (s, u, «),
ce qui prouve bien notre assertion, puisque <a < 1.
40. Extension de A (s, u, v) à tout le plan. Nous pouvons maintenant supposer que u et t; sont tous les deux compris dans l'intervalle (0, 1) et nous allons chercher, dans ceue hypothèse, des formules capables de représenter A (s, u, v) dans tout le plan. Par la relation
que nous multiplierons par cos (n -f- u) t;, il vient facilement, en
sommant par rapport à n et en tenant compte de la formule (t) au n® 34,
(15) A(«, II, v) -f- A(5, 1— w,r)«=--— / 'f'i (w, w, *' ^**
Le second membre converge pour toute valeur de s. iMais cette circonstance n*est pas apparente dans la formule précédente.
Pour la mettre en évidence, décomposons rintervalle d*intégration en deux parties (0, t) et (1, oo ) et changeons la variable d*intégration / en 1 : ^ dans le premier de ces deux intervalles. H viendra
(16) A(«,ii,i?)-hA(5,1 —
,1— w,v)=-^y Mw,w,0**-»-^i[w.v,jJ^ My
Maintenant la convergence de Tintégrale pour toute valeur de s est une conséquence immédiate des formules (9). En second lieu, en parlant de la relation
(/i + u)'+' r(lii|-o
que nous multiplierons par (n + u) cos (n + u) t?, il viendra, en sommant par rapport à », eu égard à la formule (7),
(17) A(«,u,«)— A(«,l— tt,u)=— 1— -- / Xf[^,v,t)t' Uî;
puis, en opérant comme dans le premier cas,
^M,r)— A(«,l— w,i?)= — — — / hCi(w.u,0«* -»-X*[w,ï;,-j« * y
Le second membre fournit maintenant^ eu égard aux équations (12), une représentation valable dans tout le plan.
En additionnant membre à membre les équations (16) et (18)^ on aura une représentation de A (s, u, v) valable dans tout te plans s, qui montre (n^ 9) que, u et t; étant supposés donnés et compris entre zéro et un, la fonction A («, u, v) est entière dans tout le plan et vérifie la condition 6. Nous reviendrons sur ce point tout à rheure {n"* 42).
41. Extension de B (s, u, v) à tout le plan. Supposons encore n et V compris dans Tintervalle (0, I) et procédons comme dans le numéro précédent. On trouvera, comme les formules (15) et (16),
B(s,w,i;)~B(s,l— M,r)=« -— / xi(w,»,0*'
Sous cette dernière forme, ueiv n'étant pas entiers, la convergence de Tintégrale pour toute valeur de s résulte immédiatement des formules (10).
En second lieu, on trouvera, comme les formules (17) et (18),
B(«,ii,») -t- B(s,l--w,t?)= / fî (m, i?, * * t'^
-û^J [*.(«.".')'' -^H"'"' ri' 'JT'
et ce second membre fournit, eu égard aux équations (11), une définition du premier membre valable dans tout le plan s.
En additionnant maintenant membre à membre les équations (19) et (20), on obtiendra une définition de B («, ti, t;) valable dans tout le plan. Elle montre que B (js^ u, v) est une fonerion entière de s dans tout le plan qui vérifie la condition 8, mais nous aurons à revenir sur ce point dans un instant (n^ 43).
42. Manière dont A (s, u, v) vérifie la condition O. Nous venons de dire que A (5, !/, v) vérifie la condition pour des valeurs fractionnaires données de ti, v. Mais, comme cette fonction présente un pôle pour t; entier (n'^SS), il est clair qu'elle ne peut pas vérifier uniformément la condition quand v varie dans rintervalle (0, 1). Il est très important d'étudier les propriétés de la fonction dans le voisinage de ces valeurs limites et 1 où elle cesse d*étre entière. Pour faire cette étude, nous nous placerons au point de vue suivant, qui se présentera plus tard (§ 3) :
Nous supposerons que u est une constante donnée, comprise entre zéro et un, tandis que v seul est variable et peut tendre vers les limites et 1 .
Considérons d'abord la formule (16), savoir
La première intégrale, où ^xin^v^t) est donné par la première des formules (9) au u^ 37, est, par le théorème du n^ 9, une fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition 9. En effer, cest u seul, lequel est considéré comme donné et compris entre zéro et un, qui figure dans les^ exposants.
Il n'en est pas de même dans la seconde intégrale. Celle-ci, par la seconde des formules (9), se met sous la forme
t * e-^'^W^+cos^rw / t * e-^'-^^'^Wf-*- / e{u,v,l)t' ^ e'^^dt
Le dernier ternie de celte somme est, par le théorème du n® 9, upe fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition e dans rintervalle (0, 1) de v. Mais il est visible qu'il n*en est pas de même des deux premiers, dans lesquels Texponentielle disparait pour t;=aO ou pour t7= 1. Pour résumer cette discussion dans une formule, désignons par 9(«, r) une fonction qui vérifie uniformément la condition 8 dans Tintervalle (0, 1) de t?; on pourra poser
A («, i#, v) + A («, 1 — w, i?) = ô («, V] (2 ^ ) \ -*- -I- r r "^ lit \e' "*''' + cos 2ir M e- ^'- ">*^'] .
En se servant des formules (12), on peut faire sur la formule (18) une discussion identique à la précédente et Ton trouve
A (s, M, 1?) — A («, \ — ti, i?) == a (s, v) (22) ( -♦. (t — u) sin 2tw — f^t' h'^'-'^*^'dt.
et 0(s,v) désigne, en général, une fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition B dans Tintervalle (0,1) de v.
43. Manière dont B (s, u, v) vérifie ta condition 8. Supposons, comme au numéro précédent, que le paramètre u soit donné entre zéro et un (limites exclues) et que v seul soit variable entre zéro et un. La fonction B («, u, v) ne vérifiera pas uniformément la condition 6 dans cet intervalle (0,1) de t?, mais une discussion semblable à celle du numéro précédent permet d'isoler, dans la représentation de cette fonction, les seuls termes auxquels tient cette difficulté.
En substituant les valeurs (10) dans les équations (19), on trouve, par le raisonnement du numéro précédent,
de même, en substituant les valeurs (11) dans les formules (20), B («, t/, v) 4- B (s, 1 — w, i?) = e (s, v)
r*t «dt [»«-"''■'—(* -«')c«*2TMe-»-"*'''].
On représente, comme au numéro précédent, par 9 (s, v) une fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition 6 dans rintervalle (0, 1) de v, mais cette fonction diffère, à part cela, d'une formule à Fautre.
% 3. Étude des intégrales
f^k (2« — I, M, kx>) dv r' B(2g— l,u,M</<^ J (p -♦- 2qfi? H- rvV * ./ (P -^ 2?^ -^ ''»'')'
44. Dans le paragraphe actuel, nous allons considérer des intégrales formées au moyen des fonctions A et B du paragraphe précédent et d'un trinôme du second degré en t;
p -♦- 271? -4- ri?*,
assujetti aux conditions du n^ 20 : 1" les coefficients p, g, r sont réels et p > 0; 2« le discriminant ^^(^—fr est positif; 3« le trinôme ne s'annule pas dans l'intervalle (0, 1) de «.
45. Théorème. La fonction définie, pour toute valeur de s, par la formule
^^ />' A(2g - i , II, u) -H A (2s -i, i -- u, t?) ^^^ ^ J (p ^ 2qfu -^ rvy
est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie la condition 0.
Démonstration. Remplaçons, sous le signe d'intégration, le numérateur par sa valeur (21) où Ton changera s en is — 1 ; oA»! (s) deviendra
/•• e{8yv)dv T « /•» i^* «-"•^'r'ri/
(p-^^v^rvy "^ / __ l\,/ J (p -*- ^v 4- rv")'
COsSjrti -
Le premier terme vérifie la condition 6 par le théorème du n® 7; le second par celui du n"" 22; le troisième, moyennant le changement de la variable d'intégration v en (I — v), prend la même forme que le second et vérifie la condition 6 pour la même raison {*).
Remarque. Si les coedicients p, q et r sont variables entre des limites finies sans cesser de vérifier les conditions du numéro précédent, la fonction fÂ>i (s) vérifiera uniformément la condition e, pourvu que le trinôme (p -h Sgt; + ri;') ne puisse pas tendre vers zéro, p,^, r variant dans les conditions indiquées et v dans rintervalle (0, 1).
Cette conclusion découle immédiatement de la remarque qui termine le n^ 22.
(*) On remarquera que la démonstraiion précédente repose sur la présence du dénominateur r (< — â|> devant le signe d'intégration, dans la formule (25). Si Ton remplaçait dans (X I («) la somme A (:2« ~ 1, u, v) -f- A (S* — I, i — u, v) par la différence de cts deux termes^ l'emploi de la formule (ââ) fournirait une formule analogue à (25), mais le dénominateur r(« — - ] serait remplacé par T [s), le théorème du noM ne s'appliquerait plus et la nouvelle fonction ainsi formée aurait une infinité de pôles. Il résulte aussi de là que le quotient de cette nouvelle fonction par F ( « — - 1 vérifierait la condition 0.
46. Théorémï. La fonction définie , pour toute valeur de s, par la formule
J (p -♦- âçv -♦- rr*/
e&t une fonction entière de s qui vérifie la condition (*).
Démonstration. Remplaçons, sous le signe d'infégration, le numérateur B(2«— 1,m, v) — B (2« — 1,1 — u^v) par sa valeur, déduite de la formule (23) où Ton changera s en 2« — t.
La fonction S| {s) se met sous la forme
/ - — ^-^-^ . -f-sinSn/ / dv f -
c/ (p-f-27t?-+-rt'7 / i\e/ «y (p+29»-#-ri-%
Ces deux termes vérifient la condition 0, comme on Ta montré dans la démonstration du théorème précédent.
Remarque. Si les coefficients py q cir sont variables, comme dans la remarque qui termine le numéro précédent, S^i{s) vérifiera aussi uniformément la condition 6.
47. Théorème. Les dérivées partielles par rapport aux paramètres p, q, r des fonctions Jlo| (s) et £B| (s) des deux théorèmes précédents, sont encore des fonctions entières de s qui vérifient la condition 6.
Démonstration. Considérons, par exemple, Texpression (25) de Q^>^ (s) au n° 45. C*est une somme de trois termes, qui satis-
(*) Si Ton remplaçait dans l'expression de ^i («) la diflférence h(^-~i,u,v) — B (2« — i, i — u, v) par une somme, le théorème ne s'appliquerait plus et la fonction aurait une infinité de pôles (voir la note précédente). Nais le quotient de cette fonction
par r 1* — ô) vérifierait de nouveau la condition 0.
font séparément à Ténoncé du théorème : on le voit directement pour le premier; pour les deux autres, on le eonclut de la remarque II qui complète le théorème du n® 22. j
Remarque. Si les coefficients p^q^r sont variables comme dans la remarque du n^ 4Ky les dérivées partielles dont il est question dans le théorème vérifieront aussi uniformément la condition e. C*est encore une conséquence de la remarque du n^ 22 à laquelle nous venons de renvoyer.
48. Théorème. Soient y un nombre positif donnée Oet < 1, et k un entier positif variable qui peut croître indéfiniment; la fonction définie par la formule
cHo. (s) = / dv
(i — rO
est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie uniformément la condition B, k étant considéré comme variable.
Démonstration. Soit >. le plus grand entier contenu dans kv; posons, comme au n^ 39,
kv •= A -4- a,
il viendra, par la formule (14) de ce numéro,
JU* [s] = Ç
A(2« — -l.t/ja) -♦- A(2fi — i,4— M,a) ,
C08 SAtii —5 1-1-4 ^ ' — ^^
(i — rv'r
B(2« — 1,tt,a) — B(2£-- «, i--ll,a)
(1 — rv?
sin SAtm : dv.
OU, par décomposition de Tintervalle (0, 1) d*intégration,
Jt^ (s) B= > COS 2A3rtt / ^^ ^^^
dv
*-* ^^* B(2«— l,ti,a)-^ B(2«— 1,1~M,«)
tva
dv.
Prenons, dans chaque intervalle partiel (| » ^x^), « comme variable d*intëgration au lieu de t;. Il viendra
,fs)«= - \ ces SAtU / — ^ ^ ^ ^/ ^-^1;^ î— c/a
[<-mT
— 72 Slll 2AîrW / — : -^ 1— — 1 — : rfa,
Si Ton considère le trinôme du second degré en a
p -♦- 2ça -f- ra\
dont les coefficients p, q, r varient avec X et k, on reconnaît bien facilement que Ton se trouve dans les conditions où s*appliquent les remarques des n^' 45 et 46. Donc chacune des 2A: intégrales qui figurent dans la dernière expression de <A>ifc(«) vérifie t/nt/brmément la condition 0, /: et X étant considérés comme variables et oKdi (s), qui est égal au quotient par k de la somme de ces 2A: intégrales, vérifie aussi uniformément la condition 6, k étant considéré comme variable.
49. Théorème. Les lettres y et k ayant le même sens que dans le théorème précédent, la fonction
Si, {s) ^J
* B (!2« - i, w, kx) — B (2s — i, i — t/, Ar ) ,
■ cr V
(i — yv'i'
est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie unifor^ mément la condition S, k étant considéré comme variable.
Démonstration. Ce théorème se démontre comme le précédent. On désigne par > le plus grand entier contenu dans kv, et
en posant Art?-»^ + a, on trouve, par la formule (14) du n'^SO,
^4 (s) s=s / sm tXTTU -: r f*v
\k (s) == / sii
(1 — rt»').
coszÀTti ; dv
(i — rvy
et Ton poursuit comme dans le cas précédent.
50. Théorème. Les dérivées partielles par rapport au paramètre y des fonctions des deux théorèmes précédents :
oy oy
sont encore des fonctions entières de s dans tout le plan qui vérifient uniformément la condition e, k étant considéré comme variable.
Démonstration. Revenons , par exemple, à Texpression de oHp* («) par la formule (27) au n"^ 48. La dérivée par rapport à y de chaque intégrale qui y figure, telle que
* A (2s — 4, li, a) H- A (2« — 1, 1 — M, a) ^
av.
h^mj
est encore une fonction qui vérifie uniformément la condition e. Cela résulte du théorème du n^ 47, car si Ton pose
p -♦- 2qoL -♦- ra*,
les dérivées partielles par rapport à 7 se ramènent à une sonuue de dérivées partielles par rapport à p, q, r, multipliées respectivemeut par des facteurs < 1. La démonstration du n^ 48 s'applique donc encore au théorème actuel.
§ 4. Modifications des résultais précédents dans le cas où
51. Dans les deux paragraphes précédents il a été stipulé que il était compris entre zéro et un^ limites exclues. Les théorèmes que nous avons établis cessent d'être vrais pour u = 0. Mais ils peuvent dans ce cas être remplacés par d'autres plus simples que nous aurons aussi à utiliser. Nous allons indiquer comment ranalyse précédente doit être modifiée dans ce cas.
Dans le § 1 de ce chapitre, nous avons du introduire quatre fonctions auxiliaires. Une seule nous suffira pour le but que nous poursuivons dans celui-ci. Si Ton pose tiasO dans les formules (1) et (3) du n® 4, on trouve
(28) tp, (o, y, = i -+- 2 2 e""*^' ces ^2n^v « -^ ^ e-t-+*-^',
résultat qui coïncide avec ceux qui ont été établis dans la deuxième partie du Mémoire n"" 3.
52. La fonction A (s, u, v) du ^ 2 devient illusoire pour u^=iO, un de ses termes devenant infini. Nous lui substituerons, dans le cas actuel, la fonction
^ cos ^nzv
qui est une fonction périodique du paramètre v.
La série précédente n'est absolument convergente que pour cR(«)> 1, mais on trouve, en raisonnant comme au n<^40, une expression valable dans tout le plan.
On a d'abord
e" ""^' cos 2wîry.
Partageons rinlervalle d'inlëgraiion en deux parties (0, i) el (l,oo); puis, dans le premier de ces intervalles, substituons à la somme qui est sous le signe d'intégration son expression donnée par la formule (28) :
et changeons, dans ce même intervalle, la variable d'intégration f en 1 : t; il viendra, en obser\antque «r (|] =2r(§-+-l]^
y = ; -^ — — / (* dt > «-**'^'cos2iiTi?
Cette expression montre (n"" 9) que la fonction est entière et vérifie la condition e lorsque v n*est pas entier. Supposons que V varie dans rinlervalle (0, 1), la fonction ne vérifiera pas uniformément la condition B, mais nous pouvons reproduire une discussion identique à celle du n"* 42 et isoler les deux seuls termes auxquels tient cette diiliculté. Ces termes correspondent aux valeurs n ^a et n=» — 1 dans la dernière intégrale. On peut donc poser ici la formule suivante, qui remplacera la formule (2!) du n» 42 :
(80) \ "*'"" - .(,,i,)<.l-. / r~^dll,—"+t-»-1"1
et 6 (^, c) désigne, dans cette formule, une fonction entière de ê dans tout ie plan, qui vérifie uniformément la condition B duns rintervalle (0, 1) de r.
Nous pouvons passer mrinfcnant aux théorèmes qui remplaceront ceux du § 5.
63. Théorème. Soit (p -h 2qv -4- rv^) ttn trinôme du second degré en v, assujetti aux conditions du r*® 44, fa fonction définie pour «^ (s) > I par la formule
dv ^ cos ^nrv
(p -*- 2çw -♦- rvy ;^, ri'
est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie la condition e. Les dérivées partielles de la fonction par rapport aux paramètres p, q et r jouissent de la même propriété (*).
Démonstration. On remplace la somme fous le signe dlntégralion par sa valeur (29) au numéro précédent et Ton retombe sur les démonstrations des n**' 45 et 47.
Remarque. On voit, comme dans la remarque du n*^ 45, que si les paramètres p, q, r varient entre des limites finies sans cesser de satisfaire aux conditions du i.^ 44, la fonction du théorème vérifiera uhifcrmcment la condition 0. La même conclusion s'applique aux dérivées partielles par rapport àp, 9 et r.
54. Théorème. Soit y un nombre donné > f / < 1 e/ k un entier variable qui peut croître indéfiniment, la fonction définie, pour <!R (s) > 1, par la formule
/* dv ^ f os 2/r«T»
est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie unifor^ wément la condition e, k étant considéré comme variable.
(*) Si Ton remplaçait les cosinus par des sisus dans la fooction du théorème» elle res- 'serait d'être entière, mais, en la divisant par 1^ (* ~ 3 )» *l'c vérifierait de nouveau !a condition 6 (voir la note au n^ 45).
Démonstration. Ce iliéorème remplace eelui du n® 48 et se démontre de la même manière. Soii X le plus grand entier contenu dans kvy on pose kv^=^\-^a et l'on a
^ ces ^knicv ^ cos ^knxa
Si Ton prend a comme variable d'intégration, la fonction du théorème se met sous la forme
En raisonnant sur cette formule comme sur la formule (27) du n® 48« on voit que le théorème actuel est une simple conséquence du précédent et de la remarque qui l'accompagne.
55. Théorèiib. La dérivée partielle par rapport à y de la fonction précédente^ c'est-à-dire la fonctian définie, pour «?ft^ (s) > 1, par la formule
D /** dv ^ cos SArnirt?
est aussi une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie uniformément la condition B, k étant considéré comme variable.
Démonstration. Ce théorème remplace celui du n^ 50 et se démontre de la même manière moyennant la substitution du théorème précédent à celui du n"" 48.
