Théorème. La fonction a,, -i- a[ peut se mettre sous la

forme

où 9 (s» k) réfifte uniformément la condition 9 quand l'entier k varie de i àoo .

Démonstration, On voit, par les formules (15) et (16), que la fonch'on 6(«, k) est représentée, à un facteur numérique près qui est 1 : Stc^, par la formule

- [Z* («, ti, v) — Zft («, i - w, I — t')].«i

— 2r« (l -♦- 2r ^] K(« + 1) + cil(« + 1)].

Le tel me de la première ligne ne contient pas k et vérifie la condition 6 par le théorème du n*" 31 ; celui de la seconde ligne vérifie unifoimimint la condition e par les théorèmes des n®^ 6i et 6S, en y joignant celui du h^ 6.

§ 4. Étude de la fonction b^ — h[

68. Transformation de h^ — b^. L'analyse du paragraphe actuel présente la plus grande analogie avec celle du paragraphe précédent. On fait, sur les équations (4) et (6) donnant bj, et b\ aux n"" î!8 et 59, les mêmes décompositions et les mêmes substitutions qu*au n' 60, et Ton trouve, en soustrayant les résultats,

2 / sin2A[3r(M-4-t;^[ZA(5.ti,w-4-r)—ZA(<,l— ti,l— « — t)]r/i?.

Dans celte formule, la roneiion B^ est définie par rapport n B comme Aa par rapport à A ; en d'autres termes, elle ne diffère de la fonction B déPinie par la formule 13 du n"* 38 que par la suppression des termes, en nombre limité, dans lesquels n est < h.

69. Théobéme. La fonction l\ — b^ est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie uniformément la condition 8 quand l'entier k varie cfe 1 à oo .

Démonstration, La démonstration est la même que celle du n® 64. Le terme écrit sur la première ligne dans la formule (17) vérifie uniformément la condition 9 par le théorème du n^49; celui de la seconde ligne, par les théorèmes du n* 27 et du n"* 7.

70. Théorème. La dérivée partielle ^ (b^ — b'^) est aussi une fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition quand k varie de \ à oo (même démonstration qu'au n"^ 65).

71. Nous avons à leproduire ici une transformation analogue à celle du n® 66. Revenons à la troisième des formules (4) au n® S7, qui est

i^J [(X -+- uf — yr*]*

et faisons subir è chaque terme deux intégrations par parties consécutives portant sur la ligne trigonométriquc. On a ainsi

J [(xH ti)»— rtOÎ** ~2foi^ Ll(^-^*')'--r(a:-*-l)7'~" (x-^ti)»J

2y» /""*■• siii Ikxvdv

09) \ ~'^tk7*J [(a;-».M)»y»»]'+«

{Ikrf J [(x+i/)»-r»T+'

Le second membre peut aussi se mettre sous la forme

2A:r L(x -H M)" [(x -H u)' — y (X -^ 1 )7 J y« / ^\ /'•+* sin 2ftîri?dv

"" 2(At)* V "*" ^'^ D^iy [(x-*-u)*-yv7+**

En substituant cette valeur (20) des intégrales dans la formule (18), on trouve

Un calcul analogue s'applique à b[. Pour passer de 6^ à b[y il sutlit de changer x en (x — i) et u en 1 -f- u' = 2 — u dans réquation (18), donc aussi dans (19) et dans Texpression (20). L*équation (21) devra ainsi être remplacée par

72. TuÉonÉME. La fonction b^ — K P^ti' <^ mettre sous la forme

OÙ l'on désigne par 6f (s, k) une fonction entière de s dam tout le plan qui vérifie uniformément la condition S quand k varie de 1 à ce •

Démonstration. En effet, en additionnant les formules (2i) et (22) du numéro précédent, on voit que, à part un facteur numérique indépendant de k, la fonction 0^ («, k) a pour expression

et il suffit d^appliquer les théorèmes des n^ 69 et 70.

§ 5. Étude de ^^ (s, u, v) -4- 9*a (s, ^ — u, 1 — v)

^3. Développement trigonomé trique. Ce développement est immédiatement fourni par les formules (3) et (5) des n^ 88 et 59. Il est de la forme

+ 2 (fr*— W)sin2*«.

Remplaçons a^ + a][ et 6^ — 6^ par leurs expressions fournies par les théorèmes des n""* 67 et 72; posons en abrégé (comme au n"» 62)

enfin, remarquons que Ton a, dans Tintervalle (0, 1) de t;,

1 ^ sin ^kxv i

La formule (23) pourra se mettre sous la forme

^*(<,tt,«)-H §"*(«,! - w,i -vH - (ao H- oj) •+• (2 — ») «t. * (2«, u)

^ (<, k) cos 2&TV ^ 9|(5, k) sin Sitrir

ks»\ "" Asl

On déduit de là le théorème suivant :

74. Théorème. La fonction Ç (s, u, v) -t- ^(s, 1 — u, i — v) peut se mettre sous la forme

-log — -+- ô(«),

OM 6 (s) est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie la condition e (*).

Démonstration. Le théorème sera vrai pour Ç, s'il Test pour Qj^; considérons donc la décomposition (24). La fonction ^(a^ + a'^) peut se mettre sous la forme indiquée dans le théorème (n^ 61). Il faut donc montrer que les autres fonctions qui figurent au second membre de la formule (24) sont de la forme Q(s). Pour 'Çtj, (2j, u)y la chose a déjà été dite au n'^ 62 ; elle la été au n"" 28 pour la fonction suivante. Il reste donc à considérer une des <leux dernières sommes. Montrons, par exemple, que Ton a

^ ô (s, k) cos Sfca-y

2 li <^W-

Pour cela, posons

nssl 1 • ÎS ••• 71

on aura, A étant indépendant de k,

raod Aa, , < (A//i)\ Donc, si Ion pose aussi

(28). . . . liM^^i^'^^f-^»".

(•) Une analyse analogue s'applique à Ci ('» u, v) — G {s, i — w, i — - 1;). On peut montrer que cette fonction possède tous les pôles de F [« — -I, mais que son quotient par r ( « — ^1 yérifie la condition 9. On en conclut facilement que le quotient de [t — i) G {s, K, v) par F [« — ô I ®B^ ^"^^^ "°^ fonction entière qui yérifie la condition 6.

G {s, M, v) par F f « ~ â) *8^ *"*si "°® ionnait ainsi que G {s, u, v) est le quoti

On reconnaît ainsi que (i (s, u, v) est le quotient de deux fonctions du premier genre.

on aura

^ At , cos ikrv ... V? 1 mod B. - mod 2 -^^, < (A/n)" J ^,'

ftsi

fa*l

raod B. < - (A/w)-,

c>8t-à-dire que la fonclion (25) vérifie aussi la eondiiion e.