SECTION CINQUIÈME

Des Formes y et des Équations indéterminées du second

degré.

i53. iNous parlerons surtout dans cette section des fonctions de deux indéterminées de la forme ax'^-{-ibxy-\-cy^y où a, b,c sont des nombres entiers donnés, fonctions que nous appellerons /brm^^ du second degré , ou simplement formes. Ces recherches nous conduiront à trouver toutes les solutions d'une équation indéterminée quelconque du second degré à deux inconnues, soit qu'on puisse en obtenir la solution en nombres entiers, ou seulement en nombres rationnels. Quoique ce problême ait déjà été résolu dans toute sa généralité par Lagrange , et qu'il ait trouvé plusieurs propriétés des, formes y auxquelles il faut encore joindre celles découvertes par Euler , ou démontrées par lui et annoncées par Fermât: cependant un examen plus approfondi àa formes nous a fait voir tant de choses nouvelles , que nous avons cru utile de reprendre ce sujet en entier , avec d'autant plus de raison que nous avons remarqué que les découvertes de ces hommes illustres, répandues dans divers ouvrages , étaient connues de peu de personnes. D'ailleurs la méthode que nous avons employée nous appartient presque en entier , et les choses que nous pouvions ajouter n'auraient pas été entendues sans une nouvelle exposition. Au reste nous placerons en temps et lieu ce qui a rapport à l'histoire des vérités remarquables.

Nous représenterons la forme ax''-^2bxy'\-cy'' par le symbole («, b, c), quand il ne s'agira pas des indéterminées x et y. Ainsi cette expression désignera d'une manière indéfinie la somme de trois parties, dont la première est le produit d'un nombre donné a

ARITHMÉTIQL'ES. ng

par le quarré d^une indéterminée quelconque, la seconde le doubla du produit de b et de cette indéterminée multipliée par une autre , et la troisième le produit de c par le quarré de cette seconde indéterminée. Par exemple, (i, o, 2) exprimera la somme d'un quarré et du double d'nu quarré. Au reste, quoique les formes {a , b , c) et {cyby a) soient les mêmes, quant à leurs parties, elles diffèrent cependant si l'on fait attention à l'ordre de ces parties*, aussi nous les distinguerons avec soin , et la suite fera voir l'avantage qui en résultera.

154. Nous dirons qu'un nombre donné est représenté par une forme donnée, si l'on peut trouver pour les indéterminées de cette forme des valeurs qui la rendent égale au nombre donné.

Théorème. Si un nombre M peut être représenté par Informe (a , b , c) , de manière que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles; b* — ac sera résidu quadratique de M.

Soit m et n les valeurs des indéterminées, et qu'on ait. . am*-{'2bmn'{-cn'' = M, et prenons les nombres yw. et r tels qu'on ait p.m'\-vn=z\ (n° /^o). On prouvera facilement par la multiplication , que

ou

M{a,^'—zhy.v-^Ci/J')=^{u(jnb-\-nc) — v(jna-{-nb)y — (b''--ac')\

donc

Z)*— cc = {/.:(m6-fnc)— t'(mc-j- nZ»)}* (mod. iT/),

c'est-à-dire que Z>^ — acest résidu quadratique de M.

Nous appellerons par la suite déterminant de la forme (a, b, c) le nombre Z»^ — ac ^ dont nous verrons que dépendent en grande partie les propriétés de cette forme.

i55. Il suit de ce qu'on vient de voir (\ue fJi-^mb^nc^-^v^ma-^nb) est la valeur de l'expression \/{b'' — ac) (mod. M). Or /^t et v peuvent être déterminés d'une infinité de manières pour satisfaire à l'équation 77z/A-f-/zj=i -, il en résultera donc dififérenfes valeurs pour cette expression, examinons quelles relations elles ont entre elles.

I JO HECRKRCHES

Soienfc

mfjf. -}- wv = 1 , m/// -j- nv' = i ',

Si l'on multiplie la première équation par f/, la seconde par/^c, et qu'on retranche l'un des résultats de l'autre, il vient f/ — fjLz=:r2(/uL'v — /*/)*, en multipliant par / etv , on tirera de même j/' — )' = m(/A/ — //f). Mais les deux dernières donnent alors

et substituant pour fjtf — ja., v — v leurs valeurs

Ainsi, de quelque manière que ^t et j^ soient déterminés, la formule /ui(mb-{-nc) — v(ma-\-nb^ ne peut donner des valeurs différentes, c'est-à-dire incongrues, de l'expression V{b'- — ac) (mod. M). Si donc v est une valeur quelconque de cette formule, nous dirons que la représentation du nombre M par la forme ax'^-{-2bxy -^cj , dans laquelle x=.m et y'z=.n, appartient à la valeur V de V expression \/(h'' — ac) (mod. M). Au reste on peut faire voir facilement que si V est ime valeur de cette formule , et que V ^V (mod. ilf ), on pourra prendre à la place de p. ei v d'autres nombres p! et \ qui donnent V , II

sufnt de faire p=fji-\ — ^ — ^ — -, r = r ^-^ — -^, et Ion aura

pJm-{-vn=pm'{-vn=:.i\ mais la valeur de la formule résultante de p,' et / surpassera celle qui résulte de /^ et v de la quantité {f/v—'pv')M qui devient :=z{pm'i-vn) (F'— /^)= V'—V; donc cette valeur sera V,

i56. Si l'on a deux représentations du même nombre par la même forme {a, b, c) , et que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles, elles peirvent appartenir à la même valeur de l'expression \/{b'' — ac) (mod. M)j ou à des valeurs différentes.

Soit

il est clair que si l'on a

y. (mb 4- ne) .— p (ma -f- nb) s {/(ni'b-i-nfc) — /(m'a-|-7i'^) (mod. M) , la congruence aura toujours lieu quelques valeurs convenables que l'on prenne pour p, et v , pf et /, auquel cas nous dirons que la

représentation

ABITHMÉTIQUES. 121

représentation du nombre M appartient à la même valeur de l'expression s/ijb'' — ac) (mod. M).

Mais si pour quelques valeurs de /a et v, pu et i»', cette congruence n'a pas lieu, elle n'aura lieu pour aucune, et les représentations appartiendront à des valeurs différentes. Et, si l'on avait

nous dirions que les représentations appartiennent à des valeurs opposées. Nous nous servirons de toutes ces dénominations lorsqu'il s'agit de plusieurs représentations du même nombre par des formes différentes, mais qui ont le même déterminant.

Exemple. Soit (3, 7,-8) la forme proposée dont le déterminant = 73. Elle donne pour le nombre 57 les représentations suivantes : 5.i3"+i4.i3.25 — 8.25^j 3.5^ + 14.5.9— 8. 9\ Pour la première on peut prendre ft=2, r^— i,d'où résulte la valeur de v/7^ (mod. S-]) , k laquelle la représentation appartient = 2(i3.7-|-25.8)-f-(i3.54-25.7)=— 4. De la même manière, en faisant //,=: 2, v^= — i, on trouve que la seconde représentation appartient à la valeur +4. Donc les deux représentations appartiennent à des valeurs opposées.

Avant d'aller plus loin , nous observerons que les formes dont le déterminant est zéro doivent être exclues des considérations suivantes, parcequ'elles nuiraient à l'élégance des théorèmes, et qu*elles exigent qu'on les traite en particulier.

157. Si la forme F , dont les indéterminées sont x, y, peut être changée en une autre F\ dont les indéterminées soient x\ y, en y substituant :r=ajc'+^j', y:=zyx' -{-Sf , ol, ^, y, j' étant des nombres entiers, nous dirons que la première r^/z/^/v/ze la seconde , ou que la seconde est contenue dans la première.

Soient Fz=zax'''\-:ihxy-\-cy\ F':=.a'x''-\'iih'x'y'^cy\ On aura les trois équations suivantes :

Multipliant la seconde par elle-même, la première par la troisième, et retranchant, il vient

d'où il suit que le délerminant de la forme F' est divisible par celui de la forme F y et que le quotient est un quari'é; ainsi ces déterminans seront de même signe. Si, de plus, la forme F' pouvait être changée en la forme F par ime transformation semblable, c'est-à-dire, si F' était contenue sous F ti F sons F' , les déterminans seraient égaux et {clS" — (^yy = i. Dans ce cas, nous les appellerons formes équwalentes. L'égalité des déterminans est une condition nécessaire pour l'équivalence des formes, mais il s'en faut bien qu'elle soit suffisante.

L'analjse précédente fait voir clairement que la même chose aura lieu pour les formes dont le déterminant est = o*, mais l'équation («cT — /3^)^=i ne peut pas s'étendre à ce cas-là.

Nous nommerons la substitution /nzTz^or/TzaZ/aw propre, quand oteT — l^y ^o, et transformation impropre, quand ad' — /3><o, et la forme i^ sera dite contenue proprement on improprement dans la forme F' selon que /^pourra être transformée en F' par une transformation propre ou impropre. Si donc F et F' sont équivalentes, la transformation sera propre ou impropre, suivant que aJ' — /3^ — lLi. Si plusieurs transformations sont toutes propres ou toutes impropres, elles seront semblables; mais une forme propre et une formée impropre seront dissemblables,

i58. Si les déterminans de deux formes F et F' sont égaux , et que F' soit contenue sous F , F sera aussi contenue sous F' et le sera proprement ou improprement , suivant que F' sera contenue sous F proprement ou improprement.

Supposons que F devienne F' en posant x ■=. ax' + f^j' y jz=z:yx' -\^ éy ; F' deviendra F en posant x'=:e^x — /2y , y= — yx-j-oLjr. Car on déduira par là de F' le même résultat qu'en substituant dans i^, à la place de x et de j, a.ÇJ'x — /3j) ' + /2(-f-aj — yx) et y (J'x — /Sj) -f- J' (+ *J — >-^)» qui reviennent à (xj' — l^y)x et (xS — fày)r' C)r ce résultat serait évidemment (otj' — ^yY F=:F, puisque par hypothèse (aJ' — (Byy=j, Or il est aisé de voir que la seconde transformation est propre ou impropre en même temps que la première.

Si F' est contenu proprement dans F, et improprement dans F/^ nous dirons que ces formes sont proprement équit-'ulentes ; et si elles

ARITHMÉTIQUES, ii"^

se contiennent improprement, nous dirons qu'elles sont îinproprement équli^alentes. On verra bientôt l'utilité deces distinctions.

Exemple, Par la substitution x-=^:ix' -\-y' , j = 5x'4-2/, la forme 2^*— S^j+oj* devient — 1 5x'^ — i ix'y' — ly'"- ; et celle-ci se change en la première, par la substitution :r'=2:r — y, y== — ^x-^2y. Donc les formes (2, — 4> "f"^) ^^ ( — ^^ f — ^f — ^) sont proprement équivalentes.

Nous allons maintenant nous occuper des problêmes suivans :

1°. Etant données deux formes quelconques qui ont le même déterminant, chercher si elles sont équivalentes ou non, si elles le sont proprement ou improprement, ou des deux manières à-lafois, ce qui est possible. Quand elles ont des déterminans inégaux, chercher si l'une ne renferme pas l'autre, proprement, improprement, ou des deux manières. Enfin trouver toutes les transformations tant propres qu'impropres de Tune dans l'autre.

2°. Etant donnée une forme quelconque , trouver si un nombre donné peut être représenté par elle , et assigner toutes les représentations.

Mais comme les formes dont le déterminant est négatif exigent une autre méthode que celles dont le déterminant est positif, nous présenterons d'abord ce qu'il y a de commun aux deux cas > que nous considérerons ensuite séparément.

1 5g, Si la forme F renferme la forme F' , et que la forme F' renferme la forme F", F renfermera F".

Soient x, y\ x', y; x\ y" les indéterminées des formes/^, F', JF" respectivement, que F devienne F' en posant x-=.a.x' -\-9>^' 9 yz=:yx'-\~è'f, et que F devienne F" en posant x'=.a!x" -^fb'y", yz=zy'x"-\-S'x\ Il est clair que F se changera en F" , en faisant

et j=>(ct'x"+^y) +J (>'x"+j y) = (ot>H-j>o^''+ (/^ >+^^ ')f '

clone F renfermera F",

Comme (aa -{-/3y)(,^V + J^J') — (aiÊ'+,SJ')(aV+ycr). . . . =(aJ'~/3^)(ay— /By), qui sera positif si les deux facteurs «ont de même signe , et négatif dans le cas contraire, la forme F

renfermera donc F" proprement , si F renferme F', et T' ^ F" de la même manière, soiipropj'ementounon, etla forme jP renfermera 2*' improprement, dans le cas contraire.

H suit de là qne si l'on a tant de formes F, F', F", F'", eie». qu^on voudra, telles que chacune renferme la suivante, la première renfermera la dernière , et la renfermera proprement ou improprement, suivant que le nombre des formes qui renferment la suivante improprement sera pair ou impair.

Si la forme F est équivalente à la forme F', et la forme F' a la forme F", la forme F sera équivalente à la forme F", et le sera proprement ou improprement , suivant que F et Y', F' et F" seront équivalentes de la même manière ou d'une manière différente.

En effet, puisque F, F' sont équivalentes aux formes F', F^ respectivement, les premières renferment les dernières , et partant jF renferme F"', mais les dernières renferment aussi les premières,, donc F et F" sont équivalentes. Or, de ce que nous avons vu tout-à-l'heure, il suit que F renferme F" proprement ou improprement, suivant que F et F', F' et F" sont équivalentes de même ou de différente manière , et il en est de même de F"' et Fj donc, dans le premier cas, F et F" sont proprement équivalentes, et dans le second, improprement.

Les formes (a, — b, c), (c, b, a), (c, — b, a) sont équivalentes à la forme (a, b, c), savoir , les deux premières impro-: prement et la dernière proprement.

En effet ax'^-^ihxy-^-cy'^ se cbange en ax'^ — ihx'y' -{■■cy'^y en faisant xz=zx-\-o .y' et yz=.o .x' — f , ce qui donne clS — ^y=: — 1> et partant, la transformation est impropre; elle se change en cx'''-\-2.bx'y' -{-ay'' par la transformation impropre x=:o.x-\-y', yz=^x'-\-o.y' , et en ex"- — 2bx'y-\-ay''' par la transformation propre xz=o.x'—'y', y=x'-{-o.y.

Il suit de là qu'une forme quelconque équivalente à (a, b, c) est proprement équivalente à cette forme ou à la forme (a, — b, c). De même, si une certaine forme renferme la forme (a , b, c) , ohy est contenue, elle renferme proprement l'une des deux formes

{a, h, c), {a, — h^ c), ou bien elle est renfermée proprement dans l'une des deux. Les formes (^a^ b, c), ((ï, — b^ c) s'appelleront formes opposées.

160. Si les formes (a, h, c), (^a' , b' , c') ont le même déterminant, et qu'on ait c^=zd et b-\-b'^o (mod.c), nous dirons qu'elles sont cojitigué's , et quand une désignation plus exacte sera nécessaire, nous dirons que la première est contiguë à la seconde pa?' la première partie i etque la seconde est contiguë à la première par la dernière partie.

Ainsi la forme (7, 3, 2) est contiguë à la forme (5, 4, 7) par la dernière partie, la forme (5, i, 5) est contiguë par les deux parties à son opposée (3, — i, 3}.

Les formes continues sont toujours proprement équwalentes» Car la forme ax''-\-ihxy'\'Cy^ se change en la forme contiguë cx'^'^:ib'xy -{-0'/" en faisant x=: — y et j =:x'-\ — ^ y

Toù, par hjpothèse, — ^ — est un entier j, comme on s'en assurera

parle développement. Or o.-^ 1.( — i) = i; donc la transformation est propre. Au reste , ces définitions et ces conclusions n^auraient plus lieu si c=a'=0} mais ce cas n'arrive que lorsque le déterminant des formes est un quarré.

Il suit de là que les formes (a, b, c) , (^', b', c') sont proprement équivalentes, si a = a' et b^b' (mod. a), car la première est proprement équivalente à (c, — b , a) (n° précéd,)j or celle-ci est contiguë par la première partie à la forme {a, b', c'),

161. Si la forme (a, b, c) renferme la forme (a', b', c'), tout dii^iseur commun des nombres a, b, c, le sera aussi des nombres a!, h', c', et tout diviseur commun de a, 2b, c, le sera, aussi de a', 2b', c\

L'inspection des trois équations du n° 157 suffit pour le démontrer, en ajant soin de multiplier la seconde par 2 pour la seconde partie de la proposition.

Il suit de là que le plus grand commun diviseur des nombres a, b, (2Z>), c doit diviser celui des nombres a! y b' , i^b'), c\

laG RECHERCBTES

Si done les formes sont équivalentes, ces deux plus grands communs diviseurs sont égaux , puisqu'ils doivent se diviser mutuellement, et si dans ce cas l'un des deux groupes n'a pas de commun diviseur, l'autre n'en aura pas non plus.

162. Problème. Si la forme AX^H-2BXY + CY\ . .F renferme la forme ax^ + 2bxj+cj^. . .f, et qiûon connaisse une quelconque des transformations , déduire de celle-là toutes les transformations qui lui sont semblables.

Soit la transformation donnée, Xz^cLX-^-Sy-y T'^^yx-^S'y, supposons d'abord qu'on en connaisse encore une autre semblable, X=a'a:;-}-j6j', F''=:yx-\~<Sy, et examinons ce qui doit en résulter. Nommons Z), r/ les déterminans des formes F ^f, faisons aJ' — /3> = ^, aJ' — /5y = e', on aura (n° 1 57) ^=Z)^^ = />£'% et partant e=.e', puisque etie' sont de même signe par hypothèse.

Or on aura les six équations suivantes :

Aa.^ + ^BAy-\-Cy'' = a (1) Ja^ -\- aBcty' + Cy^ = a (9)

Aa^ -f B{a^ -f- &y-) -\- Cyè~T=b . . (3) jA'(l'-\.B{ct'i'-if fi' y') Cy' y =z è . . . (4) A9>''-\-iB9>^-\-Cy^z=zc (5) A9!^-\-^B&S' -\-Ch'^^c (6).

Si l'on multiplie la première par la seconde, on en déduira

( AcL^ +^(cty+ oly ) 4- Cyy' y -^ D {a! y — ^y'J- ;= a" ,

ou si l'on fait Aclo,' -^B((:it,y-{-cLy) + Cyy'z=za\ . . .

a'=__. /)(«,'>— ct>')==a^ . .(7).

Si l'on multiplie la première par la quatrième , et la seconde par la troisième, et qu'on ajoute, on trouvera

G'{^(«iS'4-*'/g) J^B{cty+<t'^-\-^y'+(i'y^ + CÇyy+yy)) — D (Ay'-\- afy) {ct^— a!ê^^ (iy'— ^'y) z=Q.ah ,

OU en représentant ^(ct/S'-j-a /3) + ^(acf'+a'cr4-/3/+/3';/). . ji^C{yS'-^^'y) par z^b' ,

2a'Z>'—£)(a>'— a»(otcr— a'cT+iSy— /3»=2a3 (8).

Si l'on multiplie la première par la sixième, la seconde par la cinquième, la troisième par la quatrième, et qu'on ajoute les deux premiers produits et le double du troisième, on trouve

ARITHMÉTIQUES. ' 127 ou bien comme ztDeé =2d=2h^ — ac

Si l'on mnltiplie la troisième par la quatrième, il vient

et comme D{a,è' —y^') {^y' -^cL'^)^B{xy' -^^y){^è'-^ ^'S)

l'on fait d'ailleurs -^/3/3'+^(,/3J'+/Sg) +6^^^^ = ^', on aura

aV~ D {cLy'-^ aJy) (/ScT'— /g'cT) ~ac (10) ; '

en ajoutant le produit de la troisième par la sixième à celui de la quatrième et de Ja cinquième, on aura

en multipliant la cinquième par la sixième, on trouvera

Supposons, maintenant que 772 soit le plus grand commun diviseur des nombres a, 2.h, c, et que les nombres A', B' , C soient déterminés de manière qu'on ait A'a-^2B'b'{- Cc=:m Cn° 40). Multiplions les équations (7), (8), (9), (10), (n), (12), respectivement par ^'% :iA^B', B'% ^AUC, :iB'C, C% et ajoutons les produits, en faisant pour abréger,

A'a' + iiB'¥ +Cc' =T .(i3)

et A\cty'-^ c.'y) ^D' {-xè' - ^'.^+ dy'- d'y) ^ C (,5/'— /S'^) =U... (i 4) ,

on trouve T^—DU^ = 7?i% T et U étant mauiFëstement entiers.

Nous sommes donc conduits h. cette conclusion élégante, que la solution de l'équation indéterminée V — Du= = m' en nombres entiers dépend de deux transformations quelconques semblables de la forme F en la fanitçi, en prenant /^= T., z^=C7-. Au reste, comme dans nos raisonnemens no«& n'avons: pas supposé que les transformations fussent différ^^ntes, ui+e seule transformation prise deux fois doit donner une solution; mais alors a' = a, /3'=/3, etc., a'z=iay b' =.b , etc., et partant Tz=.m et ?7=o, solution qui se présentait d^ellermôme.

Considérons maintenant comme connue la première transformatipn, et la solution de l'équation indétefmince , et chei-çho^is

128 KECHERCHES

comment on peut en déduire l'autre transformation, ou comment

^'> 9^' i y' } ^^ dépendent de a, j8, y, cT, T et U,

Pour y parvenir, mulli plions d'abord l'équation (i) par a'^T — /3/, l'équation (2) par cl^' — ^'y, l'équation (5) par cLy — a';/, et l'équation (4) par a! y — a.y , et ajoutons les produits, il en résultera

(^-fe')rt' = (aj'-f-a'cr — /3/— iS'j.)^ (i5).

De même si nous multiplions (i) — (2) par jS'cT — jôcT', (5)-{-(4) par (acT'-HaJ'— .|S>'— jS» et (5)— (6) par (a>'— -a» , nous aurons en ajoutant,

2(^H-e')Z»'=:2(acr'+a'cr— /3y— /3»^ (16).

Enfin si nous multiplions (5)— (4) par ^^'-^^^^ (5) par acf'— /S^, et (6) par a'cT — /Sj.', on aura en ajoutant les produits,

(e + ^')c'=(ctJ^'+a'J^— /3/— /S»c (17).

Substituant ces valeurs de a, b', d dans l'équation (i5), il vient

OU 2eT=(tfr+rt^— /Sy— jS';.)m (18);

d'où l'on peut tirer la valeur de T plus facilement que de l'équation (i3).

Combinant cette équation avec les équations (i5), (16), (17), on en tire

ma = Tu , 2mh' = 2 TZ» , mdz=: Te,

Ces valeurs substituées dans les équations (7), etc. (12), en y mettant d'ailleurs m'' -{'DU'- pour T", elles deviennent

(ay — çLy^m"- = «" Z7''

(a/— aV^CacT'^ a^J'^ /S/— /3'>)m» = 2^^ Z7»

\a.S'^ ct'cT-l- /S>'— /S^^'/yz^ = 4Z.* ?7*,

De là, à l'aide de l'équation (i 4) et de celle-ci A'a-{-iB'b-^Ca=rmp en déduit facilement, en multipliant la V", la 2^ et la 4'J la 2% la 3' et la 5'> la 4'; la 5' et la 6' par A', B', C respectivement, et

en

en ajoutant les produits

icty—d'y) Um^=maU\ {cty—A'^-\-$y—^'y) Um^—2mb U'0$'^^'^) Um'^mcU^ ; équations qui, divisées par ttzC/ f^), deviennent

aUz=.m{çLy' — a 5.) (19)

2Z»Z7= 772(acr'— a'J^ + /3/— /S» (20)

cU^m{^^'-'^'è') (21)

dont une quelconque peut donner la valeur de TJ plus facilement que l'équation (i4)- H suit aussi de là que de quelque manière qu'on détermine -4", B' , C, et ces quantités peuvent être déterminées par plusieurs méthodes différentes , on aura toujours les mêmes valeurs, pour T et pour U

Or en combinant l'équation (18) avec l'équation (20), on en tire par soustraction et par addition les deux suivantes

eT— bU= Tn(cL'c^ — l^y) (22)

eT-+. bU= mlar — ^y) (25),

et à l'aide des quatre équations (19), (21), (22), (25), qui ne sont que dupremier degré , on obtiendra sans peine les valeurs de ce', /S', y, S' i au moyen des équations suivantes qui en dérivent,

Twea = ae r-f- (.z/S — ho) U, me^'z= (3e T-^ (bfè — ca) U, mey:=yeT'^laS'—by)U, mer=^S'eT+\bS'—cy)U,

ou, en y substituant les valeurs de a, by c, tirées des équations CO. (5), (5),

my=yT-{- lAcL-\-By) U, mJ'^^ 7^4-(^/3+5 J^) U.

Il suit de l'analjse précédente, qu'il n'y a pas de transformation de F en f, semblable à la proposée , qui ne soit contenue dans les formules

X=-{dLt—(,Ba.+Cyu)x-it - [^t'-{B^-\-CS')u] y)

Y— -\yt^{AA'\-By')u')x-ir ^{ Jt-f-(^/S-f 5c^)u}y^

(*) Cette division ne serait pas possible si l'on avait f/=o-, mais alors les équations (19), (20), (21) naîtraient immédiatement de la première, de la troisième et de la sixième des équations précédentes.

,5o RECHERCHES

/ et u désignant indéfiniment tous les nombres qui satisfont à l'équation U" — Du'^^^^vV, Nous ne pouvons pas encore conclure que toutes les valeurs de t et de u qui satisfont à cette équation donnent des transformations convenables, lorsqu'on les substitue dans les formules (/). Mais,

1°. On s'assurera par le développement , que la susbtitution de valeurs quelconques de t et de u change F enfy au moyen des équations (i), (3), (5) et f — Du^x=:m'', Nous omettons, ce calcul plus long que difficile.

1". Toute transformation déduite des formules sera semblable à la proposée j car

- { a.t—{BcL-\-Cy)u } X- { «rf+(^i3+5cr)u } — - {9>t'-{B^-^CSr)u'\

S^". Si les formes jP et f ont des déterminans inégaux, il peut se faire que les formules (7) renferment des fractions , par la substitution de certaines valeurs de / et de i/, et que partant il faille les rejeter : mais toutes les autres seront des transformations convenables, et seront les seules.

I\, Si les formes F et f ont des déterminans égaux , et que parconséquent elles soient équivalentes, les formules (7) ne pourront jamais donner de transformations qui renferment des fractions, et parconséquent elles donnent la solution complète du problême.

• En effet, par le théorème du n° précédent, on sait que dans ce cas 772 sera aussi diviseur commun de ^ , iB , C\ or puisque r — Du^z=zTn^ , on a r — B^iL'i=in' — ACu^; donc i" — ^^i^'' sera divisible par 7?2% et partant, ^V" — ^B^u"" , ou, puisque 2B est divisible par 772, 4^" sera divisible par 772* ou 2t par m» Donc

— {t-^Bu) et ~(t — ^z/) seront entiers, et partant, comme la différence de ces deux quantités est paire, elles seront ou toutes

deux impaires, ou toutes deux paires j si elles étaient impaires,

ARITHMÉTIQUES. iZi

leur produit -^ (r — B^u^) le serait aussi-, mais puisque t" — BHi*-

est divisible par m", ce produit est nécessairement pair; donc cette supposition ne peut subsister, et les deux quantités sont

paires^ donc leurs moitiés -(t-\-Bii), —{t — Bu) sont des entiers, et parconséquent - et—. Il suit de là, sans diflficulté, que les quatre coefficiens des formules (7) sont toujours entiers.

Concluons de ce qui précède, que si l'on connaît toutes les solutions de l'équation r — Du''=m\ on en déduira toutes les transformations de la forme (^, jB, C) en (a, b , c) , semblables à une transformation proposée. Nous donnerons plus loin le mojen de trouver les solutions de cette équation-, observons seulement ici que leur nombre est fini quand D est négatif, ou positif et en même temps un quarré; mais qu'il est iufini, si B est positif et non un quarré. Quand ce cas a lieu, et qu'on n'a pas Dz=d (Voyez 3'.), il faudrait encore chercher comment on peut, à priori, distinguer les valeurs de t et de u qui donnent des transformations entières, et celles qui n'en donnent pas. Mais nous donnerons plus bas, pour ce cas-là, une autre méthode qui n'aura pas le même inconvénient (n^2i4).

Exemple, La forme x^-^-y^ se change par la transformation propre a: = 2x'+ 7/, j = x'-f-5/, en (6, 24, 99). On demaude toutes les transformations propres de (i , o, 2) en (6, 24, 99). Ici ■0== — '2, m = 5', ainsi l'équation à résoudre est /^+2zz^=9. On peut y satisfaire de six manières: i = '5. . .11 = 0 , tz= — 5. . .u=o,

La 3' et la 6' donnent des résultats fractionnaires et sont parconséquent à rejeter des autres. Résultent les quatre substitutions:

— 2Jt:'+9/

dont la première est la solution proposée.

i63, Nous avons dit plus haut, en passant, qu'il pouvait arriver

œ=\ ^, , - , yz=

i32 lîE CHERCHES

qn'nne forme F en renfermât une autre F', tant proprement qu*improprement. On voit que cela aura lieu , si l'on peut interposer une autre forme G , telle que F renferme G, et que G renferme i^', et que la forme G soit de nature à être proprement équivalante à elle-même. Car si l'on suppose que F renferme G proprement ou improprement, comme G se renferme lui-même improprement, i** renfermera G improprement ou proprement, selon la supposition primitive, et partant le renfermera dans les deux cas, proprement ou improprement (n° iSq). On trouvera de même que de quelque manière que G renferme F', F doit toujours renfermer F' des deux manières. Or on reconnaît qu'il existe des formes improprement équivalentes à elles-mêmes par un cas très-évident, celui de la forme (a, o, c) , qui se change en {a^o y c) en faisant x-=:x-\-o .y' et y=.o.oG — y'. Plus généralement, toute forme («, h , c) jouit de cette propriété lorsque ih est divisible par a-^ en effet la forme (c, h, a) est contigu'ë à [a y h , c) par la première partie (n° 160), et partant lui est proprement équivalente, mais {c ,h y a) (n° iSq) équivaut improprement à {a, h, c); donc {a, b , c) équivaut improprement à elle-même. Nous nommerons formes ^/tzZ'/^y/^?^ les formes {a y h, c) dans lesquelles 2a est divisible par a. Nous avons donc le théorème suivant:

La forme F renfermera la forme F' proprement et impropre" ment j si on peut trouver une forme ambiguë que F renferme et qui renferme Y\

La réciproque est également vi'aie, et c'est l'ebjet du numéro suivant.

164. Théorème. Si la forme Ax='-{-2BxyH-Cj'. . .(F) , renferme tant proprement qu' improprement la forme A'x'''-+-2B''x'y -f- C'j''' . . . (F') , on pourra trouver une forme ambiguë que F renfermera et qui renfermera F'.

Supposons que jF devienne F' par la substitution a:=:ajt'-f-/è'j, yz=^yx'-\'S^y' , et par la substitution dissemblable :c = a V-|-iè'y, j-= 5.V -f-cTy. Soit ctJ' — ^y=ze , ctV — /Sy = ^, on aura B'' — ACz=ze\B'—AC)=e''{B^—AC) ; donc e"-z=e'% et comme e et e sont de signe contraire^= — e' ou ^+^'=03 or il est clair

ARITHMÉTIQUES. i5Z

qu'on arrivera à la même forme en substituant dans F% pour .t% J'o;" — &y" 9 pour y, — yœ"^ciy" , qu'en substituant dansi^

''^^''"{pourj...>(<^V'-^'jO+^(~>''^''-f-^y)=(><^'-->'<J):^''+(*'<^-^'>)^''

f pour X. . .^'(«^ V'— /S'j/'0+ :'^'(— >'>r''-f-*>'')=(*'^'~^y )^-''=e'x'' ''^ ^'^''ipour^'...>'(<^'x"— ^y)+crC— >V+=iy)=(«'c5'— ,5>')^"=ey. Ainsi en faisant

ctj'— /3/=^, a'/3 — aie'=^, ^cT'— ycr=c, a'/— ,iS'> = ^,

la forme -F se changera en une même forme par les substitutions xz=ax" -{-bj", yz=cx" -\-dy" et x^=:e'x% y:=.ey'', ce qui donne les trois équations suivantes :

Aa'' + 2Bac + Cc^ — Aé^ (i) ,

Aah'\- B{ad -f- Z'c ) + Ccd= Be" (2) ,

Ab' -Jr^Bbd-}- Cd' = Ce'' (5) ;

mais des valeurs à^ a, h , c , dy on tire

ad — bc=:iee' =: — e^ = — e'^ (4).

Si l'on multiplie l'équation (i) par d, l'équation (2) par c , et qu'on retranche, on trouve (Aa-j-Bc^Çad — bc)=(Ad — Bc^e", et partant A{a^-d)=:zo.

En multipliant l'équation (2) par a-^-d, et en retranchant le produit de l'équation (i) par b et de l'équation (5) par c, on trouve {Ab-^B{a-^d)-\~Cc) \ad—bc) = (^^Ab-\-B(a-\-d)—Ccy^^ , d'où B{a'\-d')=:.o,

Enfin en retranchant du produit de l'équation (5) par c celui de l'équation (2) par by on trouve (Bb-{'Cd){ad — bc)=( — Bb-\-Cd)e"y d'où C(cz 4-^) = o. Or comme A, By C ne peuvent dans aucun cas être nuls en même temps, il s'ensuit que

rt-j-û? = o (5).

Si l'on multiplie l'équation (2) par a , et qu'on en retranche l'équation (1) multipliée par by il vient {Ba'-\~ Cc){ad-{' bc) ^{Ba^Ab)e'\ d'où

Ab — iBa-- Ccz=zo (6).

Des équations :e-{-c'=o, a-\-d=^Oy ou ùl^ — /S^-f-a'cT' — .5>'=o et«J"+*'J^— /3^'— /3';.=o, ondéduit (ct+a)(J'+crX/2+C- ')(>+>'),

ï^4 RECHERCHÉS

ou (*+*'): (>+y) = (/3+/3'): (^+*^')- Représentons par ~ ce rapport, réduit à sa plus simple expression, de manière que m et 72 soient premiers entre eux (*) , et soient pris fx, v desorte qu'on ait /-t77z + »'« = i • Soit d'ailleurs r le plus grand commun diviseur àe a , b , c, son quarré divisera bC'\-à'z=^hC'\-ad-=: — e'; donc r divisera e* Cela posé, si la forme F y par la transformation ^ = 772/ -{-—«, y=-nt — '^u, se change en Mi'' '\- 2.Ntu + Pw*...(G), cette forme G sera ambiguë et renfermera F\

Démonstration. I. Pour faire voir que la forme G est ambiguë, nous démontrerons que Mibfju" — 2afjLv — cv^)=2A>5 car alors

r divisant a, b, C) -(JbfjJ" — 2aiJLv--'Cv'^ sera entier, et partant

nN un multiple de M.

Or Mr=^Ant'^2Bmn-\'Cn'', Nrz={Amv — BQnfJL — nv) — Cnij)e -, d'ailleurs il est facile de s'assurer que l'on a

2e + 2a = e — e' + a — r/ = (ût— a')(^+J")— (/3—/S0(>+>') " 2^. = (oc+ot')(/3-/30+(«.-a)(/3 + ^0> et comme 77z (>+>') = 77 (ot-f-a) , 772 (cT+cT') = tz (/3=/5') , il en résulte {2c -|- 2a) n •\- inb = o , ou

me'\-ma'\-nb-=^o .(7).

De même

2e— 2a=e— ^'~£2+^=(ûc+a')(cr~cr')— (>+>o(^— ^)

d'où 77(2^ — 2a) -|-2772c=o. . . ou ne — 7za+772C=o (8).

Maintenant si l'on ajoute à nï'^bfjJ' — sa/Av — ci'*) la fonction (i — m}j. — nv){im{e — a)-\-{m}X'\-\)h}'\'{rne-\-ma'\-nb){m}j.V']rv) ^(jic — na'-\-'mé)mv^ , qiri se réduit à zéro, puisque i — 777/a — 77^=0,

(*) Si l'on avait à-la-fois ct4-a'=:o, y-\-y'=zo, /2 + /3'=o, J'-j-J'rrto,

le rapport — serait indéterminé , et partant la méthode inapplicable. Mais une

légère attention sulTit pour voir qu'on aurait alors e-=e\ et comme d'ailleurs on a er= — e', il s'ensuivi^ait err:e' = o; donc alors le déterminant de la forme F serait nul , et nous excitions ici les formes de déterminant zéro.

ARITHMÉTIQUES. i55

vi6-\-ma'\-nbz=zo , ne — na-\-mc:=o, et qu'on effectue les produits en effaçant les termes qui se détruisent, on trouvera zmve-i-bj donc

772* (bpL^ — 2afJLv — cv'') = 27nve -i- b (9).

De même, si l'on ajoute à mn{b/x'--^2afjLv — cv") la fonction

on trouve

mn^bjjJ' — 2afjLV''^cv'):=:{nv'—'mijC)e — a (10),

Enfin si l'on ajoute à n^ipiAJ" — aj/^tj/ — cv'') la fonction (mi^-i-nv- 1 ) { fii^ (e-}-a) + (nc-f-i 1 ) c } — (7ne+ma+n6)n/A* — (ne-na-f me) (n,a»-f-/^) ,

on trouve

n^Çb/JL" — 2aiu(,v — cv") = — 2nju(,e ^- c (i i).

Donc si l'on multiplie l'équation (9) par ^, (10} par 2B et (11) par C, il vient

Ç^Am''+2Bmn+Ca'')Q)iJ.''~2a^v-cv'')=L2e^Amv+B{nv-mi^.)-CmiJi'\-\-Ab-2Ba-Cc^

ou à cause de l'équation (6),

M {bfJL * — 2afJLv — cv'')^=. 2Nr,

II. Pour prouver que. la, forme G renferme la forme F', nous démontrerons

1°. Que G devient F' en posant

t={jl^A-^vy)x'+{ii^-\'vi)y' . . .7i==- (na.—my)x-{-- (n.3— . mS)y (5),

2\ Que -{net — jny) et -(nfè — mê') sont entiers,

I'. Puisque F devient G en posant a;=7;2/ +— ;/, y = 77/ — tî-u

la forme G se changera par la transformation {S) en la même forme que celle en laquelle F se changerait en posant

xz=:m (/Aa+;^>)x'+ 772(^/S+> J')/4- y(nci-^my)x-^ , (n(2—mé ) / = (/77^-|-7zy)a:c'-|- {mfJL-\-nv) /3y= (ix'-\~^y,

i56 RECHERCHES

Mais par cette substitution, F se change en F'; donc par là

substitution {S) la forme G se change en F\

5'. On déduit facilement des valeurs de e, b, d l'équation t^'e^yj) — 3t^=o, ou comme d=. — ^, a ^+atû[-{-;.Z'==o, éliminant b au mojen de l'équation (7) , il vient

QicL'^my)a = {iny—^nciL)e (12) j

or on a Mib = — ff.m (^ -f- a) , ymb = — m {&!e + aa) -, donc

{n(*.'—'my)b^=.(c^' — 0L)me (i^)?

enfin on trouvera ye— 5^fl + ac;=;o, éliminant a au moyen de l'équation (8) , il vient

(ncL-~^7ny)c:=:{y^^y')ne (ï4)'

On trouve de même fi'e-^<^b — /3^=o , ou /3'^-f-cr^ + /3a = o; éliminant b au moyen de l'équation (7) , il vient

{n^~^mê')az=:{mS'—n^')e (i5):

or on a P>nb=, — /3/7z (^-|-a) , S'mbz=. — m(/3'^+/3a) j donc

(«jS — mS^)b^{^''-^)me , .(16):

enfin on trouve cT'^ — £r^z-|-jSc=o, et en éliminant a au moyen de l'équation (8), on a

(n^^mS')c :==:(J'-^r)ne (17).

Le plus grand commun diviseur des nombres a, b, c étant r, si Ton détermine A", B", C'de manière qu'on ait A"a+B"b-{'C"c=:r, on trouvera au moyen des équations (12), . , . ,(17),

A" (my-. n:t') +^"(ct — aO m-^C"(y — y)n= - («*— m^). . . .

et partant, -(«ot — my) et -(«/3 — /tzcT) sont entiers.

i65. Exemple, La forme 5:c*-|-i4^^jr — 4j° se change en la forme —-12a;'* — i8a:'y+59y% proprement en faisant x = 4-^'4-^y'> ^= — x' — 2y, improprement en faisant a:=— 74-^'+ 8gj^', ^=;= i5jc' — i8y. On a donc a+a'= — 70, /3+/3'=ioo, ^-j-^=i4*

«r-f-cr'= — 20; et — ^= •^^;= — . Faisons donc 7ws=5, w=: — i»

Comme

ARITHMÉTIQUES; i^;

Comme on doit avoir 5^ — v = i , on satisfera évidemment à cette équation en faisant ^=o et v=: — i j d'ailleurs on trouve ez=5f a= — 2^7, b= — 1170, c=48j leur plus grand commua diviseur r=5 : ce qui donne pour la transformation qui change F en G, a:=:5t — u et y=: — t, La forme ambiguë G est ellemême ^ — i6lu-\-5u''.

Si les formes F et F' sont équivalentes, la forme G sera aussi renfermée dans F' puisqu'elle l'est dans F', mais comme elle renferme cette même forme, elle lui sera équivalente, et partant à la forme F, ainsi dans ce cas le théorème s'énoncera ainsi:

SI F et F' sont équîi^alentes tant proprement qu'impropre" ment f on pourra trouper une forme ambiguë équivalente à chacune d'elles. Au reste, dans ce cas ^:;=d=i , et partant r qui divise e doit être aussi =1.

Ce que nous avons dit suffit pour la transformation des formes en général j passons à la représentation des nombres.

166. Si la forme F renferme la forme F', tout nombre qui •pourra être représenté par Y pourra Vêtre aussi par F.

Soient x, y, x' , y' les indéterminées des formes F et i^' respectivement, et supposons que le nombre M puisse être représenté par F' en faisant x'-=.m et y=:c, et que la forme i*'se change en F' par la transformation ;c = a:c' -j- /3y , jz=:yx -{-S^f , il est évident que i^ deviendra Men faisant :r=:A77z-|-/37z, jj=^7;z-|-J 77.

Si M peut être représenté de plusieurs manières par F\ savoir, en faisant encore x:=:m' , y=.n' ^ il pourra l'être aussi de plusieurs manières par -F: en effet, si l'on avait à-l a-fois <x77z+/372 = a77z'-|-/372' t.tym'\-S^n:=:ym'-\'ê'n!, il s'ensuivrait 777(01/ — /3;) =77z'(*cr — /S;) et n{x^ — ^y)z=.n'{cL^ — /3^), ce qui exige que aJ' — G>y=^o y et partant, que le déterminant de la forme i*''soit=o, contre i'hjpothèse, ou que mz=:m' et n-=.n' , il suit de là qu'il j a au moins autant de manières de représenter M par F que par i^'.

Si donc F et F' sont équivalentes, tout nombre qui pourra être représenté par l'une pourra l'être par Tautre et d'autant de manières.

Observons enfin que dans ce cas le plus grand diviseur commun des nombres m et n est égal au plus grand diviseur commun des nombres etm-^^fin, ym-j-^n. Soit en effet A ce diviseur, prenons les nombres fji et v tels qu'on ait ya/TZ-j- i'W=A, on aura

Donc le plus grand diviseur commun des nombres cam + /3/z , ym-\-(^n divisera A; mais A le divise, puisqu'il divise évidemment a7n-{-^n, yin -{-(^n; donc ce plus grand commun diviseur est égal à A. Il suit de là que si m et n sont premiers entre eux, oLm-^-^/i et ym-^Sn le seront aussi.

167. Théorème. Si les formes ax' + ^bxy-f-cx*. . . .(F), a'x'''+2b'xy-f-c'y*. . . .(F') so7it équivalentes j que leur déterviinant soit D , que la dernière se change en la première en faisant x' = ax+/3y , y' i=iy^-\' S'y y que d'ailleurs le nombre M soit représenté par la forme F en faisant ^•=: va, y = n, et partant, par la forme '^' en faisant x'=3im+^n=m', j'=;/m-|-£rn=n', m et Vi. et p arçons équent m' et n' étant premiers entre eux, les deux représentations appartiendront à la même valeur de Vexpression \/D (mod. M), ou à des valeurs opposées, sui^'ant que la transformation de ¥' en F sera propre ou impropre.

Soient déterminés les nombres /a, v de manière qu*on ait

L c •. "V — yv , 0u4-ee.v f.^. ^^

fjLm-{-'VJi:=^i, et soient raits ^ ^ =-1^3 V ^ =^ ( ). Un aura

(n°précéd.)^'772'-|-)/V=:i. Soit d'ailleurs

//(èm 4- ciï) ^ ! (am 4- hn) ^F. . l^' {b'm!-^ c'ri') ^ /(à'*n'=f Vti^) z^F'^- ' ^

V et V sont les Valeurs de l'expression \/D (mod. ik/) auxquelles appartiennent la preniière et la seconde représentation. Cela posé, si dans V on met pour m!, lï , y!, v leurs valeurs, et dans

V pour ^. . .€LêJ'-\-'3J/a.y'\-dy^, pour b. . .a'aL^-^h'^a-S-^^yyircyS, pour c. . .a'/3^ + ^^'/S cT-j-c'cr^" , on trouve , toutes réductions faites , /^=2=^'(ctfr-- /3>), et partant V:=zV' ou F"=:— -F', suivant que ^-^^y sera =+i ou = — i. Donc, etc.

Si donc on a plusieurs représentations d'un nombre M" par la forme (a, b,c) au moyen des valeurs de x, y premières entre elles et qui appartiennent à des valeurs différentes de l'expres-

("^) /!// et / sont des nombres entiers puisque c^ — /3î/=±: 1

AKITHMÉTTQUES. i^g

sîon \^D (mod. M) -, Jes représeutafions par la forme (à\ h', c') appartiendront aux mêmes valeurs , et s'il n'y a aucune représentation du nombre M par une certaine forme , qui appartienne à une certaine valeur donnée, il n'y en aura aucune non plus qui appartienne à cette valeur pour une forme équivalente.

i68. Théorème. Si le nombre M -peut être représenté par la

forme ax''+2bxy-|-cj* en donnant à x et y des valeurs m et n

premières entre elles , et que N soit la valeur de V expression

y/D (mod. M.) à laquelle cette représentation appartienne y les

formes (a, b, c)e/f M, N, — =^ — \seroniproprementéquii>alentes.

Il suit du n'' i55 qu'on peut trouver des nombres entiers }l et V qui satisfassent aux équations

m//,-f-72v= I . . . .}ji{hm-\-cn) — v(am'\-hn) = N.

Cela fait, la forme (a, h, c) se change, au moyen de la substitution X =: 772^'' — vy', y = nx' -\-^y, ea une forme dont le déterminant :=. D(mix -\- nvy z=: D , c'est-à-dire en une forme équivalente. Si on suppose cette forme = (^ , B , C) , on aura

C= — -^ — , d ailleurs

A^=uim''^2h?n7i-}-cn*=z:M, B=Z'-^mva'\-(m}jL — 7iv)h-\-nfxc'=. N',

donc la forme (^, ^ , C) revient à [M^ N, ^ J.

Au reste, des équations

7»/* + 7ZK=i fJi{mh'\-nc) — v{ma-{-nb)z=:If ,

jfj ., ma 4- nb 4- nN mb 4- ne — ml^ on déduit. . ./*= j^ . . .j; = j. -,

qui Siéront ainsi des nombres entiers.

11 faut observer que cette proposition n*a pas lieu quand M=:o , car dans ce cas on doit avoir N'' — Z)^=o, d'où il suit que

" ,^ est indéterminé.

Irl

. i6g. Si l'on a plusieurs représentations du nombre M par la forme (a, b, c) qui appartiennent à la même valeur N de l'expression \/V (mod. M), en supposant toujours les valeurs de.r, j^ premières entre elles, on en déduira plusieurs transformations propres

i4o RECHERCHES

de la forme {a, h , c). . .{F) en (m, N, :i^^). . .(61); savoir^

si une de ces représentations provient des valeurs ao=:m', yz=n', F se changera en G par la substitution

^.=;;»V+ "''^'~^'°~"' ...r=n'cc' [ ■''^'+'-^^^ + '''\

Réciproquement, une transformation propre de i^" en G étant donnée, on en déduira une représentation de M par la forme i*^, qui appartiendra à la valeur N. Si F se change en G en posant œz=7nx — vj et y=:mx -{-f^yf on représentera iW par la forme ^ en posant œ=7n, y=.n, et comme 77z/-t,-f-7Z)'=i , la valeur de l'expression \/D (mod. M) à laquelle appartient la représentation sera fj.{bm--\-cri) — v{am-^b7i)=zN. En outre de plusieurs transformations propres différentes ^ on déduirait autant de représentations diverses appartenantes à la valem* N ; car si l'on supposait que la même représentation pût dériver de deux transformations propres différentes , ces deux transformations étant œ-=.moc — vy et y=inoo' -^-ii.y y xz=.mx' — v'y, y;=,no(î -{^fx'f'^ de* deux équations

TniJ.-\-nv=:^vn,u!-\-m' . . . . (Ji.{mb -^ ne) — v(Tna-^nb) = yf(mb-}-nc) — /(jna-^-nb') ,

on déduit sans peine qu'il faudrait qu'on eût il/=o, ou bien IJ.:=:f/, v:=Vy or Ja première condition est déjà exclue, et nous avons supposé m' et n' différens de m et n. Il résulte de là que si on avait toutes les transformations propres de F en G , elles donneraient toutes les représentations de M par F, qui appartiennent à la valeur iV. La recherche des représentations d'un nombre donné par une forme donnée, dans lesquelles les valeurs des indéterminées sont premières entre elles, se réduit donc à trouver toutes les transformations propres de cette forme en une autre forme équivalente donnée.

En appliquant ici ce que nous avons dit n" 162 , on conclut facilement que si une représentation du nombre M par la forme F appartenante à la valeur N, est donnée par les valeurs jr = a, yz=.y , la formule générale qui comprend toutes les représentations du même nombre par la forme F , sera

<tt — («tô-f-^c)!/ yt-\- {Aa-^yb)u

ATÎITHMETIQUES. tit

PI étant le plus grand commun diviseur des nombres a, zh, c, et t y II tous les nombres entiers qui satisfont indéfiniment à l'équation

i» — Dii^ = m*.

170. Si la forme {a, b , c) est équivalente à une certaine forme ambiguë, elle sera équivalente, tant proprement qu'improprement,

à la forme {M , N, — j^ — j, ou encore elle sera proprement équivalente tant à la forme f M, N, — ^7 — j , qu'à la forme

(m, — N, — ^ — ] ( n° iSg ); ou aura donc les représentations

du nombre M par F appartenantes soit à la valeur -f- ^ * soit à la valeur — N. Et réciproquement, si on connaît plusieurs représentations du nombre M par la même forme F , et que ces représentations appartiennent à des valeurs opposées de l'expression \/D (mod. M"), la forme F sera équivalente à la forme G tant proprement qu'improprement, et l'on pourra assigner une forme ambiguë équivalente à F. *

Ces principes généraux sur la représentation des nombres nous suffisent pour ce que nous avons à dire à présent. Nous parlerons plus bas des représentations où les indéterminées ne doivent pas avoir de valeurs premières entre elles. Quant aux autrespropriétés, les formes dont le déterminant est négatif^ demandent à être traitées d'une manière tout-à-fait différente que celles dont le déterminant est positif. Aussi nous allons maintenant considérer séparément chacun de ces cas : nous commencerons par le premier comme étant le plus facile.

171. Problème Etant proposée une forme quelconque (a, b, a') âont le déterminant est négatif ^ ut = — D , trouver une forme (A, B, C) qui lui soit proprement équii^alente, et dans laquelle A.

soit non > 2 l/^-g y Bnon > y A, C non<. A,

Nous supposons que ces trois conditions ne soient pas réunies dans la forme proposée , autrement il serait inutile de chercher la seconde forme. Soit l/' le résidu jninimum absolu du nombre — h.

suivant le module a\*) et a"=- ,- > q^^i sera entier, puisque

ï4^ RECHERCHES

U^ = h' y d'oii h'' + D^l?'-\-D^ aa! ( mod. a'), Mainf enant ', si a" <ia' f soit encore Z»" résidu minimum de — Z>% suivant le

module a", et «'" = — ;; — . Si a' <, ol' , soit de même Z'"' résida absolu minimum de — U' , suivant le module d", et à"^ = 3; — ;

en continuant celte opération jusqu'à ce que l'on parvienne à un. terme a*^"**^'^ de cette progression qui ne soit pas plus petit que le terme précédent a*^'"^, ce qui arrivera nécessairement, sans quoi on aurait une suite de nombres entiers plus grands que zéro et décroissans à l'infini. Alors la forme (a'", b"^ , a"^-^') satisfera à toutes les conditions.

En effet, 1°. dans la suite de formes {a,b, a'), {a'fb'ja'), (a% b" y a"^ , etc. , une quelconque est contigu'ë à celle qui la précède; donc la dernière est proprement équivalente à la première (n^s i5g et 160).

2". Comme b^""^ est le résidu minimum absolu de — h^"'~^'^, suivant le module a^""^ , il ne sera pas plus grand que ^ a^'"^ (n° 40'

5". Puisque a^"'\a<^"-+-'^ = Z>+Z^<^'"^*, et que a^'"-*-'^ non <, a^""^ , ^(m)2 jie sera > D -{- ^^'"^^ -, et comme b^"''^ est non > f a^'"^ , a^""^* ne sera pas > Z) + i ^^"''"' > ou f a^'"^* ne sera pas plus grand que D j

donc enfin a^'"^ non > 2 1/ -g-.

Exemple. Soit la forme (3o4^ ^17* i55) dont le déterminant ;= — . 5i , on trouve la suite de formes : ( 3o4 * 217 , i55 ) , (i55,— 62, 25), (25, 12, 7), (7, 2, 5), (5,-2, 7)5 et la dernière est la forme cherchée. De même, pour la forme (i2i,49>2o) dont le déterminant est — 19, on trouve les formes équivalentes : (20,-9,5), (5,-1,4), C4> i>5)-, donc (4, i, 5) est la forme cherchée.

Nous appellerons ybr/Tze^ réduites\e% formes (^y4,B, C), qui sont

telles que , le déterminant étant négatif, on ait A non > 2 1/^ -^ , >H non > 7-^, et C non <.A; ainsi on peut trouver une forme

("♦") Il faut remarquer que si a ou a' étaient zéro, le déterminant serait un quatre positif , ce qui est contre l'hypothèse , par la même raison c et a ne peuvent être de signe contraire.

réduite proprement équivalente à une forme donnée quelle qu'elle soit.

172. Problème. Trouuer les conditions nécessaires pour que deux formes réduites non identiques et de même déterminant négatif, soient proprement équivalentes.

Soient les formes {a, b , c) , {a\ b', c') dont le déterminant est — Z) j supposons, ce qui est permis, que a' ne soit pas > a, et que la forme ax^ -\^ 2bxy -^ey'' se change en aV^'-f- sZ? Vjk'-j- c'y*, par la substitution propre x =£ eux' + ^y' > J^ = 7^' + ^J* On aura les équations

L'équation (i) peut se mettre sous la forme aa'z=.(acL-^hyy-{-Dy^, donc aa' est positif j et comme on a d'ailleurs ac :=: D ^h^ , OLc'z^.D-^b''^, il s'ensuit que ac, ad , aci sont positifs, et partant que

a, a! , c, d sont tous de même signe. Mais a et a sont non > 2 \/ ^ ;

donc aa' , et à plus forte raison Dy'' ne sera pas > f J9 5 mais y doit être entier, il sera donc o ou db i.

I. Si y=o, l'équation (5) donne a.S'zzz i , et partant ct=rfci, et cf = d= 1 : dans les deux cas, il résulte de l'équation (i), a=za', et de l'équation (2) Z>' — ^ = dz/3ii- niais b est non ^ {a, U non > \a' , et partant non > -a-, donc l'équation b' — b:=zt:^a ne peut avoir lieu si b est dô même signe que b' , à moins qu'on

ii'aitZ'^Z^', d'où s'ensuivrait c'= — ^ — == — — — =:c, et partant , à

moins que les formes (a,b,c), (xi! , b' y c') ne soient identiques , ce qui est contre l'hjpothèse. Si ^ et b' sont de signe contraire, cette équation n'aura lieu non plus qu'en supposant b = — b' dz ^ a, ce qui donne de même c' = c ; la forme (a', b', c) sera donc (a, — b, c), c'est-à-dire opposée à la forme (a, b, c). On voit d'ailleurs que ces formes sont ambiguës, puisque zbz=.-{-a (n° i63).

II. Si 5/ = ± I , l'équation (i) devient aa'+c — a'=dz2bsL-y mais c n'est pas -< û: , et parconséquentpas <a'j donc 2bx n'est certainement pas -< aa* j ainsi 2b n'étant pas^a, <x ne sera pas <C «.* , ce qui exige qu'on ait a = o, ou ct = d: i.

1°. Si a = o, l'équation (i) donne c-=za'\ et comme on a àla-fois a non > a! et non < c , il s'ensuit que a = a = c : or

i44 RECHERCHES

l'équation (5) donne jS;. = — i , et partant l'équation (2) devient Z»-!- ^' = d=crc==rtJcz. On pourra supposer seulement ici, comme dans le cas précédent, bz=b\ ou ô = — b\ Par la première supposition, les formes (^z, b, c), (a', b' , c*) seraient identiques, par la seconde elles seront opposées.

2% Si a = =bi, réquation (i) donne « *f-c — a'=:=p2^; mais a et c sont tous deux non <,a' , donc 2.b sera non << a et non <C c) d'ailleurs on a 2.b non >> a et non >• c\ donc nécessairement a = c= =h 2b. L'équation a + c — < a' = =f; 2^ donne alors d= 2Z> = a'i ainsi l'équation (2) devient

ou comme ens' — fiyz=.if

ce qui exige, comme ci-dessus , que b-=.U , ou que 3 = — b' . Or , dans le premier cas , les formes seraient identiques contre l'hjpothèse ; dans le second, elles sont opposées et ambiguës. Il résulte de cette analyse que les formes (^, b, c) , (^', ¥, d)

ne peuvent être équivalentes , à moins qu'elles ne soient opposées et en même temps ambiguës, ou telles que a z=z c zzz^ a' z=. c\ Il était évident, à priori , que dans ce cas les formes sont proprement équivalentes; car , comme opposées , elles sont improprement équivalentes, et comme ambiguës, elles le sont aussi proprement.

Mais si an=:c, la forme, ( v ^^~" ^ a-^b, a\ sera contiguë,

et partant équivalente à (^ï, ^, c) j mais comme Z>+3*==fl<:=^%

on a — ^ = 2g — ib i et la forme {p.a — 2b , a-^b, d) est

ambiguë, donc Qa, b, c) sera aussi proprement équivalente à son opposée.

On juge facilement par là si deux formes réduites (a, b, c), (a', b'j c') non opposées, peuvent être improprement équivalentes. En effet, elles le seront, si (a, b, c) et (a\ — Z^', d) qui ne sont pas identiques, sont proprement équivalentes; sinon elles ne le seront pas. Il suit de là que les formes proposées, pour être improprement équivalentes, doivent être identiques, et en outre ambiguës, ou telles

qu'on

ARITHMÉTIQUES. i45

qu'on ait a == c. Mais les formes qui ne sont ni identiques , ni opposées, ne peuvent être équivalentes ni proprement ni improprement.

175. Problème. Etant données deux formes F et F' de même déterminant négatif , chercher si elles sont équii^alentes.

Cherchons deux formes réduitesyet/' proprement équivalentes aux formes F^ F' respectivement. Si les formes/",/' sont équivalentes proprement ou improprement, ou des deux manières, F et F' le seront aussi j mais si f et f ne sont équivalentes d'aucune manière, F et i^'ne le seront pas non plus.

Par le n" précédent , il peut arriver quatre cas :

1°. Sifetf ne sont ni identiques ni opposées, F et F' ne seront équivalentes d'aucune manière.

2°. Sifetf sont d'abord identiques ou opposées, et ensuite ambiguës, ou telles que leurs termes extrêmes soient égaux, F et F' seront équivalentes proprement et improprement.

5°. Sifetf sont identiques , mais qu'elles ne soient pas ambiguës, ou qu'elles n'aient pas leurs termes extrêmes égaux, F et F' ne seront que proprement équivalentes.

4". Sifetf sont opposées, mais qu'elles ne soient point ambiguës, ou qu'elles n'aient point leurs termes extrêmes égaux, les formes i*" et F' seront seulement improprement équivalentes.

Exemple. On trouve pour les formes (4i , 35, 5o), (7, i8, 4?) dont le déterminant est — 5, les réduites (1,0, 5), (2, i, 3) qui leur sont respectivement équivalentes ; donc les formes proposées ne sont équivalentes en aucune manière. Mais les formes (25, 38, 63) , (i5, 20 , 27) ont la même réduite (2, i , 5} , et comme elle est en même temps ambiguë , les formes proposées seront équivalentes proprement et improprement. Les formes (37, 53, 78), (53, 73, 102) ont pour réduites (9, 2,9) et (9, — 2,9)-, comme elles sont opposées et que leurs termes extrêmes sont égaux, les formes proposées sont équivalentes tant proprement qu'improprement,

i74« Le nombre des formes réduites qui ont un déterminant donné — D, est toujours fini, et même assez petit par rapport an nombre D , et il y a deux manières de trouver ces formes

i4G RECHERCHES-

elles-mêmes; désignons indéfiniment par (^a y h, c) les formes réduites dont le déterminant est —D, il s'agit de déterminer toutes les valeurs de a , b et c.

Première Méthode. On prendra pour a tous les nombres tant positifs que négatifs qui ne sont pas plus grands que \/^D , et dont — Z) est résidu quadratique; et pour chaque valeur de <z, oji prendra ^ successivement égal à toutes les valeurs de l'expressipn ^/-rr-D (mod. a) , qui ne sont pas > ^ <2 , en les prenant tant

positivement que négativement. Quant à c , on le fera = —^ — .

S'il résulte de là quelques formes dans lesquelles c <! ^ , elles

seront à rejeter, et les autres seront évidemment des formes réduites.

Deuxième Méthode. Soient pris pour Z> tous les nombres positifs ou

négatifs q^i ne surpassent pas!/ ^; pour chaque valeur de b , on

décomposera b^ -^ D de toutes les manières possibles, en deux facteurs pris positivement ou négativement , et non plus petits que 2b j en prenant l'un des deux , le plus petit s'ils sont inégaux,' pour la valeur de a , et l'autre pour la valeur de c. S'il en résulta

quelques formes dans lesquelles a^al/^r, elles seront à rejeter ; les autres seront visiblement des formes réduites. Il est d'ailleurs évident qu'il n'j a pas une forme réduite qui ne puisse se trouver par fchacune des deux méthodes.

^^ Exeinple, Soit Z) = 85. Par la première méthode, la limite dés valeurs de a est \/ ^ qui tombe entre lo et ii. Or les nombres compris entre i et lo, et dont le résidu est ^^ , sont: I , 2 , 5, lo, d'où résultent les douze formes suivantes:

(i,o,85),(~.i,o, — 85); (2, 1,45), (3, — 1,43), (—2,4- 1,-43), (—2, — 1,-^45); (5, o, 17), ( — 5, G, — 17); (irO^ 5, II), (10, — 5, ii),( — 10, 5, — II), ( — 10, — 5, — II)..

Par la seconde méthode , la limite des valeurs de h est |/^ qui tombe entre 5 et 6. En supposant ^ = o, on trouve les formes : (i , o, %^), (—1, 0, — 85), (5, o,. 17), (—5, 0,-1.7); pour ^ = :=t I : (2, db I, 4^% ("^^^ ^ti, — ^). Il n'j en a aucune pour ^=^3, parceque 89 n'est pas decomposable en deux facteurs dont chacun soit non < 4. La même chose a eu lieu pour ^=dt 3 et ;±: 4*

Enfin, pour h = -±:5, il vient (10, d=5, 11), (— lorfcS, — n). 175. Si parmi toutes les formes déduites d'un déterminant donné, on supprime une des deux qui sans être identiques sont proprement équivalentes, celles qui resteront jouiront de cette propriété remarquable, qu'une forme quelconque de même déterminant sera proprement équivalente à quelqu'une d'entre elles, et à une seule; car, sans cela', il resterait encore des formes réduites proprement équivalentes entre elles. D'où il suit que toutes les formes de même déterminant peiwent se distribuer en autant de classes au" il sera resté déformes réduites, en comprenant dans la même classe les formes qui sont proprement équivalentes à la même réduite. Ainsi, pour D = ZS, il reste les huit formes réduites , (1,0, 85), (2,1,43), (5,0,17), (la, 5, II),

(--1,0,^85), (-2,1, -45), (^5,o,-.i7),(-io,5,~ii). Donc foutes les formes dont le déterminaiît est —85, peuvent se distribuer en huit classes, suivant qu'elles sont proprement équivalentes a la première, à la deuxième, etc.; et il est clair que les formes d'une même classe sont proprement équiA^alentes, tandis que deux formes prises dans deux classes différentes ne sauraient être proprement équivalentes. Mais nous traiterons ci-après avec plus de détail, le sujet de la classification des formes ; nous n'ajoutons ICI qu'une observation. Nous avons déjà fait voir que si le determinant de la forme {a, b, c) est négatif, a et c sont de même signe, et on s'assurera, comme nous l'avons fait pour les formes réduites, que si (^, h, .)> (./, ^^ C) sont deux formes équivalentes, a a,c c seront de même signe (^). II suit de là que les fbrmes dont es termes extrêmes sont positifs, sont absolument distinctes de celles dont les termes extrêmes sont négatifs, et ou'il suffit dans les formes réduites , de considérer celles qui ont leur termes extremes positifs, car les autres sont en même nombre !€€

on aura acû + ^Uy -f- cy z=: a' , d'où aa! =( act4. bS Y ^ n ^

soient de même signe. ^ ^

i48 RECHERCHES .

elles naissent des premières , en changeant les signes des terme*^ exfrêmes. La même chose a lieu pour les formes réduites à rejeter et à retenir.

„ 176. Voici en conséquence une table qui contient, pour quelques déterminans négatifs , les formes suivant lesquelles toutes celles du même déterminant peuvent se distribuer en classes*, mais, suivant la remarque du n° précédent, nous n'en avons mis que la moitié, c'est-à-dire celles dont les termes extrêmes sont positifs.

Déterm

Il serait superflu de continuer plus loin cette table, puisque nous donnerons plus bas une bien meilleure manière de la disposer.

Il résulte de cette table que toute forme dont le déterminant est — I, équivaut proprement à la forme œ'''\-y'', si les termes extrêmes sont positifs , et à la forme — x'' — y' , s'ils sont négatifs j que toute forme dont le déterminant est — 2, et dont les termes extrêmes sont positifs , équivaut à la forme :r*-f-2j'% etc, que toute forme dont le déterminant est — 11 , et dont les terme» extrêmes sont positifs, équivaut à l'une des quatre : ^r'' + nj'*^ 2X^ -j- 2xy -H ^y" , 3:c* -f- 2xy + /^y"" , 3jc' — ixy + 4r% etc.

177. Problème. Etant donnée une suite de formes telle que chacune soit continue à celle qui la précède par la dernière partie, trouver une transformation propre de la première en une quelconque de la suite*

Soient les formes (a, b,a')=F, (a\ h', a")=zF, {a", h\ a')z=^F%

(a\ b"', «■v)=:F''...etc. Faisons ^-±-^- = H, ^= U\ ^-^^h\ etc.

nommons x , y . . , x'^ y . . . x", y", etc. les indéterminées des formes F, F', F", etc. et supposons que F se change

en F' par la substitution xz=:ol' x' -{-^' y y y:=y x' -{-S'y

F" ^=£t"a;"+/3y' . . .Y=y"x"-\-ry"

F* a:=flt"jc"+/Sy . . .j==5,'^x'^+ J^y.

Cela posé, comme F se change en. F' en faisant xz= — y' et yz=x'-\'h'y, F en F" en faisant ^'=— /'. . ./=x"4-/zy , F" en F" en faisant x"=: — y"" et y" :=^od' -{-If y" , etc. on trouvera facilement les équations suivantes:

etc.

tt'^=/3"

etc.

d*où l'on tire

etc.

S"' ^Ji!" r —y" etc.

a =0 etc.

etc.

etc.

etc.

il suit du n° iSg, et de la formation de ces quantités, que les différentes transformations sont propres.

Cet algorithme très-simple, et auquel on applique facilement le calcul, est analogue à celui du n° 27 Ç^) , auquel même il

(*) On aurait , d'après la notation du n° 27 ,

où les signes ambigus doivent être — , — ; — ,-f-;-fj — \+ i -f> suivant que r» est de la forme 4A' , 4A: + 1 , 4/^ -f- 2 , 4/v -f- 3 ,

cr"=:rh[/i', — A", h', It A(«)] ,

où les signes , dans les mêmes cas , doivent être -|-, — \ -f-, -\-; — , — ; —, -f--

Mais le désir d'abréger nous empêche d'insister davantage sur ces forraiiles , qu'au reste chacun pourra confirmer aisément.

i5o KECHERCHES

est facile de le ramener. Au reste, cette solution n'est pas restreinte au cas des formes de déterminant négatif; elle convient à tous les cas, pourvu qu'aucun des nombres a', a!', a", etc. ne soit égal à zéro.

178. Problème. Étant données deux forme s Y et ï de mémù déterminant négatif et proprement équwalente.s.,. tromper une transformation propre de l'une en Vautre,

Supposons que F soit la forme {A, B, A')\ par la méthode du n° 171, on cliercheca la suite des formes {A! , B' , A"), (A", B", A"'), etc. jusqu'à la réduite (A^'"\ B^'"\ ^^'"-+-'5;. Soit (iz, b^ a) l'autre forme/; on cherchera de même la suite {a', b', a"), {a\ b\ (h"') y etc. jusqu'à {aS^'^y b^"'^, a^"-^'^), qui est la réduite. Alors il peut se présenter deux cas :

1°. Si les formes {A^^\ B^^\ A^'"'^'^), {a'^"\ 1^"^ a^^-^'^) sont identiques , ou à - la - fois opposées et ambiguës , les formes /^(m-t)^ ^Cm-i)^ A"^), {a^"^, b'*~'^, a<^"~'^) seront contigues, A^"^-'^ désignant l'avant-dernier terme de la suite A, A', A", etc. (il en est de même de B^—^\ a^'^-^\ Z^f—'^); car ^«=^^"5, j^c— o^5(m) = o (mod. ^'") , ^Cn-o^^w^o (mod. a^'"5=^<^'")), d'où 5^'"-'^— Z>^''~'^-i-jB^"'^ — Z>^''^^^o*, mais si les formes réduites sont identiques, B^'^ — ^w^^o; si elles sont opposées et ambiguës,

£Cm) ZjC"):^^^; donc dans les deux cas ^^"'r'^ — ^"-'^=0. Il

suit de là que dans la suite de formes:

(^, B, A'), {A\ B\ A") .... (^C- 0, i5C— 0, ^C-)) , (aC"), — 6C-0, aC""')) , (aC"-')^ — .M"-^), aC"-^)) . . . (a , — Z», a), (a, h, a').

Une quelconque est contiguë à celle qui la précède, etparconséquent (n° précéd.) on pourra trouver une transformation propre de F enf.

2% Silesformes(^t'"), iS^'"),^^'"-^'^), (.^w ^w ^(-^O) n'étant pas identiques, sont opposées et que leurs termes extrêmes soient égaux, on aura ^w = ^C'"-^'5 = a^''^ = «^"■^■^ à'ohA^-^^^=:a^"\ei

^m ^cn-o- (M"^-f-Z><^"-'^), et partant divisible par û^"^; donc la

forme (^^""^ B^"''^, A^'"-^'^) est contiguë à la forme (a% -—b"-', a""), et la suite:

C^, £, A'), {A', B\ A"). . . .(^C-n), fiO"), ^C-^O), (ûC"), -iCt-0, aC-O), (a^l''\ — 6C«-^), a^"-^^). .,.{a\ ^b, a) , (a, b , a')

AKITHMÉ TIQUES. i5i

jouît de la même propriété que la précédente. Oa pourra donc trouver une transformation propre de F en f.

Exemple. Soient les deux formes {2Z , 58^ 63), (i5, 20, 27); On trouvera

Ha i^.. (23, 38, 63), (63, 25, 10), (10, 5, 3),(3,i,2),(2,— 1,3) P°"^\la2%... (i5, 20, 27), (27, 7, 2), ( 2, 1, 3).

Les deux réduites sont opposées et ambiguës; les deux formes proposées se rapportent parconséquent au premier cas. La suite de formes contigu'és sera donc

Il en résulte //=52±H2=i, h"z=:^^^:=^, W^^^lt^^-^-Z,

/j'==— I, ;z"=o, d'où l'on déduit a"=— 13, jS^'srr— 18, >"=8> cr^'=ii. Donc en faisant a;= — 13/ — \^il et j'=8/-f-ii«, la forme 23;i:'+76:c)^-|-63j* se change en i5/*-|-4<^/w+27Z/''.

De la solution du problème précédent on déduit facilement la solution de celui-ci : F et ïétant deiixforines improprement e'quii^'alent es, trouver une transformation impropre de F en f. Soit en effet f:=:iat''-\-2btu-\-au^, la forme g^zap"" — 2hpq'{-a'(^* , <\\iï estopposée à y sera proprement équivalente à F. On n'a donc qu'à chercher une transformation propre de F en g', soit xt=ia.p^^q ^ y=:yp-\'j'q cette transformation; il est clair (n*^* i58 et 159) que F deviendra f par la transformation a:=a/ — l^u, yz=:yt^^^Ut qui sera impropre.

Si donc les formes F, f sont équivalentes tant proprement qu'improprement, on pourra trouver une transformation propre et une transformation impropre.

179. Problème. Etant données deux formes équii^alentes F, f, iroui^er toutes les transformations de F en f.

Si les formes F etfne sont équivalentes que d'une manière, c'est-à-dire, proprement ou improprement, on cherchera par le n° précédent une transformation de F en f, et il est clair qu'il ne peut y en avoir d'autres que celles qui sont semblables

j52 recherches

à celle-là. Si les formes F, f sont équivalentes des deux manières, on cherchera deux transformations, l'une propre, l'autre impropre. SoitF=(^, By C), B^ — AC=. — D et m le plus grand commun diviseur des nombres A^ n^B , C Alors , par le n° 162 il est constant que toutes les transformations de F enf se déduiront d'une seule dans le premier cas, et que dans le second toutes les transformations propresse déduiront d'une transformation propre, et toutes les transformations impropres, d'une transformation impropre, pourvu qu'on ait toutes les solutions de l'équation i^'\'Du'=jn\ Dès qu'elles seront trouvées, le problème sera résolu.

Or comme on a D=zAC^-'B'', il s'ensuit que 4Dz=/^AC — 4-S% ou -— = ^^-7 {— - ) ; donc -— est un nombre entier. Cela posé,

1°, Si -— >4> on aura Z)>77i% et partant, dans l'équation

i^'{-Du' = T7i''f on a nécessairement 11=0 et tz=.'±im. Donc si F Qi f hq sont équivalentes que d'une manière , et qu'on ait une transformation x=zcilx' -{-^y , y:=yx'-\-S'yf on n'en trouvera pas d'autres que celle-là même qui résulte de la supposition tz=.in (n° 162) , et la transformation ^=: — cf^x — /3y,jK = — yx' — S'y ', mais si F ei f sont équivalentes des deux manières, et qu'on ait une transformation propre x:=.clx' -^^y , yz^yx'-^-S'y' , et une impropre a: = a':c'-|- /S'j'', y^y^'-h^'f > on n'en trouvera pas d'autres que ces deux, qui naissent de la supposition t=.jn, et les deux a:= — ct.x' — ^y', y=z — yx' — jy, . . . ^=^-aV — /2y, yz=: — y'x' — jy, que fournit la valeur /= — m*

2°. Si -—=4 ou D=:m'', l'équation ^'^--D^^''=77^' admettra quatre

solutions; izrzm, «=o*, /= — m, «=o; / = o, w=i; /=o, «;=— I. Donc si F,f sont équivalentes d'une seule manière, et qu'on ait la transformation a: = ax''+/3/', ^=5.a;'+cry, on en tirera en tout les quatre suivantes :

ce =rfc: eux' ± jSy , yz=z^yx'zt.Sf,

y = de -^ x;àz — v ;

mais

toiais si 2^ et /sont équivalentes des deux manières, c'est-à-dire si, outre la transformation donnée, il j en a encore une qui soit dissemblable, cette dernière en fournira encore quatre, desorte qu'il y aura huit transformations. Au reste il est aisé de démontrer que si Dz=zm\ F et/ sont toujours équivalentes des deux manières. En effet, comme on a alors iri'^AC B\ B luimême sera divisible par m, et si l'on considère la forme (A B C\ ^, .

\m' m' m)' ^°^ determinant sera — i, et partant elle sera équivalente à l'une des formes (i^ o, i), (—1, o, — -i). Or on voit facilement que la même transformation qui change f-, - -^ en

(=fci. G, ±1), changera la forme {A, B, €) en {zt:m, o, -azm), qui est ambiguë^ donc la forme (^, B, C) étant équivalente à une forme ambiguë, sera équivalente des deux manières, à la forme {a, b, c) (pp^ i63 et suiv.).

^°* ^^ 1^'^'^ ^^ 4^=^^rn% 771 sera nécessairement pair, et comme dans l'équation /^+Z)z/^=:m% il faut que z^"<f , on aura__ six solutions : t=z7n, u=:0', t=:-^77i, u=zo; t='jm, u=i' t^\77i, z^= — ij t:=z^Lm,u—i-^ ?=— .f77z,z/=:— I. Si donc on connaît deux transformations dissemblables,

on en déduira douze autres , savoir, six semblables à la première, et qui sont; X=:±Lctx'dzQy , y — ^yx'^^y

et sixsemblables à la seconde, qu'on obtiendra en met tant dans cellesci a, /3, p., cT.pour a', /3', y, J'. JVJais on peut faire voir que dans ce cas F et / sont équivalentes des deux manières: car la forme

"m ' m'inj^^^^ — 4m*^^ — ^ P^^*-' déterminant, et sera par-

j54 recherches

conséquent équivalente à la forme (dbi,o,ri=3) on à celle - cî (dc:2,d!Zï,dz2) (n* 1 76), d'où l'on voit facilement que la forme {A,B,C)

équivaut à Tune des formes (=±=^. o, =fc:~^,(±w,±|7w,dtw),

qui sont toutes deux ambiguës. Donc, etc.

4^ Si f = :^; on a(^|-y=4^-2,etpartant(2|y--.2

(mod. 4). Mais comme aucun quarré ne peut être ^ — 2 (mod. 4) (a* io5), cette hypothèse est inadmissible,

S\ Si ^J==i, on a(-^^y = 4^-i=-i (mod.4), ce qui

est impossible j donc cette hypothèse est encore inadmissible.

Comme d'ailleurs D ne peut être ni =0, ni <o, il n'y a pas d'autres cas que ceux que nous venons de parcourir.

180. Problème. Trouver toutes les représentations d'unnombre donné M par la forme ax^ + abxy+cy» F, dont le déterminant est négatif, les valeurs de n. et de y étant premières entre elles.

On a vu (n° i54) que l'on ne pouvait résoudre ce problème que dans le cas où — D est résidu quadratique de M-, on cherchera donc d'abord toutes les valeurs différentes, c'est-à-dire, incongrues de l'expression \/ — Z) (mod. M)\ soient ces valeurs ±iV, àzN', dzN", etc. Pour rendre le calcul plus simple, on peut prendre toutes ces valeurs telles qu'elles ne soient pas >| M". Cela posé, comme une quelconque de ces représentations appartient à quelqu'une de ces valeurs, nous considérerons chacune en particulier.

Si les formes F, (M, N, ^ J ne sont pas proprement équivalentes, il n'y aura aucune représentation de M qui appartienne à la valeur N {n" 168) -, mais si elles le sont, on n'a qu'à cher-

cher une transformation propre de F en (M, N, —jf—j 9 qui

soit:i: = ajr'4-/3y, y=>^'+ciy, et l'on aura ^ = a, j=^ pour la représentation du nombre M par la forme F , qui appartient à la valenr N, Soit m le plus grand diviseur commun des nombre?

,'j iO

A , nB, C, et nous pourrons distinguer trois cas: ' '

AD - : uù '">

j°. Si -— >4, il n'y aura pas d'autres représentations quecee

deux-ci : ;ç=a, J=;^J ;r5=:— ce, y^'-^y (u"* 169, 180).

ARITHMETIQUES. ï55

2*. Si —=4> il y aura quatre représentations : ^=d=ct^j=:rfc;/j

o". Si ~=5, il y aura six représentations:

On cherchera de la même maiiièreles représentations que donnent les valeurs — iV, 4-iV% — W, etc.

i8i. La recherche des représentations du nombre M par la forme F y dans laquelle .-c et^ ont des valeurs quelconques, peut se ramener au premier cas. Supposons que cette représentation ait lieu en faisant x^=zjxe, y^if^f, ensorte que fJL soit le plus grand diviseur commun des nombres /^e, fjif , ou que e et /soient premiers entre eux -, on aura M^z/x" {Ae'-^ ^^^-f. Cf^), et parconséquent iJi"est divisible par/A»j et la substitution ^=e, y^=f fournira une représentation du nombre — par la forme F, dans laquelle X etjr ont des valeurs premières entre elles. Si donc M n'est divisible par aucun quarré, il n'y aura pas de telles représentations ; mais s'il renferme des diviseurs quarrés , que nous appellerons /A% v^, ttS etc ', On cherchera d'abord toutes les représentations du

M nombre — par la forme (A, B, C), dans lesquelles les valeurs

de X, y sont premières entre elles; ces valeurs multipliées par /t, donneront toutes les représentations de M, dans lesquelles yL est le plus grand commun diviseur de x et de/*, de la même manière on trouvera toutes les représentations dans lesquelles v est le plus grand commun diviseur de ^ et de j, etc.

On peut donc, par les méthodes que nous venons d'exposer, trouver toutes les représentations d'un nombre donné, par une forme donnée de déterminant négatif.

182. Descendons maintenant à quelques cas particuliers remarquables autant à cause de leur élégance, que par l'assiduité avec laquelle Euler s'en est occupé.

i56 RECHERCHES

1°. Aucun nombre, à moins que son résidu quadratique ne soit — I , ne peut être représenté par la forme ^r^+J'* t dans laquelle X Qt y sont premiers entre eux , ou sont décomposables en deux nombres quarrés premiers entre eux ; mais tous les nombres qui jouiront de cette propriété pourront se décomposer en deux quarrés. Soit iV/ un de ces nombres, et rfciV", ±iV', ±iV", etc. les valeurs de l'expression \/ — i (mod. M) 5 alors par le n** 176

la forme {M, N , ^ j sera proprement équivalente à la forme

(1,0, i)j soit :r=aa;'+/3j', y^^-yx^^ê^y' une transformation

propre de la forme (i , o, i) en la forme [M, N, — 1^— -) j on

aura les quatre représentations suivantes du nombre Af par la forme •^''-f-J% savoir, a? ==bct,y=db^j x:==py , yz=zi=ci.(2\ — n°i8o).

Comme la forme (i , o, i) est ambiguë, il est évident que la

forme (M, — N, — 5-~) lui ^st aussi proprement équivalente ,

et que la première se change en la seconde par la transformation propre x-=a.x' — ^y , y=: — T'^'-f-cT^", d'où naissent quatre représentations de ikf appartenantes à — N , x=zt:cL, yz^zpy; a: = zfc5/,/ = =pa. Il suit de là qu'il y a huit représentations du nombre M, dont quatre appartiennent à la valeur iV, et quatre à la valeur — iV. Mais toutes ces représentations donnent la même décomposition du nombre M en deux quarrés, M:=: «-'' + >*, tant qu'on ne considère que les quarrés , et non Tordre et les signes des racines.

Si donc il n'y a pas d'autres valeurs que Net — iVpour l'expression \/ — I (mod. M) , ce qui arrive, par exemple, toutes les fois que M est un nombre premier, ili"ne pourra être décomposé que d'une manière en deux quarrés. Or comme — i est résidu de tous les nombres premiers de la forme 4^+ i (n° 108), et qu'un nombre premier ne peut évidemment se partager en deux quarrés non premiers entre eux, nous aurons le théorème suivant.

Tout nombre premier de la forme 4^ -^i peut être décomposé en deux quarrés , et ne peut Vêtre que d'une seule manière* Ainsi :

etc.

Ce théorème élégant a été donné par Fermât , mais Euler est le premier qui l'ait démontré, Comm, nou, Petj\ T.v. ann, ijS^et 1755. p. 3. Dans le T. iv , il existe une dissertation sur le même sujet, p, 8 ; mais alors il n'était pas parvenu à son but.

Si donc un nombre de la forme 4^^ + i ne peut pas être décomposé en deux quarrés , ou peut l'être de plusieurs manières, on sera sûr que ce n'est pas un nombre premier.

Mais réciproquement, si l'expression \^ — i (mod.Af) a encore d'autres valeurs que iV et — iV, il y aura d'autres représentations de M, Ainsi, dans ce cas, M peut se décomposer en deux quarrés de plusieurs manières j par exemple : 65 = i + 64 = 16 + 49 , 321 =25+196= 100 + 121.

Les autres représentations dans lesquelles x ç^i y prennent des valeurs non premières entre elles , se trouvent facilement par notre méthode. Observons seulement que si le nombre M renferme des facteurs de la forme 4^ + 3 , dont on ne puisse pas le délivrer en le divisant par un quarré , ce qui arrivera toutes les fois que le nombre M renfermera des puissances impaires de ces facteurs , il ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés (^),

/* It ^ y

(*) Soit le nombre M" =2 .S. a b c , etc., ensorte que a, b, c, etc. soient des facteurs premiers inégaux de la forme 4'^-f-i , et 5 le produit de tous les facteurs premiers de la forme 4«+3; cette forme donnée au nombre il/ convient dans tousles cas ; pour M impair , il suffit de faire //-— o; si M ne renferme aucun facteur de la forme 4n-\-5 , on fera 3= 1 : si S n'est pas un quarré , M ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés ; mais si S est un quarré, il y aura i(A-(.i) (.S-f-i)(;.-f.i), etc. décompositions de 31, lorsque quelqu'un des nombres*, /S, y, etc. sontimpairs, et il y en aura|(«-f-i) (/S^- 1) C^+O» etc. -f-i, quand tous les nombres ct,^,-y, etc. serontpairs, tant qu'on ne fait attention qu'aux quarrés eux-mêmes. Ceux qui ont quelque habitude du calcul des combinaison? , déduiront sans peine de notre théorie générale la démonstration de ce théorème , auquel nous ne pouvons nous arrêter , non plus qu'à d'autres particuliers. (Voyez n° io5).

2''. Pour qu'un nombre puisse être représenté par la forme ^1 ^ 2y'' , X et y étant premiers entre eux , il faut que ce nombre ait — 2 pour résidu. Soit donc M un nombre qui ait — 2 pour résidu, et soit iV une valeur de v/-— 2 (mod. M)-, alors (n" 176)168 formes

(i, o, 2), (M, N, "'m' ) ^®^'°"* proprement équivalentes. Supposons que la première se change en la seconde par la transformation propre a: = cf.x' + /3y , y = yx' -f- «ÇkS on aura deux représentations xz=:zh oL,y=::t:y du nombre M appartenantes à la valeur N, et il n'jen aura pas d'autres (n° 180 — i°.) D'ailleurs on voit, comme ci-dessus, que les représentations qui appartiennent à — iV,sont a:== d= oc ,y = rp 5/. Mais ces quatre représentations ne donnent qu'une seule décomposition du nombre M en un quarré et le double d'un quarré; et si l'expression \/ — 2 (mod. M) n'a pas d'autres valeurs que iV et — iV, il n'y aura pas d'autre décomposition. De là, à l'aide des propositions du n° 116, on déduit facilement le théorème suivant :

Tout nombre premier de la forme 8n -|-i o« 8n -f- ^ ^ /?^^^^ être décomposé en un quarré et le double d'un quarré , et cela d'une seule manière ; ainsi , 1= 1+ o, 3= i-{- 2, 11= 9-f- 2, 17= 9 + 8, 19= 1-I-18, 41= 9+52, 45 = 254-18, 59= 94-5o, 67 = 49+18, 73= 1 + 72, 83 = 8i+2, 89 = 81+ 8, 97=25 + 72, etc.

Ce théorème, ainsi que plusieurs autres semblables, était connu de Fermai -, mais Lagrange l'a démontré le premier ( Suite des Recherches Arithmétiques, Noui^, Mém, de VAc, de Berlin, ijjS, p. 525). Euler avait déjà trouvé beaucoup de choses qui appartenaient à ce sujet (Specimen de usu obsen^aùionum inmathesi purd. Com, nov, Peir, T, VJ. ) ; mais la démonstration complète lui a toujours échappé, p. 220. On peut voir aussi , T. vin , la dissertation intitulée : Supplementum quorumdam theorematurn arithmetic or am.

5°. Par la même méthode on démontrera que tout nombre dont — 5 est résidu quad., peut être représenté par la forme a;'+3/», ou par la forme 2jc' + 20:^^ + 2/% de manière que x Qi y soient

ARITHMÉTIQUES. i5g

premiers entre eux. Donc, comme — 5 est résidu de tous les nombres de la forme S/z-f- 1 (n" iïq), et qu'il n'y a que des nombres pairs qui peuvent être représentés par la forme 2Z^ -\^ 2xj -\' 2^" , oa aura, comme plus haut, le théorème suivant :

Tout nombre premier de la forme 3n-|- i , peut se décomposer en un quarré et le triple d*un quarré , et cela d'une seule manière ,

3i = 4H-27, 37=25-{-i2, 45 = 164-37, 61=494-12, 67=644- 3, 75 = 254-48, etc.

Euler a donné le premier la démonstration de ce théorème dans le mémoire déjà cité ( Comm, noi^, T* VJii, ). Nous pourrions continuer de la même manière, et démontrer, par exemple, que tout nombre premier de la forme 2on 4- 1 > 20724-8, 20n -f- 7, 20/24-9 (ceux dont — 5 est résidu) peuvent être représentés par l'une ou l'autre des formes x*4-5j* et 2^' 4- sjtk -^- 5j-» -, savoir, les nombres de la forme 20/2 +1 , 2on 4- 9> par la première ; ceux de la forme 20/24- 3, aon^j , par la seconde j tandis que les nombres doubles de ceux de la forme 20/2 4- ^ f ^on -}- 9 seraient représentés par la forme 2x'^ -^ 2xy -i- ^y , et que les nombres doubles de ceux de la forme 2on 4- 3 , 20/2 4- 7 > le seraient par la forme a;* 4- 5/* ' mais chacun déduira facilement cette propo» sition, et une infinité d'autres particulières, tant de ce qui précède que de ce que nous allons exposer.

Nous passerons donc aux formes de déterminant positif, et comme leur nature diflère quand le déterminant est quarré , et quand il ne l'est pas, nous commencerons par exclure ici le premier cas, que nous considérerons ensuite à part.

i83. Vroblème, Étant donnée une forme quelconque (a,b,a') dont le déterminant soit un nombre D positif et non quarré, trouver une forme (^ A, B, C) qui lui soit proprement équii^alente , et dans laquelle'Bsoitpositifet<C^T>y etdans laquelle A, s'il est positif ou — A, si A est négatif, soit compris entre y/D 4- B ^/ j/D — B,

Nous supposons que les deux conditions ne se trouvent pas réunies dans la forme proposée, autrement il serait inutile d'en chercher

•ï6o RECHEnCHES

une aufre \ ef nous observerons qu'aucun des termes exfrêmes ne peut être nul , car , sans cela , le déterminant serait un quarré (n° 171 ). Cela posé, soit b' ^ — Z?(mod. «'), et compris entre \/D et \/D qp a" (en prenant le signe supérieur quand a' est positif, et le signe inférieur quand il est négatif) -, il est aisé de démontrer que l'opération est possible , par un raisonnement semblable à

celui du n' 5. Soit ensuite a" z=: -, — . a" sera un nombre en-

tier , parceque Z>" — D^b" — D^ aa! ^ « ( mod. a!). Si a" < a\ on prendra encore h" ^ — ^'(mod. a"), et compris entre \/D et

x/D'Tf.a' (suivant que a" sera positif ou négatif), et û"' = — -, — ; si l'on a d" <. a" , on prendra encore V""^ — b{moA, a" ) , et compris entre \/D et \/D q: a" , et a^'' = — ^, — , etc. On continuera ainsi jusqu'à ce que l'on parvienne à un terme a^""^'^ qui ne soit pas plus petit que le précédent d-""^ , ce qui doit arriver nécessairement , car autrement une progression de nombres entiers pourrait décroître à l'infini. Alors en faisant a<^'"^ = ^, b^'"^=Bf ^(.m-hO—-Q^ la forme (-^, B, C) satisfera à toutes les conditions. En effet :

1°. Puisque dans la suite déformes (a,b,a'),(a\b\a"),(a'',b",a'"), eic, une quelconque est contiguë à celle qui la précède ', la dernière (A, B , C) sera proprement équivalente à la première.

2\ Comme B est compris entre \/D et v/-D=t2-^j en prenant toujours le signe supérieur quand A est positif, et le signe inférieur quand il est négatif, il est clair que si l'on fait \/D — B=:p et 5 — ( y/D z:f.yiï)=iq , p et (/ seront des nombres positifs, quel que puisse être le signe de \/D =f: -^. Or on s'assurera aisément que <7" + 2pq -f- 2py/D z=: D -i- A^ — B^; or le premier membre est essentiellement positif, donc le second l'est aussi; et comme D^=:B^ — AC y il s'ensuit que A^ — AC^ o -, mais A n'est pas plus grand que C, donc nécessairement A et C sont de signe contraire-, donc aussi , puisque B^:=D'i-AC, on a B^<.JO etB<\/D,

5% Puisque D <,B' et que -^ AC z=i D -^ B"^ , on a AC<D

(abstraction faite du signe); et comme ^ est non > C, on a

aussi

AKITHMÉTIQUES. lÔi

aussi A < \/D ; donc ^D rp A sera positif, et partant , B qui est compris entre \/D et ^/Z) q= A,

4". Donc , à plus forte raison , \/D + ^ qp ^ > o • et comme \/D — BzizA = — g , ^<o, zhA sera compris entre les limites \/D + 5 et y/D — ^.

Exemple. Soit la forme (67, 97, 140) dont le déterminant est 29 ; on trouvera la suite des formes : (67,97, ^^^)> {^^^> — 97y^7) * (67, — 37, 20), (20, — 3, — i), ( — I, 5, 4). La dernière est la forme cherchée.

Nous appellerons /brw^^ réduites les formes (A , B, C), dans lesquelles A , pris positivement, est compris entre ^D--\-B et \/D--^B , B étant positif et < \/D , et le déterminant Z) étant positif et non quarré. Ces formes réduites diffèrent un peu de celles dont le déterminant est négatif j mais à cause de leur grande analogie , nous n'avons pas voulu introduire des dénominations différentes.

184. Si l'on pouvait reconnaître l'équivalence de deux formes réduites, de déterminant positif, aussi facilement que nous l'avons fait pour celles de déterminant négatif (n" 172), on reconnaîtrait sans peine l'équivalence de deux formes quelconques de déterminant négatif: mais ici la chose est bien dififérente, et il peut arriver qu'un grand nombre de formes réduites soient équivalentes entre elks. Ainsi, avant d'entreprendre cette recherche, il est nécessaire d'examiner plus à fond la nature des formes réduites ( de déterminant positif non quarré, ce qu'on doit toujours sous-entendre dans ce que nous aurons à dire ).

1°. Si (^2, if y c) est une forme réduite, a et c seront de signe contraire j car en nommant D le déterminant, on aura acz^zb'' — />, et partant négatif, puisque b<^\/D.

2°. Le nombre C pris positivement, est, ainsi que a, compris entre \/D + ^ et \/D"^b j car — c = ; donc , abstraction

faite du signe , c sera compris entre J], = y^D — Z' et D 6»

,62 llECHERCHES

3°. Il suit Se là que (c , b , û) est aussi une forme réduîfe.

4°. a et c seront < 2 {/D ; car chacun d'eux est < {/D -^ b , et A plus forte raison < 2{/D,

5". b est compris entre y/D et v/-0=F^ (©" prenant le signe supérieur lorsque a est positif, et le signe inférieur quand il est négalif). En effet, comme rfc « est compris entre \/D-^b et y/D — Z> , on aura rt: a > {/D — b , ou ^ > \/D =f: « : d'ailleurs b •< \/D , donc b est compris entre v/Z> et \/D rpa. On démontrerait absolument de la même manière que b est compris entre \/D et y'Dqpc (suivant que c est positif ou négatif).

6". Pour toute forme réduite ( a , b , c ) , otz peut en troui^er une également réduite qui lui soit contigue par Vune ou Vautre partiel mais on n'en pourra trouver qu'une.

Soit a'-^=^Cy b' ^' — h [moA. a' ), et compris entre \^D et

\/D-=çia , 6'' = — ; — •, la forme {a', b'y c') sera contiguë par la

dernière partie, à la forme (^a, b, c) \ et il est clâif que s'il ^iste une forme réduite contiguë à la forme {a, b, <? ) par la dernière partie, elle ne peut être autre que {a', b' , c')\t\ reste à faire voir que cette forme est effectivement réduite,

{A). Soit fait >/D '\'b'=ç.a! —p , =ir^'--( /ZJ — 3) r=^, \/D — h-=.r\ il suit de la définition des formes réduites de (a*^), que />, q i r sont positifs; et si l'on fait encore h' -^ \/{Dzjpa') :=.(/', |//> — b^tzztr' , q' et / seront positifs, puisque b' tombe entre \^D et \/D-=f.a'; soit enfin b-\-b' z^ztima' , m sera entier. Or il est clair que p -{- q' z=z h '\' b' , d'où il suit que d= ma' > o , et partant ttz >» o , et m—'i non <C o j ^t comme on a encore r -f- v' d= Twa' = 2^^' =t a , d'où l'on tire lb' ■=. r -^ q zh. a' {m — ^i), il s'ensuit que Z)' est nécessairement positif, et comme b'z=.^ D-^f'^ que b' < \/D,

(^). Or on a r-àzma' t^ \/D -\-b, d'où rth(m — i )a' z=s V/i>+Z?=pa% donc y^ n'{-b>dza' ; d'ai\\emsq'=d=a—(i/IJ—b'), donc d=a'>\//^ — b'-, donc enfin =ba' est compris entre y'D-^-è et \/D — b,

La forme (a\ b' , c') est donc une forme réduite.

On démontrera de la même manière, que si l'on fait 'a^:=ia9

ARITHMETIQUES. i63

*h^ — ^ (mod. 'c), et compris entre \/D et \/Dzf.c /a-=. — ^^— ,

(^'a,*by'c) sera nue forme réduite. Il est manifeste d'ailleurs qu'elle est contiguë par la première partie à la forme (a, Z», c), et que nulle autre forme réduite ne peut jouir de la même propriété.

Exemple, Soit la forme réduite (5, ii, — • i4) dont le déterminant est 191 , on trouvera les réduites ( — 14, o, i3) ( — 22, 9, 5), dont la première est contiguë à (5, 11,^ — .14) par la dernière partie, et la seconde par la première partie.

7°. Si la forme réduite (tz', Z>', c") est contiguë parla dernière partie à la forme (a, hj c), la réduite (<?', b', a') sera contiguë par la première partie à la réduite {c, b, a)\ et si la réduite {'a/b/c) est contiguë par la première partie à la réduite (tz, ^, c), la réduite Çcy 'b , 'a) sera contiguë par la dernière partie à la réduite (c, h y a). Or les formes ( — 'a^ 'b, — '<?), ( — a, b, — c^ , ( — a! , b, — d) seront des réduites , et la seconde sera contiguë à la première , la troisième à la seconde , par la dernière partie j ou bien , la première sera contiguë à la seconde, la seconde à la troisième , par la première partie. Il en est de même des formes ( — c', b' — a'), ( — c yb f—'d) , ( — 'cy'by — '«}. Cbs véritcs sont si évidentes, qu'elles n'ont pas besoin d'explication.

i85. Le nombre des formes réduites d'un déterminant donné D est toujours fini , et elles peuvent se trouver de deux manières. Représentons indéfiniment par (ûj, b , c) toutes les formes réduites dont le déterminant est D , ensorte qu'il s'agisse de trouver toutes les valeurs de a, b, c.

Première méthode. On prendra pour a tous les nombres plus petits que ^^/Z), soit positivement, soit négativement, dont D est résidu quadratique*, et pour chaque valeur de iz , on fera b égal aux différentes valeurs de l'expression \/D (mod. a) comprises

entre \/D et v/ZJrpa, et c= , S'il en résulte quelques

formes dans lesquelles =fc a sorte des limites \/D -f- ^ et ^D — b , i] faudra les rejeter.

Deuxième méthode. Ou prendra pour b tous les nombres positifs <C^\^ D'y pour chaque valeur de Z> , on décomposera b"" — D de

i64 RECHERCHES

toutes les manières possibles en deux facteurs qui soient comprii entre \/Z) -f- ^ et \/D — ù, abstraction faite du signe, et l'on fera l'un d'eux =« et Tautre = c. Il est évident que chaque décomposition en facteurs donnera deux formes, car l'un quelconque des deux facteurs peut être pris pour a , et l'autre pour c.

Exemple. Soit Dz=jg; par la première méthode , on trouve pour a vingt-deux valeurs : ± i , 2, 5, 5, 6, 7, 9, 10, i3, 14, i5, d'où résultent les ig formes suivantes :

( i,8,-i5),C 2,7,-i5),C 5,7,-io),( 3,8,- 5),( 5,7,-6), ( 5,8,- 3),( 6,5,— 9),( 6,7,- 5;,C 7,3, — io),C 7,4,-9)» ( 9,4,— ?)>( 9'5,— 6),(io,3,— 7),(io,7,— 5),(i3, 1,— 6), (14,3,— 5),(i5,2,— 5),(i5,7,— 2),(i5,8,— i).

On en trouvera encore autant en changeant les signes des termes extrêmes, par exemple : ( — i, 8, i5), ( — 2, 7,4- i5) , etc., ensorte qu'on en aura trente-huit en tout. Mais comme ± a doit être compris entre les limites \/D-{'b et \/D — b, il faut rejeter les six formes: (=i=i3, i,=p6), (=±:i4, 3, =p:5), (dbi5,2=f:5) 5 et les trente-deux qui restent, forment toutes les formes réduites.

Par la seconde méthode, on déduit les mêmes formes dans l'ordre suivant :

(±7,3,=f:io), (=i=io,3,=p7),(db 7,4,=p 9), (=4= 9^4=F ?)> (d=6,5,=p 9),(± 9,5,=F6),(db 2,7,=pi5;, (=b 3,7,=pio), (±5,7,=+: 6),(=b 6,7,=f:5),(dbio,7,rp 3),(±i5,7,q= 2), (±i,8,=pi5),(=fc 5,8,=f:5),(d= 5,8,zp 3), (±i5,8,=ï= i).;