I. Comme nous ^^^f^Pf''^^^^^^^^, des nombres M, .N. P
où m est lepl- f-^J/r^^^Tutile d'assigner les nombres
It ï:rer.'e TetsliviUs C'est-à-dire, toutes les valeur.
ae m pour une valeur donnée de D. ^^^^^^^
On fera D=n'iy. desorte que i> ''''' ™^ „fie pU,s grand quadratique, ce .u'on obtiendra en P- J-^^J^^P^ ^^^^^ quarré qui puisse diviser V. M ^ ne quadratique, il faudrait prendre 7z=i.
o c- n' .st de la forme 4A+1 > tout diviseur de ^n sera un« I». Si i^ est de la loim 4--r- ^^ ^^ aura
valeur de m et réciproquement. En ettet, si^, ^ ,
. -n-CD-0\ dont le déterminant est D , et dans
laforme^^,-,- , J^ , ,,,i,eur commun entre ^,
laauelle s est évidemment le plus granu uiv ^ ..mt-O . n^CD'-O __ 4'^: ^jri est évideramentun nombre
entleri/Héciproquenfnt.si.estu^v..^^^^^^^^^^^^ 3, , e-le Plus^^a^^commun^d^^^^^^^^^^^^ ^^ ^^
ai^rr^r'.., et.il ^^^i^- te-;=rpot
visible par g; car ^^ -^ "«/^"'^'' P^'„X'e S< C, et en faisant plus grand commun diviseur un nombre d<S->
L ^J>.',!i::£ serait un nombre entier; mais «' est pre-
S"rni.^;:i.i^:pXr^' - ^^ *-' ^-'^-^ ''"^■
"tt D' est de la forme 4^+^^ j^+'^ir LtSeÏ ^ sera valeur de m, et réciproquement toute valeur ae ^
En effet, si g est diviseur de «, on aura la forme (5-, . , -^j -
dont le déterminant est D, et où g est évidemment le plus grand
commun diviseur des nombres , s o, ^. Béciproquement, si^
est supposé valeur de ,n. c'est-à-dire, le plus g-nd commun^di-
ARITHMETIQUES. 195
viseur des nombres M, 2N, P, pour lesquels on a N' — MP=:D,
on prouvera, comme ci-dessus, que — est un nombre entier. Or
Supposons que ce quotient soit impair, le quarré ~ sera ^ i
(mod. 4), et partant ^^ = -D' = 2 ou = 5 (mod. 4). Mais
-jr- = |r = |r— ^=^ (mod. 4)-, ainsi |^ serait =2 ou ^5 (mod. 4)> ce qui est absurde, puisqu'un quarré doit être congru à zéro ou à l'unité, suivant le module 4» Donc —étant pair,
- sera entier et n divisible par §;•
Ainsi il est clair que i est toujours valeur de m , c'est-à-dire ^ue l'équation i^~~>Du''= 1 est toujours résoluble par ce qui précède, pour toute valeur de D positive et non quarrée. Ce nombre 2 ne sera valeur de 772 que dans le cas où B sera de la forme 4^ ou de la forme 4^-|-i»
II. Si m est plus grand que 2, mais qu'il soit un nombre convenable , la solution de l'équation r — Du'^=:m* pourra être ramenée à celle d'une équation semblable où ttî = i ou 2. En effet posons, comme plus haut, D^=.n^D\ si m divise n, vV divisera D»
Alors si l'on suppose que pour l'équation p^-^—i 9''*= i , les plus
petites valeurs de p et q soient p=:P, gz=:Q', les plus petites valeurs de /, u, dans l'équation t" — Du^-==.ni^ seront t=.mP , u=Q. Mais si 772 ne divise pas n, il divisera au moins 2n', alors il sera
pair, et partant —- sera un nombre entier, et si les plus petites
valeurs de;;et^ dans l'équation;?* — ^9*=4sont/7=P, <7=Ç, les plus petites valeurs de t, zi, dans l'équation r — Du''=m*, seront t =—P, u = Q,
Au reste, dans les deux cas, on peut déduire, non-seulement les plus petites valeurs de t, u, de la connaissance des plus petites valeurs d© /?, q, mais toutes les valeurs des premières de toutes les valeurs des secondes.
Bb
IIL En désignant par t% w-, t', ii-, f, u", eic, f ouf es les valeurs positives àe t , u dans l'équation T — Du^^zm", comme dans le n" précédent, s'il arrive que certaines valeurs dans cette série soient congrues aux premières, suivant un module quelconque donné
/•; si, par exemple, on a ^ ^f'^m, ir ^z^'^o (mod.r;,
et que les valeurs suivantes le soient aux secondes , t ^t\
^(/^•+0^^^,. ^^ ^^^^ ^g j^.j^e /^"^'^^/% u^^^^^^u\ etc.,
ce qui se déduit facilement de la loi même des deux séries. En
efi-et, puisque «"^îZ^/'-i-, et que /''+'^^ =^/'^+'>-/''^oii
aura /"^r , et ainsi des autres. Il suit de là qu'on a gé-
néralement r ^ =r , u ^^^^ii (mod. r), h étant un nombre quelconque, et plus généralement si -tt^v (mod, fc), on
aura r ^^r et w ^= w^ (mod. r).
IV. Or on peut toujours satisfaire aux conditions de Tobservation précédente, c'est-à-dire, on peut toujours trouver un in-
dice fJi pour lequel on ait f ^t° , t ^i t u ^—^u", u ^u^ suivant un module quelconque donné r. En effet,
1°. On peut toujours satisfaire à la troisième condition, puisqu'il est aisé de s'assurer, par les caractères présentés dans la première observation, que l'équation /?*-—r''Z)9*= m'' est résoluble j et si les plus petites valeurs de p, q sont p^=P, ç=Q ^ on en déduira t=P, uz=zrQ', ainsi P et rQ seront contenus dans
les suites /% f, etc., u", u% etc, et si P=i , rQ=:u , on
auraw =o^w° (mod. r). En outre on voit facilement qu'entre
2/° et u aucun terme ne sera congru à u°, suivant le module r.
2°. Il est clair que si dans ce cas les trois autres conditions
sont remplies, c'est-à-dire, si u ^ii,t ^/% t ^t',
on pourra prendre A'^=A; mais si l'une de ces conditions manque, on pourra prendre à coup sûr />t=2A. En effet, de l'équation (i) et des formules générales qui donnent f'^ et u^*^ dans le n" précédent, on déduit
ARITHMÉTIQUES. igS
et partant ^ — = : — -, qui est un nombre entier*, puisque
r divise u ,et que, 772* divisant 4^, à plus forte raison m divisera al). On trouvera de même u"^ ^ =s ^i^^^ur^s et comme
4^ t =:4Du w +4'^^' et est parconséquent divisible par m% 2i le sera par 77Î, et partant u par r, c est -a -dire que 2^^ '^^i^^ (mod, r). On a encore r ^ ''=^-| , et
comme, parla même raison, — 7- est un nombre entier, on en
déduit r^'' ""^^^^'(mod. r) : enfin on trouve w^^''"^^^:=z^'4-- ^ ,
et comme 2r est divisible par 7» et u' par r, il s'ensuit
que u ^u (mod. rj.
Au reste, on reconnaîtra par la suite l'usage de ces deux dernières observations.
202. Le cas particulier où l'équation est t^ •"' Du^zzzi a déjà été traité par les géomètres du siècle dernier. Fermât avait proposé ce problème aux analystes anglais , et TVallis rapporte ( Aigèb» chap, 98 , T. II deses Œuures, p. 4i8), une solution qu'il attribue à Brounker, De son côté, Ozanam prétend qu'elle est de Fermât; enfin Euler , qui s'en est occupé, {Comm, Petrop. VI, p, ij5; Comm. Nou» XI y p. 28 (*); Algèbre y T. II, p» 226; Opusc, Anal, /, p, 3io), dit que Pellius l'a trouvée le premier, ce qui a fait donner par quelques-uns à ce problème le nom de Pellien* Toutes ces solutions , en n*en regardant que l'esprit , retombent dans celle
(*) Dans ce Mémoire, l'algorithme que nous avons exposé n* 32, est présenté avec les mêmes signes, ce que nous avons négligé de remai-quer alors.
que nous obtenons, si, dans le n° 198, nous nous servons d^une forme réduite dans laquelle a=i; mais personne, avant Lagrange, n'avait démontré rigoureusement C^ ) que l'opération qu'elles prescrivent devait nécessairement finir, c'est-à-dire, que le problême était toujours résoluble {Mélanges de la Société de Turin, T. IV , p, 19, et d'une manière plus élégante , Hlst. de VAcad, de Berlin, 1767, p. 237). Cette recherche se trouve encore dans les Supplémens à V Algèbre d*Euler. Au reste, notre méthode, tirée de principes absolument différons, ne se borne pas au cas de m==i, et donne le plus souvent difïérens moyens de parvenir à la solution, puisque dans le n° 198, nous pouvons partir d'une forme réduite quelconque {a, h , — a')*
2o5. Problème. Si les formes <^ et <p sont équivalentes ^ trouper toutes les transformations de l'une en Vautre^
Quand ces formes ne seront équivalentes que d'une seule manière^ c'est-à-dire, ou proprement ou improprement, on cherchera, par le n° 196, une transformation et, ^, ^, «T de la forme (p en O , et il est clair qu'il n'j aura pas d'autres transformations qui ne soient semblables à celle-là. Mais quand ^ et O seront équivalentes des deux manières, on cherchera deux transformations dissemblables^ c'est-à-dire, une propre et une impropre, ot, /3, ;/, cT- a', ^' , y', J', et toute autre transformation sera semblable à l'une d'elles. Si donc <p = (<z, h y c) et que son déterminant soit D, que m soit, à l'ordinaire, le plus grand commun diviseur des nombres «, :ib,c et i , u les valeurs indéterminées qui satisfont à Téquation /* — Du^z=m*\ dans le premier cas, toutes les transformations de (p en O seront contenues dans la première (i) des formules suivantes, et dans le second cas, dans la première (1} et dans la seconde (2) :
(*) Ce que TVallis a avancé à ce sujet {Alg. pp. 427, 428), n'est d'aucun poids. Le paralogisme consiste en ce qu'il suppose qu'étant donnée une quantité/»
on peut trouver des nombres entiers a et z tels que - soit ^p, et que la difFé
rence soit plus petite qu'un nombre assigné , ce qui est vrai quand la différenc assignée a une valeur déterminée, mais non lorsque, comme dans le cas présent elle est fonction de a et de z , et partant variable.
ARITHMÉTIQUES. n^^
(0 ^ (<tt-^(cLb-hyc)u) , 1 (Qf-(^b+J^c)u) ,
W l^(a,'t-ia,'b+yc)u), L(^(i't^li'b+yc)u),
l.(yi^(^^a-{-yb)u), 1 ( J 7+(/3'^+J ^b)a).
Exemple. On demande toutes les transformations de la forme (129, 92, 65) en la forme (42, 59, 81). Nous avons trouvé (n° ig5) qu'elles étaient improprement équivalentes , et dans le n° suivant nous avons eu cette transformation impropre : — 47 1 ■ — 56, 7 5, 87ainsi toutes les transformations semblables seront contenues dans les formules
/, u étant les nombres indéterminés qui satisfont à l'équation i'— 79i^*=ij ils sont donnés par les formules
=±=^= i {(8oH-9v/79y+(8o-9v/79y},
=^" = 17^ {CSo4-9V/79y-(8o-9V/79y}> où Ton doit prendre pour e tous les nombres entiers positifs»
204. Il est évident que la formule générale qui donne toutes les transformations, devient d'autant plus simple, que la transformation initiale d'où elle est tirée l'est elle-même davantage, et comme il est indifférent de quelle transformation on parte, on peut souvent rendre la formule générale plus simple, si de la première qu'on trouve, on déduit une transformation plus simple en attribuant h t, zi des valeurs déterminées, et si l'on forme avec une autre formule. En faisant, par exemple, dans la formule de l'exemple précédent, ^=80, ziz=z — 9, il en résulte une transformation plus simple que celle d'où nous étions partis, savoir, 29* 47 > — 37, — 60^ d'où l'on déduit la transformation générale
29^— ,263i/, 47^ — 424^, ^Sjt-^Soju, — 6o/-f-545:/. Ainsi, lorsqu'on a trouvé la formule générale au mojen de ce qui précède, on pourra essayer si en attribuant k t, u les valeurs
igS R E C H Ë R C: H E S .\
déterminées =4=^', dtf, z^zt", etc, =fcz/, dcu", ztu", etc. on obtient une transformation plus simple que celle d'où l'on a déduit la formule , et dans ce cas on pourra trouver une formule plus simple. Au reste, il y a quelque chose d'arbitraire dans le choix , desorte qu'il serait utile de l'amener à une règle certaine et d'assigner dans la progression t', ii\ t" , u\ etc. des limites après lesquelles on n'obtient que des transformations moins simples , desorte qu'il fût suffisant de faire les essais parmi elles. Cependant comme le plus souvent, par les méthodes que nous avons données, on obtient la transformation la plus simple, soit sur-le-champ, soit en employant les valeurs d=/', zi=;/, nous supprimons cette recherche.
2o5. Problème. Trouver toutes les représentations d*un nombre donné M. par une forme donnée ax*-{-2bxy-f-cy% dont le déterminant positif non quarré est =D.
Observons d*abord que la recherche des représentations par des valeurs de r, / non premières entre elles, peut se ramener ici absolument de la même manière que pour les formes de déterminant négatif (n° i8i), au cas où ces valeurs sont premières entre elles. Or pour qu'il soit possible de représenter le nombre M par des valeurs premières entre elles, il faut que D soit résidu quadratique de M, et si les valeurs de l'expression \/D (moà,M) sont: JV, — N, N', — N', etc. qu'on peut prendre telles qu'aucune ne soit >7il^, toute représentation du nombre ili"par la forme proposée appartiendra à une de ces valeurs. Ainsi, avant tout, on devra chercher les nombres N, N', etc. et ensuite les représentations qui appartiennent à chacun d'eux. Il n'y aura pas de représentations appartenantes à la valeur N, si les formes (a, b, c) ,
(m, n, ^^Tf^ ne sont pas proprement équivalentes j mais si elles
le sont, on cherchera une transformation propre a, /3,>/,crdela première en la seconde, alors on aura, en faisant x:=za,y y=^y une représentation du nombre ilf appartenante à la valeur iV, et toutes les représentations seront données par les formules
xz=.^^cKt-^{cLh-\'yc)ii') j=i(5.f+(«a-H>^)«}.
ahithmétiques. ,9^
Au reste, il est évident que cette formule générale sera d'autant plus simple, que la transformation et, /S, ;., cT, dont elle est déduite, le sera elle-même davantage. Ainsi il sera utile de trouver d'après le n° précédent, la transformation la plus simple de la forme (a, b, c) en la forme (ilf, N, ^^~). On trouvera absolument de la même manière les formules générales qui donnent
les représentations appartenantes aux valeurs — N, N', A^' etc.
s'il en existe.
Exemple. On cherche les représentations du nombre 585 par la forme 42^'*-i-62jrj+2ij*.
Pour ce qui regarde les représentations par des valeurs de x, y non premières entre elles, il est clair qu'il ne peut y en avoir d'autres que celles où le plus grand diviseur commun des nombres x,y serait 5, puisque 9 est le seul diviseur quadratique de 6^5, Ainsi quand on aura les représentations du nombre 65 = A-8i par la forme 4^x'^-\-Ç>2xy+:iiy^, dans lesquelles x' et/ sont preniiers entre eux, on en tirera toutes les représentations du nombre S^^, par la forme 42x*+62xy+2ij% en posant x=5x' etj=Zy,
Les valeurs de l'expression v/79 (mod. 65) sont ±12, ±27. On trouve que la représentation du nombre 65 appartenante à la valeur — 12, est x'=2,yz=^i, d'où il suit que toutes les representations de 65 appartenantes à la même valeur seront données par la formule œ'z=:2t-^4iu, y=-./^-55^., et parlant toutes les représentations du nombre 585, parla formule :i:=6/-.i25^, y=—^t-hi5gu. De la même manière, on trouve que les représentations du nombre 65 appartenantes à la valeur 12 sont données parla formule générale ^'=22^-199^/, y=::,3/H-2i u/, et celles qui en naissent pour 585 par :r=66/--597M, ^=-.69/+ 635^/. Mais il n'j a aucune représentation du nombre 65 appartenante à la valeur ±27.
Pour trouver les représentations de 585 par des valeurs de x, y premieres entre elles, il faut d'abord trouver les valeurs de l'expression v/79 (mod. 585) qui sont ±77, ±io3, ±157, =3=248. On trouve qu'aucune représentation n'appartient aux valeurs ^77, =tio3, =±1248. Mais pour la valeur — 157 on a la repré-
200 RECHEHCHES
sentation xz=:Z, y=i, d'où Ton tire la formule générale .r=5/— ii4«> y^=t'^i5'ju. Pour la valeur -f- 1^7, on a de même la représentation a:=85, j^== — 87, et la formule qui contient toutes les transformations semblables est x = 83/ — 746;^ , yz=. — 87/ + 789M.
On a donc quatre formules générales, dans lesquelles sont contenues toutes les représentations du nombre 585 par la forme
420;^ -{- 62 JC/+ 2 1 j%
x=^6t — i25u, y= — Zt-\-i5gu, x=66t — 597;/, j= — 69^+633^/, x = 5t — ii/^u, yz=, t-i-iBju, x=:8St — 746^^, j= — Sjl-i-ySgu,
Pour abréger, nous ne nous arrêterons pas davantage aux applications particulières des recherches précédentes, parceque chacun pourra y parvenir de lui-même, en imitant ce qui a été fait n°*i76, 182, et nous passons aux formes de déterminant positif quarré qui nous restent à examiner.
206. Problème. Etant donnée une forme (jSij b, c) de de'termi' nant quarré h' dont h est la racine positwe, trouver une forme (A, B, C) qui lui soit proprement équivalente , dans laquelle A tombe entre o e/ 2h— * i inclusii^ement , et où l'on ait B=:h, C=o.
