PRÉLIMINAIRE

Pour démontrer que toute progression Mx+N renferme une infinité de nombres premiers qui sont en même temps d*une forme quadratique donnée, on est amené à considérer des fonctions L (s, kj y) analogues aux fonctions L (s, k) des parties précédentes du Mémoire, mais où Ton combine ensemble les caractères de classes avec les caractères (mod. M).

Une simple généralisation des méthodes antérieures montre que toutes les fonctions {s — 1) L(«, A:, ^) sont entières et du premier genre. Si cette généralisation sufiisait, nous pourrions nous dispenser d*écrire cette partie complémentaire de notre travail. Mais il faut savoir déterminer quelles sont les fonctions L («, A:, y) qui possèdent en réalité un pôle pour « «» 1 . Cette détermination exige des considérations plus nouvelles.

La question peut être tranchée directement par Texamen immédiat des fonctions. G*est la méthode suivie par M. Meyer, qui est longue et pénible. Il vaut mieux profiter des avantages

que donne Temploi des dérivées logarithmiques et rattacher la solution du problème aux résultats établis dans les parties précédentes du Mémoire. Cest ainsi que nous allons procéder. Sous cette forme» la démonstration devient élégante et simple; elle achève de satisfaire aux desiderata de M. P. Bachmann, signalés dans les préliminaires de notre troisième partie.