Théorème. La fonction a,, peut se mettre sous la forme
6 {Sy k)
où 9 (s, k) désigne une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie uniformément la condition 6 quand k varie de l à oo ,
Démonstration. En effet, en négligeant un facteur numérique indépendant de k, la fonction 9 {s, k) a pour expression, eu égard à la formule (5) du numéro précédent,
Le premier terme est indépendant de A: et il vérifie la condition B, parce que s^(2s -h l) vérifie cette condition, en vertu de la formule (4) au n® 77, où Ton changera s en s -i- i. Le second terme vérifie uniformément la condition 6 par les théorèmes des no- 78 et 79.
82. Théorème. La fonction Ç (s, 0, v) -+- g* (s, 0, 1 — v) peut se mettre sous la forme
-log —■♦-e(.ç)
où (s) est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie la condition (*).
Démonstration. On tire de la formule (2) du n® 76
Q{8y 0, v) ^ Ç{8y 0, i — V) — Oo -4- 2 2 «» COS îfcir».
hal
II vient alors par les théorèmes des n®* 77 et 81
g {s, 0, v) -^ g(^ 0, i -t;)== — î- -;i:z log^î-^î^ -*- • W
^ ^ e («, A) cos ^kirv
kml f^
et la démonstration s*achève comme au n^ 74.
83. Remarque. On peut faire sur 6^^ une étude analogue à celle que nous avons faite de a^. Cette étude nous étant inutile» nous ne la ferons pas et nous nous contenterons d'indiquer le résultat auquel elle conduirait. On trouverait que i^ est une fonction méromorphe de s qui possède tous les pôles de r (« — ij. Mais si l'on fait le quotient de 6* par F (« — 5), le quotient est une fonction entière dans tout le plan et vérifie la condition (**).
n Une analyse analogue s'applique à G {», 0, v) ^ G [s, 0, i — v). Cette fonction
possède tous les pôles de F ( ' — û )* ^^^^ ^° quotient par F 1 « — -| est une fonction
entière qui vérifie la condition 0. On reconnaît ainsi que (« — i) G (», 0, v) i F | « — r j
est aussi une fonction qui vérifie la condition et que, par conséquent, Ç [s, 0, v) est le quotient de deux fonctions du premier genre.
(*') Cela résulte de l'application de la remarque ajoutée en note au n« 53.
