CHAPITRE VII

Généralisation des théorèmes de la troisième partie.

Lois asymptotiques

101. Nous pouvons nous borner, dans ce chapitre, à rappeler les résultats de la troisième partie.

On a vu (troisième partie, chap. H, §§ 1 et 2) que Tétude des nombres premiers représentables par une forme quadratique de

Héierminant négatif ( — À) repose sur Inéquation fondamentale

(i). . . L{«,fc) = P(«)n- r-— i ; — 7--.'

où L (Sf k) est une fonction de s liée au caractère k et qui se définit au moyen de la fonction Q (s^ c) par la formule

celte somme s*étendant à toutes les classes q» Cj,... Cj^ proprement primitives.

Ces équations subsistent dans le cas d'un déterminant positif D et se démontrent par un raisonnement identique, mais Q («,c) désigne alors la fonction étudiée au chapitre précédent, qui n*est pas exactement définie comme dans la troisième partie.

Au second membre de (1), P (s) désigne le produit

étendu à tous les nombres premiers p dont D est non-résidu, tandis que le produit II, s'étend à tous les nombres premiers q dont D est résiduquadratique. Enfin c, et c,'* sont les deux classes opposées dans lesquelles q peut se représenter.

102. Toutes les conclusions ultérieures de la troisième partie reposent sur des transformations des équations (1) et (2) et sur les propriétés suivantes des fonctions L (s, k) :

1® La fonction (s — 1) L (s, ko), dans le cas du caractère principal^ et L (s, k), dans le cas d'un autre caractère, sont des fonctions entières du premier genre (troisième partie, n** 20).

2® Si Von représente^ en général, par p (k) les zéros de L (s, k), la série

sera absolument convergente f)Our m > 2 (troisième partie , n«21).

Ces théorèmes subsistent dans le eas d*un déterminant positif, car ils résultent du théorème suivant que nous allons démontrer et qu*il serait très facile d'étendre aux déterminants négatifs :

3" La fonction (s — i) L (s, ko), et les fonctions L (s, k) pour k différent de ko, sont des fonctions entières qui vérifient la condition S. ^

Ce théorème est une conséquence immédiate Ju théorème du n*^ 100 et de la formule (2) ci -dessus, pourvu qu*on se rappelle que la somme A:(c,)-f- A:(cj) -+-. --^-kic^ est nulle, sauf dans le cas du caractère principal.

On sera donc conduit, comme dans la troisième partie, aux lois asymptotiques suivantes :

103. 1^ Si l'on désigne par h le nombre des classes de formes proprement primitives du déterminant D, les expressions

— y. ht y si c est une classe bilatérale^

- 5 hey ^ws le cas contraire,

expressions où les sommes s'étendent aux nombres premiers < y et représentables par la classe c ont pour limite Cunité quand y tend vers l'infini.

2® Les différences correspondantes :

2A2--'y ou hl^^^ly,

tendent vers des limites finies et déterminées quand y tend vers l'infini.

3® Le nombre des nombres premiers < y e^ représentables par la classe c a pour expression asymptotique

i-4-fV i-4-et/

— ou T-»

1h ly h ly

suivant que c est bilatérale ou norif e étant infiniment petit pour y infiniment grand.

4" La série 9 étendue aux nombres premiers q dont D est résidu quadratique rangés par ordre de grandeur^