CHAPITRE II

Infinité des nombres premiers qui sont a la fois d'une forme linéaire

ET d'une forme quadratique

§ i. Bestrictions que comporte la question

12. Restrictions dans le choix de la progression. Dans les parlies prëeédenles du Mémoire, nous avons éliminé systématiquement tout ce qui a rapport à la loi de réciprocité de Legendre, parce que cette loi n'intervenait qu'artificiellement dans la question. Au point où nous en sommes arrivés, il n'en est plus de mémo, mais cette loi ne doit servir d'appui qu'à quelques remarques extrêmement simples.

Nous avons à déterminersila progression arithmétique Mx-f-N peut renfermer des nombres premiers représentables par une forme quadratique du déterminant D. Pour traiter la question sous sa forme la plus générale, nous supposerons que M est un multiple de D et de 4.

Il y a ?(M) progressions différentes de raison M renfermant des nombres premiers, mais la moitié sont à éliminer, de prime abord, comme ne conienani aucun nombre représentable par des formes du déterminant D. En effet, pour qu'un nombre m^ première 2D, soit représcnlabic par une forme du déterminant D, il faut que D soit résidu quadrairique de m. Il est nécessaire pour cela que le symbole de Jacobi (-V soit égale à (-^ I). Cette condition devient même suffisante quand m est un nombre premier. Or, pour tout nombre m, appartenant à une progression déterminée,

m «» Mx + N ^ N (niod D et mod 4j,

on a, par la loi de réciprocité et les propriétés bien connues du symbole de Jacobi,

\Mx -f- N/ \N/

Donc les seules progressions Mx -4- N qui puissent contenir des nombres représentables par des formes du déterminant D, sont celles pour lesquelles

Dans la suite, nous nous bornerons aux seules valeurs de N qui vériOent cette condition, tandis que nous désignerons par N' celles pour lesquelles

iw)'-'-

13. Restrictions dans le choix des classes. Après la restriction précédente, tous les nombres premiers de la forme Mx + N sont aussi représentables par des formes du déterminant D, mais ces représentations ne se font pas par des classes quelconques.

On sait que, quand deux nombres m et m\ premiers à 2D,

sont représentables par la même forme, leur produit mm! est

résidu quadratique de D (*), c'est-à-dire que Ton peut vérifier

la congruence

mm' ^ X* (mod D).

On est convenu, avec Gauss, de dire que deux classes c et c' sont du même genre quand les nombres m et m' qu'elles représentent respectivement vérifient cette condition.

Il résulte de cette définition que les nombres de la progression Mx + N ne peuvent être représentés que par des formes du même genre, car, M étant multiple de D, on a, quels que soient

(Mx + N) (Mx' -4- N) s N* (mod D).

Pour abréger le discours, nous dirons que ces formes sont du genre (N).

La démonstration que nous devons faire se réduit ainsi à établir que toute classe du genre (N) peut représenter une infinité de nombres premiers de la forme Mx -f- N.

{*) Voir la note au n» 9.

14. Remarques. I. Pour tous les nombres m premiers à 2D, représentables par les classes du même genre, les caractères bilatéraux 5^ (m, mod D) ont la même valeur (voir n^ 9).

II. Les classes qui peuvent représenter des nombres congrus à un carré (mod D) sont dites du genre principal. On démontre, dans la théorie des genres, que celles-là sont toujours formées par duplication.

m. Le nombre des genres dépend uniquement des facteurs premiers impairs de D et de la puissance de 2 qui divise D; ce nombre est égal à la moitié du nombre des caractères bilatéraux (mod D).

IV. Si p désigne le nombre des classes fondamentales qui appartiennent à des exposants impairs, le nombre des genres est égal à 2^ (*) et ce nombre est aussi celui des caractères bilatéraux k. Donc le nombre des caractères de classes qui sont bilatéraux est égal à celui des genres.

§ % Aucune fonction L (s, k, y) ne s'annule pour s <» 1

15. Démonstration d'une équation fondamentale. Multiplions réquation (16) du n® 10 par (s — 1), faisons tendre s vers l'unité et passons à la limite; il viendra, en négligeant des termes qui sont nuls,

Le second membre est égal à 0,-1-1 ou — 1, suivant que 5<=1 est un point ordinaire, un pôle ou un zéro (nécessairement simples) de L («, k, y).

16« Transformation de cette équation. Désignons, en général, par 9, n les nombres premiers de la forme linéaire Mx + N et

(*) Voir, sur ce point, la Zahletuheorie de M. P. Bachmann (l^^ partie) ou nos Recherches arithmétiques sur la composition des formes (Mémoires iN-8" de l'àcadéiiie