Î76 RECHERCHES
pas égal a zero. En second lieu, soit /3 = o; l'équation otJ' — /3j.=dri donne «==£-! et cl'=d=ij donc l'équation (2) devient a'' = -f4'; ainsi a et ^ sont de même signe, ce qui rend
V/ {P '^^^>V J^>^* Donc dans Péquation (3) on doit
prendre le signe inférieur, puisque en prenant le signe supérieur,
il s'ensuivrait que et a seraient de même signe j on a donc
- > — ^ > I , ce qui est absurde par la même raison que
ci-dessus. Pour la seconde partie du théorème, si nous supposons
qu'on n'ait ni a = o, ni /3.:=;o j que - et -g aient le même signe
que a' et qu'on ait, en premier lieu, >=o, l'équation a.S' — /3;^=:± donne ût=±i, cr=zh I ; donc l'équation (i) devient ^ = ^, ainsi cC et A' sont de même signe, ce qui rend
J/^(d+^)>/D>Z>. Partant, dans l'équation (6), il faut
prendre le signe supérieur, et l'on a ^> ^ /" > i, ce qui est
absurde puisque cr==dbi, et que /3 n'est =0. Enfin, en second lieu, si l'on a «r=:o, l'équation cl^ — jS^/^ii donne /3=±i, > = =fc:i. Donc l'équation (2) devient •— ^'=:fl, ce qui rend
I^^Tz?— ^J>V/-0>^. Ainsi dans l'équation (5), il faut
prendre le signe supérieur, et Ton a - > — — ?-—>■ ï î ce qui est
absurde.
Le théorème est donc maintenant démontré dans toute sa généralité.
Puisque la différence entre - et t est -j, la différence entre — • et - ou -^ sera < — ^. D'ailleurs entre et -, ou
a y à- yà^ a y'
entre cette quantité et -., il ne pourra tomber aucune fraction dont le dénominateur ne soit >}/ et '^S' {lemme' préùe'd.). Dé la même manière, la dirierence entre — - — ,— — et - ou ^ spra
<L—^i et il ne pourra tomber entre cette quantité et l'^ne
quelconque
quelconque de ces fractions, aucune fraction dont le dénominateur ne soit plus grand que cl et /3.
192. De l'application du théorème précédent à l'algorithme dii n° 188, il suit que la quantité ■^^- — ^^^, que nous désignerons par 7^,
/ Qt II rii w nia
tombe entre -7- et -tt, entre —7, et -k^, entre — et 7^, etc. : ou
entre % et -r, entre -^ et -^j etc. *, et l'on déduit sans peine de ce
qui a été dit n° 189 (3°. à la fin) qu'aucune de ces limites ne sera
désigne contraire au signe de^, et que partant on doit prendre positivement le radical \/D). Ainsi toutes les fracîions dont les accens sont impairs différeront de i dans un sens, et toutes celles dont les accens sont pairs en différeront dans le sens contraire. Mais
et cl!" a!' *'^
comme y' K^y" , — tombera hors -^ et X, et de même —7, hors -7;; y y y y
et Ij\ -^, hors L et —, etc.; ainsi ces quantités se trouveront évidemment placées dans l'ordre suivant :
d'ailleurs la différence entre — et L sera plus petite que la diffé-
/ " rence entre -7 et ^» c'est-à-dire, <l—r-Ti\ de même la différence
y y yy
entre —r, et L sera •< —;r-r« » etc. Ainsi les fractions —, -77, -3; > etc.
approcheront de plus en plus de la limite L , et comme y , y\ y" , etc. vont toujours en augmentant indéfiniment, la différence de ces fractions à L peut être rendue aussi petite qu'on le voudrat
Il suit du n° 189, qu'aucune des quantités -, r- » t^j îr- n'aura
le même signe que a% on déduit de là, par des raisonnemens absolument semblables aux précédens, que ces fractions et
^ , ^=.U doivent être placées dans l'ordre suivant :
et CL A ^A A A
D'ailleurs la différence entre- et U est moindre que r---,ladif-
j^B RECHERCHES
férence entre f^ et L' est moindre que 7r-7~f etc. Ainsi les frac-
<* ^ et ce
lions - > -^ , etc. approchent de // de plus en plus et continuellement, et la différence peut être rendue plus petite qu'aucune quantité donnée.
Dans l'exemple du n* i88, on a Z =^^-Z|ZL= 0^2960648, et
les fractions convergentes sont: 7, §, f , -^t -^, ^, y^, ^J|> etc. Or cette dernière est égale à 0^2960662. De même
L' z=z'~ ^^"^ - = -^ o, 1 776588 , les fractions convergentes sont:
• t I î 3 __^8 ___lZ __ ï^A fitc flnnf la dpr-
J> 5^ ç> TTf 17 f 45 > i5î> 805^ eiC, UUUL Id UCl-
nière est égale à 0^1776397.
193. Théorème. Si les formes réduites ïetF sont proprement équipalentes f chacune d'elles est contenue dans la période de Vautre,
Soitf=(a, by —a'), F^{A, B , ^A'), J> leur déterminant commun, et supposons que la première se change en la deuxième par la substitution propre k, l , p, q. Je dis qu^en cherchant la période de la forme f , et en calculant dans les deux sens la progression indéfinie des formes réduites et des transformations de jf en ces dijfférentes formes , comme au n° 188 , ou bien k sera égal à un des termes de la suite . , ."a, 'a, et, al, cl'.,., et en le supposant = a'", on aura-Âr^jS", p-=:,y'^, q=:S'"''j ou bien — ^ sera égal à un certain terme a,'", et — /, —p, — ^ à /E™, y"^, S""^, respectivement. Dans l'un ou l'autre cas, F sera évidemment identique avec y*.
T. On a quatre équations :
( I ) . . . a A*-f-2 bkp—a'p'^^zA , (2) ... « kl-\-h(^kq-\-kp)'\'a'pq=B , (3) . . .al'''^2blq'-a'q':=^A' , (4) . . . kq-^klz=:i ;
considérons d'abord le cas où quelqu'un des nombres k^ l, p ^ q est = o.
1°. Si kz=.o, l'équation (4) donne Ip-:^ — i , et partant /=±i , p-=zzç.\. Donc l'équation (1) devient — a!-=.A\ l'équation (2) -^biÙLcîq-ss^.B ou B^ — b (mod. a' ou -r^). D'où il suit que la
AltlTHMliTIQUÈS. ijç^
forme (A, B, — ^') es£ contiguë à la forme {a y h, ^a!) par la dernière partie; mais puisque i^ est une forme réduite, clic sera nécessairement identique avec/' (n^ 184, 6\). Donc Bz=:^h' et partant l'équation (2) donne h^h' ^dt^dq; et comme d'ailleurs on .4^ = //, on en tire q^-z^lï. Il suit de là qu'on a
^^y =pl, =pp, =F^=o, —I, 4-1, J/, ou =a^ /3', y, cT', respectivement.
2'. Si /zr:o, l'équation (4) donne A-=:±:i, ^^^^^j. p^quation (5) a'=^'; l'équation 0) l^zpa'p=B, ou ^=^(raod. a'); mais comme /et F sont des formes réduites, ^5 et ^^ tomberont entre /Z) et \/D=pa', suivant que a' sera positif ou négatif (n° 184, 5°.); ainsi on aura nécessairement B = b etp = o, doue les formes/ et F sont identiques, et dzk, db/, zhp, ±^=i, 0, o, i=za,, fi, y, S", respectivement.
^ 3°. Si ;7=o, l'équation (4) donne /;=±i , ^=±1 ; l'équation (i) a=zA', l'équation (2)=t:«/+Z' = ^. Mais comme B et b tombent entre v/^et v/^=pa, on aura nécessairement B^b /= o. Ainsi ce cas ne diffère pas du précédent.
^ 4°. Si q = o, l'équation (4) donne /=dbi, ;7==pi ; péquation(3)a==:— ^', et l'équation (2) ■àzal—b=zB, ou B^^b (mod. a). Ainsi la forme i^ est contignë à la forme /par la première partie, et partant elle sera identique avec la forme /: et comme on a^ = ^ et B=^b, on aura /=/z. Il suit de là
que d^k, ±/, ±,p^ ±:q:=:h, 1,-1, o='cc, '/3, >, 'cT respectivement.
Il reste donc le cas oh aucun des nombres k, l, p, q n'est =0. Or par le lemme du n» 190, les quantités-, -, ^, | auront le même signe , et il en résulte deux cas ; celui où leur signe est le même que ce*ui de a et a', et celui où il est contraire.
II. Si^ et - ont le même signe que a y la quantité ^^-^^=Z tombera entre ces fractions (n» 191). Nous allons démontrer que
-est égal à quelqu'une des fractions 4 ^. -.1 etc., et i à
^So RECHERCHÉS
celle qui la suit immédiatement, c'est-à-dire, que si-=:— .
^ p yi-'O >
l et"'"*"'
on aura -:=:—j^^^. Nous avons fait voir dans le n° précédent que
' " III les quantités — ,, -;;, -^r,, etc. (que nous désignerons par (p', (p",
0 , etc.) et L sont placées dans l'ordre suivant:
cp', (p", (p\...Z:....(p-, (p'v, (p" (I).
La première de ces quantités est =o (puisque a'=o)', toutes les autres ont le même signe que L ou a; mais comme par lijpo-
thèse - et - ont le même signe, ils tomberont, par rapport à (?',
du même côté que L , et comme d'ailleurs L tombe entre ces deux mêmes quantités, elles seront l'une à droite, l'autre à gauche
oe L, Mais on peut faire voir aisément que - ne peut tomber
après a^', autrement - tomberait entre (p' et L; d'où il suivrait,
1°. que cp" tomberait entre - et-, et que partant le dénominateur de la fraction cp" serait plus grand que q (n° 190) j 2°. que - tombe entre (p' et (p", et que partant q est plus grand que le dénominateur de (p\ ce qui implique contradiction.
Supposons que - ne soit égal à aucune des fractions cp", (p", P
ç'% etc., et vojons ce qu'il en résulterait. Alors il est évident
k que si - est situé à gauche de L , il tombera entre <p' et (p"", ou
entre (p" et <p', ou entre cp'' et <?"", etc. , puisque X est irrationnel
et parconséquent différent de - , et que les fractions (p', (p", etc«
P peuvent approcher de L de plus près qu'aucune quantité donnée
k qui ne serait pas L lui-même. De même, si - est à droite de £/,
il tombera entre deux fractions consécutives de la suite (p'",
^'% <p\ Supposons donc que - tombe entre (p*^""^ et (p^""^*^, les frac-
tiens -, ç^*"^, (pf'"-*-'^, (pCm-^-o gg trouveront dans l'ordre suivant :
AHITHMETIQUES. i8i
(pw^ ^^ (pC«+=) L (p^-"-^'^ (IT) f ) ,
alors - sera nécessairement =(^'^'"■^"'5: car il doit être à droite deZ,
et s'il était aussi à droite de cp^'"-^'^^ (pCm+o tonaberait entre -et-.
et l'on aurait >*-"''^'^>/?; mais comme -tomberait entre cp*^"'^ ef (pCm^-o ^ il s'ensuivrait qu'on aurait en même temps ;? >>'^'""*''^, ce qui implique contradiction. Si - était à gauche de (p''^""^'^, il tomberait entre <p'^'"-^^5 et <p'^'""+"'^, et alors on aurait ^'^ >^'""^^^j mais
comme (p^""-*-^^ tombe lui-même entre - et - , on aurait en même
temps ^"^""^^^ > ç' , ce qui implique contradiction. On aura donc
q — ^ — yQn+o -— J^W
Puisque X:^ — lp = i , l et ç seront premiers entre eux, et par la même raison /S<^'"^ et S'^"'^ le sont aussi j d'où l'on voit facile-
ment que l'équation - = j^^ ne peut avoir lieu à moins qu'on n'ait l=(B^-^ et 9' = c^C'"^ ou /==— /S^-") et ç=-^S^-\ Or comme h forme^se change par la transformation propre o'S'"^, Z^*-'"-*, >*^"^, ^^'"\ en la forme /^"P= (zha^'"^, b^-\ =pa^'-^^^) ou aura lel équations
£^('n)J^0'0 ^(mym) __ j ,g.
Mais en substituant /S^"^ et cT^-") pour / et </ dans l'équation (5) , son premier membre devient égal à ceiui de l'équation (i)-, on a donc d=a<^'"-^'^ = — ^'. Or (*^) en multipliant l'éqnation (2)
(*) Peu importe que l'ordre de la suite (II) soit le même que celui de la suite (I), ou qu'il lui soit opposé, c'est-à-dire, que ç»"" soit dans la première à gauche ou à droite.
( ) Il me semble que le calcul serait plus simple de la manière suivante :
En remplaçant dans l'équation (8), /E'" et S'" par ;t / et ±: 7 , elle devient
j62 recherches
par ct^"'^J'<^"'^ — /S^'-ym)^ et l'équation (6) par kq—lp^ et retranchant, on voit facilement par le développement qu*on a
4.(/J^0")— ^^On))(a;ca<^-^H-.3(yt7a^'")+A;j.On))---a>5.<^'"^) (9),
ou comme /==i=/3<:"'5 et ^ = =fccrC'"),
szzbC;;^^'")— V"'0^^ ou ^^Z»^""^ (mod. .4') ;
mais B et Z>^"'^ tombent entre y/D et ^/Z)=h^'j on aura donc nécessairement Bz=zb^"''^, partant po.^'"'^ — â;,<^'"5 = o, ou
k aS-'"^ („)
Ainsi, de la supposition que - n'est égal à aucune des quan-
tités <p\ (f, etc., on fait voir qu'il est égal à l'une d'elles. Si
nous avions supposé d'abord - = <?>*^'"\ on aurait eu évidemment
A=ifc:a^'"^, /jzzzdb}/^'"^; dans les deux cas, la comparaison des équations (i) et (5) donne ^=dba<^'"5, et de l'équation (9), ^ — Z»^'")==h(/cr^'"^— ^jS^'"^), ou -5=Z?<^'"5(mod. ^); on conclut de
là, comme plus haut, que 5=^^""^, partant - = ^j, et comme
/et <7, /3^'"^ et cJ^""^ sont premiers entre eux, /=±/3'^'"\ 9'=±c^'"\ L'équation (7) donne alors, en la comparant à l'équation (3), — Â zzzLzi^a^""^"^ i ainsi les formes F et y^"*^ sont identiques. A l'aide de l'équation kq — /;7=ûc<^'"^cr<^"'^— /3<^'"^;.'^'">, on prouve sans difficulté que si l'on prend A et /? avec le signe 4" ou avec le signe — , il faut prendre / et q de même.
laT^ — qy'" z= i ; si l'on eu retrancJie l'équation (4)> o» a
et comme l et q sont premiers entre eux , on a généralement et"" zp ^ = ri, y'"::^p=zrq, ou fit"" = d: /£ + r/ , 5.'" = d:p + r^.
Substituant dans l'équation (6) les valeurs de *'", iS'", >'", <f'", il yient
Or on démontre que B =.1"" \ donc r=o, et «.'" = ±:/{ et 5/'" = ±p. De même, pour le paragraphe suivant. ( Note du Traducteur).
ARITHMÉTIQUES. ï85
IIT. Si le signe des quantités -, etc. est opposé à celui de a,
la démonstration est tellement semblable à la précédente, qu'il suffit d'ajouter seulement les points principaux.
^^ , tombera entre ? et -,; j sera égal à une des fractions
7^> ir^, mj, etc., et en supposant donc | = ^, on aura J= ^-. La première de ces deux assertions se prouve comme il suit : si ? n'est pas égal à une de ces fractions, elle devra tomber
entre deux (^ et ^„+,>,n' Or on démontre, comme plus haut,
qu'alors J sera nécessairement z=z ■^j^^:ç^':=: ç^-, et partant /?=t:'-"'-'^
et A = dz <^'"^ct. Mais /, par la substitution propre ^"^ot, ^'"^Q,^'"^y, ^""^cT, se change en ^'"y=z (zf^'^^a , ^""^b, =b^"*-^'^ii), d'où naissent trois équations qui, jointes à l'équation f'"^a^"'^cr — ^'"^l2^'"^yz=j ^ et aux équations (i), (2), (5) et (4)^ prouvent d'abord que le terme ud de la forme F est égal au premier terme de la fc-rme ^"y, ensuite que le terme mojen de la première est congru à celui de la seconde, suivant le module ^, et que comme les deux formes sont réduites, chacun d'eux tombe entre \/D et y^Dzp^, ces
deux termes moyens sont égaux j et de là on conclut que y = ç^.
Ainsi la vérité de cette première assertion est dérivée de la supposition même qn'elle fût fausse.
Or en supposant |= ^^, on démontre absolument de la même
manière et par les mêmes équations, que Ç=;^, et au mojen
de l'éqnation^^ — /^=('"W'"^cP — ivù^i^')^^ oji prouve que si l'on prend pour q et /, "^""^cT et ^""^/S avec le signe -j- ou le signe — , il faudra pour p et k prendre ^""^y et ^""^0, avec le même signe, et partant que les formes F et ^""y sont identiques.
194. Comme les formes que nous avons appelées associées (n° 187, 6^), sont toujours improprement équivalentes (n" i5g, à la fin) , il est clair que si les formes réduites F et f sont improprement équivalentes , et que la forme G soit associée à F ,
les formes jT et G seront proprement équivalentes, et partant, la forme 6 sera contenue dans la période de la forme y ; si donc les formes i^ety sont équivalentes tant proprement qu'improprement, on devra trouver F et G dans la période de J^. Cette période sera donc elle-même son associée (n'^ 187, 7°. )> ^® 9"^ sert de confirmation au théorème du 11° i65 , par lequel nous nous étions convaincus qu'on pouvait trouver une forme ambiguë équivalente à deux autres F etj,
195. Problème. Etant données deux formes ^ et<p dont le déterminant est le même , distinguer si elles sont équivalentes , ou si elles ne le sont pas.
On cherchera deux formes réduites F Qt f, respectivement et proprement équivalentes aux formes $ et <p (n° i85). Selon que ces formes réduites seront seulement proprement ou improprement équivalentes, ou qu'elles le seront des deux manières, ou qu'elles ne le seront point , les proposées le seront proprement , improprement, ou ^e deux manières, ou ne le seront d'aucune manière. On cherchera la période de l'une de ces deux formes réduites, par exemple dey*; et si la forme F s'y trouve sans que son associée y soit, le premier cas aura lieu; si cette dernière seule s'y trouve, le second cas aura lieu ', si toutes deux y sont , ce sera le troisième cas; et le quatrième, quand il n'y aura ni l'une ni l'autre.
Exemple. Soient les formes (12g, 92, 65), (4^, 59, 81 ) dont le déterminant est 79 ; on trouve pour réduites équivalentes (10, 7, — 5), (5, 8, — 3). La période de la première est
et comme la forme (5, 8, — 5) n'y est pas comprise, mais seulement son associée ( — 5, 8, 5), les formes proposées sont improprement équivalentes.
Si l'on distribue, comme ci-dessus (n° 187, 5°.), toutes les formes réduites d'un déterminant donné en périodes P, Q, /?, etc., et qu'on prenne dans chacune d'elles une forme quelconque, F dans P , G dans Q , // dans i?, etc. , il ne pourra y avoir parmi ces formes deux qui soient proprement équivalentes ; mais toute autre forme de même déterminant sera proprement équivalente à
une
ARITHMÉTIQUES. i85
«ne d'elles et à une seule. Il suit évidemment de là, que toutes les formes de même déterminant peuvent se distribuer en autant de classes qu'il y a de périodes y en renfermant dans la première toutes celles qui sont proprement équivalentes à -F, dans la seconde toutes celles qui sont proprement équivalentes à G ^ etc. Ainsi toutes les formes renfermées dans la même classe, seraient proprement équivalentes , mais deux formes prises dans des classes différentes ne le seront pas. Au reste nous n'insisterons pas davantage ici sur ce sujet , que nous expliquerons plus bas avec détail.
196. Problème. Etant données deux formes <^ et (p proprement équivalentes y trouver une transformation propre qui change l'une en l'autre.
Par la méthode du n" i85, on peut trouver deux suites de ^ , O', 0\ . . .<DW, <p ^ <p'^ ^". . . .^(0^ telles que chacune des formes soit équivalente à celle qui la précède , et que les dernières <!)*''•> et cpw soient des formes réduites j et comme O et tp sont supposées équivalentes, O*:") doit se trouver dans la période de <p«. Soit(p«=/, et sa période prolongée jusqu'à la forme ^^"^ - ff f , f\ . . ./Cm-./ /^""^ desorte que $C'')=/Cm). ^^ désignons par"^, <ir'y '^". . .-^w les formes opposées ( n° iSg) aux associées des formes <D , (b\
$'. . .0"^"^ respectivement; alors dans la suite <p , (p', f /; f^
f%f(-'^-o^ ^J^(.-o^ ^Ca-,) ^^ chaque forme est contigue par la
dernière partie à celle qui la précède j d'où, par le n^ 177, ou pourra trouver une transformation de la première (p en la dernière <!>. Cette liaison entre les formes est évidente depuis cp jusqu'à /^-"-'^ et depuis '^^"—^ jusqu'à $. Quant aux formes/t'"-'^ et^^"-':», on la prouvera comme il suit : soit/^'"'-'^ = (^, h, i); /c-") = <e>(") — {§', h'y i')y 0^-0= i^g\ h" y i"). La forme {g\ //, V) sera contigue par la dernière partie à chacune des formes {g y h, i) , {g\ h\ i')-^ ainsi i^g=^i% et —h ~ U — h' (mod.) i=g'^i"; don'^c'la forme (i',—h'',g")=z'^^'' o est contigue par la dernière partie à la forme (g, h, i) =/C'"-'.)
Si les formes O et cp sont improprement équivalentes , la forme <3 sera proprement équivalente à la forme dont O est l'opposée ; ainsi on pourra trouver une transformation de <p en cette forme; et si elle se fait par la substitution c^ , (^ , y , J" , on voit facilement
i86 RECHERCHES
que (p se change improprement en <I> par la substitution a, < — jS, ^, — cT.
II suit de là que si ^ et <p sont équivalentes proprement et improprement , on peut trouver deux transformations , l'une propre et l'autre impropre.
Exemple. Soit la forme ( 129,92, 65) à transformer en la forme (4^, ^9, 81) que nous avons trouvé lui être improprement équivalente ( n° précéd. ) -, il faudra commencer par trouver la transformation propre de la forme (129, 92, 65) en la forme (44 f — ^9* ^ï )• ^ouï: y parvenir, on établira la suite de formes
de là on déduit la transformation propre — 4?^ ^^f 7^^ — ^7^ qui change (129, 92,65) en (42, — 59, 8i); donc la transformation impropre — 47 > — 56, 76 , 87 la changera en (4^ , 59, 81 ).
197. Si l'on connaît une transformation d'une forme cp =(a, 3, c) en une autre <I> qui lui est équivalente , on pourra déduire de celle-là toutes les transformations semblables , pourvu qu'on connaisse toutes les solutions de l'équation indéterminée r — Du^^=:m'', dans laquelle D est le déterminant des formes ^ et (p, et 772 le plus grand diviseur commun des nombres a , 2b , c (n' 162). Nous allons attaquer, en supposant D positif, ce problème que nous avons déjà résolu pour le cas de D négatif. Mais comme il est évident que toute valeur qui satisfera à l'équation, y satisfera aussi avec un signe contraire , il suffira d^assigner les valeurs positives de t et de u , et chaque solution en nombres positifs fournira quatre solutions effectives. Pour j parvenir, nous chercherons d'abord les plus petites valeurs de t et u ( excepté 1 = 771, w=:o qui se présentent d'elles-mêmes); et celles-ci une fois connues, nous indiquerons le raojen d'en déduire les autres.
198. Problème. Trouper les plus petits nombres qui satisfont à r équation indéterminée V '^ Du"" '=s,m* , pourvu qu'il existe une
forme (M, N, P), dont le déterininant soit D , et que m soit le plus grand diviseur commun des nombres M , 2N , P.
On prendra à volonté une forme réduite /= (a, h, a!) dont le
déterminant soit D , et telle que 772 soit le plus grand diviseur commun des nombres a ^ :ib i a y ce qui ne peut manquer d'arriver, puisque l'on peut trouver une forme réduite équivalente à la forme {M, N, P) , et qu'alors ( n" 161 ) elle jouira de cette propriété. Mais pour la proposition actuelle , on pourra employer une forme réduite quelconque , pourvu qu'elle satisfasse à cette condition. On formera la période de y, où nous supposerons qu'il y ait n formes -, en reprenant tous les signes dont nous nous sommes servis au n° 188 , onaura/<^''^=(a"^"^:, b^"\ — a^""^'^), parceque n est pair, et y deviendra y^"^ parla substitution propre ct*^"^, iS<^"^ >'^"-', é''^"^; mais comme y" ety*^"^ sont identiques, /"deviendra aussi /"^'^ par la substitution propre i, o, o, i. De ces deux transformations semblables de f en f^"^ , on peut déduire, au moyen du n° 162, une solution en nombres entiers de l'équation i* — Du*:=m^j
savoir, / = i(a^"^+ J^''^)/7z (équation (18), n' 162), r/ = ^-^
(équation (19)) C^). Désignons par T et U ces valeurs prises positivement, si elles ne se présentent pas telles, et T, U seront les plus petites valeurs de t, u (excepté /=:77z et zz = o, auxquelles elles ne pourront jamais revenir, parcequ'on ne peut pas avoir
Supposons en effet qu'il existe des valeurs t et i» plus petites que 7* et U ei parmi lesquelles on n'ait pas î7=o. Alors, par le n° 162, la forme /"se transforme en elle-même par la substitution propre
— (t — hv)j —au y —au, —(T-\-bu)*
Or (n* 193,11) ± — (t — bv) doit être égal à l'un des nombres
a", a", a'% etc. , = a , par exemple. En effet, comme.... T* = Z)y"4-77z' = ^*u' + û!ai»"-f-772% on aura T'>Z)'y% et partant
T — bu positif j donc la fraction ~" , qui répond à la frac-
(*) Les quantités qui étaient, au n° 162 , et, 0, y, «T; a! , (^ , y , V ; A , D , C\ A', B\ C\ e; sont ici 1, o, 0, 1; a", /S", y", J"; a, b, —a ; a, b, -a'; 1.
,88 RECHEHCHES
iioû - (n* 190) , aura le même signe que a ou a'; ainsi l'on aura
i-yy, ^avy l(/4-^u)==/3^''^ ;.^^\ ^^^"-^ respectivement;
mais comme on a. u<,u, cest-a-dire, v <,- , et >-o, on
aura y <> et >► o*, d'où il suit que les quantités y y y\ y", etc. allant toujours en croissant, /a tombera enire o et « exclusivement j mais la ïovme f , qui correspond à l'accent fx est identique avec la formel", ce qui est absurde, puisque toutes les formes y, y, y, etc. jusqu'à y '^""'^ sont supposées différentes. Donc T et U sont les plus petites valeurs de t et u , excepté. 772 et o.
Exemple. Si Dz^zjg et 772=1, on pourra employer la forme réduite (3, 8, — 5), pour laquelle 7i=6 et aS"^= — 8, y'^"^=: — 27, cr^''^= — 152 (n° 188); d'où résultent 7'=8o et I7=g, qui sont les plus petites valeurs de if et u qui satisfassent à l'équation
19g. On peut trouver des formules encore plus commodes pour la pratique. En effet, on aura 2by^''^= — a(cc^"^ — c^*-"-^)^ en multipliant (n° 162) l'équation (19) par 2b , l'équation (20) par^, et changeant les caractères comme nous l'avons fait , on tire de là
^W4-cr(");==:2j^oo— ^^(")^ et partant
On tirera de même des équations (20) et (21)
r=/72 (ctw+^/sw), =fc c7-=:^;i.
Ces formules deviennent très-commodes, parcequ'on a y^"^=:S'^''-''>^ a'"^=:/3^"~"^, et qu'en se servant de la première, il suffira de calculer la suite S', ^\ S"", etc. , et qu'en se servant de la seconde , il suffira de calculer la suite /3', ^", /S"', etc. En outre, on déduit facilement du n" 189, 3%, que/z étant pair, a*^:'^ et-7 /S*^"? au-
ront le même signe, ainsi que <^^"^ et -y^"^, desorte que dans la
première formule, on doit prendre pour Tune différence absolue et une somme dans la seconde, sans qu'il soit besoin de faire attention au signe.
Ejcempîe, Pour Z)=6i et 772=2, on peut employer la forme (2, 7, — 6); on trouve 7îz=6, h'z=. — 2, 72"=2, //' = — y, 7z>'=2, ;z*=: — 2, ]i"=.'j. De là J^'=i444 et y^'^S'^iCf^ (abstraction faite du signe)^ d'où T=2(i444 — ^.i95)=i525 et £^=195. On trouve la même chose par l'autre formule.
Au reste, il J a plusieurs autres artifices par lesquels on peut simplifier le calcul; mais le désir d'abréger ne nous permet pas d'en parler avec plus d'étendue.
200. Pour tirer toutes les valeurs de jf et de « de la connaissauce des plus petites, nous mettrons l'équation T^ — DU^=m*
sous la forme ( — + — v/Z>J . ( — — — ^D ) = i ^ d'où l'on tire
a+iv'^y-c—^^^)^' (').
e étant un nombre quelconque. Faisons pour abréger ,
ensorte que ces expressions soient représentées par /' et u*' quand ^=0 (elles sont alors 77z, o); par /', 11 quand c=i (elles sont alors Tet27);par t" et z/" quand ^=23 par i* et z/ quand ^=3, etc. Nous allons démontrer qu'en prenant pour e tous les nombres entiers positifs depuis o jusqu'à ^ : 1°. toutes les valeurs de ces expressions satisferont à l'équation proposée; 2°. toutes ces valeurs sont entières; 3°. il n'j a pas de valeurs de / et u qui ne soient contenues dans ces formules,
I. En substituant pour /^ et u^''^ leurs valeurs, on prouve sans peine qu'on a {f'^ + z^w //;)(/"— z/^> y^D ) = m' , c'est-à-dire ,
il. Oïl démontre facilement de la même manière qu'on a gé-
igo RECHERCHES
iiéralement f'-^-'^-}- &~'^ = — &\ et zz^'-^", -f w^'rO = îZ ,,«. Ji
TU m
suit de là que les deux progressions : i% i', t", f, etc. -, ii% ii, ii"j û" f etc. sont récurrentes, et que l'échelle de relation est pour
chacune d'elles —, — i, savoir, ^''=—/' — t\f-=::^—t" — ^.elc.
u = — u — u, etc.
Or, par hypothèse, il existe une forme (M, N, P) dont le déterminant est D et dans laquelle M , 2N, P sont divisibles par m, et l'équation t^=zDu^-\-m^ donne T^:=(N^—'MP)U^'\-m% ainsi
47^* sera divisible par m^; donc — est un nombre entier et positif. Comme d'ailleurs t''z=m, i'z=z T, ^^°=o, z/'=?7, les termes des deux séries sont entiers-, il est clair aussi que T^ étant '>7n'', ces mêmes termes sont tous positifs, et vont en augmentant à l'infini.
III. Supposons qu'il y ait d'autres valeurs positives de ^, w qni ne soient pas contenues dans les progressions i", /, f, etc. u°f II, u", etc. j J" et U', par exemple. Puisque la série u°, u', etc. croît à l'infini, U' sera nécessairement compris entre deux termes consécutifs u" et u"^\ ensorte qu'on ait U' >«" et U' <w'^'. Pour démontrer l'absurdité de cette supposition, observons que:
1". L'équation i" — Du" z=zrrû- sera satisfaite en posant
/=^(r/^'')— Z)Z7V")), 2^=1(27'/^")— ■rV">), ce qui peut se
confirmer sans peine par la substitution. Représentons ces valeurs par T et y, nous prouverons, comme il suit, que ce sont des nombres entiers. Si (71/, iV, P) est une forme dont le déterminant est X>, et que m soit le diviseur commun des nombres M, iNy p, T'-\-lSU' et /«^"^-f-iVz^^"' sont divisibles par 772 , et partant V'{f"^-\-]Su^"'^)—u^"\T—NU')=U'f'''^—u^"'^T l'est aussi j donc u sera entier et r par suite, puisque T^'^r/^o'-f-T/z'.
2^ Il est clair que k ne peut être =oj en effet, il s'ensuivrait d'où l'on tire U'*=^U"^ ,uS"^, contre l'hypothèse par laquelle
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ARITHMÉTIQUES. ,^f
r7'>iiW. Mais comme TJ est la plus petite valeur de u] après zéro, u ne sera certainement pas <iU,
30. Des valeurs de /^''^ i^"+'^ z/^"^, z/C^+o^ on ti^^ aisément 7HCr=z^C"-^'¥''>-~iC'^+'V"^j donc C/^7W-.rV«) „e sera pas plus petit que z/"-*-'/" — r-^'z^".
4». L'équation T'-^DVc^m'^ donne p=rr/C/)^^A et l'on a de même ^^ ^ j/(^ + ^^c^^S^)) '• d'où l'on con-
dut facilement que ^ > ^^. De là et de la conclusion précédente f il suit que
En développant, et remplaçant 2^% &\&\ /^""^'^^^"-^'^ par leurs valeurs DU''-^m% Dii'^"\ù'^''^^m\ i^z/f^+o.^/.+o^^»^ o^^ ^
ou transposant, ce qui est permis puisque les quantités sont positives ,
résultat absurde , puisque U' < z,C"+o ^ et que partant ^cn+i) < — î7 — • Amsi la supposition ne peut avoir lieu, et les
séries /% t', t^etc; u% z/, u% etc.; renferment toutes les valeurs positives de t et zz.
Exemple, Pour Z)=6i et 772=^2, nous avons (rolivé que les plus petites valeurs àQ tQiu étaient i525, igS-, ainsi toutes les valeurs positives seront données par les formules
et l'on trouve
/°=2, ?'=i523, r=i523i'-f^23i9527, f'^iSaSi'-t =353^618098, etc. u«=o,u'=: i95,u"=i523u'-^iz'= 29€985, r."=i5a3u'-.tt'= 4525079S0, etc.
*''o.. Relativement au problème résoU, dans le^érosprécedentnous aiouterons encore ,uel<iues observations.
, onnris à résoudre l'équation t'—DW=m ,
