CHAPITRE IIL
LA FONCTION (J (s) n'a PAS DE RACINES DE LA FORME p «= 1 4- 6f.
§ 1, — Propriétés générales des développements
de la forme L + P.
36. Nous allons nous occuper pour le moment des propriétés remarquables de certains développements, propriétés qui vont jouer un rôle essentiel dans la suite du chapitre.
Désignons par f (y) une fonction simple d'une variable réelle y représentable, pour toute valeur de y supérieure à l'unité, par un développement de la forme
où L est une quantité qui tend vers une limite finie A quand y
tend vers Tinfini, tandis que P est une série périodique de la forme
P == 2 [^- CCS (ajy) -H b„ sin (ajy)] .
Quand P renferme une infinité de termes, on suppose, en outre, que les séries
sont absolument convergentes et que les coefficients a^ ne tendent pas vers zéro quand n tend vers Tinfini.
Cela posé, nous disons que L est la partie convergente du développement, tandis que P en est la partie périodique.
Lorsqu'une fonction f (y) admettra un développement de celte nature, nous dirons que 9(1/) est une fonction de la forme 1^ ■+- P, et nous écrirons
Dans cette relation, les lettres L et P seront uniquement relatives à la nature des développements et aucunement aux valeurs particulières de la partie convergente et de chacun des termes de la partie périodique. C*est ainsi que nous écrirons simultanément
sans exprimer ainsi que f(y) et {^(y) soient identiques, mais en désignant par là seulement que f (y) et ^ (y) admettent des développements de même nature. Cette convention ne donnera lieu à aucune obscurité.
36. Théorème I. — Si ç> (y) = L h- P et si (3 est un nombre quelconque^ on aura encore les deux relations
f iy) sin (P'y) = L "h p, f (jy) cos (ply) = L -+. P.
Démonstration. La démonstration étant la même dans les deux
cas, nous établirons la première relation seulement. Posons Féquation (où tout est déterminé)
f (.V) = (A -4- f ) -♦- 2 («« cos ajy -^ 6„ sin ajy).
Il peut se présenter deux eas :
1^ S'il n*y a pas de terme en cos |3/j/ dans la série, on aura
f {y)cos ply = s cos ply
-f- A cos p/y -+- 2 («« cos ajy -4- 6„ sin ajy) cos ply .
Mais à cause des décompositions :
2 cos oijy cos p/y = cos («„ -+- p) /y -+- cos (a„ — p)/y , "2 sin a„/y cos ply = sin (a„ -♦ p) ly -+- sin (a„ — p)ly ,
la quantité entre crochels est encore une expression de la forme P. Le premier terme e cos j3/y, tendant vers zéro quand y tend vers rinfini, est de la forme L. Par conséquent, le théorème est démontré.
2^ Si le cosinus cos |3/y figure dans la série» celle-ci contiendra, après la multiplication par ce cosinus, un seul terme, par exemple
6,cos*p/y = -^(l-4-cos2l3/y),
renfermant le carré d'une ligne trigonométrique. En isolant ce terme, on pourra écrire
y (y) cos p/y= f y -4- f cos ply
-^ cos 2p/y -*- 2' (a„ cos ajy -*- 6„ sin ajy) cos ply ,
et cette expression est encore de la forme L + P.
On remarquera que le nouveau terme convergent a pour valeur
L = H e ces ply.
Nous aurons besoin de ce résultat tout à Theure. 37. Théorème II. — Si ?(y)= L + P, on a aussi
Démonstration. En remplaçant les lignes trigonométriques par des exponentielles imaginaires, on peut mettre <p(2^) sous la forme
La série Sa est absolument convergente par hypothèse; la série ^ay^* lest donc uniformément. Par suite, l'intégration terme à terme ne peut soulever aucune critique, et il vient, C désignant la constante dlnlégration,
Au second membre, le premier terme tend visiblement vers A quand y tend vers Tinfini; d*autre part, la nouvelle série est de même nature que Fancienne. Le théorème est donc démontré.
