CHAPITRE VI

Etude de la fonction Q (s, c)

§ 1. Définition de Q(8yC)

84. Première définition de Q (s, c). La définition de celle fonciion se fail par l'intermédiaire d'une forme quadratique du déterminant positif D et de la classe c. Pour cela, on choisît dans la classe c, supposée proprement primitive, une forme

f=s ax* -I- 26xy -♦- cy',

où a> (il y a une inflnité de formes dans ce cas) el Ton pose, pour 5\(«)>1,

(ox* -♦- 26xy -4- cy^Y

La somme double ne s'étend pas ici, comme dans le cas des déterminants négatifs (voir ^^ partie, n^ 10), à toutes les valeurs positives et négatives de x eiy qui rendent /'impaire et première à D, elle s'étend seulement à celles de ces valeurs qui vérifient, en outre, les deux conditions

(2) y>0, (axH. 6y)>-y,

où (T,U) sont les plus petites solutions positives de l'équation de Pell: T* — DU«=1.

86. Remarque I, La forme (ax* -+- 2 bxy -f- cy*) ne prendra que des valeurs positives et non nulles dans l'équation (1). C'est la conséquence de Thypothése a > et des conditions (2). Pour Je montrer, écrivons f comme il suit :

(3). . . ox' -♦- 26xy -*- cy' -» - [(ax -^ by)* — Dy*] ;

la quantité entre crochets sera positive, car on aura par (2)

86. Remarque II. Il ny a pas d*ambiguïté sur la valeur qu*il faut attribuer à chacun des termes de la formule (1). Pour « réel, on attribuera à chaque terme sa valeur réelle; pour s imaginaire, les valeurs qui se déduisent des précédentes par voie de continuité.

87. Remarque III. Sauf la restriction a > 0, la dé6nition de Q(s,c) ne dépend nullement du choix de la forme /'dans la classe c.

Nous allons mettre Q («, c) sous une forme différente dans laquelle cette propriété sera évidente. D*abord, en mettant en évidence les facteurs communs de xeiy^ Q (s, c) se décompose en un produit de deux facteurs

Dans le premier facteur, n prend toutes les valeurs entières de 1 à 00 qui sont premières à 2D; dans le second, x' et y' sont assujettis aux mêmes conditions que x et y, mais sont en outre premiers entre eux.

Or Dirichlet a montré que Ton a

.fj, (oa'* -♦- 26xy ^ cy'V i!m''

où fx est le nombre des facteurs premiers différents de m, et où m désigne successivement tous les nombres positifs, premiers à 2D et représentables par la forme /*, et, par suite, par toutes les formes de la classe c (Voir Diriculbt-Deoexind, Zahlentheorie^ 4' édition, § 88). Notre remarque est donc justifiée.

88. Choix particulier de la forme f. En vertu de la remarque qui précède^ nous pouvons choisir la forme fde manière à simplifier les raisonnements. Ce choix sera analogue à celui que nous avons fait dans le cas des déterminants négatifs (3* partie, n® 8), sans cependant lui correspondre exactement.

Nous commencerons par nous donner le troisième coefficient c positif et premier à 2D, ce qui est toujours possible. Ensuite on peut faire en sorte que b soit > 0, divisible par D et, en outre, pair ou impair en même temps que D, de telle façon que

soit positif (comme on Ta stipulé plus haut) et, en outre, pair et divisible par D. En effet, si b ne vérifiait pas ces conditions, par une substitution

où ^ est une inconnue à déterminer, on remplacerait la forme (a, 6, c) par une autre équivalente (a', 6', c) et 6' serait déterminé par la congruence

6' = 6 -4- Ac s (mod D),

à laquelle on ajouterait, en toute hypothèse, la condition 6'>0 et, dans Thypothèse seulement de D impair, la condition 6'=1 (mod 2).

La forme/*étant ainsi choisie, il suffit pour que ax^-^-^bxH'^cy'^ soit premier à 2D que y soit premier à 2D, tandis que x n*est plus astreint à aucune restriction.

§ 2. Réduction de Q (s, c) d § (s, u, v)

89. La forme (aac* -4- 26x1/ h- c</*) étant choisie comme nous venons de le dire, la fonction Q («, c) sera définie par la formule (1), dans laquelle on donne à y toutes les valeurs premières

à 2D et à X toutes les valeurs entières quelconques qui vérifient les conditions (2), savoir

(2) .y>0, (ax + ty)>-y.

Dans ces conditions, la fonction Q (s, c) se ramène à une somme de fonctions Ç(s,ti,t;) en nombre limité dans lesquels y a une valeur constante DU' : T'. Cette décomposition correspond, comme nous allons le montrer, au partage en plusieurs groupes des valeurs de x et y À substituer dans f,

90. Transformation de f par les substitutions (S) et (S'). Si Ton fait la substitution

j X = a -♦- 26Dx', on réduit fh

Désignons par E (x) le plus grand entier contenu dans x et posons, en abrégé,

, o« -♦- 6ô ^ aa -H 63 , 6

(4. . • tt' « 77—— E r— £-. t7'=sJl-;

^ ^ 2a6D 2a6D 2aD

la forme f s'écrira plus simplement

/•=. ioà'D' [(«' * X' . y .- E e^)'- ^^ K ^ y')'] .

Si Ton fait mainlenanl une seconde substitution

et si Ton pose en abrégé

m' -va' v' + 6' DU*

on réduit simplement fk

91. Conditions auxquelles sont soumises lesnouvelles variables. Nous allons montrer qu'on peut engendrer toutes les valeurs de â? et iy à substituer dans f, en attribuant à (a, (3, a', (3') et par suite à (u, v) certains systèmes de valeurs, en nombre limité, pour chacun desquels x" et y" prendront aussi des systèmes de valeurs qu'il s*agit de définir.

Toutes les valeurs entières de x et toutes les valeurs premières à 2D de 2/ sont fournies par le système (S) en donnant :

à a les 26D valeurs entières >0 et < 26D,

à P les a<p (2D) valeurs > 0, < 2aD et premières à 2D;

ensuite, pour chaque système (a, (3), à x' et y' toutes les valeurs entières possibles.

Mais, d'autre part, toutes les valeurs entières de x' et y' sont fournies par le système (S'), en donnant :

à a' les T valeurs 0, 1, 2,... T— 1,

à p' les bV valeurs 0, 1, 2,... 6U— 1 ;

ensuite à x'\ y" toutes les valeurs entières possibles.

Pour obtenir toutes les valeurs de x et dey k substituer dans /", nous avons donc simplement à chercher, pour chaque système de (a, P, a', (3'), les valeurs entières x" et i/" qui vérifient les conditions (2) transformées par les substitutions (S) et (S').

La substitution (S) dans les conditions (2) donne

aa -I- 63 T

puis la substitution (S')

(7) y">0, M-vx">v+.y".

On voit ainsi que, pour chaque système de valeurs de

(a, (3, a', (3'), donc de (u, v), les nouvelles variables x" el 9" sont assujetties aux mêmes conditions que dans la somme double qui sert à déGnir ^ (n® ÎJ6).

Les quantités ti et v sont comprises entre zéro et un, car, eu égard aux systèmes de valeurs de a et de ^^ ces équations (4) donnent immédiatement

puis, par les équations (5), on obtient les inégalités

On voit que les deux limites (0, 1) sont exclues pour t; et la limite 1 seule pour ti. Quant à la quantité 7, elle est indépendante de u et de v, elle est > et < 1 .

92. Réduction de Q (s, c) à ^ (s, u, v). Remplaçons, dans la formule (1), /"par sa valeur (6) et la sommation par rapport à (x,j/) par des sommations par rapport à {x^^y") et à (a, (3,a', (3') ou (n, v). On aura, eu égard aux conclusions du numéro précédent,

(9). .... Q(^>^)- (4^yp,T^), 2g(^>^>^)'

Le nombre des termes de cette somme, ou le nombre des

systèmes de valeurs de (ti,v), est égal au nombre des systèmes

de valeurs de (a, (3, a\ Ç>'). Ces valeurs ont été énumérées au

numéro précédent ; le nombre de systèmes qu'on peut former

avec elles sera

2a6«TUDf (2D).

S 3. Remarques sur les systèmes de valeurs de (u, v) (*)

93. A deux systèmes de valeurs de (a, P,a' ^') non identiques correspondent deux systèmes de valeurs de (u, v) non identiques.

{*) On ne perdra pas de vue que toutes les lettres qui interviennent dans ce paragraphe représentent des quantités positives et, de plus, sauf (n, v, u\ v'), des nombres entiers.

Monlrons, en effet» que (u, v) ne peuvent reprendre les mêmes valeurs que si (a, {3, (x\ ^') reprennent aussi les mêmes valeurs.

D*abord, les deux expressions (!i) au n^ 90

où (ti'yV') sont des fractions proprement dites et (a\^') des entiers, ne peuvent reprendre les mêmes valeurs que si (a', P') d*une part et (u'y v') de l*autre reprennent les mêmes valeurs, fin second lieu, les expressions (4)

(4). . . ..'--P., u'^^-eI'JL:^)

ne peuvent reprendre les mêmes valeurs que si P d*abord reprend la même valeur, et par conséquent aussi, puisque g^ est une fraction proprement dite, que si a reprend la même valeur.