Théorème III. — Si cp(y) = L -h P, on a

A = liinL = lim- / ^(y)-^.

ysoo y =00 ly^ y

Démonstration, Ecrivons, comme au numéro précédent,

On peut inlcgrcr terme à (erinc comme ci-dessus; donc

Comme a ne peut pas tendre vers zéro par hypothèse (35), la série Yé\ est absolument convergente comme Sa. La somme, au second membre de l'équation précédente, conserve donc toujours une valeur finie. D'auire part, e' tend vers zéro comme s. Il vient donc à la limite

I r dy

v=oo lyj y

ce qu'il fallait démontrer.

39. Théorème IV. — Si cp(y)= L h- P, et si la partie pério dique P renferme un ternie tel que

a„ cos (ajy) -H 6, sin {ajy),

les deux coefficietits seront donnés par les relations

y \ r dy

a„ = 2lim-- / ?(y) ces («,,/y)--»

y=oc lyj y

\ /• dy

6„«=21ini-- / f (y) sin (a,/y) — • y-oo lyj y

Démonstration. Comme on Ta montré dans la démonstration du théorème 1 (2®), cp (y) cos (a^ ly) est une fonction de la forme L + P, dans laquelle L a pour limite ,^ a„. De même (p(y)sin(a„/y) est une fonction de la forme L+ P, dans laquelle L a pour limite ^ 6.. Le théorème actuel se ramène donc au précédent.

40. Théorème V. — Si <p (y) = L -f- P, et si P n*a pas de terme en cas |3ly {ou en sin piy), on aura

^'^mj- rf(y)i!Os(ply]J-=^0, ou Mm j- f f{y)sin{ply) -1 ^0.

y=co lyj y y=<»iyj y

Démonstration, Comme on la montré dans la démonsiralion du ihéorème I (I*), la fonciion cp (y) cos ((3/y) est une foncrion de la forme L -h P, dans laquelle L a pour limiie zéro. La même chose a lieu pour ^[y)m\ (Ç^ly). Le ihéorèmc acluel se ramène donc encore au théorème IIL

41. Théorème VL — *5t la fonction cp (y) peut être représentée par un développement de la forme L h- P, elle ne peut l'être que d'une seule manière.

Démonstration II s^agit d^étahlir que si l'on a

= (A'+O -f- 2.K cos 6c'Jy -♦- 6;; sin ot'Jy),

les parties convergentes et les parties périodiques des deux développements sont identiques terme pour terme. C'est ce qui a lieu par les théorèmes précédents.

D'une part, A >» A' en vertu du théorème III ; d'autre part, les parties périodiques renfermeront les lignes trigonomélriques des mêmes arcs avec les mêmes coeflicients, en vertu des théorèmes IV ei V. C'est là ce qu'exprime l'énoncé du théorème.

42. Remarques, — Les théorèmes précédents vont servir à démontrer que ^ (s) n'a pas de racines de la forme 1 + (3t. On peut déjà prévoir comment ce résultat sera atteinL Nous montrerons que l'hypothèse d'une racine p=il -4-^1 conduit à exprimer une même fonction de deux manières différentes par un développement de la forme L + P. Ce résultat, contredisant les théorèmes précédents, doit faire rejeter l'hypothèse initiale.

Naturellement, l'équation qui va servir de point de départ est

celle du n"* 34. Celle-ci en contient en réalité deux distinctes par la séparation des parties réelles et imaginaires. On obtient de cette manière deux développements de la nature de ceux que nous venons d'étudier, savoir (puisque p, == I -♦- p?) :

VI 'p , . ^ -*- cos ô/v ^