Théorème. La fonction

est, dans tous les cas, une fonction entière dans tout le plan s, qui vérifie la condition 0.

9. Remarque. Les caractères (mod M) renferment en particulier les caractères (mod D), puisque D divise M. Si ^ est un caractère bilatéral (mod D) (*), -^ (m) a la même valeur dz l pour tous les nombres premiers à 2D et représenlables par la même forme {**). Si Ton désigne par l le nombre des systèmes (a, P),

{*) Nous appelons caractère bilatéral [ambigu de DmchÏGt,zweiseitig de M. Dedekind) un caractère qui coïncide avec son opposé. Un tel caractère est eiclasivement formé de racines réelles, sa valeur est toujours égale à zt 1 et son carré %* est identique au caractère principal.

{**) Si m et m' sont représentables par la même forme, m* admet une représentation par une forme ayant rn pour premier coefiScient, par exemple

ma;* -*- ^hxy -*- cy* » m! ; d'oti, en multipliant par m,

{mx •+- by)* — Dy* = mm'.

Donc le produit mm' est congru à un carré (mod D).

Par conséquent, si % est bilatéral, X(»nm'; = i et x'ni) ^ x'm')-

on aura donc, dans ce cas particulier,

ou bien

Q(5,c,x)«=t— î-^— ^log(T-f.Ul/D) + a{,),

de sorte que la fonction a toujours un pôle pour « «=» { , si ^ est un cariictère bilatéral (mod D).

Il sera démontré plus loin (n^ 24) qu'elle n*a de pôle que dans ce cas, de sorte que £^ (a, ^) est toujours nulle, sauf si ^ est un caractère bilatéral (nnod D). Un des principaux avantages de la méthode que nous exposons est de nous dispenser d'établir ce résultat directement.

§ 3. Étude de la fonction L(s, k, y)

10. Nous avons raisonné, dans les deux parties précédentes du Mémoire, sur l'identité

où T est égal au nombre des solutions de Téq nation de Pell dans le cas d'un déterminant négatif, et à un dans le cas d'un déterminant positif.

Si Ton remplace au second membre les nombres p"*' et q^*

par x(P*)P"'' ^^ x(9)î~* ^^ ^® restreint aux nombres premiers à M, il faudra remplacer au premier membre, dans chacune des fonctions Q(«, c,) «= Em"*, les termes m~' (qui proviennent tous d'un produit de facteurs p"'* et q'*) par 5^ (m) w*. On obtiendra ainsi l'identité

p i—xip')?-*' « [i-?-z(9)A(f,)][<-?-z(9)*(cr')]

Posons, en abrégé, par analogie avec la fonclion P (<),

(i4) P(«,x) = rn-—

et définissons, pour toute valeur de s^ la fonction \j{Sik^y) par la formule

on aura, pour ûH.(«) > 1,

11. Projnriétés des fonctions L(s, k, y^. Ces fonctions correspondent exactement aux fonctions L (5, k) des parties précédentes.

Leur définition par la formule (15) montre qu'elles ne peuvent avoir que le seul pôle s^^ \ et que, si ce point n'est pas un pôle, les fonctions vérifient la condition 6.

Les seules propriétés que nous utiliserons au chapitre qui suit sont les suivantes :

1^ Dans tous les cas^ la fonction

est une fonction entière dans tout le plan qui vérifie la conditions;

2® La fonction L (s, k, y) ne change pas par la permutation dek en k"*;

3® La fonction L (s, ko,^o)» 9^^ correspond aux deux caractères principaux f a un pôle simple pour s =^ 1 •

La première et la troisième propriétés résultent de la formule (15) et des propriétés de la fonction Q; la seconde résulte de la formule (16) et des relations

A-*(Cf)-MO. *"*{0 = A(<^f).