ROYALE DE BELGIQUE

d'une forme quadratique de la classe c du genre (N). La somme «u premier membre de l'équation (i) ne diffère que par Tordre des termes de la suivante :

(2). . . . 2ré%,)z(N)lim(«l)2'-^l.

dans laquelle « =a 1 ou 2 selon que c est bilatéral ou non, et où la somme S^ ^ s'étend à toutes les combinaisons (c, l\), lesquelles sont en nombre limité. On tire de là, par (I) :

2^%)x{N)lim(5-1)2'-T^l=0,-^l ou -i,

suivant que $=ai est un point ordinaire, un pôle ou un zéro de L(5, Ar, ^). En particulier, s=>l étant un pôle dans le cas des caractères principaux, on a

17. Deux conséquences préliminaires. En supposant s réel et > i, on tire de la comparaison des équations (3) et (4) les conclusions suivantes :

1» Si « = 1 est un pôle de L (s, A, y), la somme S^ i, du premier membre de l'équation (3) est égale à la somme des modules de chacun de ses termes. Donc chaque terme séparément est égal à son module, ce qui exige qu'on ait, pour chaque combinaison (c, N), respectivement :

/c(c)x(N) = 1, sauf si lim («— 1) 2 -^« 0;

2» Si « «=3 1 est un zéro de L (s, k, 5(), cette même somme S^, i, est égale en signe contraire à la somme des modules de chacun de ses termes. Donc la même relation a lieu pour chaque terme séparément, ce qui exige qu'on ait pour chaque combinaison (c, N) respectivement :

A:(c)x(N) = — i, sauf si lim(« — i)5 'Aï = o.

-IS- IS. Lbmhe I. Le groupe des fondions L (s, k, x) du méfne caractère k ne peut présenter en même temps des pôles et des zéros pour 8 = i. En d'autres termes, il est impossible que deux fondions L (s, k, y) formées avec le même caractère k aient l'une un pôle et l'autre un zéro pour s &» 1 .

Si Ton remarque que tous les nombres premiers q^ de la forme Mac -H 1 sont représenlables par des formes du déterminant I> et que Ton a (2« partie, n^ 69)

'it q\ f (M) on doit admettre qu'il existe au moins une classe c pour laquelle

Appliquons successivement les deux conséquences du numéro précédent. 11 viendra, pour cette classe c et pour un caractère x arbitraire (car 5^(1) = 1 quel que soit 5^) :

io) /j;(c) = i, si L(«, A;,x)aun pôle;

20) A; (c) = — 4 , si L (s, k, x) a un zéro,

et ces deux conséquences s'excluent pour un même caractère k^

19. Lemme II. Le groupe des fonctions L (s, k, y) ^^ même caractère y ne peut présenter en même temps des pôles et des zéros pour s = 1.

Désignons par q^ les nombres représentables par la classe principale c^ qui est bilatérale; on a, comme on le sait (3' partie, no 28) :

Donc il existe au moins une forme M x + N pour laquelle

lia.(«l,2^>0.

On aura, pour ce nombre N et pour un caractère k arbitraire (car k {(fi) B» 1 quel que soit k) :

io) ;^ (N) =» 1 , si L («, A, x) a un pôle ;

^•) X (N) = — i , si L («, Ar, x) a un zéro,

et ces lieux conclusions s*excluent pour un même caractère^.

20. Lemme IIL Le groupe des fondions L (s, k, x) ^^ tnéme caractère ^ we peut présenter qu'un seul pôle ou un seul zéro pour s =» 1 et, dans ce cas, la fonction qui s'annule ou qui a un pôle est formée avec un caractère k bilatéral.

Additionnons membre à membre toutes les équations qui se déduisent de Téquation (1) du n^ 15 par la variation du seul caractère k. Il ne subsistera au premier membre que les nombres premiers q^ représentables par la classe principale^ et Ton aura réquation

2Alim(.-l)2x(?eo)'-^^ lim(s-I)8S^^|^.

Le premier membre, où Ton peut supposer s réel et > 1, ne peut surpasser en valeur absolue la somme des modules de ses termes, qui est

2/ilim(s — 0^%=1.

q 9lo

Les zéros et les pôles s'excluant (n® 19), le second membre est égal» au signe près, au nombre des fonctions successives L (Sr k, -/) qui ont un zéro ou un pôle pour s =^ l quand on donne successivement à k toutes ses valeurs. Il ne peut donc y en avoir qu'une seule et, si elle existe, elle correspond à un caractère k bilatéral, sans quoi deux fonctions successives mais égales L («, i, y) et L (s, *"*, y) auraient un zéro ou un pôle pour « — 1.

21. Théorème. Aucune fonction L (s, k, ^) ne «*annti/e pour 8 «» 1 . Celles qui ont un pôle sont formées avec un caractère k

bilatéral et à tout caractère k bilatéral correspondent deux carac^ (ères X et x' ^l deux seulement pour lesquels L (s, k, x) « wn pôle pour s <=a 1 .

Additionnons toutes les équations qui se déduisent de (1) par la variation du seul caractère x- " ^^ subsistera dans la somme du preniier membre que les nombres premiers q^ de la forme Mx -h i et Ton aura

^(M)lim(.- l)2[&(g -*- k{c;^)]^^ Iim(, ^ i)8\^^lJ^.

En vertu du lemme III, L (s^ k, x) n*a de zéro ou de pôle que si A: est bilatéral. Supposons donc que k soit un caractère bilatéral; on aura pour tous les nombres q^ de la forme Mx 4- 1

car c, et e~' sont des classes du genre principal, et par conséquent formées par duplication. Le premier membre de Téquation se réduit donc à

en vertu des conclusions de la seconde partie (n^ 69). Il y a par conséquent, au second membre, puisque les zéros et les pôles s'excluent, deux fonctions seulement L (s, A:, y) et L («, i, /') qui ont un pôle pour s^=^\ et aucune n'a de zéro. Le théorème est donc démontré.

§ 3. Détermination des fonctions L (s^ k, y) qui ont un pôle

22. Théorème. Étant donné un caractère k bilatéral, les deux caractères x ^l X' P^^^ lesquels L(s,k, /) a un pôle sont des caractères bilatéraux (ujod D).

Soit d'abord N un nombre pour lequel [^| = 1. Multiplions l'équation (1) par x(^) et sommons par rapporta tous les caractères bilatéraux (mod D), qui sont tous compris au nombre des

caractères (mod M) puisque D divise M. La somme accentuée,

S'x (gN),

étendue à ces caractères bilatéraux (mod D) sera nulle, sauf pour les nombres q* dont le produit çN est résidu quadratique de D, c*est-à*dire ceux qui sont représentables par les formes du genre (N) (en particulier, tous ceux de la forme Mx -+- N).

Si Ton suppose que k soit bilatéral, le caractère k{c) conserve la même valeur pour toutes les classes du genre (N), que nous désignerons en général par c^, car elles dérivent toutes de la combinaison de Tune d'elles avec des classes du genre principal qui sont formées par duplication.

Il vient donc, en désignant par g le nombre des genres et en général par ^g le nombre des caractères bilatéraux (mod D), qui est égal au double du nombre des genres,

(5). . . .2(2(,)A(01im(5-i)2^4!-S"x(N),

où la somme S" du second membre s*étend aux caractères bilatéraux X (mod D) pour lesquels L («, A:, y) a un pôle et dont il existe au plus deux pour un même k.

Si Ton désigne maintenant par N' un nombre pour lequel 1^1 B3 — 1 et si Ton remplace N par N' dans le calcul que nous venons de faire, le premier membre de Téquation (5) sera remplacé par zéro car le genre (N) n'existe pas, et Ton aura

En vertu de (5), la somme S" renferme au moins un terme, car le premier membre de (5) ne peut être nul; en vertu de (6), il en renferme au moins deux, sans quoi le second membre de (6) ne pourrait être nul.

Si k est bilatéral, il y a donc au moins deux caractères bilatéraux X et x' (mod D) pour lesquels L («, *, x) ^^ ^ (*> *> X) ont un pôle. Il ne peut y en avoir d'autres, même (mod M), en vertu de 21. Donc le théorème est démontré*

23. Théorème. A tout caractère bilatéral / (mod D) corre^^ pond un caractère bilatéral k pour lequel L (s, k, /) a un pôle.

Bornons-nous à la considération des caractères bilatéraux. On sait que le nombre des genres est alors égal au nonibre des caractères de classes et à la moitié des caractères (mod D). Donc le nombre des caractères k est la moitié de celui des caractères X (mod D). A tout caractère k correspondent deux caractères / pour lesquels L (s, A, y) a "" P^'e (n" 22), et à un caractère % ne peut correspondre qu'un seul caractère k (n* 20). Donc la série des fonctions qui ont un pôle épuise la série des caractères A: et x(mod D) qui sont bilatéraux.

24. Corollaire. La fonction Q (s, c, /) a un pôle si / est un caractère bilatéral (mod D) et n'en a un que dans ce cas.

La première partie a été établie au n® 9. Pour prouver la seconde, multiplions par k(cf^ Téquation suivante :

et sommons par rapport aux caractères k; il viendra, en intervertissant Tordre des deux membres,

ehQ(s,c,x) = Sk(cr'l(s,k,x)

et le second membre ne peut avoir de pôles que si / est un caractère bilatéral (mod D), comme on Ta vu au n® 22.

§ 4. Infinité des nombres premiers q.,!,