JiEp', mais on a — bhRp, donc — bBp ou -^ùNp

ï4'2. Sixième cas. Qua7id T-^-i est de /a forme 4n + 3(=b), p de la forme 411+1 et pRb , on ne peut pas ai^olr ±bNp, Septième cas du n° i5i.

Nons omettons la démonstration , qni est semblable à la précédente.

145. Septième cas. Quand T-j-i estdelaforme/\n-\-^{=h), p de la même forme et qu'on a +pNb, ou — pRb , on ne pourra avoir -\-hi^p, ou — bRp. Quatrième cas du n" i3i.

Soit — p^e"" (mod.Z'), et e pair <^b,

I. Quand e n'est pas divisible par p , soit — p=:e^ — bf;fsevâ positif, de la forme /^n-\-i , premier avec p et moindre que b; car de ce que e n'est pas pins grand que b — i, et que;?<C^ — i > il s^ensuitque b/=p-{-e^<:,b^ — b, ou f<ib — i. Or on a — pRf, donc (prop. 10 n° i52) -\-fRp ', d'ailleurs bfRp, donc bRp , ou — bNp,

II. Quand ^ est divisible par /7, soit e=zpg eig^p=^ — i+bh, h sera positif, de la forme 4^i-{-5 , premier k p et <^; or ou a — pRh , donc (prop. i4, n° i52) hRp; d'ailleurs bJiRp, donc ^bRp et --bNp,

144. Huitième cas. Quand T + i esù de la forme /^\\-^Z{=:h)^ p de la forme 4n-i-i, et que -f-pNb, ou — pTvh , on ne pourni avoir ±bRp. Dernier cas du n" i5i,

La démonstration est la même que dans le cas précédent.

145. Dans la démonstration du théorème fondamental , nous avons toujours pris pour e une valeur paire ; on aurait pu également employer une valeur impaire*, mais alors il aurait fallu distinguer différens cas. Ceux qui aiment ces recherches ne perdront pas leur temps, s'ils s'exercent aies développer: il est alors nécessaire de supposer les théorèmes relatifs aux résidus +2 et — 2; mais comme notre démonstration a été achevée sans y avoir recours, nous en tirons une nouvelle manière deles démontrer; elle est d'autant moins à dédaigner , que les méthodes dont nous nous sommes servis pour démontrer que ±2 est résidu de tout jiombre premier de la forme 6«-|-i peuvent ne pas sembler assez

ATlTTIÎMÉTTOUi:s. 107

direcfes. Nous supposerons les anfres cas démontrés parles méthodes exposées précédemment, et que celui où le nombre premier est de la forme 8/z-f-i n'est trouvé que par induction. Nous le démontrerons rigoureusement de la manière suivante.

Si zt2 n'était pas résidu de tous les nombres premiers de k forme 8/z-|-i, soit a le plus petit nombre de cette forme, dont ±2 soit non-résidu, ensorte que le théorème ait lieu pour tous les^ nombres plus petits que a. On prendra un nombre premier <i^, dont a ne soit pas résidu, ce qui est toujours possible, puisque par le n° 129 on en trouvera un <2v/a, et qu'on a 2l/«<î^, car cette condition se réduit à 4< /«, ou «>i6, et le plus petit nombre premier de la forme 8/z-f-i (i excepté) est 17. Soit ce nombre =p , on aura, par le théorème fondamental, pNa^, d'ailleurs dz2Na, donc zkzupRa. Soit donc e^~2p (mod. a), e étant impair et <â^^ alors il j a deux cas à distinguer. T. Quand e n'est pas divisible par p. Soit e'' = 2p-^aqy q sera positif, <rt, non-divisible par/?; il sera de la forme 8/z -{- 7 , ou ^/z-f-5, suivant que p sera de la forme 4«H-i ou 4«4-3. On distribuera tous les facteurs premiers de q en quatre classes, et supposons qu'il y en ait/ de la forme 8/z + i, g de la forme S/z+3, h de la forme ^n-^S , et / de la forme ^n-^r^. Soient F y G, H, L les produits des facteurs de ces quatre classes; on observera que, si les facteurs d'une certaine classe manquaient, il faudrait mettre i à la place de leur produit. Cela posé, commençons par le cas où p est de la forme 4/z+i, et conséquemment q de la forme Sn-j-j, q étant <«, le théorème a lieu pour ses diviseurs de la forme S/z+i, donc 2RF', mais il est démontré que 2 est résidu de tout nombre de la forme 8/z + 7, donc aussi 2RL, Or l'équation e' = 2p-{-aq donne 2pRq et partant 2pRF et 2pRLy donc pRF et pRL-, d'où s'ensuit enfin, en vertu du même théorème fondamental (prop. 9 et II , n° 102), FRp et LRp. Mais 2 est non-résidu de tout facteur de la forme 8/z-^d ou 8zz-|-5, donc il est résidu ou non -résidu de GH , suivant que g-i-h est pair ou impair, et il est aisé de voir que p est aussi résidu ou non-résidu dans les mêmes circonstances; mais^-f-7z ne saurait être impair, car en examinant les diiférens cas, il s'ensuivrait que FGHL ou q serait delà forme 8/z + 3 ou 8zz-j-5, contre l'hypothèse. Ou

io8 RECHERCHES

aura donc pR GH, d'où GH Rp^ et comme nous avons déjà FLRp, il s'ensuit jPG HL Rp ou qRp\ d'ailleurs l'équation e''=.2p-\-acj donne encore aq Rp , donc aRp , contre l'hjpotlièse. Dans le cas où y[7 est de la forme 4^ + 3 et q de la forme 8/z-}-3 , on peut faire voir delà même manière que pRF , et partant FRp, — pRG, donc GRp; enfin, que /z-j-/ est pair, et parconséquent, HL Rp , d'où il suit qRp et aRp , contre l'hypothèse.

II. Quand e est divisible par p, la démonstration peut s'établir d'une manière semblable: nous laissons au lecteur le soin de la trouver.

146. Au mojen du théorème fondamental et des propositions relatives à — i et zt2, on peut toujours déterminer si un nombre donné quelconque est résidu ou non-résidu d'un nombre premier donné. Mais il ne sera pas inutile de reprendre ici ce que nous avons fait voir plus haut , afin de réunir tout ce qui est nécessaire pouf la solution de ce problême-ci :

Etant donnés deux nombres quelconques V et Q , irouuer si Vun d'eux est résidu ou non-résidu de Vautre,

I. Soit Pz=a b c eic. , a, b, c, etc. désignant des nombres premiers inégaux pris positivement -, car il est évident que P doit être toujours regardé comme positif. Pour abréger, dans ce numéro nous appellerons simplement relation de deux nombres x,y, celle qui existe entre ces deux nombres, en tant que le premier x est résidu ou non-résidu du second y, La relation des nombres

et S

Q et P dépend ainsi de la relation des nombres Qet a , Qetb , etc.

(n° io5).

- II. Cherchons la relation des nombres Ç et <2 ; et ce que nous allons dire s'appliquera également aux relations de Ç et ^ , etc.

1°. Quand Q est divisible par a, soit Q:=Qa% Q' n'étant pas divisible par a; alors si ^=a ou >»», on aura QRa , mais si ^<<ût et impair, on aura QNa y enfin si ^<Ca et pair, la relation de Ç à « sera la même que celle de Q à « . Ainsi ce cas est ramené au suivant. ( Vojez n" 102}.

ARITHMETIQUES. 109

2'. Quand Q n'est pas divisible par a, nous ferons encore ici deux sous-divisions:

(A). Quand a=2 , on a toujours QRa si a=i; mais si flt=2, il faut que Q soit de la forme 4^+1^ et quand a = 5 on ^S, Ç doit être de la forme 8/24-1 j si cette condition a lieu,

ou aura QRa . (Vojez n° io3).

(B). Quand a est dijBPérent de 2 , la relation de Q k a est la même que celle de Ç à ^. ( Vojez n" ici).

III. On cherchera de la manière suivante la relation d'un nombre quelconque Q à un nombre premier a impair : quand Q'^a y on substituera à Q son résidu minimum positif suivant le module a, ou, ce qui est quelquefois avantageux, son résidu viinimum absolu , qui aura avec a la même relation que Ç»

Or si l'on résout Qj ou le nombre pris à sa place, en facteurs premiers p, p, p" , etc., auxquels il faut joindre le facteur — i, quand Ç est négatif, il est évident que la relation de Ç à « dépendra de la relation des facteurs p , p' ^ p", etc. à a : ensorte que, si parmi eux il j en a 2,171 non-résidus de a f on aura QRa', mais s'il J en a 2m-\-i , on aura QNa, Au reste, on voit facilement que si parmi les facteurs p, p', p", etc., il j en a un nombre pair d'égaux entre eux, on peut les rejeter, puisqu'ils n'influent en rien sur la relation de Q à. a,

IV. Si — I et 2 sont facteurs de Ç, leur relation à ^ se trouve par les n°* 1 08 , 112, 1 1 3 , 1 1 4, mais la relation des autres nombres à a dépend de la relation de a k ces nombres. (Théorème fondam. et n° i3i). Soit p l'un d'eux; en traitant a et p comme nous avons traité Q et ^, qui étaient des nombres plus grands, on trouvera que la relation de a k p peut être déterminée par les n*^* (108 — ii4)> (^i? par exemple, le résidu minimum de a (tnod.^) n'est divisible par aupUn nombre impair), ou que cette relation dépend de celle de ^ à des nombres premiers plus petits que lui. Il en est de même des autres facteurs p , p% etc. Or on voit facilement qu'en continuant ces opérations, on arrivera né-

no E E CHKRCHES

cessairement à des nombres dont les relations seront déterminées par les numéros précités. Un exemple éclaircira cetle méthode.

Soit proposé de trouver larelation de 4^5 à 12^6; 1256=5.4. io5, et 455i?4 (IL .-3.) (A), 455R5 (IL i.)-, il reste donc à trouver la relation de 455 à io5j or elle sera la. même que celle de 4^ à io5, puisque ^^S^^i (mod.ioS), ou (Théor. fond.) que celle de io5 à 4i j ou encore que celle de — 20 à 4i 7 puisque — 20^ io5 (mod.40j lîiais — 20= — 1.2,2.5-, or — 1R41 (n° io8);5/?4i> car 4i ^i (mod. 5) et est parconséquent résidu de 5 (théor. fond.)j il suit de là que +4^5 R io5, ou enfin +4^5 R i256.

147. Etant proposé un nombre quelconque .^, on peut trouver de certaines formules qui contiennent tous les nombres premiers à ^ dont ^ est résidu , ou tous ceux qui sont diviseurs des nombres de la forme x^ — ^, x^ étant un quarré indéterminé. Nous appellerons simplement ces nombres diuiseurs de a;* — A', l'on voit facilement ce que sont les non-d'wiseurs. Mais pour abréger jBous ne considérerons que les diviseurs qui sont impairs et premiers h,A, les autres cas se ramenant sans peine à celui-là.

Soit d'abord A un nombre premier positif de la forme 4^+1, ou négatif de la forme /\n — i. Suivant le théorème fondamental, tous les nombres premiers qui, pris positivement, sont résidus de A, seront diviseurs de x''—A\ mais tous les nombres premiers nonrésidqs de A seront non-diviseurs de x"" — A y si pourtant on en. excepte 2 , qui est toujours diviseur. Soient r, r\ r\ etc., tous les résidus de A qui sont plus petits que lui, et n, n! , n", etc. , tous les non-résidus-, alors tout nombre pi'emier contenu dans une des formes Ak-^r, Ak^/, Ak-j-r", etc. s.ejra divjseur de x^ — A*, mais tout nombre premier contenu dans une des formes Ak^j-n, Ak-\-ri, etc. sera non-diviseur de x^ — A, k étant un nombre entier indéterminé. Nous appellerons les premièresybr/TZ^^ des dwlseiirs de x^—^A, et les dernières /or/7z^^ des non-diviseurs. Le nombre de chacune d'elles sera égal au nombre de résidus ;-, /, etc* ou de non-résidus n, n', etc., et;4Dartant, (n° 96) =^(^— i}. Or si B est un nombre composé impair et que l'on ait ARB , tous les facteurs premiers de B seront contenus dans une des premières formes, et parconséquent ; B lui-même j donc tQut sombre com"*

AKITHMÉTIQUES. tit

posé impair qni sera contenu dans la forme des fion-diviseurâ sera non-diviseur de x^ — ^f mais on ae peut pas dire que les non-diviseurs de a;'' — A sont tous compris dans la forme desnott-diviseWs, ear en supposant -5 non-diviseur de:i:^ — A, quelques-uns de ses facteurs premiers seront non-diviseurs de jc^ — -^r et si te nombre de ces facteurs est pair, £ sera compris dans quelque forme d-e diviseurs' (ft' c^S).

Ainsi, soit ^ = — ii; on trouvera q^eleà formes des drviseiU'S de x'^-i-ii sont iiA + i, 2, 5, 4, 5,9, et que celles des non^ diviseurs sont 11A+2, 6, 7, 8, 10. Ainsi —11 sera résidu de tous les nombres premiers contenus dans une des premières formes, et non-résidu de ceux qui sont contenus dans une des dernièreâ.

On peut trouver des formes semblables pour lesdiviseursetlesrrondiviseurs de x^—^, quel que soit^>mais on voit aisémentqu'on il'â à considérer que les valeurs de ^ qui ne sont divisibles par aucun quarré-, car si A^^za^^A' , tous les diviseurs de x^-^A premiers avec A, seront diviseurs de x'-^A, et de même ponr les nondiviseurs. Or nous distinguerons trois cas ï 1°. quand ^ est de la forme 4/2-f-i ou —(4^2—1). 2°. quand ^ est de la forme4«— -i ou — (4«-|-i)- 3^ quand A est pair ou de la forme d=(4« + o).

148. Premier cas. Quand ^ est delà forme 4/z-f-i ou —(472—1). On résoudra A en facteurs premiers, a, h, c, d, etc., en affectant du signe + ceux de la forme 4/z-f.i , et du signe — ceux de la forme 4/z— i qui seront en- nombre pair ou impair, suivant que A sera de la forme 4/z-|-r ou — (4/2 — i) (n- 152). On distribuera en deux classes les nombres plus petits que A et premiers avec lui; en mettant dans la première ceux qui ne sont non -résidus d'aucun diviseur de A, ou qui sont non-résidus d'un nombre pair de ces diviseurs, et dans la seconde ceux qui sont non-résidus d'un nombre impair des mêmes diviseurs. Désignons les premiers par T, r, f , etc. et les secondes par /z, n' , n% etc.; alors Ak-^-r, '^k'^-r', etc., sont les formes des diviseurs de x"^ — A, et Ak-\'n, Ak-i-y, etc. celles des non-diviseurs. C'est-à-dire que /out nombre premier, excepté 2 , sera diviseur ou non- diviseur de x»— A, suiuant qu'il sera contenu dans l'une des premières ou l'une des dernières formes.

En effbt , si ;; est un nombre premier résidu ou non-résidu

d'un des facteurs de ^ , ce facteur sera résidu ou non-résidu de p (théor. fond.)*, donc si parmi les facteurs de v^, il j en a m dont p soit uon-résidu, ii y en aura autant qui seront nonrésidus de /?, et partant, lorsque ^t? sera contenu dans l'une des premières formes, m sera pair et ARp , et lorsque p sera contenu dans une des dernières, m sera impair et ANp,

Exemple, Soit ^=-f-io5= — '^X~\S>c — y, les nombres r, r', T"y etc, sont :

1, ^, iQ, /fi, 64, 79, qui ne sont non-résidus d'aucun fact. ;

2, 8, 23, 32, 53, 92, qui sont non-résidus de 3 et 5;

26, 4i, 59, 89, loi, 104, 5 et 7;

23, 62, 73, 82, 97, io3, 5 et 7;

les nombres n, tï, n", etc. sont:

II, 29, 44* T^ y l^f 86, non-résidus de 3;

22, 37, 45^ ^^ i 67, 88, de 5j

19, 3i, 34, 61, 76, 94, de 7J

17, 38, 47> 62, 68, 83, de 3, 5 et 7,

On déduit facilement de la théorie des combinaisons et des n°* (32, 96) que la multitude des nombres r , r, etc. sera

,(. + fCZzii) + 'Ii^iK^4(i=i2 + etc.) .

«t celle des nombres n, n' , etc.

A ^Ki-^W-^) + /(£^.)(i-.)(/--3)(/-4) ^j^ N ,

^ désignant le nombre des facteurs a , ^ , c , ^, etc. , t étant s=2~'(a— i) (ô — i) (^ — i) etc., et chaque série devant être continuée jusqu'à ce qu'elle s'arrête d'elle-même. (En effet il

y B. t nombres résidus de a, b, c, d, etc., i'-\ non-rési^

dus de deux de ces facteurs, etc. Mais pour abréger, nous sommes forcés de ne pas donner plus de développement à la démonstration^. Or chacune des séries a pour somme ^.2'"*'} car la première

A K I T H M É T I Q U E S. ii3

miere provient de i H h — - — - H- ^^ — — — -r — - + etc.

en prenant le premier terme, puis la somme du second et du troisième, puisîa somme du quatrième et du cinquième, etc. : la seconde provient aussi de la même série , en joignant le premier terme au second , le troisième au quatrième, etc. Jl y a donc autant de formes de diviseurs de Jt^ — ^, que de formesde non-diviseurs; et ils sont en nombre 2' ~*./ de chaque espèce, ouj^(a — i)(Z> — i)(c — 1)(^ — 1) etc.

149. Nous pouvons traiter ensemble le second et le troisième cas. En effet on pourra toujours poser A = Ç — 1)«9> ou = (+2)Ç, ou =( — 2) Ç, Q étant un nombre de la forme -\-^n-^i ou — (4/z — i). Soit généralement y4 = cLQ, ensorte que a soit ou — I ou ±2. Alors yi sera résidu de tout nombre dont a et Q seront tous deux résidus , ou tous deux non-résidus : au contraire il sera non-résidu de tout nombre dont l'un d'eux seulement sera nonrésidu. De là on déduit sans peine les formes des diviseurs et des nondiviseurs de ce'' — yl. Si a= — i ; nous partagerons tous les nombres plus petits que 4^ ^t premiers avec lui, en deux classes. La première renfermera ceux qui sont dans quelque forme des diviseurs de :i;* — Q^ et en même temps de la forme 4'^-|- i , et aussi ceux qui sont dans quelque forme des non-diviseurs de x'' — Q et en même temps de la forme 4'z — i : la seconde renfermera tous les autres. Soient 7*, r', 7'", etc. les premiers , et 7z , «', n", etc. les derniers ; yi sera résid 11 de tous les nombres premiers contenus dans une des formes 4-^^'-f-^> 4-^X:-f-r',4^^ + ^^ etc., et non-résidu de tous les nombres premiers contenus dans une des formes /^u^k-{-7z, /\Ak'\-iî , l^Ak-^-n", etc. Si et L2, nous distribuerons tous les nombres plus petits que 8Ç et premiers avec lui en deux classes: la première renfermera tous ceux qui sont contenus dans quelque forme des diviseurs de x" — O, et qui sont de la forme 8/z-f-i ou 8^. -f-7, pour le signe supérieur, et de la forme 8/z + i ou 8/z -|-5 pour le signe inférieur; cette classe comprendra aussi tous ceux qui sont contenus dans quelque forme de non-diviseurs de .r* — Ç et qui sont, pour le signe supérieur, de la forme 8zz-|-5, 8/z 4-5, et pour le signe inférieur, de la forme 8/z-|-.5, S/z-f-y, et la seconde tous les autres. Alors désignant les nombres de la première classe par r, r, r\ etc. , ceux de la seconde par n, n'y n% etc., dtsÇ sera résidu de tous les nombres

ttt

ii4 RECHERCHES

premiers contenus dans les formes SQk^r, SÇA-f-?', SQk-\-r''j etc. >

et non-résidu de fous ceux contenus dans les formes SÇ^-f-'^^ 8Qk-{-n', BÇk-j-n", etc. Au reste, on peut démontrer facilement qu'il j a autant de formes de diviseurs qu'il y en a de non-diviseurs.

Mxemple, On trouve ainsi que lo est résidu de tous les nombres premiers contenus dans les formes 4oA^-j-i, +5, -I-9, 4-i3, -f-27, -f-5i, +37, -f-Sg, et non-résidu de tous les nombres premiers contenus dans les formes 4o^+7> -|-ii> -j-iy^ -|-i9> 4-21, +25, +29, 4-35.

i5o. Ces formes ont plusieurs propriétés assez remarquables; nous n'en citerons cependant qu'une seule. Si B est un nombre composé premier avec ^ , tel qu'un nombre mn de ses facteurs premiers soient compris dans quelque forme de non-diviseurs de ^* — A, B sera contenu dans quelque forme de diviseurs de x"" — A\ mais si le nombre de facteurs premiers de B contenus dans quelque forme de non-diviseurs de ^c* — -^ est impair, B sera aussi contenu dans quelque forme de non-diviseurs. Nous omettons la démonstration, qui n'a rien de difficile. Il suit de là que non-seulement tout nombre premier, mais aussi tout nombre composé impair et premier avec A est non-diviseur dès qu'il est contenu dans une des formes de non-diviseur; car nécessairement quelque facteur premier de ce nombre sera non-diviseur.

i5i. Le théorème fondamental que nous avons présenté d'une manière très-simple et qui le met au nombre des théorèmes les plus élégans dans ce genre, n'a été jusqu'ici démontré par personne; ce qui doit d'autant plus étonner, qu'£«/^r connaissait quelques propositions qui en dérivent et desquelles il était facile de revenir à ce théorème. Il avait en effet découvert qu'il existait de certaines formes sous lesquelles se présentaient tous les diviseurs premiers de a:* — A y et d'autres qui comprenaient tous les non-diviseurs, de manière à s^exclure réciproquement; il avait même donné le moyen de les trouver. Mais il avait envain cherché à démontrer sa méthode, et ses efforts n'avaient eu d'autre fruit que de donner un plus grand degré de vraisemblance à cette proposition , qu'il avait trouvée par induction. A la vérité, dans un Mémoire lu à l'Académie de Pétersb. le 20 novembre lyyS, intitulé : 'Novœ

ARITHMÉTIQUES. ii5

Demonstration es circa diuisores numerorum formœ x*+dj', et imprimé (T. i. Jioi^. act. Ac, Peterb. , p. 47), il paraîf croire qu'il a atteint son but; mais il s'j est glissé une erreur; car il suppose tacitement l'existence de ces formes de diviseurs et de non-diviseurs (149) : et de cette supposition il n'était pas difficile de déduire quelles devaient être ces formes; mais la méthode qu'il a employée pour démonlrer cette supposition ne paraît pas convenable. Dans un autre écrit intitulé : De Criteriis œquatioîiis ï\'^-\-^y'^-=\\z utrumque resolutionem admitlat necne (Opusc. anal. T. i), dans laquelle équation /*, g, ^ sont donnés et :r, y y z indéterminés; il trouve que si l'équation est résoluble pour une valeur de h-=zs, elle le sera pour tout nombre premier congru avec s ^ suivant le modale ^fg, proposition de laquelle on pouvait aisément déduire la supposition dont nous avons parlé. Mais la démonstration de ce théorème a toujours échappé aux recherches de ce grand géomètre (*), ce qui n'est pas éfonnant, puisqu'à notre avis il fallait partir du théorème fondamental. Au reste, la vérité de cette proposition résultera naturellement de ce que nous exposerons dans la section suivante.

Après Euler , Legendre s'est livré à la même recherche, dans un excellent Traité intitulé : Recherches d'Analyse indétermi' née (Hist, de l'Acad. des Sciences, 1785, p. 4^5). Il y est parvenu à un théorème qui, dans le fond, revient au théorème fondamental; savoir, que si /? et q sont deux nombres premiers

positifs, les résidus minima absolus des puissances p =* , q^ suivant les modules q,p, respectivement, seront tous les deux -j-i ou — I , quand l'un des deux est de la forme 4^+1 j maïs que

(*) Comme il l'avoue lui-même, p. 216. <.<■ Hujus elegantlssimi theorematis demons tratio ad hue desidcratur , postquàm à plurihus jamdudàm frustra est in-

vestigata Quocirca plurimùm. in prœstitisse censendus erit, cui successerit

demonstrationem hujus theorematis invenire ii. On peut voir dans les Opusc. anal. ( T". I , Additamentum ad dissert. VUI, et T. Il, dissert. XUl), et dans plusieurt Dissertations des Comment, de Pétersb. , avec quelle ardeur cet homme immortel a cherché la démonstration de ce théorème, et de quelques autres qui ne sont que des cas particuliers de notre théorème fondamental.

iiG RECHERCHES

si p et (/ sont de la forme 4^2+5^ l'un des résidus minima sers. -f-i et l'antre — i (p. 5i6)j d'où, au moyen du n° io6, il s'ensuit que la relation âe p &. ç est la même que celle de g k p, quand p ou ç est de la forme 4^ -j- i ^ et qu'elle est inuerse quand p ei q sont de la forme 4'? + 5 C*^)- Cette proposition est contenue parmi celles du n" i5ij elle suit aussi des propositions 1 , 3, 9 du n° i55 ^ réciproquement, le théorème fondamental peut se déduire de la proposition de Legendre. Ce célèbre auteur en a donné la démonstration , et comme elle est très - ingénieuse , nous en parlerons plus amplement dans la section suivante. Comme il y suppose plusieurs choses sans démonstration (ainsi qu'il en. convient lui-même, p. 520 : Nous aidons supposé seulement , etc.) dont jusqu'à présent une partie n'a été démontrée par personne, et dont l'autre parlie ne peut, selon nous, l'être que parle théorème fondamental. Il nous semble que la route qu'il a prise ne peut pas lui faire éviter la difficulté , et notre démonstration peut être regardée comme la première.

Au reste, nous donnerons plus bas deux autres démonstrations de cet important théorème, absolument différentes entre elles ,^ et de la précédente.

i52. Jusquà présent nous n'avons traité que la congruence simple x^'^A (mod. 777), et nous avons appris à reconnaître les cas où elle est résoluble. Par le n° io5, la recherche des racines elles-mêmes est ramenée au cas où m est un nombre premier, ou une puissance d'un nombre premier*, et par le n° loi, ce dernier cas est ramené à celui où m est un nombre premier. Quant à celui-ci, en comparant ce que nous avons dit (n°^ 61 et suiv.) avec ce (jue nous enseignerons sect. V et VIII, on aura presque tout ce qui peut se faire par les méthodes générales. Mais dans les cas où elles sont applicables, elles sont infiniment plus; longues que les méthodes indirectes que nous exposerons dans la section VI , et partant elles sont moins remarquables par leur utilité dans la pratique que par leur beauté.

(* ) Le mot relation reçoit ici le sens que "Hous lui avons donné n° 14S.

Les congruences complètes du second degré peuvent être ramenées tacilement a des congruences simples.

Soit la congruence ax'^bx+c-^ (mod. m) ; elle sera équivalente a celle-ci : ha^x'+^^abx+/^ac~o (mod. i^am). Celle-ci neut se mettre sous la forme {■.ax+bY-l^-l.ac (mod. 4«m), et donnera SX elle est résoluble, toutes les valeurs de .a^^+i moindres queT„ Désignant une quelconque d'entre elles par r, les solutions de là congruence proposée se déduiront de la solution de la congruence 2^ = r— ô(mod.4am), que nous avons exposée sect. II Au reste uous observerons que le plus souvent la solution peut se Mmphfier par divers artifices; par exemple , on peut, au lieu de la congruence proposée, en trouver une autre, a'x' +lb'x+c'~^ qui lui soit équivalente et dans laquelle d soit divisiblTpa?;;,'

k^:cHon Vlir 7^''^^''-^!'°-' -^ '-'ï-"- -- peut coLulte; la section vni, alougeraient trop cette section, nous la sudprimons ici. "

n8 RECHERCHES