première partie à la même forme réduite ; et partant identiques

on a de même jF*^""-»^ = J'*^'"■^"-*^ etc., et enfin i?' = i^^''\ Aia«i

ARITHMETIQUES. iB5

dans la progression F , F', F", efc.^ pourvu qu'on la continue assez' loin , on retrouvera enfin la forme F '^ et si nous supposons que F^""^ soit la première identique avec F , c'est-à-dire que toutes les formes F', F\ . . . F*^"-'^ soient différentes de F, il est aisé de voir que toutes les formes F, F' , . . . F^"-'^ seront dififérentes entre elles. Nous appellerons l'ensemble de toutes ces formes /a péjiode de la forme F j si donc on continue la suite après la dernière forme: de la période, les formes F', F", etc. reparaîtront de nouveau, et' la suite entière sera composée de cette période répétée à l'infini.

La progression F, F', F' t etc. peut aussi être continuée en sens inverse, en plaçant avant la forme F une forme 'F qui lui soit contiguë par la première partie, avant celle-ci une forme F'f etc. On aura de cette manière une suite de formes infinie dans les deux sens^

et l'on verra facilement que 'F est identique avec F'^''~'^, "F avec jTdn—i-)^ etc. et que parconséquent la suite est aussi formée, vera. la gauche, de la période de la forme F répétée à l'infini.

Si l'on attribue aux formes F, F', F", etc. 'F, "F, etc. les indices o, I, 2, etc. — I, — 2, etc., et généralement à la forme jp^'"V l'indice m, à la forme ^'"^/^ l'indice — m, il est clair que des formes que/conques de la suite seront identiques ou différentes , selon que leurs indices sont congrus ou incongrus , suii^ant le module n. Il ne faut pas confondre les indices dont il est question ici , avec ceux du n° 67. Les premiers ne sont que des accens , et les derniers de véritables exposans.

Exemple. La période de la forme (3, 8, — S), dont le déterminant est 79, se trouve ainsi être :

après la dernière, la première (3, 8, — 5) reparaît , et l'on a ici /z = 6.

187. Voici encore quelques observations générales sur ces périodes.

i\ Si les formes F» F', F\ etc. 'F, "F y etc. sont présentées

i66 BE CHERCHES

comme il suit: {a, b^ — a'), ( — a^ h', «"), {a', h', — a'') y etc. ( — 'a, 'b y a) y ("a y "by -— V)> (r^"^* '"^ > "^)> ^tc. tous les nombres a, a', a", a" y etc. 'a, "a, "a , etc. auront le même signe (n° 184 — 1°,)» et les nombres b, b', h", b", etc. 'b, "by etc. seront nécessairement positifs.

2". Il suit de là que le nombre n des formes de la période est toujours pair; car le premier terme d'une forme quelconque F^"'^ de cette période, aura évidemment le même signe que le premier jj terme de la forme F %\tn est pair, et le signe contraire si tti

est impair j or F et F" sont identiques, donc n est un nombre pair.

3^ Dans le calcul indiqué (n" 184 — 6°.) , pour trouver les différentes formes F ^ F', F", etc. , au lieu des expressions

a, -; , CL .r— — 7p , CL 5= -^j , etc»

on peut substituer les suivantes, qui sont plus commodes, lorsque jD est un grand nombre , et qui s'en déduisent facilement :

. i^+h^ib-b') ..ib'+b")ib'-b") ^^^b''-\-b"')ib"-b"')

"4"* Une forme quelconque i^^"*^ contenue dans la période de F conduit à la même période qu'elle j ensorte que la période de cette forme sera i^<^"'^ F^"'-^'\ . .F^''-'\ F, F\..F^"*t'\ dans laquelle les mêmes formes reviennent dans le même ordre, et qui lie diffère de la première que par le commencement et la fin.

5°. Il suit de là que toutes les formes réduites de même dé-, terminant D peuvent être distribuées en périodes. On prendra une quelconque F de ces formes, et l'on cherchera sa période que nous désignerons par P, Si P ne renferme pas toutes les formes réduites dont le déterminant ^stD, soit G une des formes qui n'j egt pas contenue , et Q sa périio<3ç> il est çl^ir qt^e P et Q n'ont aucune forme commune, car autrement G serait contenue dans P et les périodes coïncideraient. Si P et Ç n'épuisent pas encore toutes les formes réduites, une de celles qui y manquent fournira une troisième période R , qui n'aura aucune forme commune avec P et Ç, et ainsi de suite, -jusqu'à ce que toutes les

ARiTfiMÉTI Q UteS. 1^7

Formes rédnUes soient épuisées. Ainsi, par exemple, les formas réduites dont le déterminant est 79 se distribuent en six périodes,

i....Ci,8,— 15), (— 15,7,2), (3,7, — 15), (— î5,8, 1).

4. . . . (-3, 8, 5 ), ( 5. 7, -S), (-6, 5,9), (g, 4, -7)> (-^. 3, 10), (ib; 7, --5).

6. . . . (-5, 8, 3 ), (3, 7, -10), (-lo, 3, 7), (7, 4, -9), (-9, S, 6), ( 6, 7, -.5)..

6'. Nous nommerons /br77î(?J associées, celles qui sont composées des mêmes termes , mais placés dans un ordre inverse , comme (tz, h j — a'), . ( — a, b, a). On voit alors facilertïdnc (n° 184, 7°.) que si là période de la forme réduite F est F , F', F", etc, que/ soit associée k F, f' à irc«-'), /" à F^''-^\ etc. yen-.) à F", /f"-'5 à F, la période de / sera f, f, /". . /^"-^ et contiendra, partant, le même nombre de formes que la pé* riode de F, Nous nommerons périodes associées celles qui sont ainsi composées de formes associées. Les périodes 3 et 6 , 4 et 5 de l'exemple précédent sont dans ce «.as-Ià.

7°. Mais il peut arriver aussi que la forme /"se trouve elîe-inêmé dans la période de son associée, comme aux périodes i et 2 de notre exemple, et que parconséquent la période de la forme F coïncide avec celle de la forme y, C'est-à-dire que la période de la forme F soit elle-même son associée. Toutes les fois que cette circonstance a lieu, la période renferme deux fornaes ambiguës. Supposons en effet que la période de la forme i^ contienne 2 /i^ former, ou que F=:F^''"^, Soit 2/7z-|-i l'indice de la forme f dans la période de F (car F et y ont leurs premiers termes de signe contraire, (2°.), c'est-à-dire que irc^m-M) ^j. f soient associées; il est évident qu'alors F' et F'^'""^ seront aussi associées , de même F" et ^C»m~o^ etc., et partant F^""^ et F^'"-^'\ Soit /^'">=(^<^'"\ Z't'">— a^^'"-^'^), jPQm+o :- ^ ^(m -+- o ^ ^cm -+- 1)^ ^(m -+- ») ^ -^ qu aura ù^'"^^b^"' -^ '^ ^ o (mod.a^""^'^)-, mais parla définition des formes associées Z»'^*^=-Z'*^'"'^'^; donc 2h^'"-*-'^^o (mod. a<^'"^'^), c'est-à-dire que la forme F^""-^'!

est ambiguë De même, les formes i*"*^'"^ et Z^'^^'"'*"^ sont associées, donc aussi i^'C^m-^a) ç^ /rtn-o^ /rcm+s) ^^ /7(^«-o^ gt^^ çt ej^fin p-Cm-t-n) cf. ^(„,4.„+,)^ j^^^ j^ dernière sera ambiguë, comme on le prouvera par un raisonnement semblable. Mais comme ;7i-i-i

et w-f-72 + i sont incongrus suivant le module un, les formes jfCm-t-o gt ^(m+«-+-o ne seront pas identiques (n° i86, où n représente ce que représente ici27z). Dans la période i , les formes (i, 8, — 15), (2,7, — 15)-, dans la période 2, les formes ( — i, 8, i5), ( — 2, 7, i5) sont ambiguës.

S''. Réciproquement, toute période qui renferme une forme ambiguë sera elle-même son associée. En effet, on voit aisément que si F^""^ est une forme réduite ambiguë, sa forme associée, qui est aussi réduite, lui sera en même temps contiguë par la première partie, c'est-à-dire que F'^"'~''^ et jF^'"^ sont associées. Mais alors toute la période sera elle-même son associée. Il suit de là que dans une période , il faut nécessairement qu'il y ait plus d'une forme ambiguë ; mais il ne peut y en avoir plus de deux.

En effet, supposons que dans la période de la forme F, il se

trouve trois formes ambiguës F , F , F , X,/x, v étant <2«,

et inégaux. Alors les formes/'^ et F seront associées 5 de

même F^'^""^^ et-F^^"^'^ etc. et enfin /^ et i^^'''''~'^3 parla même

raison, JF* et i*" , F et F , seront associées. Donc les

formes F , F '" y P seront identiques, et partant

leurs indices seront congrus suivant le module 2/2 ; donc aussi T^^^^v (mod. 2/z), ce qui est absurde, puisqu'il est évident qu'il n'y a pas trois nombres différens congrus suivant le module 27Z, et plus petits que lui.

188. Comme toutes les formes de la même période sont propretnent équivalentes, en est porté naturellement à chercher si deux formes prises dans des périodes différentes peuvent être équivalentes. Mais avant de prouver que la chose est impossible , il -est nécessaire que nous nous occupions de la transformation des formes réduites.

Comme dans ce qui va suivre il sera souvent question de la ti-ansformation des formes, et afin d'éviter autant qu'il est possible la prolixité, nous nous servirons dorénavant de la manière suivante d'écrire. Si une forme /.jr*+2M. Xi^+iVJT* se change i en

ARITHMETIQUES. 169

en la forme /^* 4- 2^0:/ -j- «y* par la substitution Xz=:oLX-\-IBjf jr=yx^(^y , nous dirons plus simplement que (L, 31, N) se change en (/, m, n) par la substitution a, /S, y, «T. De cette manière il ne sera pas nécessaire de représenter par des caractères particuliers les indéterminées des formes dont il sera question; mais il est clair qu'il faut bien distinguer dans toutes les formes la première et la seconde indéterminée.

Soit proposée la forme réduite (^, b, — a')z=f et dont le déterminant estZ?; on formera comme aun° 186 une suite de formes réduites qui s'étende indéfiniment dans les deux sens, ' > ""f>'fi fy f, f".... ensorte que l'on ait

/^= (— a', h\ a"), f^{a\ h% —a"), etc.

/=(~'^/^, a), 7=C^/^,-.'a), etc.

Faisons

Il est clair que si Ton calcule les nombres et', et", etc., /3', jS", etc. par le moyen des relations suivantes (comme au n° 177).

et, =0.. . .

ct''=/3^..

etc.

^"=JÏ'^'

etc.

f se changera en

par la substitution

etc.

et toutes ces transformations seront propres.

Comme y se change en y par la substitution propre o, i, i, h (n° 161), /"se changera en y par la substitution propre h, i, — 1,0; par la même raison [f se changera en "f parla substitution propre *hf I, — 1, G, y'en "y par la substitution propre"/^, i, — i, o, etc.j de là, et au raojen du n° iSg, on déduira comme au n^ 177 les relations suivantes entre 'cl, "a, etc. '/3, "/3, etc.

etc.

et 5

'^/3 = "ût

etc.

>= iiy—y

etc.

1 "/" f / se changera en <j ,;;^ J> par la substitution

etc.

-^oc, "13, "y, 'S^

'"cL, '"fè, >, V

etc.

et toutes ces transformations seront propres.

Si l'on fait a = i, J0=o, >:=o, «r=i, ces nombres auront la même relation avec la forme / que a, /3', y', J' avec /', a', /3% >", J" avec la forme/", etc., V, '/3, >, '.T avec /, etc. C'est-à-dire, que par la substitution a, /3, ^, cT, la forrae/se change en/; mais alors les suites a', a", a*, etc/ot, "a, "'cl, etc., par l'intercalation de a, se joindront parfaitement, et n'en feront plus qu'une seule allant à l'infini dans les deux sens, et dont tous les termes suivent la même loi : ,„J"af,"cc, 'a,, cl, cl', cl", cl'"*.,,* La loi de cette suite est celle-ci :

''ct-^'a,z="h"ct,, A"-^A=.'hU, 'ct+a'—hct, ct'\-^=h'A\ af-^ar=h"cL", etc.

ou généralement , en regardant l'accent négatif écrit à droite comme l'accent positif écrit à gauche, fl«,Cm-o^«,Cm+i5-/j(m)^(m)^

De même la suite "/S, '/3, j0, j0', jô", etc. sera continue, et la loi de ses termes sera /3C'»-o^^('nH-o/^(m+o^C"'). cette suite est la même que la précédente, en remplaçant 'cl par jô", a par '/S, «f par j0, etc.

La loi de la progression "y, 'y, y, y' , y", etc. sera ^(m-o^^(m-hO--/jCnO^(m)^ ct cellc dc la progrcssîon : "J , 'S", S", è', à\ etc. sera JCm-o ^ jc^n+o^^^/iCm-t-o^Cm)^ et en outre généralement J^'")=;^<^'"-^'\

Exemple. La forme (3, 8,' — 5)=/ se changera ainsi

AKITHMÉTIQUES.

en —10, 7, 3)

7> 5, — lo)

7, 3, — lo)

-lo, 7, 5)

par la substitution ,

etc.

189. A l'égard des calculs précédens, nous ferons plusieurs remarques.

1% Tous les nombres a, a' , a, etc. '(2, "a, etc. auront le même signe, tous les nombres b, U, b% etc. 'b, 'b, etc. seront positifs, et les nombres . . .7z, 7z, h, h', h", etc. seront alternatifs, c'est-à-dire, que si a, a\ etc. sont tous positifs, /j^*"^ ou "^""Vï sera positif quand m est pair, et négatif quand m est impair; et le contraire aura lieu, si a, a! y etc. sont tous négatifs.

2'. Si a est positif et partant h' <Co , 7z''>o, etc., on aura a'=— I, <Oj cL"'=^h"oL\ <o et > ou zzrot"; a" = //a"— a\ >o et >a'^, puisque h"'o(,"':>o et a"<o-, cL''z=h''cL"' — a'% > o et >• a", puisque /z'^oc" >o et a"'<o, etc. On conclut de là facilement que les termes de la suite a, a', a", a", etc. vont toujours en augmentant, et qu'il y en a toujours deux positifs et deux négatifs alternativement, et de manière que a*^"'^ a le signe -f-, -j-, — , — , suivant que m^o, i, 2, 3 (mod. 4)'> si a est négatif, on trouvera par un raisonnement semblable que les termes vont en augmentant, et que le signe du terme ot^'"^ est -{-, — , — , +, suivant que 77î=o, I, 2, 3 (mod. 4).

ù\ On trouve de même que les quatre suites infinies a/, cl y^, ç^ic. ; ") > y i y" 3 ^^^'i ^ ) ^> '^j "'^i etc.j y, 'y y "y, etc., vont en augmentant, ainsi que les suivantes, qui leur sont équivalentes, /3, /3', /S", etc.; 'J^, cT, è' , etc.; /3, '/3, "/S, etc.; S^,"^, V, etc., et suivant que m^o, i, 2, 3 (mod. 4)^ le signe de a*^'"^ est: +, d=, —, =p; celui de jS^""^: =b, —, zp, +; celui de >^'"^ : =fc, -f., q=, — ; celui de J*^"^: +, rp, — , =*=; celui de <^'"^ct : +, ±, —, =î=; celui de ^"'^/3 : zp, +, d=, — ; celui de ^'"'>y i =p, — , itr, +; celui de ^'^'^S' : +, =p, — , ±; en prenant les signes supérieurs quand a est positif, et les inférieurs quand a est négatif. Il est surtout important de remarquer que m indiquant un accent positif quelconque, a*^""^ et 7*^'"^ auront les mêmes signes quand a est positif, et des signes contraires quand a est négatif; il en est de même pour /S'^'"^ et J^"*^, et le contraire a lieu pour <^'"^a et <^'"5>, «^"^iô et ^-"^cT.

4°. On peut présenter, d'après la notation du n° 32, les valeur» de aS-'^\ ^^-\ etc. En posant =f:/i'=A', ±/i"=A", =p/z"'=r, etc.> dth = k, zp'h='k, dz"h^'k, etc., de manière que k', k", etc., k, 'k, etc. soient positifs, on aura

^w ^ -t 1";^'^ A"^ r . . . . A^-"-^] . . . . J t'"^ = ± [A% A", W .... A^-^J c-^ot ^ d= [A , 'A, "k ... .t—'^A] . . . .c-^/S = db [A- , 'A, "A . . t^-^^A] (-îj. = ± ['A, "A, '"A .... ^-"-'^A] .... (-^J^ = =b [A, "A, "'A . . c--^^].

Quant aux signes, ils doivent être déterminés d'après ce qui vient d'être dit (3°). Au mojen de ces formules , dont nous omettons la démonstration parcequ'elle est très-facile, le calcul devient extrêmement simple.

igo. Lemme. .S"/ m, ft, m', n, v, n' désignent des nombres entiers quelconques , mais tels qu'aucun des trois derniers ne

soit = o , que - soit compris entre — et —r , et qu on ait

jnn' — nm' = q=i, le dénominateur v sera plus grand que n etn\

En effet fjinn' sera compris entre vmn' et vm'n, et partant différera de chacune de ces limites d'une quantité plus petite que leur propre différence, ainsi vmn' — ym'n'^fA,nn''^vmn'f et

'^fjLTin'—'vm'n', ce qui donne v'^n'{ixn — vm) et ';>n{fxn' — vm) , et comme f^n — vm, ni f^n' — vm' ne peuvent être égaux à zéro,

car il en résulterait — = -, ou -^=:-, ce qui est contre l'hy-

pothèse , et qu'ils ne peuvent être plus petits que i , il s'ensuit qu'on a V > /^' et >> n.

Il est donc clair que l'on ne peut avoir v=.\\ c'est-à-dire que si mn' -—rdn:=:zt:\ j aucun nombre entier ne peut être compris

entre les fractions — et -7, et qu'à plus forte raison zéro ne

peut y être compris , ce qui prouve que ces fractions ne peuvent être de signes contraires,

191. Théorème. Si la forme réduite (a, b , — • a'), dont le déterminant est D, se change en la forme réduite (A, B, — A'), de

même déterminant, par la transformation ci,l3, y, J" : 1°, ~^ ~~ tombera entre - et -^ , (^pouri^u que Von n'ait niy:=o , niS:=o ,

c'est-à-dire que les deux limites soient finies'), en prenant le signe supérieur , quand les deux limites sont de même signe que a , et le signe inférieur , quand elles sont toutes deux de signe con-

traire à celui de a Ç*); 2°. = — j^ tombera entre ^ et ^ ^

& et ;, '

(pouri^u qu'on n'ait ni ct = o, 72/ /3=o), en prenant les signes comme ci-dessus.

On a les équations

aa^-^-^bcx.y—a' y^^A . . .(i) a^^'\-2hP>S''—a'ê''z=:-~^A', . .(2),

d'où l'on tire

,Mfr^^ .^^±^^^ ^^^

«— a' ^^-^ fi â' W»

(*) Il n'y a pas d'autre supposition à faire, puisqu'on a aS' — (iy = dzi, et que d'après cela, par le n*> précéd. , les limites ne peuvent être nulles toutes deux en même temps, ni de signe contraire.

Il faudrait rejeter celle de ces quatre équations dans laquelle le dénominateur du premier membre serait nul; mais il faut déterminer ici les signes dont les radicaux doivent être affectés. Or il est évident que dans les équations (5) et (4) » on doit prendre

le signe supérieur quand - Qt ^ sont de même signe que a, car

en prenant le signe inférieur — et -r- deviendraient négatifs; mais comme A et A' sont de même signe , \/D tombe entre l/^f£)-j--— j et l/^ (D — -jr)> et parconséquent , dans ce

C3l%,- entre - et -.

On voit de même, dans les équations (5) et (6), qu'il faut prendre nécessairement les signes inférieurs quand -et ^ sont tous les deux de signes contraires k a ou a, puisqu'en prenant le signe supérieur, les produits —, -^- deviendraient positifs; d'où

il suit sans difficulté que — , tombe dans ce cas entre - et T. Si l'on pouvait faire voir avec la même facilité, dans les équations (5) et (4), que l'on doit prendre les signes inférieurs quand - et -. sont de signe contraire à ^, et dans les équations (5) et (6), que l'on doit prendre les signes supérieurs quand - et 3 sont de même signe que a ou « 5 il s'ensuivrait

de la même manière, que dans le premier cas tombe

entre - et -„, et que dans le second — — r— tombe entre ^ et r,

y ô^ *■ a. et (6

ce qui compléterait la démonstration du théorème. Mais quoique cela ne soit pas difficile, comme pour y parvenir on ne pourrait éviter certains embarras , nous préférons la méthode suivante.

fit Q> Quand aucun des nombres a, /3, cT, y n'est =0, - et ^ ont

les mêmes signes que ^ et ^ , et l'on sait que si ces deux dernières

quantités sont de signes différens k a' ou a, "^^ — i— tombe entre ^^ et ;; ; mais alors les deux quantités 7 et t seront aussi de signes contraires à ^^ et — ^r— -^ tonibera entre - et t. Or comme on a D-^b^zzzaa', il en résulte ^ " ^ = — — ^— -^ qui tombe

et & . .

parconséquent entre - et y Ainsi la première partie du théorème est démontrée pour le second cas, en supposant que l'on n'ait ni ot=o, ni /3=o. De la même manière, quand aucun

des nombres a, /3, y, crn*est=o, et que - et t sont de même

Signe que a ou a, tombe entre - et -r» et partant — ^

entre - et ^', d'ailleurs . J^ , = ^ /" , donc^ J^- tombe entre

- et ^, qui sont de même signe que a\ Ainsi la seconde partie

du théorème est démontrée pour le premier cas^ en supposant que l'on n'ait ni y=:o, ni «^ = 0,

Il ne reste donc plus qu'à faire voir la vérité de la première partie pour le second cas, même en supposant cc = o ou /S = o, et celle ,dè la seconde partie pour le premier cas, même en supposant y = o ou J'^^O] mais tous ces cas sont impossibles. Supposons en effet, pour la première partie du théorème, qu'on

n'ait ni ^ = G , ni cT = o , que '^ et r soient tous deux de

signe contraire k a , et qu'on ait en premier lieu a=o. Alors l'équation aJ" — yfiz=±\ donne /3=±i et ^=±1 ; donc l'équation (1) devient A:= — a' \ ainsi A et a' et partant a et -^'

sont de signes contraires, ce qui rend \/ (d — ^)>\/Z)>^;

donc dans l'équation (4), il faut nécessairement prendre le signe inférieur, car en prenant le signe supérieur, il s'ensuivrait que

^aurait le même signe que a, et l'on a alors j > ~~v^~ ^i f puisque, pat la définition de la forme réduite, a<^\/D-^b), Or ^ ne peut êtte plus grand que i, puisque /3=±i et que cT n'est