CHAPITRE IV
Étude de la fonction ^(«, m, v) (*)
§*1. Définition et développement en série de §*(s, u, v)
56. Définition de (j'(s, u, v). Celle fonction est, comme Z (s, u, v), une fonction de la variable imaginaire s et de trois paramètres réels, u, v et y, que nous supposerons tous compris entre et 1 (limites exclues).
Elle est définie, pour S{(s)> 1, par une somme double :
(l). . .Vl(«,w,t;) = 2 2
=1 ^ [(X -4- î/)* — r (iy -+- «?)*]•
où Ton attribue à x toutes les valeurs entières de 1 à oo et où Ton donne à ?/, pour chaque valeur de x, toutes les valeurs entières > et < (oc -i- ti — v). On remarquera que la plus grande valeur de y est x si m > v et x — 1 si w < v. Nous excluons de notre analyse le cas où u^=b v, qui exigerait des considérations spéciales.
57. Réduction de ^(s, u, v) à v^ (s, u, v). Nous désignerons par ^jk(^) u, v), h étant un entier positif, la fonction qui s'obtient en supprimant dans la fonction ^J (s, u, v) tous les termes, en nombre limité, dans lesquels x est < A. On a ainsi
ià ,tl. [(X H- u)' - r (y H- «)«]•
(*) 11 est à remarquer que celte fonction joue un rôle intermédiaire dans notre analyse, aussi notre but n'était nullement d'en faire ici une étude complète. Nous nous bornons strictement à démontrer les résultats qui doi?ent nous servir au chapitre VI. Quelques autres résultats seront indiqués en note et sans démonstration, à titre d'éclaircissement, lorsque nous le jugerons utile.
Los deux fonctions {) et ^4^ ne diffèrent Tune de l'autre que par la suppression d*un nombre limité d'exponentielles qui sont toutes des fonctions syneetiques de s dans tout le plan et qui vérifient la condition B. Donc, au point de vue des singularités ou de la condition 6, Téiude de^ se ramène entièrement à celle
Dans la suite, nous supposerons que Ion ait choisi h assez grand pour que Ton ait (comme au n® 26)
Dans celte hypothèse, la quantité (x -h ti)^ — /(y -*- r)* sera essentiellement positive et non nulle dans tous les termes de Qf^, alors même que u ei v varient dans Tinlervalle (0,1), et cette condition est nécessaire pour que les développements irigonométriques que nous allons effectuer ne donnent lieu à aucune critique.
58. Développement de ^hC^» u, v) en série trigonométrique. Nous désignerons désormais par u une quantité supérieure à v, Je sorte que la limite supérieure dey dans la somme du second membre de Téquation (2) sera x. On peut développer la fonction Qa (^f ^f ^) ^^ série trigonoméirique par rapport à t; dans Tinter- \'A\\e (0,1). Ce di3veloppement sera de la forme
(3). . . y^fs, w, v)= - «0 -+- > (o* cos â/fTi? H- 64 sin ^k^rv).
*=ïi
Le coefficient Qq aura pour valeur
Dans le second membre de cette équation, la somme par rapport à j/ se transforme immédiatement en une seule intégrale îïux limites et (ac -f- 1). La même transformation s^applique
aux coefficients a^ et 6^, de (elle sorte que ces coedicienls se présentent d*abord sous la forme :
] V? /*'^* cos ^kirvdv
59. Développement de §*h(8, 1 — "» 1 — v) en série trigonométrique. Continuons à désigner par u et v les deux paramètres considérés au numéro précédent (u > v) et représentons par u' et v' leurs compléments
On aura, à Tinverse de ce qui avait lieu pour u et v,
de sorte que, si Ton accentue u et v dans la formule (2), la limite supérieure de la somme par rapport à y sera x— H! au second membre de celte formule.
Posons donc le nouveau développement trigonométrique :
valable aussi dans Tintervalle (0, 1) de t;. Les nouveaux coeflicients auront pour valeurs :
[(x-t-uf — yv^'
§ 2. Étude de la fonction Bq -+- aj
60. Transformation de Sq -h ao- En décomposant rinlervaHe d'intégration en deux parties, on tire des formules (4) et (6)
I Se/ y [(x-Hwr-rw?
Changeons la variable d'intégration v :
En(x » (x » (x » (x
M)r dans rintégrale aux limites (0, x -♦- m), u')v >. .. (0, X •+- u'),
w -4- r) » .. (x -H ti, X H
Il viendra
at=.2 f -i— r — 2 i r
dv
dv
l-(x-i-tt')*— y(x-f-M'— »)*]*
Posons
Si (x -^ m)' .4^1 (^ — w)'
Cette fonction est une fonction connue; elle ne diffère de la fonction Zi (a^ «), définie par la formule (5) au u^ 6 de la deuxième partie du Mémoire, que par la suppression des A premiers termes dans chacune des deux sommes. C*est donc une fonction méromorphe; elle n*a qu*un seul pôle «=» 1, qui est simple et dont le résidu est 2 (n® 7 de la deuxième partie). La formule (7) au n"* 7 de la deuxième partie du iMémoire montre, par Tapplication du théorème du n® 9, que (| (a, s) peut se meure sous la forme
où 6 (s) est une fonction entière qui vérifie la condition 8 (a étant donné entre zéro et un). Donc %\n (u.s) peut aussi se mettre sous la même forme et le produit (s — t) Çia(u, s) est une fonction entière dans tout le plan qui vérifie la condition 8.
Additionnons les formules (7) membre à membre, en remplaçant u! par (1 — u) et en nous reportant à la définition de Za («, u, v) donnée au n* 26; il viendra
-♦-2 / [ZA(s,tt,w-+-i?) — Z/k(5, l — ti, I — u — v)]dv.
Cette formule conduit au théorème suivant :
61. Théorème. La fonction Bq + a'o esi une fonction méromorphe de s qui n'a qu'un seul pôle s= \ et elle peut se mettre sous la forme
s — i\/y {—Vr
où 9 (s) désigne ur^ fonction entière dans tout le plan qui vérifie la condition 6.
Démonstration. Le terme écrit sur la seconde ligne dans le
second membre de Téquation (9) est de la forme 6 (s), en vertu des théorèmes des n** 28 et 7. Il reste donc à démontrer que celui qui est sur la première ligne est de la forme indiquée dans le théorème :
log h »(«).
En vertu des remarques faites au numéro précédent, on peut poser
ç,,(ti,2« — i)«— -j H-e(«).
D'autre pari, en développant suivant les puissances de (s — \ ), on a
/* dv /** dv
On trouve, en muliipliant ces deux équations membre à membre
. r. .. r^ dv \ r^ dv
Multiplions encore par 2 et effectuons Tintégralion au second membre; nous retomberons sur lexpression qu'il s^agissait d obtenir.
62. Remarque sur tes pôles de Bq et Bq. Les fonctions a^ et Oq ont toutes les deux une inûuilé de pôles, mais ces pôles se détruisent en faisant la somme. Pour rétablir, il suffit de considérer la fonction Uq — aj,. Si l'on définit Ç^;^ par rapport à Ça ('2* partie, n" 9; comme nous venons de définir l^i^ par rapport à Z\f on aura, en soustrayant les équations (7),
/** dv
./ ( i — yvj
si Ton remarque que 1^^^^ est une fonction entière qui vérifie la condition 8 (i^ partie, n^ 10) et si Ton se reporte au théorème du n* Z% où Ton doit faire actuellement
fi' rî!l,
on trouve que le second membre de la dernière équation peut se mettre sous la forme
Au second membre^ le premier terme vérifie la condition S ; le second possède tous les pôles « = § — A: où A: = 0, 1,2...; les résidus correspondants se calculent sans aucune peine sous forme finie. Mais, si Ton fait le quotient de (gq — ùq) par F [s — g) > on trouve une fonction entière qui vérifie la condition e. Nous n'insisterons pas sur ces calculs qui ne doivent pas nous servir. On pourrait faire dans les paragraphes suivants des remarques analogues aux précédentes au sujet des expressions (a^ — a[) et (b^ -^ b[), dont il ne sera pas question, mais qui sont voisines de celles que nous allons y étudier.
§ 3. Étude de la fonction a^ + a[
63. Transformation de a„ h- si. Faisons sur les équations (4) et (6) donnant a^ et a^ les mêmes décompositions, puis les mêmes substitutions qu'au n® 60; il viendra
cos 2tir (x -«- tl) l?
/* dv ^ cos 2tir (x -«- tt
cos 2fcT (u -H v)
, /** dv ^ cos "Ikr (x -k- u') V
Xssh
cos ^kr lu -+• v)
,â [(x -4- tt')'— r (x -♦- m'— v)']'
(il)
Posons
, , •rf ces SA» (x •*■ u) V
Cette fonction est connue^ elle ne diffère de la fonction A(2s — i, ti, kv) du chapitre III que par la suppression d'un nombre limité de termes, qui sont des fonctions entières de s dans tout le plan et qui vérifient la condition e.
Les formules (10) donnent alors
1 r' dv
-t-2 / cos2/cT(tt + u)[Z^(«,M,a-i-u) — Z,,{8,\ — ti,i — u — t?)]rfi?.
On déduit de là le théorème suivant :
64. Théorème. La fonction (a^ -+- a^) est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie uniformément la condition 8, k étant considéré comme variable de i à oo .
Démonstration, Considérons le second membre de la formule (11). Le terme écrit sur la première ligne vérifie uniformément la condition 6, car il ne diffère de la fonction Jl»«(«) qui fait Tobjet du théorème du n** 48 que par un nombre limité d*ex pressions du type
** cos 2fcT (x -^ u) i?
- dVj
I /^** cos 2«T (x -*■ 1
