I. Puisque y^*=i^' — ac , on aura -^=__.^ , ^y Soit fait ce
rapport =^> iS étant premier avec «T, et déterminons a, 7/ de manière queûtcT — jSv:=:i, ce qui peut se faire. Par la substitution a, /3, y, cT, la forme {a, b, c) se changera en une autre (a', b', d) , qui lui sera proprement équivalente. Or on aura
Si donc û' est situé entre o et 2/2 — i , la forme {a', b', d) satisfera à toutes les conditions.
II. Mais si a! tombe hors de ces deux limites , soit A le résidu minimum positif de A', suivant le module 0.I1, A sera évidemment entre o, et a/î — i ; soit posé A — a'=:2hk, alors la forme {a, b', c)z=z{a'y /z, o) , se changera, par la substitution 1 , o, A, i, en (^A f hj o) qui sera proprement équivalente aux formes (a', U, d),
(a, b , c) , et satisfera à toutes les conditions. Au reste, il est aisé de voir que la forme (a, b, c) se change en (A, h, o) par la substitution ût+/3A', /S, y-hJ'k, cT.
Exemple, Soit la forme (27, i5, 8) dont le déterminant est g-,
ici /z=3 et -:=.-^\ en prenant donc /3 =4^ cr= — 9> <=<•= — ^>
3^=2 , la forme (a', Z»' c') se trouve être ( — i, 3, o), qui se change en (5, 3, o) par la substitution i , o, i , i. Cette dernière est parconséquent la forme demandée, et la proposée se change en elle par la substitution propre 5, 4^ "~"7^ """Q*
Les formes telles que (^A, h , o) , dans lesquelles A est compris entre o et 2/z — i inclusivement, s'appelleront yt7r;?z^5 réduites; mais il faut bien les distinguer des formes réduites de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré.
207. Théorème. Deux formes réduites (a, h, o), (a', h, o) «e ■peuvent être proprement équiualentes sans être identiques*
En effet, si on les suppose proprement équivalentes , soit a, /2, ^, «T la transformation qui change la première en la seconde, on aura les équations
a%'''\-^hcLyz=za! (i) fla/34-/2(Aj'4-^5.)= Ji (2)
a^'-i'2h^S:=o (3) aJ^ — /3;.=:i (4).
De l'équation (3) on tire /3=o ou a/3 -f- 2/2/ =0; mais si l'on suppose que (B ne soit pas zéro , comme l'équation (2) peut se mettre sous la forme asLlB-\~2h(^y=zo , qui donne alors nécessairement ca+2/z3/ = o, il s'ensuivrait par l'équation (i) que a' = o. Donc on doit seulement supposer /3 =0, ce qui réduit l'équation (4) à ctcr=:i, d'où a=rbi. Ainsi l'équation (i) devient «±2^5.=^', ce qui ne peut avoir lieu qu'en supposant y=:o , puisque a et a sont tous les deux compris entre o et 2/2 — 1; ainsi on a donc az=:a\ c'est-à-dire que les deux formes sont identiques.
On résout par là sans difficulté les problèmes suivans, qui en offraient beaucoup pour les autres déterrainans.
I. Déterminer si deux formes F, F', de même déterminant quarré, sont équivalentes ou non.
Ce
On cherchera deux formes réduites équivalentes aux formes F et F' respectivement, et suivant que ces réduites seront ou non identiques, les formes proposées seront ou non équivalentes.
II. Déterminer si deux formes F, F' sont improprement équivalentes*
■ Soit G la forme opposée à l'une des deux formes, à jP, par exemple; si G est proprement équivalente à i^', F et F' seront improprement équivalentes.
208. Problème. Étant données deux formes F et F' de même déterminant h* proprement équivalentes , trouver une transformation propre de Vune en Vautre.
Soit (p la réduite équivalente à F et à i*"'; on cherchera par le n" 106 une transformation propre et, /2, ^, cT de i^ en cp , et une transformation propre a', /S', y' ^ S' de F' en (p. Alors (p se changera en F' par la substitution propre S'y — /3', — y' y a!, et partant -F en F' par la substitution propre ctcT'-— /3;/', /3ot'— ajS', j/J'— cTj.',
Il peut être utile de donner pour cette transformation de F en F' une autre formule, pour laquelle il n'est pas nécessaire de connaître la réduite (p elle-même. Soit F^=^{a, bj c), F'z=:(ay h', c'),
^-=:(^Ay hy 6)\ puisque r est la plus simple expression de la fraction -r^ ou, de la fraction __^,v ,., on aura -^ = - égal à un
entier que nous supposerons =/*, et de même g = — j — =^. Or on a
Az=:a^''+:^ha,y-\-Cy% d'où (B^=aoL'^'i-2boLlBy-\-Cy*(B , ou en svibstituant pour a(B, S{h — b) , pour c , ^g,
^A = ct^cT/î + b(i^y-'OL<f)ct + I^YS'y et comme b:=-^h — i'g,
fiA^2ci{ùLj'^^y)h'\-(oJ''^^yyg:=:2ci7i -i-g} de même
A R I T H M E T I Q VE S. 2o5
clone ct := r-^ et > = r-^.
On a de même^ relativement à la forme F, «'= — r-s- et
En substituant ces valeurs de a, 7/, c/, 5/ 'dans la formule précédente, elle se change en la substitution suivante :
r=£g /g^g-%^ £fz£f ££zi£'
d'où A a disparu.
Si l'on propose deux formes F, F' improprement équivalentes, et qu'on demande une transformation impropre de l'une en l'autre, soit G la forme opposée à F, et et, /3, y, cT une transformation propre de G en F', il est clair que a, /3, —yj — J^, sera une transformation impropre de F en F\
Enfin on voit que si les formes sont proprement et improprement équivalentes , on pourra trouver de cette manière deux transformations, l'une propre et l'autre impropre.
209. Il ne nous reste plus parconséquent qu'à déduire d'une seule transformation toutes celles qui lui sont semblables, ce qui dépend de la solution de l'équation /* — h^u''z=m*. Mais cette équation ne peut se résoudre que de deux manières , savoir, en faisant tz=i7n, i£^=o, ou /= — m, u^=.o. Supposons en effet une autre solution i=T, u-=,U où Z7ne soit pas zéro} comme /tî* di-
vise 4^i% on aura -î-^=:-î-^ — f-/, et ^^—r-, ainsi que - — -- sont
des quarrés entiers*, mais on voit facilement que la différence de deux quarrés entiers ne peut être 4> à moins que le plus petit ne soit =o*, si donc la forme F se change en F^ par la transformation a, /3, y, J'y on ne trouvera d'autre transformation semblable que — -:t, — j8, — y, — S", et si elles ne sont équivalentes que d'une manière, il n'j aura que deux transformations) il y en aura quatre si elles sont équivalentes des deux manières , savoir, deux propres et deux impropres.
2o4 RECHERCHES
210. Théorème. SI deux formes réduites (a, h, o), (a', h, o) sont improprement équivalentes , on aura aa'^m' {mod, 2mli) , m étant le plus grand commun diviseur des nombres a, 2h ou a% ahj et réciproquement si 2i , ah; a', 2 h ont le même plus grand diviseur commun VA i et qu^ on ait aa'^m' {mod. 2lira), les formes (a, h, o), (a', h, o) seront improprement équivalentes,
I. Si la forme {a, h, o) se change en {a, h y o) par la transformation impropre a., ?>} y» ^ t on aura les équations
ac/J" -{- ihcLy =1 a' (i), aa^ -^^hÇoLj"-}- l^y')=:h (2),
a/S^-j-2/2/3J = o .(5) , acT — /35.=:--i (4).
On déduit de l'équation (i)
(aA-\-2hyy — (^oci-}-9Â))Qhy =aa , ou {aa, -\- 'ihyY =^ aa (mod. 2A^.(a*-f-2//>)) Or en combinant les équations (2) et (4) , on tire (^/3 + 2/zJ ):t =0 , et comme la supposition ct=o réduirait l'équation (i) à a'=o,
contre Ihypothèse, on doit avoir rt/3-|-2/2cr=:o , ou 7,= , et
O et
partant /2=zh— , cr=:=p--, l'équation (4) donne alors =t^^^=tf-^= — 1>
ou aci-\- 2hyz=z:à=:m, Ainsi la congruence que nous avions trouvée devient ni'^aa (mod. 2mh).
II. Si m est le plus grand diviseur commun des nombres a , 2/z ;
, n . , 'if ,/ 1 T ^ a Q.h d ad — vn^
a, 211 y et quonaitû!^ '^m'' (mod. 2/72 /î) , —, — , —, ; — se-
ront entiers, et l'on s'assure aisément que la forme (a, h, o) se
chan2;e en Ca', h y o) par la substitution — — , , cm^-m ^^
° v-'^^r mm zmh m
que cette substitution est impropre. Ainsi ces formes seront improprement équivalentes.
On peut aussi juger sur-le-champ si une forme réduite (ay h, o) est improprement équiv^alente à elle-même, puisqu'on aura alors û" ^ m" (mod. 2înh).
211. On trouve toutes les formes réduites de déterminant 7z* en prenant pour A dans la forme {A, h, 0) tous les nombres entiers depuis et y compris o, jusqu'à 2/z — i inclusivement; ainsi le nombre en sera 2/7. Il est évident que l'on peut distribuer toutes les formes de déterminant U en autant de classes, et qu'elles jouiront de la même propriété que ci-dessus (n»* 175, i85), pour les formes de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré.
ARITHMÉTIQUES. 2o5
Ainsi foufes les formes de déterminant =25 peuvent se distribuer en dix classes, qui se distingueront par les différentes formes réduites qui j seront contenues. Ces formes réduites sont : (o 5 o) (i. 5, o), (2, 5, o), (5, 5, o), (8, 5, o), (9, 5, o), qui sont improprement équivalentes à elles-mêmes j (5, 5, o), qui est improprement eqmvalente à (7, 5, o)^ (4, 5, o^, qui est improprement équivalente a (6, 5, o). ^
212. Problème. Tz-o^z^jr /oi^/^5 les représenta/ions d^un nombre donné M, par une forme donnée ax" 4- 2bxy + cy= de déterminant h^. j j
On peut tirer la solution de ce problème, des principes de lart. ib5, absolument de la même manière que nous l'avons fait plus haut (nos 180, 181, 2o5), pour les formes de déterminant négaut, et positif non quarré, et comme il n'j a en cela aucune difficulté, il serait superflu de le reprendre ici. Mais il ne sera pas hors de propos de déduire la solution d'un autre principe qui est propre a ce cas particulier.
Ajant fait comme aux n°* 206, 208 ^~~^ = <^ /? ^
& j^— /^ ^ J~-— -^j on prouve sans peine que la forme
proposée est le produit des deux facteurs cTor—^j et/r— ^j- d'où il suit évidemment que toute représentation du nombre M par la lorme proposée donne la résolution du nombre 31 en deux facteurs. Si donc tous les diviseurs du nombre A/ sont d, d' , d", etc. (i et My compris et chacun d'eux étant pris positivement et négativement), il est clair que l'on obtiendra toutes les représentations du nombre il/, en posant successivement <^X'^^y:=zd, fx-^gyz^ë.. èx—^y=^d', fx'^gy:=.^-L, etc. On tirera de là différentes valeurs de X et de J parmi lesquelles on rejettera celles qui ne sont pas entières. Or les deux premières équations donnent évidemment
'^(^f-^g:id y==(jf~j^>
valeurs qui sont toujours déterminées parceque ^f-^^g:=2li , et que parcoDsequent le dénominateur des fractions n'est jamais =0.
2oG RECHERCHES
On aurait pu tirer de la décomposition en deux facteurs , les problêmes précédens -, mais nous avons préféré employer ime méthode analogue à celle que nous avions suivie pour les autres déterminans.
Exemple. Clierclions les représentations du nombre 12 par la forme 3jc^-f-4-^/ — yj*. Cette forme se décompose en deux facteurs :c — y et '5x-\'']jy les diviseurs du nombre 12 sont: ±1, :2, 5, 4> 6' 12. Faisons x — /=: i, 3ji:-f-7/=: 12, on tire x:=.\% , y=iYZy valeurs à rejeter comme fractionnaires. Les diviseurs — I, db3,=t:4j =t6> d=i2 donnent aussi des valeurs inutiles -, mais le diviseur -f-2 donne x=. — 2, y=:o, et le diviseur — 2 donne x=: — 2, ^ = 0. Ainsi il n*y aura exactement que ces deux représentations.
Cette méthode ne peut s'employer si M=zOj mais dans ce cas, il est clair que toutes les valeurs de x et y doivent satisfaire à l'une des équations Soc — (^y=:o, fx — gyz=.Q. Or toutes les solutions de la première équation sont contenues dans la formule a; = /3z , y =crz, en désignant par z un nombre quelconque, si )8, cT sont premiers entre eux, comme on le suppose. De même, nommant m le plus grand diviseur commun des nombres f , g, toutes les solutions de la seconde équation seront données par la
formule ^=^, r=— . Ainsi ces deux formules contiendront
771 •' Ta
toutes les représentations du nombre M=.o,
Dans ce qui précède, tout ce qui appartient à la recherche des caractères de l'équivalence des formes, à leur transformation et à la représentation des nombres donnés par des formes données, a été expliqué de manière à ne rien laisser à désirer. Il ne nous reste plus parconséquent qu'à prendre deux formes de déterminant difiFérent, qui parconséquent ne peuvent être équivalentes, et à enseigner le moyen de juger si l'une est contenue dans l'autre, et dans ce cas, celui de trouver les transformations de l'une en l'autre.
21 5. Nous avons déjà fait voir (n"* iSy et i58) que si une forme/* de déterminant D renferme |a forme F de déterminant E , et se
ARITHMETIQUES. io;
cLange en Fpar la substitution &., /3, y^ J", on a E=:i(a,<^'^PyYD , et que si l'on a otJ' — jS; =:± i , la forme/'iion-seulement renferme la forme F, mais lui est équivalente, et que partant, si/renferme F
sans lui être équivalente, le quotient — sera entier > i. Ainsi le
problème à résoudre est : Juger si une forme donnée f de déter" minant D renferme la forme donnée de déterminant De*, où e est supposé un nombre positif >• i. Pour y parvenir, nous assignerons un nombre fini de formes contenues sous la forme f, et telles que /^ soit équivalente à l'une d'elles, si elle est contenue dans f
I. Soient 772, 772', m", etc. les diviseurs positifs du nombre c (y compris i et e) et mn = m'n':=zm''n"=. . .=e. Désignons, pour abréger, par (m; o) la forme en laquelleyse change par la substitution propre 772, 0,0,72; par (772; 1) celle qui résulte de la substitution propre 772, i, o, 72, etc., et généralement par (772; k) celle qui résulte de la substitution propre 772, k, o, n. On entendra de même les expressions (772'; o), (772'; i), etc. Qn; k), etc. Toutes ces formes seront contenues proprement dans la forme /, et le déterminant de chacune d'elles sera De*, Nous représenterons par XI l'ensemble de toutes les formes (772J0), (772; i),». .(772; 772 — 1)5 (772'; o), (m'-, \),.,.{m'y m-^i), etc., dont le nombre est 772+ 772'+ 772"-!- etc., et qui sont toutes différentes, comme on le verra aisément.
Si l'on a, par exemple, /'=(2, 5, 7) et e = 5, il comprendra les six formes (i^ o); (5; o), (5> i), (S-, 2), (5; 5), (5; 4), qui sont, calcul fait, (2, 25, ijS); (5o, 25, 7), (5o, 55, 19), (5o, 45, 35) , (5o, 55, 55) , (5o, 65, 79).
II. Or je dis que si la forme F de déterminant De*^ est contenue àansf, elle sera nécessairement propremerit équivalente à une des formes XI. Supposons en effet que^se change en F pat la substitution propre a, |S, >-, «T; on aura acT — /3> =z. e (*). Soit n
(*) L'auteur a été probablement conduit à sa démonstration par l'analyse suivant» qui peut la remplacer.
Supposons la forme F renfermée dans la forme/, et que /se change en F par
2o8 RECHERCHES
le plus grand commun diviseur des nombres y, /, qui ne peuvent
être nuls tous les deux , et -= m. Soient les nombres g, h tels
que yg-\-'J'hz=:n, k le résidu minimum positif du nombre oLg-^-^h^ suivant le module m. Alors la forme (/tzj A) , qui est évidemment une des formes H , sera proprement équivalente à la forme F, et se changera même en elle par la substitution propre
^ • ^^^"^"^ ~~^~~' " I ■ » *■ 1 ~" • — — ^^— — ^-"" ir m —, — 4
77 777 • ' 77. 7T7 w ' 77 ' TI
la substitution a, /3, •)', <r. Soit ç une des formes Q, et tm, ^, o, 72, la substi~ tution qui change f en ç. Soit enfin et' , /2', y' , é' la substitution propre qui change <p en une forme équivalente ; la forme jf se changera en cette dernière par la substitution : tua' -f- ^y' , Tn-if -f- ^^' Si donc l'on peut déterminer les nombres m, k, n, «', /S', >', ^, de manière qu'on ait
ma,' -^ ky = a. , 7n/S'4-W = /3, ny^=y, n<^' = ^, il est clair que (p sera équivalente à F.
Or les équations ny' = 7 , ntT' = «^ donnent 7' = ~ ^ /^ = - : et comme 7',
J^ doivent être premiers entre eux, n sera le plus grand commun diviseur de« nombres y, S'. Des deux autres équations, on tire en éliminant m ou k,
^ = «'/3 — a/3', mz=.cty — ^y \
et comme la seconde de ces équations revient évidemment à Aê"--^y= e:=:mn, a ne reste plus qu'à satisfaire à la première et à l'équation «'<^' — /S'y = 1 . Si l'on suppose que a' z=h et 0 ■= g soit une solution quelconque de cette dernière , on aura en général «t' = ^ -f- py' , ^'=g +P«^'i substituant ces valeurs dans celle de k , elle devient
kz=zh^ — gA-^p($y^-r'AS')T=h$--ga~^pîny ou k^h(i~^gA(^mod.m.), Ainsi en prenant pour k le résidu minimum positif de h^-f^ga, suivant le module 771, la forme 0 ou (m; k) se trouvera parmi les formes Q. On a pour lors
ce qui est, au signe de g près, le résultat de l'auteur.
Il est aisé de voir que la forme 9 restera la même de quelque manière que p et ç soient déterminés ; elle serait encore la même , quand on aurait d'autres valeurs de a, /S, 7, iT, pourvu que le diviseur commun de , J'y n'eût pas changé , non plus que le résidu minimum positif de h^ — gA : mais dans tout autre cas la forme <p changera. Il suit de là qu'il peut y avoir plusieurs formes <p, Ç)', ç>", etc. Les propositions que l'auteur démontre dans le n° suivant , sont évidentes d'après ces obsen'ations. {Note du traducteur)^
Cac
Câr, ï*. il est évident que c^s quatre nombres sont enlîetâ; 2°. on s'assure aisément que la substitution est propre; S'*, il est clair (n" 159) que la forme en laquelle se cliange (^m; ^), par la transformation précédente, est la même que celle en laquelle /"se change par la transformation
mf^.-sJl h^OH — -i m(-,-^-^ g)-^ — ,y, «T,
Or le premier de ces quatre nombres se réduit sur-le-champ à ~(^oLyg-\-(^y-\-m72)h) , le second à - ((ûtcT — mn)g'\-^Sh); d'ailleurs on a 77z/z=:e==««r — l^y: donc ^y'-{'mn-==zaiJ' et aJ^ — mnz=:fiy,
ce qui donne pour les deux expressions précédentes -(7-^-+ cT/z),
-{yg-h<^à) , qui se réduisent évidemment kct, (B, puisqu'on a
yg'\'^h-=in» Ainsi cette transformation est a, /S, y, cT-, donc {m; k) se change en F, et partant (^m) k) et F sont proprement équivalentes , puisqu'elles ont d'ailleurs le même déterminant.
On pourra toujours Juger par là si une forme /"de déterminant D renferme proprement une forme de déterminant Z)*?''*, mais quand on cherche siy* renferme F improprement, on doit chercher si la forme opposée à F est renfermée dans/i
2i4' Problème. Etant données deux formes f et F , dont les déterminans sont respectiuement D et De*, et dont la première renferme la seconde proprement', trouver toutes les trans" formations propres de f en F.
En représentant par €1 le même ensemble de formes qu'au numéro précédent, on en extraira toutes les formes auxquelles F est proprement équivalente. Désignons-les par <p , <p', (p", etc. j chacune de ces formes fournira des transformations propres deyen F, en donnera de différentes , et il n'y aura aucune transformation de la forme f en F qui ne soit donnée par une des formes <p , <p', (p", etc. Au reste, comme la méthode est la même pour toutes ces formes, nous ne nous occuperons que d'une seule.
Supposons (p= (iïf-, K) et e=zMN, de manière quey*se change en <p par la substitution propre, M, K, o, N, Désignons par af,
Dd
/3', y% J^' nue fransformation propre quelconqtre de <p en \F, là forme f se changera évidemment en F par la substitution propre Mol' + Jïy , M/S' -}- /CcT', iV/, iVcT' ; et de même, toute transformation de (p en jF en donnera une de y en F, et ainsi des autres : pour prouver que cette solution est complète, il reste à démontrer, 1°. Que (/<? ce/fe manière on obtient toutes les transformations possibles de ï eh F. Soit a, ^ , y, ^ une transformation propre quelconque de /en F , et comme au n° précédent , n le plus grand commun diviseur des nombres y y ê\ et les nombres ni , g , h,k déterminés de la même manière qu'à ce numéro. Alors la forme (m j A) se trouve parmi les formes <^ , p' , (p" , etc.
y tKàLÊtzzh a. J ^ a-g-^^h — k y ^
sera une transformation de cette forme en F , et de. cette tranBformation on tire par la règle que nous venons de donner , a, /S, y y cT pour celle de/* en F* Tout, ceci a été démontré au n° précédent. .1. / . ,, ,.
2°. Toutes les transformations que Von obtient de cette manière sont différentes. On voit Saïis peine' 'qtie* deé transformations ditfétentes d'une même forme '(p , <p', etc. en F, ne peuvent produire la même transformation deyen F. Il reste donc seulement à prouver que deux formes différentes^ et (p', par exemple, ne peuvent donner Ja mêiire transformation. . , .
Supposons que la transformation propre ït,/S,^,cr de là forme /en F , s*obtienne de la transformation et', /S', >', ^J' de ^ en F ^ et de la transformation a", /3", y" , J " de (p' en F. Soit <p = (wj A) ^ (p' = (/7z'j k')y e'=:jnn=zm'n\ On aura les équations ,
y = ny'— n'y" . . /(^X,'^ ^« > '= n^" .:. .;(4X' e^'^ f fr-<?y:m*"^'V-]e>*ia:<l V .;. Ç5)i
Multipliant les éqtiàtiotî's (4) et (5) fàr'af et j®' respectiVetiientV on trouvera par la Soustraètion , n=t "ii'- {<x S^ -^ py")-, 'en les mtiltipliànt au contraire par a" et /S" respectivement , on trouvera de même n' =« (a'cC — i^V)j ^o^c « est divisible par ri et n' par /z> ce qui exige qu'on ait 7i s± %• , jfJiïîs'c^tïe ">i 'et tz^ sont supposés tous les deux positifs. Donc -aussi 'm ^f72-'> >'=ïi:'>''', cT' =£tiel''v Or en élirainajût m entre les équations (i.)iet i(2)!^>Dn troiive
ARITHMÉTIQUES. ju
donc k^k' (mod. 772) ; ce qui ne peut avoir lieu à moins que l'on n'ait kz=zk\ puisque k et k' sont compris entre o et w— i. Donc les for^s 9 et (p' sont les mêmes contre l'hjpothèse.
Au reste , il est clair que si Je déterminant D est négatif, ou positifet quarréj,on fr^nvera effectivement par cetteraéthode , toutes les transformations propres de /en F-, mais que s'il est positif et non quarré , on trouvera certaines formules générales qui contiendront toutes les transforiiiations propres , dont le nombre est infini
r ;£nfinsi la forme /^ est;- contenue improprement dans la forme/, ,on peut trouver, pai- la même méthode toutes les transformations de/en, F. Soit en ,efi*et a, p> , y , ^ une transformation indétecminée de /en la forme opposée à F , toutes les transformations impropres de /e^jF seront, représentées par a, — /3, >, — cT.
Exemple. On demande toutes les -transformations de la forme i^} ^> 7) en (275, o, — i), qui j es^ cputeniœ des deux manières. Nous avons donné au n° pr^édent ^ siùte a de formes pour h. proposée. Examen fait, on trouve que dans cette suUe les formes (5; i)et (Sj 4) sont proprement équivalentes à la forme (275,o,-~i). Toutes les transformations de la forme (5j i) = (5o, 35, 19) en (275, o, — . i) se trouvent, par la théorie que nous avons expliquée plus haut, être contenues' dans la formule générale,
16/— 2757/, — ."/^'i6«,l^i5/-|-275^^, t^ i5u, où t, u désignent les nombres entiers qui satisfont à l'équation indéterminée r r- 275//^ == i j ainsi toutes les transformations propres de la forme (2 , ^, 7) en (275, o, — - 1) qui en résultent , seront, comprises, dans la formule générale
1nr7i.v^5^p-,i?^ft<»Éj-^4^'3h?5^^,--^i5/-f-275>^, /— xSu.
-«He^raêmiê:, toutes les transformations propres de la forme (5; 4) = (5o, 65,^79) en/275, 9, — i) sont contenues dans la formule
^ 14^+275^^, /+i4M,'-Ui5^--.275z/, — ./^i5i^,
ce qui donne encore la suivante pour les transformations propres dé (2,5, 7) en (275,0,-1),
Ainsi ces deux formules embrassent toutes les transformations propres cherchées.
On trouve de la même manière que les transformations impropres sont données par les de^ixforniule?,
65t — 1 1 oou , 4' — ' 6^" > ^'tSt -^ 'iifSii , ^- 1 + i5u ,
I0^+ 2j5ll,'-^ ïO—' lOU , -^i^i-^ 2j5u , t^\5u,
21 5. Jusqu'à présent nous avons écarté de nos recherches les formes dont le déterminant = o. Pour compléter notre théorie , il nous reste à ajouter quelque chose à leur sujet. Comme il a été démontré généralement que si une forme de déterminant /) renferme une forme de déterminant Z>', D' étant multiple de D y îl s'ensuit qu'une forme de déterminant = o ne peut renfermer aucune forme dont le déterminant ne soit aussi i= o. Il ne nous reste donc que deux problèmes à résoudre j .^ajVoii; :^ [j .jv v
1°. Etant données deux formes f et ¥ i éàntlW ëëcôHdè cto pour déterminant , découvrir si la première renferme la seconde '^ et dans ce cas y trouver toutes les transformations de f en F. '
2°, Trouver toutes les représentations d'un nombre donné p,ar une forme donnée de déterminant ■= o» ^
Le premier problème doit être traité différemment , quand le déterminant de la première forme est aussi = o , et quand il rie l'est pas.
I. Observons avant ioiit. qu'une forme ax* -\~ 2bxy -|- cy^ dont le déterminant =0, peut se représenter ainsi: m, (^gcç-^hyy , g et h étant entiers et premiers entre eux, et 772 îin nombre entier. Soit en effet m le plus grand commiin diviseur des nombres a y c, en lui donnant le même signe qu'à ces nombres, qiii doivent
évidemment en avoir un semblable, ~ et — sçr,Qia,t ÇntiçtSuoPb^
Tn ÎTL 'S
sitifs et premiers entre eux j leur produit doit être égal à —^ qiii est un quarré, et partant, chacun d'eux en doit être un' aussi. Soit — =g* , — =; /i* , ^ et h seront aussi premiers entre jeux, e't l'4?n
ARITHMÉTIQUES. 2i5
aura §*7z»=— ,, ou gh=zt~. D'où il suit qu'on a
ûo;' -f- 2bxj- -f- cj* = 77Z (gx dt hy^.
Soient proposées maintenant deux formesyet i*" de déterminant :=o, elfz:^m{gX'^hyy,Fz=:M{GX'\'Hry, dans lesquelles g est premier avec h , et G avec H, Je dis que si y renferme F , ou aura mz=M', ou que du moins m divisera M , et donnera pour quotient un quarré, et réciproquement. En effet, si f se change en F par la substitution ;i: = aX+/3i^, J = >X+ cTj^, on aura
d'où il suit évidemment que — est un quarré j faisons — =:e% on aura
et partant, eGz=-±: (ci,g-\'yh) , e£r==b(/%'+crA); comme G, H sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres G', H', tels qu'on ait G .G' -\- H.H' z= i) et partant, =t: ^ = G'(cig-{-yh) '^ H' (^ ^g -\^ Sli) , ou égal à un entier. Réciproquement, si l'on
M suppose que — soit un quarré entier =. e^ , la forme y renfermera
la forme F y c'est-à-dire qu'on pourra toujours déterminer des valeurs entières àa,/3,^,cr, de manière à satisfaire aux équations
<^g'\-yh:=^zheG, lèg'\-S^hz=±:eH,
car ces équations sont toujours résolubles en nombres entiers. Il suffit, comme on sait, de résoudre l'équation g'g -\- lLh=: i, et ' on aura
en donnant k z, z' des valeurs entières quelconques.
Il est clair eu même temps que ces formules donnent toutes les transformations de y en F^ poiu'vu qu'on attribue à -; et ^' toutes les valeurs entières,
II. Supposons maintenant que tout restant le même d'ailleurs, la forme /:= ax^^Pibœy-^ cj* n'ait pas o pour déterminant. Je dis que, 1°. si/ renferme jF, le nombre M pourra se représenter
5i4 RECHERCHES
par la forme /"j 2". si M peut être représenté par /, la forme F sera renfermée dans f-, 3*. si , dans ce cas , la formule a; = ^ ', y = \\j donne indéfiniment toutes les représentations du nombre Af par la formey*; les transformations dey* en F seront contenues dans la formule G^ , H^, Gv , Hu,
Supposons que /' se change en F par la substitution ot, jS, y, cT; en prenant les nombres G', H', tels qu'on ait GG''\'HH'==,i't si l'on fait x^=zcilG' -{-^H' , y:=.yG' -{^ê^H', la valeur de la forme y devient M , et partant, M peut être représenté par/l
2". Si l'on suppose «g* -f- 2^Çu -|- ^^* = -^> il &st évident que par la substitution G^, H^, Gv , Hu, la forme y se change en F.
3\ Pour démontrer que la substitution G^, H^, Gu, i^u donne toutes les transformations de / en F, si ^ , u représentent toutes les valeurs de x, y qui rendent y ==ifefj soit a, /3, y, cT une transformation quelconque de y en i^, et, comme plus haut, GG' -\iJH'=i, parmi les valeurs de jc,/ seront les suivantes: j:=:xG'+^iff', j-ss^G'-f- J^-fiT', qui donneront la substitution-
G(olG'+^H'), H{cLG'+fèH'), GÇyG'+ê'H'), H(:yG'-{'m')s
d'où l'on tire
mais comme on a
on en tire au moyen des trois équations qui en dérivent,
M(I^G-^ ciHy = c(oLc^ — (^yy , M{S'G'-'yHy;=za{<iS^-^^y)\
Or acT — /3^ = o, puisque le déterminant de jP qui est =0 , est égal au produit de acT — ^y par le déterminant dey qui n'est pas égal à zéro; on a donc jôG — a£r=:o, et partant, la substitution en question se réduit à a, /3, ^, «T. Ainsi la formule que nous
avons donnée fournit toutes les transformations de y en F^ (^).
(*) On pourrait encore présenter ces différentes propositions de la manière uivante.
Si la forme/ se change en F par la substitution «t, /3, 5/, «^, on aura les
ARITHMÉTIQUES. aij
TIT. Il ne reste plus qu'à faire voir comment on petit trouver îoutes les représentations d'un nombre donné par une forme donnée dont le déterminant = o. Soit cette forme 77z (^o: -|- 7ïj)* , il suit de là que ce nombre doit être divisible par 31, et que le quotient doit être un quarré. Ainsi, en représentant ce nombre par me*, on aura à trouver les valeurs de x,y pour qu'on ait(^j;-|-/îj)*=e% ou ce qui revient au même , gx -^ hjz=zdz e. Or cette équation est toujours résoluble en nombres entiers, puisque g- et h sont premiers entre eux. On déterminera g' et Jï de manière qu'on ait gg' + hN = I , et l'on aura x = dt=g'e^hz, j:=dz h'e — gz , où z est un nombre entier quelconque.
Comme application des recherches précédentes , nous ajouterons le problème suivante
216. Problème. Trouuer toutes les solutions en nombres entiers, de V équation générale du second degré à deux inconnues,
ax* + 2bxj-j-cj'-f-2dx-|-2ej + f=o, (*)
équations
on aura encore et^— /2j/ = o, ou -^ = ^.
Si de la preiûière^ multipliée par ^, on retranche la seconde, nmîtîpîiée par y^
on en déduit éur-le-champ Gè^'—Hys^o , ou ^=77, et puisqu'on a - =?1 ;
tt G ^ „
g=-^; G et H sont premiers entre eux, donc y et a sont divisibles par G, et
^ et jS par /f; desorte que l'on aura a.=z^G, ^:=.IH, y^zzvG, «^=lfl■, ^ et o étant des indéterminées. Or ces valeurs, substituées dans les trois équations, «éduisent chacune d'elles à
al" 4- 2Ô;y 4- eu* = M,
Donc nous prouvons à-la-fois, 1°. que 3Î doit être représentable par la forme (^> ^> c); 2°. que s'il est représentable , la transformation de fen F est possible; 3°. qu'elle se fait par la substitution |G , |/f, vG, vH, et en même temps qu'on obtiendra ainsi toutes les transformations. {Note du traducteur).
( ) Si l'on proposait une équation dànsJaquelle le 2*^, le 4' et le 5*= coefficien» ne fussent pas pairs , cette équation, multipliée par 2, prendrait la forme que nous lui supposons.
2ia RECHEKCHES
ou a, b, c, etc. sont des nombres entiers quelconques^
Si Ton introduit à la place des inconnues x ^ y , d'autres inconnues
p :=: (b* -^ ac) X '\~ be -^ cd , q :=, {b"" -^ ac) y -{'bd-^ ae ,
qui seront évidemment entiers quand a; , y le seront , on aura l'équation
ap^'\-2bpq'^cq^ •\-{b*^^ac){ae*'^2bed'\-cd'')+f(J)'' — û!c)*=o,
ou , en faisant pour abréger ( ô* — ac ) ( ^e* — 2 bde + cd^ ) Hf{b-^acy:=r-'M,
ap* H- 2bpq -|- cq'' = M.
Or nous avons donné la manière de trouver toutes les solutions de cette équation, c'est-à-dire, toutes les représentations du nombre M par la forme {a, b, c); mais on a par les relations entre p y q^ x etj,
p-^cd — be q-^ae — bd
^— • b^ — ac ' y"-" b^ — ac '
Si donc on rejette de toutes les valeurs qui en résultent pour x et / , celles qui sont fractionnaires , il ne restera que les solutions cliercliées.
A l'égard de cette solution , il j a plusieurs observations à faire.'
1°. Si M ne peut être représenté par la forme (a, b , c) , ou si aucune représentation ne fournit de valeurs entières pour x , jy > l'équation n*est pas résoluble.
2°. Quand le déterminant Z>* — ac de la forme (a , b, c) est négatif ou positif quarré , et qu'on a en même temps de M"^ o , les représentations du nombre M par la forme (a, b , c) sont limitées, et parconséquent aussi les solutions de l'équation proposée, s'il en existe.
3°. Quand b^ — ac est positif non quarré, ou qu'il est quarré, et qu'on a en même temps M=o, si le nombre M peut être représenté par la forme (a, b,c), le nombre des représentations sera infini. Mais comme il est impossible de trouver alors toutes
ces
ARITHMETIQUES. 217
ces représentations, et partant, d'essajer si elles donnent pour oc y y des valeurs fractionnaires ou entières , il est nécessaire d'établir une règle par laquelle on puisse s'assurer, quand cela arrive, qu'il n'j a aucune représentation qui donne des valeurs entières pour X y y\ car, sans cette règle, quel que fût le nombre des représentations essayées, on n'arriverait jamais à la certitude, et quand une partie des représentations donne des valeurs entières, et l'autre des Valeurs fractionnaires , il faudra savoir distinguer les premières représentations des dernières.
4^ Quand h"" — acz==.o, les formules précédentes ne déterminent pas les valeurs ^qx, y. Ainsi , dans ce cas , il faudra avoir recours à une méthode particulière.
2 17. Dans le cas où^* — ac est un nombre positif non quarré, noua avons fait voir plus haut que toutes les représentations du nombre M par la forme (a, b, c) , s'il y en a quelques-unes, peuvent être données par une ou plusieurs formules telles que
Ai By Ci D étant des nombres entiers donnés, m le plus grand diviseur commun des nombres a, 2b, c, enfin t, u des nombres entiers qui satisfont à l'équation V- — (^» — ac) u"" :=. m" , Comme les valeurs de /, « peuvent être prises positivement et négativement, au lieu des formules précédentes, on peut prendre les quatre suivantes:
Ill in fji jji
ensorte que le nombre de toutes les formules soit quatre fois plus grand qu'auparavant , mais que u et t soient positifs , examinons donc séparément chacune de ces formules , et cherchons quelle* sont les valeurs de /, w qui donnent des valeurs entières pour x, y, La formule
P^^^At^Bu), ç^^(Ci + Duy (i)
donne pour x et y
3i5 RECHERCHES
^t -f- Ba -f- mcd — mbe Ct -\- Du -f- ritae — mbd
m(b'^ — ac) ' -^ m{b'-— ae) *
Or nons avons fait voir plus haut que toutes les valeurs positives de t forment une suite récurrente t, t', t", etc., et que les valeurs correspondantes de u en forment une autre z/, z/, z/, etc. j qu'en outre on pouvait toujours trouver un nombre fjL tel qu'on eût, suivant un module donné quelconque ,
r ^t°, t ^t , r ^t , etc., u'^^u°, u ^u , u ^u , etc.
Prenons pour ce module le nombre m(lf'^—^ac), et désignons par x°,j° les valeurs qui résultent pour a:,y- de la substitution de t°, ii°; par x% y celles qui résultent de t', ii, etc. On voit alors sans peine que six'^''^, y*^ sont des nombres entiers^ et que /* soit convenablement déterminé , les valeurs x ^, y ^ j x \ y , etc.j X y y seront des nombres entiers, et qu au
contraire si x" ou y" est iractionnaire x , ou y le sera
aussi. Il suit de là que si l'on cherche les valeurs de x, y depuis x^, y° jusqu'à :i;^ ^ > J^ > et qu'aucunes d'elles ne soient entières, la formule (i) ne donnera absolument aucunes valeurs entières pour a;, j. Mais si l'on en trouve quelques-unes, par
exemple, x , y ; x , y , etc., toutes les valeurs entières données par la formule (i) seront celles âe x, y , dont les accens seront y-^k//,, /-\-k//,, etc., k désignant tous les nombres entiers po* sitifs, j compris zéro.
Les autres formules dans lesquelles sont contenues les valeurs de Pj q doivent être traitées absolument de la même manière, et s'il arrivait que d'aucune d'elles on n'obtînt des valeurs entières pour X, y , l'équation proposée ne serait pas résoluble en nombres entiers*, mais toutes les fois qu'elle le sera, les solutions entières pourront s'obtenir par ce que nous venons d'exposer.
2x8. Quand Z»* — ac est un quarré et qu'on a Mz=:o , toutes les valeurs de ;7, q sont comprises sous deux formules de cette forme
j)z=^Azy q^Bzy pt=:iA'z, q^^B'z
où z est un nombre entier quelconque, A^ B , A% B' , des nombres
entiers premiers entre eux-, c'est-à-dire A avec B^ ^'avec JB' ( n' 212). Il en résulte
Az-^cd — he Bz-\-ae — bd . .
■^■~" b-'-ac ' y^ b^—ac ^^^'
A'z-^cd — be B'z-\-a&'—bd
b-" — ac * *' "" b^-^ac
Mais comme c€s formules peuTent conduire a des valeurs fractionnaires pour X , y y k moins que l'on n'ait h^ — û<7= i; il sera utile de distinguer les valeurs de z qui rendent xei y entiers dans chaque formule; d'ailleurs il suffira de considérer la première, parceque la même méthode s'appliquera à la seconde.
Puisque A ei B sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres A^y ^, , tels qu'on ait AA^-\-BB^=.\\ substituant A ç,i B leurs valeurs tirées de la formule (i), ou a
{A^x 4- B^y) {b^^ac) ^ z -f A,{cd— he) +B^{ae—bd) ;
d'où il suit que les valeurs de z qui rendront x, y entiers, doivent être congrues à A^{be — cd)-{--B ^{hd — ae), suivant le module h'' — aCy ou être contenues sous la formule (Z>" — ac)z' -^A^{be — cd)-\-B^(bd — ce), z étant un nombre entier quelconque. On obtient facilement par là^ au lieu de la formule (i), la formule suivante:
A{bd-ae)-B{be-cd) A(bd-ae)^B{he-cd) . ^^^+B,. ^-^^ , y^Bz^A,. ^.-^^ ,
qui donnera évidemment des valeurs entières pour toutes les valeurs de z' , si elle en donne pour une seule. Or il suffit pour cela, qu'on ait A{hd — ae)^B{be — ad^ (mod. Z>* — ac). Si cette congruence n'a pas lieu, la formule (i) ne donnera pas de valeurs entières. On traitera de même la formule (a).
2ig. Quand Z>* — acz=.Oy la forme «jc^'s^xz-f-'^/* peut se changer en 772(ota:-f-/3r)% où m, cl, /3 sont des entiers (n" 2i5). Soit fait aLX^^y=.z f l'équation proposée devient
T/zz' -\-idx-\- 2ey -{-/'==■ o )
éliminant entre cette équation et l'équation (Xvr+/3/ = z, on a
/3mz'-|-2ez4-,5/ Amz^-\-cidz-^a.f
Or il est clair que ces valeurs satisferont à l'équation , en donnant
à z une valenr quelconque , à moins qu'on n'ait cte=:l^<^, cas que nous considérerons tout-à-l'heure à partj il ne reste donc qu'à faire voir quelles doivent être les valeurs de z, pour qu'il en résulte des valeurs entières de o) et de y.
Comme ajr-f-/3y = z, on ne peut prendre pour zque des nombres entiers; en outre, il est évident que si une valeur de z rend a: et y entiers^ la même chose aura lieu pour toutes les valeurs de z congrues à celle-là, suivant le module 2{xe — (2>(/). Si donc on substitue pour z tous les ijombres entiers depuis o jusqu'à db2(x^ — /3./) — j, suivant que oLe — j^d sera positif ou négatif, et qu'aucune de ces substitutions ne rende x et y entiers,, l'équation proposée ne sera pas résoluble en nombres entiers; mais si quelques-unes de ces valeurs ont cette propriété , supposons que cesoient les valeurs ^, ^', ^', etc., on aura toutes les solutions, en prenant z = ^Çae — (^d)k -{- ^ ,z = 2(ae — /3t/)A-|-^', etc., k étant un entier quelconque. Les valeurs de z, C^ ^'> etc. peuvent aussi par la solution se trouver des congruences du second degré» ( Voyez Section IV. )
220. Pour le cas où a<? = /3^, il faut chercher une méthode particulière. Par le n° 2i5, a et /3 sont premiers entre eux; ainsi
-= Q sera un nombre entier que nous nommerons h» Alors l'équation proposée prend la forme
(max 4- mfij •+■ Kf — ^* + mf-=. o , et partant ne peut avoir de solutions rationnelles , à moins que 'h'rnf j\e soit un quarré. Soit donc h" — mf-=:.k^y on tire de l'équation précédente
mtxx -|- m^y + 7î rt: A = o.
Cette équation exige, pour être résoluble en nombres entiers ,^ que h'àz.k soit divisible par m\ car d'ailleurs a, /3 étant premiers entre eux, on trouvera toutes les solutions par les règles connues.
221. Eclaircissons par un exemple le cas du n" 217, qui est le plus difficile. Soit l'équation
a;*-j- 8xy +^="-1-2:1; — 4/ + ^ = o*
En introduisant de nouvelles indéterminées ;7 = i5a; — 9i>
^=:i5/ + 6, on en tire l'équation p^-{-8pÇ'-^ç^ r=i — 54o. Or on trouve que toutes les solutions de cette équation sont renfermées dans les quatre formules
pz=: 6t , ^= — 24t — 90Z/J p= 6t, ç^=z — 24i~\-gou, pz= — 61, ç= 2^1 — 9oir, p= — 6t, ^= 24^+90;/,
i, u étant des nombres indéterminés qui doivent satisfaire à l'équation V — i5i/'=i^ et qui sont donnés par la formule
î = l {(4+K'i5)"+(4-V/i5)"}, z^ = ^^{(4+l/i5)«-(4-i/i5)"),(n°2oo).
Ainsi toutes les valeurs de x, j* seront contenues dans les formules a:=i(2f -f 3), j'=— f (8f+3oz/+2)-, 3:r=i(2i + 3), y= — i(8f— Sci/^-s) a:=i(— 2f-f-3), ^= ](8f— 3ou— 2); x=f (— 2f-f 3), ^=r i (8f+3oi/— -s) .
En appliquant convenablement ce que nous avons dit plus haut, on trouvera que pour avoir des nombres entiers il faut prendre pour t , u, dans la première et la seconde formule, les valeurs qui résultent en supposant x pair, et au contraire, dans la troisième et la quatrième, celles qui résultent en le supposant impair. Les solutions les plus simples sont x:==.i , — i, — ijj- = 2, o, 12, respectivement.
Au reste , nous ferons remarquer que Ja solution du problème précédent peut le plus souvent s'abréger par un grand nombre d'artifices , surtout quand on en vient à l'exclusion des valeurs entières ; mais nous sommes obligés de ne pas nous y arrêter pour éviter les longueurs.
222. Comme beaucoup des choses que nous avons traitées jusqu'ici l'ont été aussi par d'autres géomètres, nous ne pouvons passer sous silence leurs travaux. Lagrange a fait des Recherches générales sur V équivalence des formes {noui^. Mém. de VAcad, de Berlin y lyyS, ;?. 263, et lyyS, p. 323), où il prouve surtout que, pour un déterminant donné quelconque, on pey^ trouver un nombre fini de formes telles , que toute forme de même déterminant soit équivalente à une d'entre elles , et qne partant , toutes les formes d'un déterminant donné peuvent se distribuer par classe?. Ensuite Legendre a découvert plusieurs propriétés élégantes de cette classiEcation , mais pour ia plus grande partie par imluction^
et nous les danuerons plus bas avec les démonsfrations. Au reste, personne n'avait encore songé à faire la distinction de Téquivalence propre et impropre , dont l'usage est sensible dans les recherches délicates.
Le fameux problème du n° 216 a été résolu complètement, pour la preuiière fois, par Lagrange (Hisù. de VAcad. de Berlin y 1767, jc>. i65 , et 1768, p. 181 ). Sa solution existe aussi, mais moins complète, dans les Supplémens à r Algèbre d'Euler. Euler luimême avait auparavant attaqué le même sujet (^Comm. Petr, T. vi, p.iq^; Comm. jjov.T,jx, p.^\ ibid. T, xviu , p. i85)^ mais il a toujours borné sa recherche à déduire toutes les solutions d'une seule qu'il suppose connue; et d'ailleurs ses méthodes ne donnent toutes les solutions que dans un petit nombre de cas. Bien que le dernier de ces trois mémoires soit postérieur à celui dans lequel est renfermée la solution de Lagrange qui embrasse le problème dans toute sa généralité, et à cet égard ne laisse rien à désirer-, il paraît cependant qu'Euler à cette époque ne la connaissait pas encore. Au reste , notre solution , ainsi que tout ce qui a été donné dans cette section , est fondée sur des principes tout-à-fait différons.
Ce que d'autres, tels que Diophante, Fermât, etc. ont fait connaître à ce sujet, n'appartient qu'à des cas très-particuliers; aussi , comme nous avons rappelé en temps et lieu ce qui était le plus digne de mémoire , nous ne nous arrêtons pas à parler de chaque chose en particulier.
Ce que nous avons dit jusqu'à présent sur les formes du second degré, ne doit être regardé que comme les premiers élémens de cette théorie. Nous avons vu le champ s'agrandir considérablement , en poursuivant nos recherches avec persévérance ; nous donnons dans ce qui va suivre les choses qui nous ont paru les plus dignes d'attention. Car la fertilité de ce sujet est telle , que nous sommes forcés pour abréger, de passer sous silence une grande partie de ce que nous avons pu découvrir; et une plus grande partie sans doute est encore cachée et attend de nouveaux efforts. Nous prévenons que les formes dont le déterminant = o sont excluses
^e nos Kechercbes ^ à moins que nous n'avertissions spécialement du contraire.
225. Nous avons déjà fait voir plus haut, (n°^ lyS, ig5 , 211), qu'étant donné un nombre entier quelconque D, on pouvait assigner une suite de formes F, F' , F", etc. de déterminant/) , telles que toute forme de déterminant D soit proprement équivalente à l'une d'elles , et à une seule. Ainsi toutes les formes de déterminant donné D , dont le nombre est infini, peuvent se classer d'après ces formes , en composant la première classe de toutes les formes équivalentes à F, la seconde, de toutes les formes équivalentes kF' , etc.
On pourra clioisir dans chaque classe de formes de déterminant D , une d'entre elles que l'on considérera comme forme Teprésentante de toute la classe. Il est indifférent en soi quelle forme on prend dans chaque classe, cependant on doit toujours préférer celle qui est plus simple que toutes les autres. Or la simplicité d'une forme {a, b, c) dépend évidemment de la grandeur des nombres a^ b , C) et on dira à Juste titre que la forme {a ^ h , c) est plus simple que la forme (a, h' , cf) , si l'on sl a <^a , b <C U , c -< d , Mais il reste encore à savoir laquelle , par exemple , nous choisirions des deux formes (17, o, — 4^), (5, o, — i55). Le plus souvent il sera avantageux d'observer la règle suivante :
I. Quand Z> estnégatif, on prendra les formes réduites pour formes représentatives dans chaque classe j mais s'il y a deux formes réduites dans la même classe, elles seront opposées (n° 17^), et l'on prendra celle où le terme du milieu sera positif
II. Quand D sera positif non quarré , on formera la période d'une forme réduite contenue dans la classe proposée j cette période renfermera deux formes ambiguës , ou n'en renfermera aucune (n» .87).
1°. Dans le premier cas^^ soient (^A , B , C) , C-^', B' C) ces formes ambiguës *, M , M' les résidus nÙTiima des nombres B , B' , suivant les modules A. , A! , résidus qu'on prendra positivement
S ils ne sontt=0', ennn Ac= — -j — , iV = — -j, — . Cela pose,
on choisira celle des deux formes ( A^ 31, — N), ( A', M', — A'),.
qui paraîtra la plus simple pour forme representanfe. Dans ce choix , on préférera la forme dont le terme du milieu, = o ; mais quand cela arrive dans les deux formes, ou que cela n'arrive dans aucune, on doit choisir celle dans laquelle le premier terme est le plus petit, et quand il y a égalité au signe près, celle où le premier terme est positif.
2°. Dans le second cas , on choisira dans toute la période la forme dont le premier terme est le plus petit, abstraction faite du signe , de manière cependant que si dans la même période deux formes avaient le premier terme au signe près , on préférerait celle où il est positif. Soit (A , B , C) cette forme , on en déduira, comme dans le cas précédent, une autre forme (-^, M, — N) (en prenant pour M le résidu minimum absolu de B , suivant le module ^, et en faisant iV" = — ^ — ), et on la choisira pour re-, présentante.
S'il arrivait que plusieurs formes de la période eussent le même plus petit premier terme , on les traiterait toutes comme il vient d'être prescrit, et parmi les formes qui en résulteraient, on prendrait pour représentante celle dans laquelle le terme du milieu serait le plus petit.
Ainsi, par exemple, pour D = 3o5, on a entr'autres la période
(17^ 4— "i7)> (— 17>^^' ^)y ( 8,11,-23), (—23,12, 7), ( 7*1^^— l)> (— 7*^2,23), (23,11,— 8), (— 8,15,17), dans laquelle on choisit d'abord la forme (7, 16,-7), ^'^^ ^'^^ tire ensuite la forme représentante (7, 2, — 4^)«
III. Quand le déterminant sera un nombre quarré=^*, on cherchera une forme réduite {A,K,o') contenue dans la classe proposée ; et %\ u4 <C K ou=z K, on la prendra pour la forme représentante; mais si ^;> A^, on prendra à sa place la forme (A, — 2 A", K^ o) dont le premier membre sera négatif, mais < K,
Exemple. De cette manière, on distribuera en 16 classes toutes les formes de déterminant — 235, classes dont les formes représentantes seront
efc
et huit aufres qui ne different des précédentes que par le signe des termes extrêmes : (—1,0, — 235), (-—2, i, — ii8), etc.
Toutes les formes de déterminant 79 se distribuent en six classes dont les représentantes sont
224. Par cette classification , on sépare des autres toutes les formes qui sont proprement équivalentes *, ainsi deux formes de la même classe sont proprement équivalentes -, .tout nombre qui peut être représenté par l'une d'elles, peut l'être par l'autre -, et si un nombre M" peut être représenté par la première en donnant des valeurs premières aux indéterminées, il pourra être représenté par la seconde de la même manière, desorte même que les deux représentations appartiennent à la même valeur de l'expression {/D (mod. M), Mais deux formes qui appartiennent à des classes différentes, ne pourront être proprement équivalentes, et l'on ne peut pas conclure de ce qu'un nombre est représentable par l'une d'elles, qu'il le soit par l'autre ; au contraire , nous sommes en droit d'affirmer que si un nombre M peut se représenter par la première, en donnant k x,y des valeurs premières entre elles, on ne pourra pas trouver de représentations de ce nombre par l'autre forme , appartenant à la même valeur de l'expression \/Z^ (mod. M), (no^ 167, 168).
Au contraire, comme il peut arriver que deux formes F, F', prises dans deux classes differentesilL, A', soient improprement équivalentes, auquel cas toute forme de la première classe sera improprement équivalente à toute forme de la deuxième ; chaque forme de i^ aura son opposée dans A', et les classes K, A7, seront àilea opposées. Ainsi, dans le premier exemple de l'article précédent, la troisième classe des formes de déterminant — 235 est opposée à la quatrième, et la septième à la huitième ; dans le second exemple, la troisième l'est à la sixième, et la quatrième à la cinquième. Etant donc proposées deux formes prises dans des classes opposées, tout nombre qui pourra être représenté par l'une d'elles, pourra l'être aussi par l'autre. Si pour l'une la représentation a lieu par des valeurs premières, il eu serade même pour l'autre, de manière
Ff
cepenc^ant, que les représentations appartiendront à des valeurs opposées de l'expression \/D (mod. M). Au reste, les règles que nous avons données pour le choix des formes représentantes, sont établies de manière que les classes opposées obtiennent des représentantes opposées.
Enfin , il y a aussi des classes qui sont elles-mêmes leurs opposées; savoir, si une forme et son opposée sont contenues dans la même classe, on voit facilement que toutes les formes de cette classe sont équivalentes entre elles, tant proprement qu'impropre- .^ ment, et qu'elles ont toujours leurs opposées dans la même classe. Toute classe jouira de cette propriété, lorsqu'elle contiendra une forme ambiguë, et réciproquement on trouvera une forme ambiguë dans toute classe qui est elle-même son opposée (n^** i63, i65); aussi cette classe s'appellera ambiguë'. Ainsi, parmi les classes de déterminant — 255, on trouve huit ambiguës^ dont les représentantes sont :
( i,o, 235), C 2,1, ii8), ( 5,0, 4j),( 10,5, 26), (—1, G, --235), (—2, I, — n8), (—5, o, —47)^ (— lo, 5, —26). Parmi les classes de déterminant 79, il y en a deux: (i, o, —79),
Au reste, si l'on détermine les formes représentantes d'après les règles que nous avons données, on trouvera saus peine les classes ambiguës; pour le déterminant positif non quarré, on trouvera nécessairement des représentantes ambiguës pour des classes qui le sont (u° 194)', pour le déterminant négatif, la forme représentante d'une classe ambiguë sera elle-même ambiguë, ou bien ses termes, extrêmes seront égaux (n° 172). Enfin , pour les formes de déterminant positif quarré, il est aisé de juger (n° 210) si la forme représentante est improprement équivalente à elle-même^ et partant, si la classe est ambiguë.
225. Nous avons déjà fait voir plus haut (n" 175) que dans une forme (a, b, c) de déterminant négatif, les termes extrêmes doivent avoir le même signe, non-seulement entre eux, mais encore, que les termes extrêmes de toute autre forme qui lui est équivalente. Si a, c sont positifs, nous appellerons positit^e la forme {a, b, c), et la classe qui la renferme^ et qui ne contiendra que des formes
positives, s'appellera classe positii^'e. Au contraire, û. a , c sont négatifs, (a y b, c) sera une forme négative, et elle sera contenue dans une classe négative. Les nombres négatifs ne peuvent être représentés par une forme positive, ni les nombres positifs par une forme négative. Si (a, b , c) est la représentante d'une certaine classe, la forme ( — a, b, — c) sera celle de la classe négative, et il suit de là qu'il y a autant de classes positives que de négatives, et que les dernières seront déterminées, lorsque les premières le seront. Ainsi, dans les recherches sur les formes de déterminant négatif, il suffit le plus souvent de considérer les classes positives, puisque leurs propriétés se rapportent facilement aux classes négatives.
Au reste, cette distinction n'a lieu que pour les formes de déterminant négatif; les nombres positifs et négatifs peuvent être représentés également par des formes quelconques de déterminant positif, ensorte qu'il n'est pas rare que les deux formes (a, b, c'), ( — Œj bf — c) doivent être rapportées à la même classe.
226. Nous appelons forme prunîtwe une forme quelconque {a, b y c) y lorsque les nombres a , b , c n'ont pas de diviseur commun, autrement elle s'appellera dérwée y de manière que la forme
(ji y by c) sera dite dérh'ee de la forme primitive ( — , —, — )>'
si m est le plus grand commun diviseur des nombres a y b , c. Il suit de là que toute forme sera primitive, si son déterminant n'esÉ divisible par aucun quarré (i excepté). Or, par le n" 161, il est clair que s'il y a une forme primitive dans une classe donnée, toutes les formes de cette classe le seront également, et on l'appellera classe primitive. Il est d'ailleurs évident que si une forme F de déterminant D est dérivée d'une ferme primitive/'
de déterminant — ^, et que K ei k soient respectivement les classes
qui renferment les formes Fyf, toutes les formes de K seront dérivées de la classe Aj ainsi la classe K sera dite dériuée de la classe primitii^e k.
Si (a, by c) est une forme primitive, et que a y c ne soient pas tous les deux pairs, on voit facilement que a y 2b, c n'aurontpas non plus de diviseur commun. Dans ce cas, la forme {a, b, c) sera
dite proprement primitli^e f ou plus sim^Xemeni forme propre; mais siiZ, c sont pairs, les nombres^, 2b, c auront 2 pour commun et même pour plus grand commun diviseur -, alors la forme (tz, b , c') %QXd^ improprement primitive, ou plus simplement z/npropre (*). Dans ce cas, b sera nécessairement impair, car autrement la forme (tz, b, c) ne serait pas primitive-, ainsi l'on aura ^*^i (mod. 4)^ et partant, puisqne ac est divisible par 4> b''—-ac^i (mod. 4) ' les formes impropres auront donc des déterminans de la forme 4^ + 1 ou — (4/z-|-3), suivant qu'ils seront positifs ou négatifs. Mais, par le n° 161, il est clair que s*il y a dans une classe une forme proprement primitive, toutes les autres le seront, et que de même, une classe qui renferme une forme improprement primitive, n'en renfermera que de cette espèce. Ainsi nous appellerons cette classe, dans le premier cas, proprement primitii^e ou propre , et dans le second cas , improprement primitive ou impropre. Par exemple, parmi les classes positives de déterminant — 235, il y en a six propres, savoir, celles dont les représentantes sont :
et autant parmi les classes négatives; il y en a deux impropres de chaque espèce. Quant aux classes de déterminant 79, elles sont toutes propres, puisque 79 est de la forme 4^-4-3.
Si la forme (a, b, c) est dérivée de la forme primitive
( — , —, — j; cette dernière peut être propre ou impropre. Dans
le premier cas m, dans le second 2m, sera le plus grand commun diviseur des nombres a, 2b , c, ce qui fait entendre la distinction entre une forme dérivée dune forme proprement primi' îive y et une forme dérivée d'une forme improprement primitive, et partant (n" 161) entre une classe dérivée d'une classe prO' prement primitive , et une classe dérivée d'une classe improprement primitive,
(*) Nous ne nous sommes servis de ces termes de propre et d'impropre qu'à défaut d'autres plus convenables , car ils n'ont aucun rapport avec ceux que »oas avons employés depuis le n" 157. Aoi reste, il n'y a pas à craindre qu'où puiwe les confondre.
Par cette distinction nous avons trouvé le principe qui nous servira à distribuer par ordres toutes les classes de formes de déterminant dt)nné.
Nous rangerons dans le même ordre les deux formes (a, hy 0")^ (a, b' , c'), si l'on a à-la-fois le même plus grand diviseur commun pour a, b, c, a', b' , d , pour a, :ih ^ c et a' ^ iib\ c'\ mais si l'une ou l'autre de ces conditions n'a pas lieu, les classes se rapporteront à des ordres djfférens. Il suit de là immédiatement, que les classes proprement primitives composent un ordre , et toutes les classes improprement primitives, un autre. Si nv" est le quarré qui divise le déterminant D , les classes dérivées des classes proprement primitives de déterminant D composeront un ordre particulier, et les classes dérivées des classes improprement
primitives de déterminant — en composeront un autre. Si par
hasard D n'est divisible par aucun quarré (excepté 1), il n'y aura pas d'ordres de classes dérivées, et partant il n'y aura qu'un ordre, lorsque 1)^2 ou 3 (mod.4)> celui des classes proprement primitives, ou deux, lorsque Z?^i (mod. 4)> celui des classes proprement primitives, et celui des classes improprement primitives.
On déduit sans peine la règle suivante par le calcul des com-
maisons (n^ 17). En supposant Z) = D'. 2 '^ .a .b .c ^ , etc. , desorte que I>' ne renferme aucun facteur quarré, le nombre des ordres sera (ft+i) (a + i) (/3-f.i) (^-f-i). . .si i>' = 2 ou =3 (mod. 4); ou (At-|-2)(t-|-i)(/3H- i)(;.-f.i). . .si Z)'=i (mod. 4).
Exemple V\ Si £)=45=5.3% on aura six classes dont les représentantes sont :
et elles peuvent se distribuer en quatre ordres,
1°. (i, 0,-45), (—1,0,45), propres; 2^ (2, 1,-22), (—2, i, 22), impropres-, 3». la classe (3, o, — 15) dérivée d'une classe propre de déterminant 5 ; 4°. la classe (6, 3, —6) dérivée d'une classe impropre de déterminant 5.
Exemple II, Les classes positives de déterminant — 99=— 1 1 . 5*
25o RECHERCHES
peuvent se disfrlbuer en quatre ordres, en désignant les classes par leurs représentantes.
Le premier contient les classes propres suivantes :
Of o, 99)> (4 i^ 35), (4, —i, 25), (5, I, 2o), (5, —i, 20), (9, o, ii);
Le deuxième, les classes impropres: (2, i, 5o), (10, i, 10); ;
Le troisième, les classes dérivées de classes propres de déterminant-- 11 : (3, o, 33), (g, 3, 12), (9,-3, 12) j
Le quatrième, une classe dérivée d'une impropre de déterminant — II : (6, 3, 18).
On distribuera par ordre, de la même manière^ les classes négatives de même déterminant.
On voit sans peine que les classes opposées se rapportent au même ordre,
22J. Parmi tousles ordres, celui des classes proprement primitives mérite la plus grande attention; car toutes les classes dérivées tirent leur origine de certaines classes primitives de déterminant moindre, de la considération desquelles suit le plus souvent de soi-même ce qui regarde les premières. Or nous ferons voir plus bas qu'une classe improprement primitive quelconque répond toujours à une ou à trois classes proprement primitives, et l'on sait que les classes négatives répondant toujours à certaines classes positives, on pourra ne pas s'en occuper.
Afin d'examiner plus à fond la nature des classes proprement primitives, nous expliquerons avant tout une certaine différence essentielle, d'après laquelle un ordre entier de classes peut se subdiviser en genres, et comme nous n'avons pas encore parlé de cet important sujet, il faudra prendre la chose dès l'origine.
228. Théorème. Il y a une infinité de nombres non diul-^ sihles par un nombre premier donné p quel qu'il soit, qui peuvent être représentés par une forme proprement primitii^e F.
Soit Fz=:ax'^"\'2bxy'\^cy'', il est évident que p ne divisera pas à-la-fois les nombres a, 2b, c. Or, quand a n*est pas divisible par p y 'A suffira de donner à x une valeur non-divisible par p , et à/ une valeur divisible. Quand c n'est pas divisible par p »
ARITHMÉTIQUES. ^Si
on pourra donner ky une valeur non-divisible et à a; une valeur divisible j enfin, quand a et c sont divisibles par p, et que partant 2b ne l'est pas, on pourra donner à a; et à j des valeurs nondivisibles. Dans ces trois cas, il est évident que la valeur de la forme F ne sera pas divisible par p.
Le théorème a lieu également pour les formes improprement primitives, pourvu qu'on n'ait pas/? = 2,
Comme plusieurs conditions de celte espèce peuvent exister à-la-fois, de manière qu'un nombre soit divisible par de certains nombres premiers, et qu'il ne soit pas divisible par d'autres, on voit facilement que les nombres x, y peuvent être déterminés d'une infinité de manières qui rendent F non-divisible par tant de nombres premiers qu'on voudra (excepté 2 lorsque la forme est improprement primitive). Ainsi le théorème peut être énoncé plus généralement ainsi qu'il suit :
On peut représenter par une forme primitipe quelconque, une infinité de nombres premiers à un nombre donné quelconque ( impair , quand la forme est improprement primitive),
229. Théorème. S oit Y une forme primiti^^e de déterminant J}, p un nombre premier qui divise D; alors tous les nombres no?'divisibles par p, qui peuvent être représentés par la forme F, seront tous résidus quadratiques de p, ou tous non-résidus.
Soit Fx=^{a, b, c); m, m' deux nombres quelconques non-divisibles ^ox p, et qui peuvent être représentés par la forme F , on aura
mz=ag'^'\'2bgh-i-ch', m':=:ag''+2bg'h''Jrch'', et partant
mm' = {agg' + h (gh' +g'h) + chh' y — I)(gh^ — hg'y j donc mm' sera congru à un quarré, suivant le module D , et parconséquent suivant le module ;t7, c'est-à-dire que 772/72' est résidu quadratique de p. Il suit de là que m et 77/ seront tous deux résidus ou non-résidus (n° 98).
On prouve de la même manière, que si D est divisible par 4, les nombres impairs qui pcuvejit être représentés par F,
a52 RECHERCHES
sont tons =i, ou tous ^3 j en effet, le produit de deux d'entre eux sera résidu de 4* et partant ^i (mod. 4); parconséquent ils seront tous les deux ^i , ou tous les deux ^3.
Enfin , quand D est divisible par 8 , le produit de nombres irapairs qui peuvent être représentés par F , est résidu de 8, et partant ^i (mod. 8)', ainsi dans ce cas les nombres impairs qui peuvent être représentés par F sont tous ^i, ou tous ^3, ou tous ^5, ou tous ^7 (mod. 8).
Par exemple, le nombre lo, qui est non-résidu de 7, pouvant être représenté par la forme (10, 3, 17), tous les nombres nondivisibles par 7 qui pourront être représentés par cette forme seront non-résidus de 7. Comme— -3 peut être représenté par la forme ( — 5, i, 49) ^^ qu'il est ^i (mod, 4)^ tous les nombres impairs qui pourront être représentés par cette forme seront aussi ^i (mod. 4).
Au reste, s'il était nécessaire pour notre objet, nous pourrions démontrer facilement que les nombres représentables par la forme F n'ont pas ainsi une relation fixe à l'égard d'un nombre premier qui ne divise pas D , et que l'on peut représenter par la forme F des résidus ou non-résidus de ce nombre premier indifféremment. Mais quant aux nombres 4 et 8, il j a dans les autres cas quelque chose d'analogue que nous ne pouvons pas passer sous silence.
I. Quand le déterminant D d'une forme -primitive F est^S (mod. 4) , i^s nombres impairs représentahles par F seront tous ^\ y ou tous ^3 (jnod.l\).
Soient, en effet, m y m' deux nombres représentables par F j on pourra , comme ci-dessus, ramener leur produit à la forme p^ — Z)^% et les deux nombres m, iri étant impairs, l'un des deux nombres p y q sera pair et l'autre impair, et partant l'un des quarrés />*, 9» sera ^o, l'autre ^i (mod. 4)*> d'où l'on conclut aisément que ^»— . j0^»^i (mod. 4)> et parconséquent /7Z, rd tous deux ^i ou tous deux ^3 (mod. 4)' Ainsi , par exemple , par la forme (10, 5, 17) on ne peut représenter d'autres nombres impairs que ceux qui sont de la forme 4^-f-i'
II. Quand le déterminant D d'une forme primitive F est ^2 (mod» 8) , tous les nombres impairs représentables par F seront
ou,
eu enpanle^i et en partie- '^ , ou en partie =5 et en partie ^5 {mod, 8). '^
Soient m, /;.' deux nombres représentables par F-, leur produit peut être ramené a la forme p^-^D^, si ,. et ^' sont impairs, P do;t être puisque D est pair, et parconséquent on a «^ = i (mod. 8); orsi^ est pair, 9^ sera =0, ou ~4 (mod.S); s'il est impair, q^ sera-i (mod. 8); ainsi Z)^^ ne peut être que =0 ou ^2. Il suit de là que;.^-Z^,^=...,,'^o ou ^7, et "^ue SI 77Z:=. i^u ~7, on aura aussi //z'si ou =7 ; si 77z~3 ou =5, ^ sera =5 ou =5. Par exemple, tous les nombres représentables par la forme (3, t, 5) sont =3 ou -5 (mod.8), et aucun nombre de la forme U^^ ou ^n-^^ ne peut être représente par la forme (3, i, 5). ^
III. Ç«^«^ /^ déterminant D d'une forme primitii^e F ^^^ =6 (7720^8), /^^ Tzo/TzZ^re^ z/7z;7.zz>^ ^z,/ ;t7c.z.,ro,z^ être représentés par i^ ^^rc^/z/ c?.7 en partie ^x et en partie =3, (mod, 8), c?z. ^7z partie ~5 et en partie —7 (mod. 8).
ChacLin pourra faire la démonstration, qui est absolument semblable a la précédente.
Par exemple, par la forme (5, i, 7) on ne pourra représenter que des nombres qui sont =5 ou =7 (mod.8).
23.0. Ainsi tous les nombres qui peuvent être représentés par une forme primitive donnée de déterminant D, ont une relation determmee avec les différens diviseurs premiers deZ>, par lesquels ils ne sont pas divisibles, et les nombres impairs qui peuvent être représentés par F, ont, dans certains cas, une relation avec les nombres 4 et 8, savoir, avec 4, toutes les fois que D~o ou =5 (mod. 4), et avec 8, toutes les fois que D^o, 011=2, ou —6 (mod.8). Cependant on pourra négliger la relation qui a lieu avec 4, lorsque D sera divisible par 8^ car cette relation est contenue dans celles qui ont lien avec 8 . Nous appellerons caractère ou caractère particulier cette espèce de relation, et nous l'exprimerons de la manière suivante. Quand il n'y a que les résidus du nombre premier;? qui peuvent être représentés parla formel, nous lui attribuerons le caractère Il.p, et dans le cas contraire, le
caractère N.p\ de même nous écrirons 1,4^ quand on ne pourra représenter par la forme F d'autres nombres impairs que ceux qui sont ^i (mod. 4)^ d'où l'on voit clairement quels sont les caractères exprimés par les signes
Enfin quand on ne pourra représenter que des nombres qui sont ^i ou ^7 (mod. 8), nous attribuerons à la forme le caractère I et 7,8, d'où l'on voit ce que signifient les caractères 3 et 5,^) I et 3,8j 5 et 7,8.
Les difîérens caractères d'une forme primitive donnée {a, b, c) de déterminant D peuvent se connaître au moins par un des nombres a, c qui sont évidemment représentables par cette forme. En effet , foutes les fois qu'un nombre premier p est diviseur de D, il y aura au moins un des nombres UfC qui ne sera pas divisible par p , puisqu'on a b"" := D -\- ac , et que d'après cela b'^ et parconséquent b sera divisible par tout diviseur premier de D et de l'un des nombres a, c, et que si tous les deux l'étaient, il s'ensuivTait que la forme (a, b, c) ne serait pas primitive. De même, dans les cas où la forme (a, b, c) a une relation déterminée avec les nombres 4 et 8, il j aura au moins un des nombres a, c impair et dont on pourra tirer la relation.
Par exemple , le caractère de la forme (7, o, ^3} à l'égard du nombre 2"^, se conclut du nombre 7, et il est iV.23, et à l'égard du nombre 7, il se conclut du nombre 23, et il est R-j', enfin le caractère de cette forme , à l'égard du nombre 4, P^ut se déduire du nombre 7 et du nombre 23.
Comme tous les nombres qui peuvent être représentés par une forme F contenue dans une classe K, peuvent l'être aussi par toute autre forme de la même classe, il est évident que les différens caractères de la forme F appartiennent aussi à toutes les autres formes de cette classe. Ainsi les caractères d'une forme primitive quelconque se connaissent par leur représentante. Les classes opposées ont toujours tous les mêmes caractères.
25i. L'ensemble des caractères particuliers d'une forme ou ,d'u»e classe donnée constitue le caractère complet de cette forme
ou de cette classe. Ainsi, par exemple, le caractère de la forme (lo, 5, 17), ou celui de toute la classe qu'elle représente, est 1,4-, iV.7; iV.23. De la même manière, le caractère complet de la forme (7, i, —17) sera 7,8-, i?.3; N.5: car le caractère particulier de la forme 3,4 est compris dans le caractère 7,8. De là nous tirons une subdivision de tout l'ordre des classes proprement primitives (positives, quand le déterminant est négatif) d'un déterminant donné en plusieurs genres, en rapportant au même genre toutes les classes qui ont le même caractère complet, et à des genres difFérens toutes celles qui ont différens caractères complets. Nous attribuerons à ces genres les caractères complets des classes qui y sont contenues.
Par exemple, pour le déterminant — 161, il y a seize classes positives proprement primitives, qui peuventse distribuer en quatre genres, de la manière suivante ;
Caractère, | Formes représentantes des classes,
i,4jiV,7îiV.23..
3,4-,i?.7jiV.23..
3,4jiV.7ji?.23..
(5, 2, 33), (5, —2, 33), (10, 3, 17), (10, —3, 17) (7,0, 23), (11, 2, i5),(ii,— 2, i5), (14, 7, i5) (3, I, 54), (3,-1, 54), ( 6, I, 27), ( 6,-1, 27).
On peut faire les remarques suivantes sur le nombre des caractères complets difFérens.
I. Quand le déterminant D est divisible par 8, à l'égard du nombre 8 il peut y avoir quatre caractères particuliers difFérens ; le nombre 4 11e donne aucun caractère particulier (n° précéd.). En outre, à l'égard de chacun des diviseurs impairs et premiers de Z), il peut j avoir deux caractères, ainsi, si leur nombre est m y il j a 2'"-^* caractères complets dij0férens, en faisant 77z==o toutes les fois que D est une puissance de 2.
II. Quand D n'est pas divisible par 8, mais par 4 et en outre par 771 nombres premiers impairs, il y aura 2"»+' caractères complets difFérens.
III. Quand D est pair, mais non divisible par 4, il sera ^2 ou ^6 (mod. 8)j dans le premier cas, on aura à l'égard du nombre 8, savoir^ i et 7,8) 3 et 5fi, et autant dans le second.
Si donc Pon suppose 772 diviseurs premiers impairs, il y aura 2m-Hi caractères complets.
ly. Quand D est impair, il sera ^i ou ^3 (mod. 4). Le caractère du premier cas n'entre pas dans le caractère complet. Dans le second cas, il j a à l'égard de 4 deux caractères. Ainsi m étant le même que ci-dessus , il y aura dans le premier cas 2'" , dans le second 2'"'^' caractères complets.
Mais il faut bien remarquer qu'il ne suit pas de là qu'on ait autant de genres différens que de caractères complets possibles. Dans l'exemple précédent, le nombre des genres est moitié de celui des caractères, et il n'y a pas de classes positives qui aient pour caractère
1,4-, i2.7-, 7V.o5, ou i,4j ^.7•, iV.25, ou 5^4; -^'7? ^.23, ou 3,4j ^^-75 i2.23.
Nous traiterons plus bas avec détail ce sujet important.
Comme la forme (i, o, — U) est évidemment la plus simple des formes de déterminant D , nous lui donnerons le nom de forme principale , à la classe dans laquelle elle est contenue, celui de classe principale y et enfin au genre auquel cette classe appartient, celui de ^enre principal. Ainsi il faut bien distinguer la forme principale, de la forme d'une classe principale et de la forme d'un genre principal, ainsi qu'une classe principale et nne classe d'un genre principal. Nous nous servirons toujours de ces dénominations , même quand il arriverait que pour un certain déterminant il n'y eût pas d'autre classe que la classe principale, ou pas d'autre genre que le genre principal, comme cela a lieu souvent dans le cas où D est un nombre positif de la forme 4'^-f-i»
232. Quoique ce qui a été expliqué sur les caractères des formes l'ait été surtout dans le dessein d'en déduire la subdivision en genres de l'ordre entier des classes positives proprement primitives, rien n'empêche qu'on ne l'applique aux formes et aux classes négatives ou improprement primitives, et qu'on ne subdivise en genres, tant l'ordre proprement primitif positif ou négatif, que l'ordre improprement primitif positif ou négatif.
ARITHMÉTIQUES. riZ.
Aiusi^ par exemple, lorsqu'on a partagé en deux genres l'ordre proprement primitif des formes de déterminant i45
l'ordre improprement positif peut se subdiviser de même eu deux genres ,
ou, de même que les classes positives des formes de déterminant — 12986 distribuent eu quatre genres.
(^. 5, 23), (11, 5, i4), (il, -5, i4),
les classes négatives se partagent aussi en quatre ordres.
3,4jiV^35iV.43...
i,4;iV.3-iR.43...
1,4-, i?.3;iV.43...
C—^^ 0^ —129), (—10, I, — 13), (—10, —I, «.i3) (—2, 1, — 65), (— 5, I, —26), (— 5, -I, —26) (—3, G, — 43), (— 7, 2, —19), (— 7, i, ig^ (-6, 3,— 23), (-11, 5, — 14), (—11,-5, -i4). Mais puisque le sjstème des classes négatives se trouve toujours SI semblable à celui des classes positives, il semble qu'il est le plus souvent inutile de les considérer séparément. Quaut àPordre improprement primitif, nous enseignerons plus bas à le réduire a l'ordre proprement primitif.
Pour la subdivision des ordres dérivés, il n'est pas nécessaire
de donner de nouvelles règles^ puisque chaque ordre dérivé tirant
son ongme de quelque ordre primitif de déterminant moindre ,
a subdivision d'un ordre dérivé suit nalureliement de celle de
l'ordre primitif dont il provient.
233. Si une forme primitive F=:(a, h, c) est telle que Pou puisse^ trouver deux nombres g, h pour lesquels on ait E,^=a , ^ii^b, h'~c, suivant un module donné m, ou aura
~ (gx~{-hj)'^ax*-\-2ba:y-^cj'- (mod, fn), et partant on peut dire que la forme i^est résidu de ttz, et que hx-\-hy est la valeur de l'expression \/ (ax"^ -\-2bxy -{- cy''^ (mod. 7Ji) , ce que nous exprimerons plus simplement en écrivant que (g, h) est une valeur de y/ F (mod. 772); plus généralement, si un nombre M premier avec 771 est tel qu'on ait ^''e^ Ma, gh^^ Mb, h^E^Mc (incd.m), nous dirons que iJ/i^ est résidu de 772 et (g, h)=\/MF (mod. 771). Ainsi, par exemple, la forme (3, i, 54) est résidu quadralicpie de 25, et (j, 10) est la valeur de V^(3, i, 54) (mod. w). De même (2, — 4) est la valeur de l'expression y'5(io, 3, 17) (mod. 23).
On verra plus bas l'usage de ces expressions) ici nous ferons les remarques suivantes :
1°. Si 3J(a, b, c) est résidu quadratique de 7n, ?7i divisera lé déterminant delà forme (a, b, c), en efl'et^ puisqu'on a g^^aM, gh^bM, h" ^cM (mod. m), on en tire
l^M^ — acM'' = (Z>* — ac)M^ = o (mod . tu).
Mais comme M est premier avec m, il s'ensuit donc que b'^-^ac est divisible par 771.
2°. Si M(a , b, c) est résidu de îtî , et que m soit un nombre
premier, ou une puissance d'un nombre premier, p ', par exemple, le caractère particulier de la forme (a, b, c), à l'égard du nombre p, sera R.p ou N.p , suivant que M sera résidu ou non-résidu de p. En effet, aM et cM sont résidus de p , Gi il j a au moins un des nombres a, c qui n'est pas divisible par p (n" 23o) j donc si 71/ est résidu ou non-résidu, un des deux nombres fl et c le sera aussi.
De même, si toutes choses d'ailleurs égales, ^==.4^ ^^ caractère particulier de la forme (a, b, c) sera 1,4 ou 3,4» suivant que l'on aura M^i ou ^3 (mod. 4), et si 77z = 8 ou une plus haute puissance de 2, le caractère particulier de la forme (a, b, c) sera 1,8; 3,8 j 5,8 j 7,8, suivant que M^i', 3j 5j 7 (mod. 8).
3'. Réciproquement si m est un nombre premier ou une puissance d'un nombre premier "^p qui divise Z>* — ac, et que M soit résidu ou non-résidu de p , suivant que le caractère par-
tîculier de la forme {d,b, c), à l'égard du nombre p, estR.p ou N.p respectivement, M(a, b, c) sera résidu de m. En effet, quand a n'est pas divisible par p, aM sera résidu de/7, et partant de 771 lui-même j si donc g est une valeur de l'expression
\/aM (^mo(\. ni) et que h soit une valeur de -^ (mod. 771) , on
aura g'^aM y ah^^bg , et partant agh^bg'^abM et gh^bM-, enfin ah^~bgh~b^M=b^M—'(b''-'ac)M~acM, d'où h'^—cM; donc (^, /z) est une valeur de l'expression \/(ci, b, c)M. Mais quand a est divisible par p , comme alors c ne Test sûrement pas, on voit qu'on arrivera au même résultat, eu prenant
hh
h= }/cM (mo(\.77i) et gz=. — (mod. ttz).
On démontre de la même manière, que si 772=4, qu'il divise Z>* — ac j et qu'on prenne le nombre iLT^i ou ^5, suivant que le caractère particulier de la forme est 1,4 ou 3,4^ M(^a, b, c) sera résidu de 711, et que 77z=8 ou une plus haute puissance de 2, par laquelle b"" — ac soit divisible, et que l'on prenne il/^ i j 3; 5; 7 (mod. 8, suivant que le caractère particulier de la forme le demande, M(^a, b, c) sera résidu de 772.
4". Si le déterminant de la forme {a, b, c) est :==D , et que M(a, b j c) soit résidu de D, tous les caractères particuliers de la forme, tant à l'égard des diviseurs premiers de Z) , qu'à l'égard des nombres 4 ^^t 8, s'ils sont diviseurs de Z), peuvent se connaître sur-le-champ par le nombre M, Ainsi, par exemple, comme 3(20, 10, 27) est résidu de 44^^ c'est-à-dire que (t5o, — 9) est une valeur de l'expression v/3(20, 10, 27) (mod. 44^) ) ^^ qu'on a 5N.5 et 3i?.ii; les caractères de la forme (20, 10, 27) sont 5,8; N.5'j R.ii. Les caractères relatifs à 4 et à 8, toutes les fois que ces nombres ne divisent pas D , sont les seuls qui ne dépendent pas nécessairement du nombre M.
5\ Réciproquement, si le nombre ilZ premier avec Z> renferme tous les caractères particuliers de la forme (a, b , c) excepté ceux relatifs à 2 et à 8, quand ces nombres ne divisent pas £), MÇa, b, c) sera résidu de D. En effet, par ce qui a été dit (3%), il est
clair qu'en mettant D sous la forme ±:^*, B , & ,,,A,B, C, etc..
24o RECHERCHES
étant des nombres premiers différens, M(a, h, c) sera résidu
de chacun des nombres A , B , C , etc. 3 si donc la valeur de
yM{a, by c) (mod. J") est {G, G'); que y'Mia, b, c) (mod. B^)
soit (^, H'), que /il/(a, h, c) (mod. C^) soit (/:, V) , etc. et que les nombres g, h soient déterminés de manière qu'on ait g^G , H j L, etc., li^G' , H' ^ L' , etc., suivant les modules
A y B , C , etc. Respectivement (if Z2) , on verra facilement que l'on aura g^^aM, gh^^bM, W^^cM , suivant chacun des
modules A , B , C j çt parconséqnent suivant le module D , qui est leur produit.
6^ Pour toutes ces raisons, les nombres tels que 31, qu'on peut trouver sans peine, par ce que nous avons dit (5".), dès qu'on connaît les caractères particuliers de la forme, se nommera nombre cardctérlstique. On trouve sans peine les plus simples , par tâtonnement, dans un grand nombre de cas. Il est évident que siiii^ est le nombre caractéristique d'une forme primitive donnée de déterminant -D, tous les nombres qui lui seront congrus suivant le module D, seront caractéristiques de la même forme j que les formes d'une même classe, ou même de classes différentes, mais du même ordre, ont le même nombre caractéristique, et que parconséqnent tout nombre caractéristique de la forme donnée peut être attribué à toute la classe et à tout l'ordre j enfin que I est nombre caractéristique des forme , classe et genre principaux, c'est-à-dire, que toute forme principale est résidu de sou déterminant.
7°. Si (g-, //) est une valeur de l'e?;pression \/M(ii, b, c) (mod. m), et qu'on SlÏ^ g^^, li'^^h {moà. m) , {g, h') sera aussi valeur de cette expression. De telles valeurs peuvent êlre regardées comme équivalentes-, au contraire, si {g, h)et(g% h') Sont valeurs de l'expression \/M(ci , b , c) , et qu'on n'ait pas g^g, h' ^ h (mod. 777), on doit les considérer comme différentes. Il est évident que si (g-, h) est une valeur, ( — g, — h) en est une aussi, et on démontre facilement qu'elles sont différentes, à moins qu'on n'ait 77z = 2. On démontre aussi facilement que l'expression \/M(a, b, c) ne peut pas avoir plus de
valeurs
AHITHMÉTIQUES. 241
valeurs différentes que ses deux opposées, quand m est un nombre premier impair, ou une puissance d*un nombre premier impair, ou =4; mais quand w=8 ou une plus haute puissance de 2 , il J eu a quatre en tout. On conclut facilement de là , au mojeu de ce qui a été exposé (6\) , que si le déterminant D de la
forme (a, h, c) est =d=2^.^V, etc, A, B, etc. étant des nombres premiers impairs dont le nombre est tz , et que M soit le nombre caractéristique de cette forme, il y aura en tout 2% 2"-+-' ou 2"-^» valeurs différentes de l'expression yM{a, b, c) (mod. D), suivant que /*<2, =2 ou >2. Ainsi, par exemple, on a 16 valeurs de l'expression 1/7(12, 6, -.17) (mod. 240), qui sont :
(=t:i8,=Fii), (±18, ±29), (±i8,=p9i), (±,8, ±109), (d=78,±i9), (±78,^=59), (d=78,=p60, (±78, zpioi).
Nous supprimons la démonstration, qui est assez longue, et qui n'est pas nécessaire ici.
8°. Observons enfin que si deux formes équivalentes F, F" ont V pour déterminant, que le nombre caractéristique soU M efc que F se change en F' par la substitution a, (^,y, J^, d'une valeur (g, h) de y/3FF (mod.D), on tirera (xg-^yh, ^g-\-éh) pour la valeur de x/M.F' (mod. Z^), chacun pourra trouver sans peine la démonstration.
254. Après avoir exposé ces détails sur la distribution des formes en classes, en genres et en ordres, et avoir expliqué les propriétés qui naissent de ces distinctions , nous allons passer à un autre sujet très-important et dont personne ne s'est encore occupé, à la composition des formes; mais avant de commencer cette recherche, nous placerons le lemme suivant, pour ne pas être obligé d'interrompre l'ordre des démonstrations.
Lemme. Si l'on a quatre suites de nombres entiers • a a' a%...an; b, b', b^...bn; c, c', c",...cn-, d, d^ d",...d% com'^ posées d'autant de termes , et telles qu'on ait
cd'-dc'=:k(ab'-ba'), cd''--dc'' = k(ab''-.ba'), etc. c'd"-c''d' = k(aV-aV), etc., etc,
Hh
ou généralement cd — de =k(ab — ba ), k étant un nombre entier donné , fx^ v des entiers dlfférens dont jx est le plus grand , et compris entre o et w, qu'en outre, toutes les
quantités de la forme a b — b a n'aient pas de dii^iseur commun; alors on peut troui>er quatre nombres entiers ol, /3, y, cT tels que l'on ait
cta4-/3b=c, aa'-f-iSb' = c', cia!'-{-^h''^c'', etc. >a+crb=d, >a'+J^b' = d', etc.
ou généralement aa -f-/Sb =c , y a. ^-^^b :=z à ; auquel cas on
aura a J^ — - jS;/ = k.
Puisque, par hjpotbèse, les nombres ah' — a'b , ab" — a"b, etc. ab"'^a"b' , etc. , dont le nombre est \{n'\-\)n , n'ont pas de diviseur commun , on peut trouver autant de nombres entiers tels que la somme des produits des premiers par les derniers soit=i (n" 4o)' Désignons ces multiplicateurs par (o, i), (o, 2), etc. (i^ i") , etc.*, ou généralement désignons le multiplicateur de
a b — b a par ( A , P-) t desorte qu'on ait 2 ( A, ^ )
(^a b — b a^-=.\ , 2 désignant la somme de toutes les valeurs qui peuvent résulter de la quantité qu'il précède, lorsqu'on donne successivement à A et ;* toutes les valeurs comprises entre o et /z, de manière que //^>A. Cela posé, si l'on fait
2 (A, tx){c b — b c )=a, 2(A, ^)(a c — c a ) =/3,
2 (A, iJ.) {d^b"-— b'^d'' ) = y, 2(A, i^^Xad^-^d et ) ^cT, les nombres a, /3, y, cT jouiront des propriétés énoncées ci-dessus.
I. V étant un nombre entier quelconque entre o et n, on aura tt^ + j0^ =2 (A, p) (c b a — b c a -^a c h — cab)
z=zc X(K, /ji){a à — b c ) = c 5
et par un calcul semblable, on prouve que ya -^S^b :=^d ,
ARITHMÉTIQUES. :s45
II. On a parconséquent o i=:aù -{-^b , c =rct«' + /3^ , et partant
CD — oc =:eL{a b — a b )\ de même a c — c a =iS(a b — b a )
a d — d a z=(r(a b — a b ), d'où l'on tirera plus facilement les valeurs de ot, (^,y, cT, pourvu
qu on prenne A et ;«< de maniera que a b — o a nesoitpas=o, ce qui est possible, puisque toutes les quantités de cette forme sont supposées ne pas avoir de diviseur commun, et que parconséquent elles ne peuvent pas être toutes =0. On tire aisément de ces équations
d'où nécessairement otcT — (^y=zk,
255. Si la forme ^X'-f-aSXl^+CJ"* = F, se change en le produit des deux formes ax''~\-2bxy'\-c^^ ?==/^ a'x'*-\-2b'xy'^'y^==f' par la substitution
x=zpxx'-{-p'xy-i-p'xy+pyy, r^qxx'+q'xy+q'xy-^çyy,
(ce que nous exprimerons d'une manière abrégée en disant : Si F se change en ff^ par la substitution p, p', p", p"; ç, q , y", q") la forme F sera dite transformable enff'f et si de plus cette transformation est telle que les six nombres
P9-p'g* pq"-fq> pf-p^q. p'q"-pq. p'f-pW> pV-p'q'
n'aient pas de diviseur commun, la forme F sera dite composéô des formes f , f.
Nous commencerons par l'hjqjothèse la plus générale, celle où la forme F se changerait ^n ff' par la substitution p,p', p',p'\ Ç* q% q" f q'» et nous développerons les conséquences qui eu résultent.
Cette condition est exprimée par les neuf équations suivantes ;
a44 HECHERCHES
Ap^ ^-nBpq 4- C(]^ = aa' (i)
Ap'^ ^:2Bp'q' + Cq' ^ac' (2)
Ap'^ +iBp"cf-\- Cq^^-^za'c (3)
Ap""' J^-iEff-ir Cq'"^'^ cd (4)
App' + B{pq' + p'q) + Cqq' = aV (5)
App" + B{pq" H- p"q) + Cqq" z= a'b (6)
'^Z;.'' + B(p'q'"-\^py) 4. e/./'"= Z,6-' (7)
ApY 4- B{p'Y'^p"'cf) + OA; = cz^' (8)
^ {pp'"+P'p")+B{pq'''-\-p''q+p'q"^p\/)JrC{qq''-\-q'q")^^^ .(9). Soient iL>, d, d les déterrainans des formes F , f, f respectivement*, M , m, rtî les plus grands communs diviseurs des nombres A, iBy C\ a, :ib, c, a, 2b', d respectivement, M, 7», ni étant pris positivement. Déterminons les six nombres A^y B^, Ci) A^, B^, C^ de manière qu'on ait
A.a-^B.b-i- C,c = m , A^a! ^BJj'-^ C^d = 772'. Faisons enfin pq — pq=:P, pq" — p''q == Q , pq"' — p"'q:=^R, p'q"-^p''q'z=S, p'q^—fq'^^T, p"q''^p''q" = U , et Supposons que k soit leur plus grand commun diviseur (*).
Posant maintenant
App" ^B{pq"'-\-p''q) 4- Cqq^^hU^L .(lo),
(*) On peut présenter cette recherche de la manière suivante. On tire des dernières équations que vient de poser l'auteur, en supposant connues P, Q , R, S, T, U , et par l'élimination entre les valeurs de Q, R, S, T,
Pq"=Qq'^Sq, Pp"z=qp'^Sp, Pq"' = Rq' -- Tq , Pp" = Rp' - Tp ;
et comme on a l'équation pq' — p'q=:o, il vient en substituant dans la valeur de U celles de q", q'", p", p'", l'équation de condition,
QT—RS^PU.
Substituant enfin les valeurs de ces mêmes quantités dans les équations (3), (4), (6) ; (?)> (8)^ (9) j ^^ obtient six équations que je désignerai par
De (a) et {y) on tire en éliminante, et faisant |>^ -p^zy.,
Les équations {^) , {$) donnent i" = — (1^^—^) , R-=— {p.b' -^h) , et l'on
l'équation (9) donne
Ap'p''^B{p'q"-{-p''q') 4- Cq'q" = hU^ A (i ,).
Deces onze équations on tire les suivantes, savoir :
En élevant l'équation (5) au quarré et en retranchant le pro-
a facilement /î+5, R-S : les équations (O, (O s'anéantissent d-elles-mêmes etilesjquations (i), (2) et (3) donnent sans peine, comme dans le n" x^-j', P^D — aH ; substituant dans les équations qui donnent Q, R, S T et dass
l'équation de condition, et faisant ^X^ = «', J^^=,„. ii ^ient
P=an\ Q=.a'n, R^S = 2bn', R + S = ab'n, T=c'n , U=zcn' (r).
Comme P, Q R, 5, T, U sont entiers, on voit que 1° n etn' sont rationnels , et partant , ;^ , ;^ des nombres carrés ; a», si n est une fraction , son dénominateur doit être un diviseur de m' plus grand commun diviseur entre a' 26' c' et que parconséquent m'n est entier ; il en est de même de mn'. Or ces équations d=Dnd=Dn'^ donnent dm'^ r=D {m'ny , d'm^ = Dimn'y; donc Z? ne peut pas être plus grand que le plus grand commun diviseur entre dm'^ et d'm\
Il est aisé de démontrer que le plus grand commun diviseur k des nombres t' , \J, £i,à, T, U doit diviser mn' et m'n. En effet, on a '
mn' = P:fi=(R^S):^=U' S..
parconséquent ^:C^-Z^\-^'EÈ. ..?-'£ ~° . ^ .
mais deux des trois nombres —, — , — «ont nécp<!<!fli'rpr.iûr,i- »,^„», •
m* m' m «ecessairement premiers entre eux;
donc Y- est divisible par -, ainsi l'on a^ = ~ é^-,] i .,„ „^ u
k ^ m* ah ~ o^^ ^ "° nombre entier.
On démontre de même pour mfn et la réciproque , comme l'auteur ( 4^ conclusion ) . Aux six équations (r) doivent être ajoutées les équations (1 ) (2) (5) quon peut mettre sous une forme plus simple en éliminant deux des nombres ABC elternativement ; on trouve * ' '
CP^ == aap'^ — 2aVpp' -f- acp'' :
donc ^P% 2BP\ CP^ sont divisibles par mm\
On obtiendra les i5 autres équations de l'auteur, en substituant les valeurs ^/ '^. •.'"• ^"^ fonction de p,p" et de 9, q" ■ 2». en fonction de p, p" , et de q. q amsi de suite. On suivra quant au reste la marche de 1 auteur (^Note du traducteur).
duit de Péqualiou (i) par l'équation (2),
D,P* = cfa* (12);
en multipliant l'équation (5) par réquation C9), Téquation (i) par l'équation (7) , l'équation (2) par l'équation (6), et retranehant du premier produit la somme des deux derniers , DPCR-^S) = ad'al? (i^)-,
en multipliant l'équation (10) par l'équation (11), réquation (6) par l'équation (7), et retranchant le second produit du premier,
en ajoutant le double produit des équations (5) et (8), les quarrés des équations (10) et (n), et retranchant de leur somme les produits des équations (i) et (4), (2) et (3) et deux fois le produit des équations (6) et (7) ,
D(R—Sy=:/^d'b*-i'2(^'--dcr) (i5);
en retranchant du produit de l'équation (8) par l'équation (9)1 la somme des produits des équations (3) et (7), (4) et (6),
D(R'-S)U= nd'bc (16);
en retranchant du quarré de l'équation (8) le produit des équations (3) et C4)*
DU'z^id'c* (17);
en remplaçant dans les mêmes calculs les équations (2), (5), (7), parles équations (3), (6), (8) respectivement, et réciproquement :
DQ^ = da'' (18)
DQ(R+S)=z2du'b' (19)
jDQ T = dcic'—(A'-^ dd') (20)
Z)(i?+6')» = 4r/è'»4-2(A*— ^fl?') C^i)
Z)(i?-f-5')7'= 2dUc (22)
DT*z=^dc"' (23).
De ces équations on tire ,1*. en retranchant le quarré de
l'équation (i3), du produit des équations (12) et (i5) ; 2*. en
retranchant le produit des équations (12) et (17), du quarré de l'équation (i4) :
o = 2^V(A» — r/tf') o = (A*— (/J')* — 2^i3;c(A*— .^û?').
ce qui prouve la relation A" — dd'z=^o, soit qu'on ait ou non a = o. Cette manière de trouver l'équation A* = dd' suffit pour les recherches présentes ; mais nous aurions pu la trouver directement par une analyse plus élégante mais trop longue pour être placée ici, en déduisant directement des onze premières équations celle - ci o=( A — dd' y. Nous supposerons donc qu'on ait effacé A* — dd' dans les équations (i 4) > (i5), (20), (21).
Or si l'on fait ^^P+B.iR-^S)^^ U:=:mn', A,q-\'Bj^R-\'S)-\-C^T=zm'n ,
où Ji, n' peuvent être des fractions, pourvu que mn! et m'/z soient entiers^ on tire facilement des équations (12) (17),
Dm*n'^:=:^d'{A,a-^2B,b'\'C,cyz=d:nV' ,
et des équations (18) i^^) t
Dm^n'' :=d( A^a' + 2 BJJ + C^c' )* = diri^.
On a donc dz=:Dn^ , d'z=:Djï\ d'où nous tirons une première CONDITION : les déterminons des formes F, f, î' sont entre eux comme des nombres quarrés\ et une seconde : D divise toujours dm'* et d'm*. Il suit donc de là que D, d , d' sont de même signe, et qu'aucune forme ne peut être transformée en le produit ^^' si son déterminant est plus grand que le plus grand diviseur commun des nombres <//«'* et d'm*^
Si l'on multiplie les équations (12), fi3), (i4) par A,, B^, C» respectivement j les équations (i5), (i5), (16), les équations (i4)> (16), (17) par les mêmes nombres et de la même manière ; que l'on ajoute les trois produits en y remplaçant d' par Dn^ , on trouve, à l'aide de l'équation A,P + B,{R-'S)-{' CU,:=^mn\
Pz=zan', R-'Sz=^:tbn', Uz=:cn\ de même , en multipliant, 1°. les équations (18) , (19), (20) ; 2'. les équations (19), (21), (22)-, 3°. les équations (20}, (22J, (aS) par A^, B^y C^ respectivement , on a
Qzzna'n, R + S=:2b'n, Tz=zdn.
Ce qui donne une TROISIÈME condition ; les nombres a, 2b, c sont proportionnels aux nombres P^ R — S, V ) et en supposant
que leur rapport est celui de i à u , n sera la racine quarrêô
^^ ^' àe méinet les nombres a', 2b', c' sont proportionnels aux nombres Q , R -f- S , T ; et si l'on suppose que leur rapport est celui de \ à n 3 n. sera la racine quarrée de =r.
Au reste les quantités n , n' peuvent être les racines positives ou négatives de ^ et ^, d'où nous tirons une distinction qui paraît stérile au premier abord , mais dont l'usage se reconnaîtra par la suite. Nous dirons que dans Ja transformation de F en//', la forme y^ est prise directement quand n est positif, indirectement quand n est négatif, et de même à l'égard de/'. Mais en ajoutant la condition que A= i , nous dirons que la forme F est composée ou directement des deux formes/,/', ou indirectement de ces deux mêmes formes, ou directement de / et indirectement de /', ou directement de/*' et indirectement de/, suivant que les deux nombres n , n' seront positifs ou négatifs , ou que n sera positif et n' négatif, ou n négatif et n' positif. D'ailleurs on voit facilement que ces relations ne dépendent pas de Tordre dans lequel ces formes sont placées.
Or nous observons que le plus grand diviseur commun It des nombres P, Q, R, S, T, £7 divise les nombres 7727/, m'n, ce qui résulte des valeurs établies plus haut pour ces nombres, et que parconséquent A^ doit diviser 7n^n'' , //z'"/?* , et Dk" les nombres r/Vi", dm'''-, mais réciproquement tout diviseur commun de mn^ , rdn divisera aussi k. En effet, soit ^ un de ces diviseurs, il divisera évidemment les nombres ant , :ibn' y en' , an, 2b' n , c'n , et partant,
P,R^S ,U, Q,R^S, T, et d'après cela 2/? et 25. Or si ^
était impair , — le serait aussi, puisque la somme est paire ainsi que la différence 5 leur produit serait donc impair. Mais ce produit
est^(Z»'^/z»~Z*^/2'^)==^(«f'/z*+aV/z=^~^/z'*~^c7/^)===|(^V/z»--«c«'0, et parconséquent pair, puisque e divise ^z'tz , c'n, an', en'. Donc — est nécessairement pair, et partant, Ret S sont divisibles par e.
Donc
Donc e divisant les six nombres P , Q , R^ S y T", U, divisera aussi leur plus grand commun diviseur k. Donc k est le plus grand diviseur commun entre mn' et m'ji ', d'où l'on voit facilement que Dk^ est le plus grand commun diviseur des nombres c/mf*, d'uV, C'est la QUATRIÈME CONCLUSION. Il cst donc clair que toutes les fois que F sera composée ^efetf, comme on a A= i , D sera le plus grand commun diviseur des nombres dm''", d'm^ et réciproquement. Cette propriété aurait pu être prise comme définition de la forme composée. Ainsi la forme composée des formes f\ f\ a le plus grand déterminant possible parmi toutes les formes qui peuvent être transformées en le produit^^'.
Avant que nous puissions aller plus loin , il faut déterminer avec plus d'exactitude la valeur de A que nous avons trouvé = \/ dd = y/D'^îtn'^ y mais dont le signe n*est pas encore fixé. A cet efiPet, nous déduirons des équations fondamentales l'équation Z^PÇ^rrtza'A, en retranchant le produit de l'équation (i) par l'équation (2), de celui de l'équation (5) par l'équation (6)-, et partant, Daann'=:aa'^, ou T)nn! ■==. A, à moins qu'un des nombres <2, «' ne fut nul. Mais
on tire des équations (i) (2) absolument de la même manière,
huit autres équations dans lesquelles Dnîi' à gauche, A à droite, sont multipliés par 2,ah' , ac , 2ba\ 4^^% 2bc\ ca' , icb' , ce' ; et comme les nombres a, 2b , c ne peuvent être nuls en même temps, non plus que les nombres a, 2b', d , il s'ensuit qu'on aura dans tous les cas A = Dnn' , et que parconséquent A aura le même signe que T) , d^ d'y ou un signe différent, suivant que n et n' auront le même signe, ou un signe différent.
Or les nombres aa! , lab' y ac' y 2b a' , l\bb' , 2c'b , ca\ 2cb' y ce' 2iZ'Z>'+2A, 2bb' — 2A sont tous divisibles par mm', La chose est évidente pour les neuf premiers ; quant aux deux autres , on les démontrera comme nous avons démontré plus haut que R et S étaient divisibles par e. En effet, /\bb' -{- /^^ et l^bU — 4A sont divisibles par mw! , puisque 4A = \/' \Ç)dd' , que 4/ est divisible par m", ^d par w!* , partant, \Ç)dd' par //zW* et 4A = y \Ç)dd\ par mwL •, la somme et la différence des quotiens sont paires ; et comme l'on démontre facilement que le produit des quotiens est également pair, chacun de ces quotiens l'est aussi, et parconséquent 2^Z>'-|-2A et 2Z>y — 3A sont divisibles par mm'.
Ti
Maintenant, ou déduira facilement des équations fondanienlales les six suivantes :
AP^ = aa(/^ — 2al/(/(/ -f- ac'ç\ AQ" = aa(]'"' — làbqcf -|- acq^, AR^^aaq"'''-2{bb'-\-L)qq''^cc'q\ AS^ z=i ac'q"^ — 2{bb' -f- ^)q'q"-\-a!cq' , AT' = acq"'' — zbc'qq"' + cc'q'% AU' z= acq"" — 2b'cq"q"^ cc'q"\
II suit de là que AP' , AQ' , AR" , etc. sont divisibles par mm' ,
d'où l'on conclut facilement que Ak" est divisible par mm' , puisquei
A* est le plus grand commun diviseur entre P% Ç% ^% ^'c. ; mais
P en substituant pour a, ib, c, etc. leurs valeurs ^ , etc., ou
(^pq' — p'q^ 1, etc. Ces équations se changeront en six autres, dans lesquelles on aura à droite les produits de la quantité ■\(^q'q" — qq") par P% Ç% i?% etc j nous laissons à effectuer ce calcul qui est très-facile. Il suit de là qu'on z. Anri ■= q' q" — qq" , De la même manière on obtient six autres équations dans lesquelles A est remplacé par C , &i q , q' , q\ q"" par p , p',p', p", on parvient à l'équation Cnn' :=: p'p" — pp" , et l'on prouve que CK" est divisible par mm\
Enfin on déduit encore les six équations :
BP' = ■— aap'q' -\' ab' {pq' '■\- p'q ) — adpq , JBQ' = — aa'p'q' + a'b{pq-^fq) — acpq , BR^:=^'- aa'p-'q-'-^- {bb' -\-^){pq"'+p"'q)--cc'pq , BS- ^--ac'fq" '^{bb'-^^){p'q''-\-p"q') — acp'q',
BT^:= — ac'p'Y + bc'ipY-hp'V)'- ^^'/v' » BU' ^ — ac^q" ■^b'c{p"q'"+p'"q') — cc'p"q\
d'où l'on conclut que 2Bk^ est divisible par mm' \ on déduira aisément par les mêmes substitutions que ci-dessus, i'équation :iBnn'=pq"'-\-p'"q—p'q"—p"q'-
Puisque Ak' , iBk', Ck' sont divisibles par mm' , il s*ensuit que ilfA' est divisible aussi par mm' \ mais on voit par les équations fondamentales que Af divise les nombres aa', 2ab', ad, 2ba',
ARITHMÉTIQUES. aîi
l^bh' , 2hc, Cil y ih'c, cc\ partant, ani , nbm' , cm', qui sont respectivement les pins grands diviseurs communs des trois premiers, à^^ trois moyens et des trois derniers, et enfin 77777^' qui est le plus grand commun diviseur de ces trois nombres. Donc, lorsque F eu composée de fetf , c'est-à-dire lorsque /i=i, on a nécessairement ikf=: 777772'. C'est la CINQUIÈME CONCLUSION.
Si Je plus grand commun diviseur des nombres A , By C est M^, on aura M^=M, quand F sera une forme propre ou dérivée d'une forme propre, et M, = \Mj quand F sera une formo impropre ou dérivée d'une forme impropre. Soient demêmeTTz,, 772',, les plus grands diviseurs communs des nombres a, b, c ',
/Iff • '^ / /
a, by Cy respectivement: on aura Tn\'=m ou ==— , mi=:m
ou — . Or il est évident que 772/ divise d, que 772',* divise d' ,
que parconséquent Tn^^rr^ ^ divise dd' ou A% et que 772i772', divise A. Ainsi, des six équations -5P*=:etc., etc., il suit que 777,772', divise Bk" y et partant iî/,/t* , car il divise aussi Ak'' et CA*-, donc toutes les fois que F sera composée àe f ei f , 777,772', divisera M^ lui-même, et si, dans ce cas, les deux formes /,/' sont proprement primitives ou dérivées de formes proprement primitives; on aura m^m\=^mm'=:M ; âoac I\f^=M, c'est-à-dire que F sera une forme semblable. Mais si, dans le même cas, chacune des formes y, y, ou l'une des deux seulement , f par exemple, est improprement primitive ou dérivée d'une forme improprement primitive, il suit des équations fondamentales, que les nombres aa, 2ub'y ad y a'b y ihU , bd , a' c , "^.h'c, cd sont divisibles par il/,, et partant, viji^ ■=^\mrrLT=.\M\ donc M^z=z.^M-j ainsi la forme jp est improprement primitive, ou dérivée d'une forme improprement primitive. C'est la sixième conclusion.
Enfin nous observons que si les neuf équations
P = un', R^S—ibn\ V~cn', Ç=zdn, R-\-S=ab'n, Tz=ic'n , i Anii'=q'q"—qq'\ aBnn' z=pq"' ^fq—j/q" —p"q' , Ciin' =p'p" —pp'" j^ '^
sont supposées avoir lieu, pourvu que 7z, /z' ne soient pas =0, on s'assurera facilement, par la substitution , que toutes les équations fondamentales sont satisfaites, c'est-à-dire que la forme (^, B, C) se change, par la substitution p, p, p", p"; q, /,
255 RECHER CHES "
\f, q" t cn le produit des formes {cif b, c) , (a', h', c') , et qn*oii a en outre h^ '- ac-=.nXB^ -^ AC) , U' -^a'c'^zn'XB^-^ AC). Nous laissons à l'intelligence du lecîeur ce calcul, qui est trop prolixe.
236. Problème. Etant données deux formes dont les déterminans sont é^aux , ou du moins comme deux nombres quarrés , ironiser une forme composée de ces deux formes.
Soient /= {a y b y c) y f s^ {a', b', c') les formes à composer ; d, d' leurs déterminansj m, m' les plus grands diviseurs communs des nombres a, ib y cj a! y ^U, c' respectivement, et D le plus grand commun diviseur des nombres dm''', d'ni", pris avec le même
signe que d et d' . Alors -yr- et —rj- seront des nombres positifs
premiers entre eux dont le produit sera un quarré , ainsi chacun
d'eux sera un quarré (n° 21). Ainsi \/ -^ et l/^ seront des
quantités rationnelles que nous représenterons par n et lï , en prenant n positif ou négatif, suivant que la forme y doit entrer directement ou indirectement dans la composition, et de même à l'égard de n' , miï et ir^n seront parconséquent des entiers premiers entre eux-, quant à /z, //, ils peuvent être fractionnaires. Cela fait, nous observerons que an' y en' y duy c'n^ bji'-^b'n, bn! — Un sont des nombres entiers , ce qui est évident pour les quatre premiers, et qu'on démontrera pour les deux autres, comme on a démontré que /? et «S étaient divisibles par e.
Soient pris maintenant quatre nombres entiers A", K , K", K' à volonté, pourvu qu'ils ne rendent pas zéro à-la-fois les premiers membres des quatre équations suivantes, et qu'on suppose
K'an' -\-K"a'n-\-K"Xbn'+b',i')= <q , —Kan' -{-K"'c'n—K"{bii'—b'ji)=iA.q',-\ K"'cn'-Ka'n -f-A" (Jbn' —b' n^) s=^,' q\ -K'cn' —K'c'n-K {bn' -\-b' n)-=^. q'" ]^ ^>
de manière que q , q' y q" y q"' soient des nombres entiers premiers entre eux , ce qu'on obtiendra en prenant pour /«, le plus grand commun diviseur des quatre premiers membres. On pourra alors trouver quatre nombres tt, ré , tt", tt"' tels qu'on ait
-Tf 7 + 'n'q'-\' Try + ^"'q'"^=^ i , et cela fait on déterminera /?, p , p", p'" par les équations suivantes:
ARITHMETIQUES. 253
fi'an' -^:r'a'n 4.-."'(in'+è'n)=p , — rran'-{-^"'c'n—'7r"(ibn'—b'n)-=p\ "»
enfin en posant.
q'q'^qq'^Amï, pq'"+p"'q—p'q'-'p''q'=^2Bnn', p'p''^pp'"^Cnn' ,
A, B, C seront des nombres entiers , et la forme {A, B, C)z=F sera composée des formes /" et f.
En effet, i°. des équations (I) on déduit sans peine les suivantes :
9'c// ^q"c'n-q"'(bn'-^b'n') = 0, qcn' -^q^u'ii-q'^bn' -\-b'r{) = 0,1 q'an' -f- qcn—q' [bn-^b'n) = o , qan—q'a'n—q {bn'—b'iï) = o , ) '^ ^'
2°. Supposons que les nombres entiers A^, B^y C,, A^^ B^, C», 2V", N' soient déterminés de manière qu'on ait
'A,a-\-'2B,b'^C,c=:m, ^^a'+2S,è'+C7aC'=w^ Nm'n-\'N'mn':=.\i
on en tire , par la substitution des valeurs de 77z , m' dans la troisième équation A,]S'an'+2B,N'bn'-\'C,N'cn''\'AJS^a'n'\-:iBJSb'n'\'CJSfc'n:==:i)
de cette équation et des équations (111)^ en posant
-^q'A,N'-^q''A,N--q"\B,N''^B,lS') = k,
qAJS'-^q"' C,N-^q\B,N'^BJS) =zk',
— q"'C,N'-\- qA,N—q\B,N''-'B,lS)=zk\
q^CN'-i- q'C^N'\-q {B,N''{-BJS)^k"',
on trouvera facilement
h' an' + k"a'n + h:"{bn' -^b'n) = q , — kan' + k' c' n—l<!Xbn' -b' n)z=zq' , •> k'^cv! — ka'n + k' ( bn'—b'n) = q" , — /c"cn'— k'c'n^k {bn'-\-b'n) —q" ]^^^^-
Lorsque ft=i, ces équations ne sont pas nécessaires , et l'on peut prendre à leur place les équations (I) elles-mêmes, dont elles sont les analogues. Or si l'on substitue dans les valeurs de Ann' y ^Bnn' , Cnn' celles de q, q', q" , q", p, p , p" , p"» on trouvera, en réduisant , que les différens termes sont des entiers multipliés les uns par nri ^ les autres par dn'^ ou d'n* ; et que tous les termes de la valeur de ^Bniï contiennent le facteurs ; or dii!''-=^d'7ï^ et
— r= — = \/dd' Donc A . B y C sont des nombres entiers. nn n ^ '
5°. En substituant les valeurs de p, p', p% p", dans les six
premières des équations (Q), on trouvera qu'elles sont satisfaites à l'aide de l'équation ^q'^'7c'q'-{''ïï''q"-{-^''q'' z=\ et des équations (HT). Les trois dernières ont déjà lieu par hjpothèse ; donc la forme F se changera en ff par la substitution^, p', V * V" i ^1 > 9 ^ V^ 9^* ®^ SO" déterminant sera Z), qui est égal au plus grand commun diviseur des nombres dm'*, d'm^ , donc par la quatrième conclusion du n' précédent, inséra composée àef,f\
237. Théorème. Si la forme Y est transformable en le -produit de deux formes f, i' , et que la forme f renferme la forme f ', F pourra aussi se transformer en ff.
Conservons pour les formes F, f,f' les signes du n" 235, soit y''=(a", b", c"), et a, /3, y, «T la transformation qui change /' enf". On voit alors sans peine que F se change en ff par la substitution ctp+yp', ^p-^-^p, (Lp" '\~yp'' , ^p" •\' S p" ^ aq-^-^q',
/3^H-JV'. <^q''+yg'% /3/+J^^'.
Représentons, pour abréger, ces coefficiens par r, r', r', r"', s, s', s", s", et faisons cté' — ^y^=.e , en appliquant ici les équations n du n" 235. On trouve
rs''-r's—an'e, rs''^r"'s—{r's'-^r''s'):=^bn'e, r''s''-'r's''z=^cn*et rs"'--r"s^a'n, Ts'''^r'"s^{r's"--r"J)^:ib''n, r's"'^r"'s'^e''n, s's"-^ss'':=zAhn'ey rs'''\-r"'s—rs"-^r"s';=2Bnn'e, ry'-rr"'z=Cnn'e', donc en représentant par d' le déterminant de f, et faisant
d" „ „ r I Xd , , , I /d'
— =,72 , on aura n ■=^11 e parceque \/^ n='^ > ^^ 1"^ ^ = zn:IX -^
suivant que la forme /' renferme f" proprement ou improprement ; ainsi dans la transformation de F enff la forme y" entrera de la même manière que y dans la transformation de F enff, ou d'une manière différente, suivant que e sera positif ou négatif, c'est-à-dire, suivant que f renfermera y" proprement ou improprement,
238. Théorème. Si la forme F' renferme F, et que Y puisse se changer en f f, la forme F' pourra aussi se changer en f f.
Conservons pour les formes F , f, f les mêmes signes que plus haut, et supposons que F' se change en F par la substitution '^j i^> y) ^ y on voit facilement que F' se changera en ff par la substitution
AHITHMÉTIQUÊS. ^Ç5i.
yp-h^ç. yp'+^ç'^ yp"-^^q\ yp'"'\-^q\
On prouvera en outre, par un calcul semblable à celui du n* précédent, que si F' renferme F proprement, les formes y, y entreront dans la transformation de F' tn/f de la même manière que dans la transformation de F en ff'\ et que dans le cas contraire, elles entreront d'une manière inverse.
En combinant le présent théorème avec celui du n* précédent, nous obtenons le suivant, qui est plus général :
Si une forme F est transformable en ff, que f, f renferment les formes g , g' respectivement, et que G renferme F , G se?^a transformable en gg'.
En effet, parle théorème du n° présent, G se changera enff, donc par le théorème du n° précédent, G se changera en fg' et de même en gg\ Or il est évident que si les trois formes/", f, G renferment proprement les trois formes g, g', F, G se composera de la même manière en gg' que Fen ff-, de même, si les trois premières renferment improprement les trois dernières j et enfin ou déterminera facilement de quelle manière G doit se composer de gj g\ si une des transformations est différente des deux autres.
Si les formes F, f,f' sont équivalentes aux formes G, g, g' respectivement, les premières auront les mêmes dérerminans que les dernières, et (n° i6i) m et rn' seront pour^-, g' ce qu'ils sont poury, f\ D'où il suit, par la quatrième conclusion du n° 235, que si F est composée de f, f, G sera aussi composée de ^^, ^, et même que la forme g entre dans cette dernière composition comme/dans la première, si F y G\fy g sont équivalentes de la même manière, ou au contraire. De même à l'égard àe f et g\
259. Théorème. Si la forme F est composée des formes f, P, toute forme qui pourra se transformer en ff de la même manière que F , renfermera proprement cette dernière.
Conservons toujours pour F, f,f' les signes du n* 255, et supposons que la forme F' = (^', B', C ), dont le déterminant = Z)' se change en ff par la substitution p, p, //, p" ; q } q' , q", q" , ei
:i56 HECHEHCHES
repiésenfons pour cette composition, par P, , Qi, ^ly etc. les
analogues ôe P , Q, R, etc. Dans la première on aura
n,n\A'z=q\q\-q,q\, an,n\B'=p^q\-\-p\q.-p\q\-p\q\, Vft') ,
77, et n\ étant les racines de -^ et ^, et de mêmes signes que
71, 7i'. Soit donc 1/^ jj,= A pris positivement, on aura 77,= Atz;
7i\z=:zkn', On déduit alors des six premières équations de Q. et £1^,
P,=kP, Q,=kQ, R,=:kR, S,=zkS, T,=kT, V\=kU;
donc par le lemme du n" 25^, on pourra déterminer ce, ^, y, cT. de manière qu'on ait
^P+I^Ç=Pif ^p'-^rM^yy 6*<^' ?y"+^^=9'i> yp'+^q'^n etc. jfcj et acT — ^y=:k.
En substituant maintenant les valeurs de;?,, p\, etc., q^y q\, etc.' dans les trois dernières équations de Qf, on trouvera, à l'aide des équations 77, = A7z, n\:=.kn'j et des trois dernières de il,
ainsi la forme F^ se change en F par la substitution cl, ^,y, S", qui est propre, puisque asT — ^y:=zk, et que ^ est positif.
Si donc F' est aussi composée de f, f , et de la même manière que F y on aura Dz=.D , et partant F et F' sont proprement équivalentes. Plus généralement, si G est composée de gy g' de la même manière que F l'est de y*, /"', et que les formesy, /*' soient proprement équivalentes aux formes g, g', F et G seront proprement équivalentes.
Comme le cas où les formes à composer entrent directement dans la composition est le plus simple de tous , et que les autres s'y ramènent facilement , nous nous y attacherons principalement, ensorte que lorsque nous parlerons d'une forme composée de deux autres , on devra toujours entendre que chaque forme entre directement dans la composition*, il en sera de même pour les larmes transformables en produits d'autres formes.
240. Théorème. Si la forme V est composée des formes ff et (p de F et (", que F' le soit de f , P et cp' de F', f ', les formes <p , (p' sont proprement éqiiiualentes*
