CHAPITRE V

Étude de la fonction Ç («, 0, v)

75. Définition. La fonction Q(Sf 0, v) est un cas parlieulier plus simple de la fonction Ç{8, ti, v) du chapitre précédent, mais un cas que nous avons formellement exclu, savoir celui où u^aO. Par contre, nous supposerons, comme au chapitre précédent, que V est compris entre et 1 (limites exclues). On a alors, par définition (n® 56),

^ é*! iSl) [a* — r (y -^ vYï

^6. Développement /rigfowowé/r/çMe. Ce développemeni, valable dans rintervalle (0, 1) de t;, sera de la forme

(2)' • • §^(*> v) = - Uo -f- 2 ^* ^08 2/cîrr -i- />» siu 2/rrv,

où les coefficients ont pour valeur (comme dans les formules (6) du n« 59)

-? /"sm S/cTvdi?

^*«=2 2 / 71 Tu

77. Théorème. La fonction Bq est une fonction méromorphe de Sy possédant un pôle unique et simple s=b l et qui peut se mettre sous la forme

ao=— — log -— - — T-«-e(s),

où 6 (s) est une fonction entière qui vérifie la condition e.

Démonstration. En effet, en changeant la variable d^intégration t; en vx dans la formule (3), il vient

Gomme on a, ainsi que nous allons le montrer

la démonstration s'achèvera comme celle du n® 61. Il reste seulement à démontrer la formule (4). Pour cela» écrivons la formule (7) du n® 7 de 1a seconde partie du Mémoire sous la forme suivante, qui suppose seulement ,!R(«) > 1 :

— r e-«'^V rfx

2 2 cos 2*Ta /

Dans cette formule, on peut faire tendre a vers zéro. Or on a

ljmLK«)-^]-2ç(s);

il viendra, par conséquent, à la limite, pour « = 0,

ri)' r(i)/

-*•"« • dx.

Tous ces termes, sauf le premier, sont de la forme 6 (5) et l*on a, par conséquent,

Celle formule est équivalente à la formule (4) qu'il s'agissait d'établir.

78. Théorème. La fonction a^ du n* 76 est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie uniformément la condition B quand k varie de l à co .

En effet, en changeant la variable d'intégration t; en vx dans la seconde des formules (3) on trouve

/' dv •

(1 — rvy .^1

f cos 2fcîtvx

et il suffit d'appliquer le théorème du n^ 54.

79. Théorème. La dérivée partielle j- a^ est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie uniformément la condi* tion 6 quand k varie de \ à 00 (conséquence du n® 55).

80. Transformation de a,,. On peut faire subir à a^ dans le cas actuel une transformation identique à celle que l'on a fait subir à a au n^ 66 et qui est exprimée par l'équation (16). Nous

rencontrons simplement ici le cas particulier où 1 — u est égal à zéro dans cette équation. Si Ton observe que

réquation (16) du n^ 66 sera remplacée par

On déduit de cette formule le théorème suivant :