R E CHERCHES

peuvent sans peine se démontrer par-là j mais cliacuu en sentira la vérité au premier aspect.

Nous désignerons dorénavant la congruence de deux nombres par ce signe ^, enj joignant, lorsqu'il sera nécessaire, le module renfermé entre parenthèses^ ainsi — 16=9 (mod. 5), — 7 = i5 ( mod. 1 1 ) (*).

o. Théorème. Soient m nombres entiers successifs a, a+i, a-f-2, ....a-f-m — i et un autre A, un des premiers sera congru auec Ky suii^ant le module m, et il n'y en aura qu'un.

En effet, si est entier, onaura û^^; s'il est fractionnaire,

soit k le nombre entier , immédiatement plus grand ou plus petit , suivant que sera positif ou négatif, en ne faisant point d'attention au signe, A-^-km tombera nécessairement entre ^ et û!+77z 5 ce sera donc le nombre cherché. Or il est évident que les quotiens

ra ' '^ > etc., sont compris entre A:— i et k-\'\ 3 donc un

seul d'entr'eux peut êfre entier.

4« II suit de là que chaque nombre aura un résidu, tant dans la Suite G, \j 2, . . .(/Tz — i), que dans celle-ci o, — i,— '2, . . . — {in — i)-, nous les appellerons résidus 77zz/zz77za; etiJ-^^^st clair qu'à moins que o ne soit résidu, il y eii aura toujours dear l'un positif, l'autre négatif. S'ils sont inégavix, Pun d'eux sera < —•, s'ils sont égaux , cha-

cun d'eux = — sans avoir égard au signe j d'où il suit qu'un nombre

quelconque a un résidu qui ne surpasse pas la moitié du module, etnjue nous appellerons résidu minimum absolu. ■■- "^f.!/

Par exemple —-15 suivant le module 5 , a pour résidu minimum

(*) Nous avons adopté ce signe à cause dçh. grande analogie, gH\ exista entre rggalité et la congruence. C'est pour la .même raison quQ Legendre , dans des Wénioires q ue nous aurons. souvent occasion de citer ^a employé lé signe même de l'égalfté; ^<!>tir' désigner la corlgrUëiïcej~iroùfe eh'flL«'*itVWîf'ré uri autre , 'po^r' prévenir toute 'âmbigôité. ■ '

positif 2, qui est en même temps minimum absolu , et — d pour résidu minimum négatif-, + 5, suivant le module 7, est lui-même son résidu minimum positif-, — 2 est le résidu minimum négatif et en même temps le minimum absolu.

5. Des notions que nous venons d'établir, nous tirerons d'abord les conséquences suivantes :

Les nombres qui sont congrus suiuant un module composé, Is sont également suii^ant un quelconque de ses diviseurs.

Si plusieurs nombres sont congrus à un même suivant le même module , ils seront congrus entre eux ( toujours suii^ant le même

On doit supposer la même identité de module dans ce qui suit. Les nombres congrus ont les mêmes résidus minima; les nombres incongrus les ont dijfférens*

6. Si les nombres A, B, C, etc, a, b, c, etc, sont congrus -^ . a chacun à chacun , c'est-à-dire , 5/ A ^ a, B = b, etc, on aura . . .

A 4- B + C 4- etc. = a + b + c + etc. Si A^a, B^b, on a aussi A — B^a — b, j. Si A^SL, on a aussi kA ^ ka.

Si k est positif, ce n*est qu'un cas particulier de l'article précédent, en posant A - B := C , etc. , a=:b = c , etc.

. Si k est négatif - k sera positif 5 donc — kA^-^ ka, et partant kA '^ ka.

Si ^ = a , B^^b , AB ^ab-, car AB ^Ab^ ha.

8. Si les nombres A , B, C , etc., a, b,c, etc. sont congrus chacun à chacun , les produits ABC , etc., et abc, etc. seront congru;?.

Par l'article précédent, ^.& ^a/^ 5 par la même raison ^^C^tzZ't;, et ainsi de suite.

En prenant tous les nombres A, B, C, etc., égaux entr'eux, ainsi que les correspondans a , b, c , etc. , on déduit ce théorème :

Si A^ a et que k soit entier positif , on aura A* ^ a''.