CHAPITRE I

Analyse des fonctions qui interviennent dans la démonstration

§ 1. Étude de la fonction Jn0(a, /3, s)

1. Choix particulier d'une forme quadratique. La fonction qui va nous occuper se rattache à la considération d*une forme quadratique, proprement primitive, du déterminant D :

f=z ax* -4- 26xy -♦- cy\ que nous représenterons souvent, en abrégé, par

Si D est un déterminant négatif ( — A), cette forme sera supposée être positive et avoir ses trois coefficients positifs. Aucune autre restriction n*est supposée dans le paragraphe actuel.

Si D est positif, il faut des conditions plus particulières. Comme il n'y a pas d'intéréi à réduire ces conditions, nous ferons dès maintenant les hypothèses qui se rencontreront plus lard. Nous supposerons que a, 6 et c sont positifs, que a et 6 sont divisibles par D, que a est pair et que c est premier à 2D. Toute forme proprement primitive est, comme on la montré dans la quatrième partie (n® 88), équivalente à une autre forme qui vérifie ces conditions.

8. Définition de JTL («» P, s). Cette définition se rattache à la considération de la forme fque nous venons de particulariser et à celle d'un nombre entier M que nous supposerons ici pair et divisible par D (au chapitre suivant, il sera de plus divisible par i).

La fonction est définie par la somme double

(<) 'nï(-'P'«)=2^yy.'

OÙ Ton a

Quant aux variables m et n par rapport auxquelles se fait la sommation, elles reçoivent toutes les valeurs entières de — 00 à -f 00 9 si D est négatif; si, au contraire, D est positif, elles reçoivent seulement celles de ces valeurs qui vérifient ep outre les deux conditions :

(2) y^O, ax-^hyy-y,

où (T, U) sont les plus petites solutions positives de Téquation dePell:T« — DU«=1.

3. Théorème. Si D est un déterminant négatif ( — A), /a fonction JTL {cx.y ^, s) est tme fonction méromorphe de s qui n'a que le seul pôle s^=^\ et qui peut se mettre sous la forme

(3) m(«,p,s)= ^7-^T-*-flW,

où 6 (s) désigne une fonction qui vérifia la condition 9 (quatrième partie, n** 1).

La démonstration est toute pareille à celle qui a été faite dans la troisième partie. On posera

la somme double ayant le même sens que dans Téquation (I). Puis» par ab substitulions :

m = t -4- 6m', i t = 0, i,2, ... (6 — i), n^k-^an\ ( *— 0, 1, 2,. .(a — 1),

on décomposera, comme au n* 5 de la troisième partie, F en a6 sommes partielles :

qui ne diffèrent entre elles que par les valeurs de a", P" et vérifient toutes (3* partie, n* 3) une relation de la forme

où 8(/) reste fini quand t tend vers zéro et où K est positif et indépendant de t.

On a donc aussi, par Taddition de ab relations de cette forme, la relation fonctionnelle

TT i 9(t) -l

On a maintenant, pour S{(s) > 1,

{a, p, s) r (8) = /""f («> ^ ^"'dt

Changeons t en i : t dans la seconde intégrale, appliquons la relation fonctionnelle qui précède et effectuons une intégration immédiate ; nous trouverons

m («, p, s) r (8) = — îî— — - -*. f^F («, p, t) r-«rf<

Donc il vient, par Tapplication du théorème du n® (9) de la quatrième partie,

et, si Ton divise par.T (s), le second membre ne change pas de forme, ce qui prouve le théorème.

4. Théorème. Si le déterminant D est positifs si a et ^ sont compris entre et M (limites exclues) et si (3 est premier d D, /à fonction

est une fonction méromorphe de s dans tout le plan^ qui peut se mettre sous la forme

(4). . . . ^\og(T -^\][/b) -«-e(«),

oiê B (s) est une fonction entière qui vérifie la condition B.

On procède exactement comme aux n"" 90, 91 et 92 de la quatrième partie.

Par une première substitution de variables :

(») \ZztZZ'

( n =s ^ -^ an j on met d'abord /'sous la forme

f^ a6»M« \{u' + my - S(^' "*" »')'] »

où Ion a posé, en abrégé,

f , a(a-f-Ma')-4-6(p + Mp') /a(a+Ma')-t.6(|3 ^-M|S'V

1 ô -*. Mo'

-t-Mp'

aM

Cela fait» on peut engendrer toutes les valeurs entières positives et négatives de nt, n, en attribuant à a\ P' les systèmes de valeurs (en nombre ab)

et en donnant» pour chacun d^eux» à m" et n' toutes les valeurs entières positives et négatives.

Faisons une deuxième substitution :

(7) jm" = a".Tx',

la forme /* deviendra

où Ton a posé» en abrégé,

,1' ^ «" v' -f. ô" DU*

\ j j bV V

On peut maintenant engendrer toutes les valeurs entières de m" et n' en attribuant à a", P" les systèmes de valeurs (en nombre 6UT)

et en attribuant encore» pour chacun d'eux» à x' et y' toutes les valeurs entières.

On attribuera donc à x et j^ toutes les valeurs que prennent ces variables dans la somme ^(a, ^^ s), en donnant à a\ ^\ a", P" leurs différents systèmes de valeurs et, pour chacun d'eux, k x' et y' tous les systèmes de valeurs qui vérifient les conditions (2), transformées par les substitutions (5) et (7)» savoir celles qui définissent Ç (4"* partie» n* 56) :

y' 5 0, ti -f- x' > ^- y.

On a, comme dans la quatrième partie, u' ^ et < i , v' > et < 1, donc les mêmes inégalités pour u et v. Il vient ainsi

Changeons a en M — a et P en M — (3 ; nous aurons une nouvelle décomposition correspondant à la précédente. A tout système (u^ v) de la première décomposition où u n*est pas nul, correspond le système (1 — u, 1 — t;) dans la seconde. Celui-ci s*obtient en changeant, dans u et v.

a en M — a

et

p en M — ^,

a en 6 — i — a'

et

p' en a — 1 — p',

ce qui change déjà u' en 1 — t*' et u' en 1 — v'; puis

a" en T — i - a" et p" en 6U — i — p",

ce qui change ti en 1 — u et v en 1 — v.

De même, à tout système (0, v) de la première décomposition, correspond le système (0, 1 — v) dans la seconde. Celui-ci s'obtient en conservant a" = (u' ne peut être nul que si a" =» 0) et en faisant, à part cela, les mêmes substitutions que précédemment.

Par conséquent, la somme

se met sous la forme

Le non)bre des systèmes (u, v), c'est-à-dire des systèmes (a', (3', a", P") est o6*UT; chacun des crochets correspondanis

est de la forme (4* partie, n"^ 74 et 89)

i i 1 ^ l/v 7- -log — =-^»(«)

la somme des crochets devient donc, par cette substitution,

ce qui équivaut à la forme proposée dans Ténoncé du théorème. Il y a à remarquer toutefois que les formules que nous venons d*employer n'ont été établies, dans la quatrième partie, que pour u différent de v. Mais cette condition est réalisée ici, grâce aux hypothèses faites sur les coefficients a, 6, c et sur ^. On déduirait en effet de u «a t;, par les formules (8) :

6U (tl' H- a") « T (v' -♦. p"),

d*où, en remplaçant v! et v' par leurs valeurs (6) et chassant les dénominateurs,

U {fk9L + 6p) s Tp (mod M);

puis, a et 6 ainsi que M étant multiples de D,

Tp = (mod D),

ee qui est impossible, car (3 est premier à D, par hypothèse, et T Test aussi, en vertu de la relation T* — DU' = 1.

6. Théorème. 5t U déterminant D e%t positif et si ^ est compris entre Q etVi et premier à D, la fonction

peut se mettre sous la forme

oà 6 (s) est une fonction entière dans tout le plan qui vérifie la condition B.

On trouve en effet, par les deux substitutions successives de la démonstration précédente et comme dans ce cas,

Comparons à cette première décomposition la décomposition analogue effectuée sur ITt (0, M — P, s). A tout système (u, v) de la première où u n*est pas nul correspond le système (1 — ti, 1 — t;) dans la seconde par le changement de

en

de même, à tout système (0, v) correspond le système (0, i — v) qui s'en déduit par les mêmes changements, sauf qu'on garde a"e=sO dans les deux cas. La démonstration s'achèvera donc comme la précédente.

§ 3. Étude de la fonction Q (s, c, ]^)

6. Première définition de Q (s, c, ^). Soit c une classe proprement primitive de formes (positives) du déterminant D, positif ou négatif. Choisissons, dans cette classe, une forme

/"= (^» y) = ox" -♦- 26ary -+• cy%

soumise aux conditions du n® 1, et désignons, comme dans la deuxième partie du Mémoire, par ^ (n) les caractères de n (mod M), le nombre M étant toujours supposé pair et divisible

par D.

La fonction Q(5^c,^, analogue aux fonctions Q(<, c) des

parties précédentes, sera définie par la somme double

OÙ l'on donne i x, y tous les systèmes de valeurs eniières pour lesquelles la forme f=^{x,y) est première a M. De plus, si D est positif, ees valeurs doivent vérifier les conditions connues :

y>0, ax + 6y>~y.

H résulte de là que QC^^c, /) ne dépend pas du choix de la forme /^dans la classe c.

7. Réduction de la fonction Q à la fonction ^. Désignons, en général, par a, ^ les systèmes de nombres positifs < M, pour lesquels

est premier à M. Tous les systèmes

I X a= « -♦- Mm, j sf-p-HMii,

donneront (x, y) ^ (a, ^) (mod M). Ils rendront donc f premier à M et Ton aura, en outre,

x(«.y)-=xKP);

d'où la décomposition

(II). . . . Q(«,c,x)=2x(«iWm(«,p,»).

On a d'ailleurs

(«, p) s (M — a, M — p) (mod M) (0, f) s (0, M — p) (mod M).

Dans le cas d*un déterminant positif, on pourra donc décomposer Q en sommes de la manière suivante :

11 résulte de là, par les théorèmes des n"" 3, 4 et K : l^ Que si D est un déterminant négatif ( — A), on a

<12). . .Q(«,c,x)«7-^-f;zr2x(«.P)-*-«(«)î 2® Que si D est positif,

(13) Q(.Sc,x)-7^— Vt^^^^C'^-*-^ *^^) 2. 5CK ?) + •(«)>

où la somme £ s*étend à toutes les combinaisons a, P et où 0(«) est une fonction entière dans tout le plan qui vérifie la condidon 6.

On conclut de là le théorème suivant :