On tie peut avoir non plus v b
En effet, dans ce cas, la relation (5) montre que i(v' -f-P')clonc Sv'-a^ serait entier; ce qui ne peut être, P étant premier avec D. Donc, etc.
96. Si u fiest pas nul, au système (u, v) correspond le système non identique (1 — u, 1 — v).
En effet, si a est différent de zéro, changeons (a, P) en (26D — a, 2aD — P) et, si a est nul, changeons seulement (3 en 2aD — (3; les quantités (u\ v') données par les formules (4) au n® 93 seront changées en (1 — u', 1 — v'). Si donc on change encore (a',(3') en (T — a' — i,6U— (3'— î), les quantités (ti,©) données par les formules (5) seront changées en (1 — u, 1 — v). Or nous avons remplacé de la sorte (a, P, a', ^') par un autre système de valeurs qu*on doit attribuer à ces quantités; de plus, les deux systèmes (u,v) et (1 — «, i — v) sont différents en vertu de la remarq«ie précédente. Donc, etc.
97. 5t u est égal à zéro, au système (0, v) correspond le système non identique (0, i — v).
Si M *= 0, la relation (5) donne m' = et a' «=» 0. Changeons (a, P) en (26D — a, 2aD — (3) dans les relations (4) ; 11' restera nul et v' sera changé en 1 — v'. Donc, si Ton conserve a' = 0, mais change encore (3' en (6U — P' — i) dans les formules (5), u restera nul et t; se changera en 1 — v. Or nous avons remplacé ainsi le système (a, 6, 0, P') par le système (26D — a, 2aD — (3, 0, 6U — /3' — 1 ), qui se présente également. Donc, etc.
98. La valeur u^^O se présetitera si D est pair et ne se présentera pas si D est impair.
Faisons observer d*abord que Féquation 6* — acea D, où a et 6 sont divisibles par D, c premier à 2D et 6 de même parité que D, peut s'écrire
el, sous cette forme, elle met en évidence que D et (^^ sont de parité différente et que (^^ et (^^ sont premiers entre eux.
Revenons-en maintenant à notre remarque. Si u^=0, on doit avoir ti'=0. Cherchons donc les valeurs de («,(3) pour lesquelles on aura u'«=0. Il faut et il suffit pour cela (voir Téquaiion i) que °^p - , qui est > et < 2, soit entier, c'est-à-dire que Ton ait
Mettons cette équation sous la forme
fe)'-(5)^— (bICû)-
Puisque T^) et f-^ sont premiers entre eux, il faut poser, pour vérifier cette éqtiation par des valeurs entières de a et de P,
et chercher les solutions entières de
Si D est pair, (^5) est impair, puisque D et (^) sont de parité différente, et toutes les solutions (or, y) positives et premières entre elles de cette équation donnent des voleurs de a et de p qui se présentent dans la question.
Si D est impair, (^ est pair et, les valeurs de j3 étant paires, sont à rejeter comme ne se présentant pas dans la question.
§ 4. Propriétés analytiques de Q (s, c)
99. Transformation de la formule (9). Pour fixer les idées, supposons que D soit pair et considérons la formule (9), savoir
On peut ranger^ en vertu des remarques du paragraphe précé-
(lent, les systèmes de valeurs de (t/, t;) par couples, ceux où u n'est pas nul étant
(ii,v), (i— tij— v);
ceux où u est nul étant
En accouplant de même les valeurs de Ç, la fonction Q (s,c) se met sous la forme
la première somme s'étendant à tous les systèmes de valeurs de (u,t;)où ti> v; la seconde aux systèmes (O^v), oùv <| Si Détait impair, les valeurs u«=aO ne se présenteraient pas et il faudrait supprimer la seconde somme.
100. Théorème. La fonction Q (s, c) esl une fonction mèromorphe de s qui na qu'un pôle unique et Simple s^=s \ et qui peut se mettre sous la forme
Q («, c)- i^— ^ log (T -«- u 1/ D) H- « {s),
