I. Soient.... / = û:^'-|-2^.rK-f-£?X% f'=a'x'*-\-2b'xy-\-cy
/"= a"x'''-{-ib"jcy-\-cy^,
er leurs tléterminans dy d\ d\ D, B' , A, A', qui ont tous les mêmes signes, et sont entre eux comme des quarrés. Soit m le plus grand commun diviseur des nombres a, ib , c, et que m\ w", M aient la même significalioa par rapport aux formes /', /', F par la conclusion 4 du n° 255, D sera le plus grand commun diviseur des nombres dm'* et r/'/72% et partant Dn"'- celui des nombres dm'^m''% d'^m^m"^; M=zmm'\ A le plus grand commun diviseur des nombres Dm""^, d'M^, ou des nombres Dm'^ et d'm'^m'''^ donc A est le plus grand commun diviseur des trois nombres dm'^m"*, d'm*m"\ d"m*m'\ Par la même raison A' est le plus grand commun diviseur des trois mêmes nombres; donc puisque A et A' doivent avoir Je même signe, on a A=:A', c'est-à-dire que les formes (p , Ç)' ont le même déterminant.
II. Supposons maintenant que F se change en ff par la substitution
Xz=pxx'-^p'xy-{-pyx'^pyy, rz=qxx'^q'xy^''xy+q'jy,
et 9 en Ff par Ig. substitution
/ = 'TcXx' + '7:'xy'\' 'T^'xT-h^yr, u^xxx'^ x'xy-^ yj'xT-i- xyr,
et désignons par n, n', N, v' les racines positives de ^ , ^ ,
— , — . Alors, par le u° 235, on aura dix-huit équations, dont la
moitié appartiendra à la transformation de F en//', et l'autre moitié à la transformation de <p en Ff\ la première serapq'—yq=j//, et on peut, à l'instar, former toutes les autres, que nous omettons ici. Au resie, les quantités n, f/, N, / sont ratiounellcs, mais peuvent être fractionnaires,
Kk
III. Si l'on substitue les valeurs de X, Y dans celles de i, ni on a un résultat de la forme
u — sxx'x"-\-s'xx'f+s"xxy-{-s"'xyy-^s"'x'xy'\-s'x'yy+s'''x"yy'-^s'''yyy .
Le coefficient rzzzp-x-^-c/^", le coefficient r'^p^it'-^q^'"', les quatorze autres peuvent se former de la même manière, nous ne les plaçons pas ici, parceque chacun les trouvera sans peine.
Désignons maintenant les racines quarrées positives de — et —
par V, /, on aura vz=zNji', v=:Nn, Cela posé, on trouvera facilement les vingt-huit équations suivantes :
