X -H Uf-*J (1 —yvy

qui vérifient uniformément la condition 6 {k n'entrant que dans un cosinus indépendant de s).

Le terme écrit sur la seconde ligne esl, en vertu des théorèmes des n*" 27 et 8, comme précédemment, une fonction qui vérifie uniformément la condition B. Le théorème est donc établi.

65. Théorème. La dérivée partielle de la fonction (a^ •+ a^ par rapport au paramètre y dont elle dépend, est aussi une fonction qui vérifie uniformément la condition e quand l'entier k varie de 1 à 00 .

Démonstration. La dérivée y- (a^ + a[) est la somme de deux fonctions

D /"•* dv

^J 77ir;:;T;[AA(2«--1,w,*r) + A,(2«--i,i-M,/cv)]

cosSAtt (u -*-r) — [Za(«, u, ti -♦- v) — Za («, i — u, i — u — v)]dv,

qui vérifient toutes les deux le théorème actuel, la première par le théorème du n® 50, la seconde par celui du n*^ 51.

66. Le théorème du n^ 64 ne nous suffit pas pour la suite, parce que nous aurons à démontrer qu*une série composée d*un nombre illimité de termes, £(0^^ + al), vérifie aussi la condition 9. Nous arriverons à notre but en nous appuyant sur le théorème qui précède et en procédant par intégrations par parties.

Revenons aux formules (4) où Ton a

àhJ \(x -i- uf — rv*y

Transformons chaque terme de cette somme par deux intégrations par parties consécutives portant sur la ligne trigonométrique. Si Ton a soin de remarquer que kx est un entier, on obtiendra

•+* ces ^kirv dv 2ys x -♦- 1

2r< /*"+* cos â&Tt? dv

s /^«+* cosSACTvdv t)*J Ux h- uY — r r7^

(2A;t)V [(x h- uy — r r7+*

4r*«(*"*"l) Z"'*^* cos2A;»-i;

«•dv.

Les termes du second membre peuvent s'écrire

(2At)« [Dr [(X -♦. uf - r (X -♦- vyyu,

2r « /^ '+* cos 2*TW rfu (14). . . ( "" (2/ct)V [(x^w)* — rr']'^'

[(x^«)f yD«r*

Substituons cette valeur des intégrales dans l'expression (t3) de Ot'y le résultat pourra s'écrire, en précisant par la notation a^ (s) la valeur de Targument s qui entre dans cette fonction,

La même transformation s'applique à a\. On n'a pas de nouveau calcul à faire, si l'on remarque que l'on passe de a* è a\ en changeant x en a; — 1 et u en 2 — ti dans la formule (12). Il suffit donc de faire cette mémo substitution dans (13) et dans (14), où il n'y a pas de dérivation à faire par rapport à u ou à x. Mais le terme tout intégré dans (14) peut alors s'écrire autrement, car

ri. \ 1

ybv [(x -♦- i — M;' — r(x -^ \ — t>)']*J,^i et par conséquent la formule (15) sera remplacée par

— 69 «- On eonelul de là le théorème suivant :