aa\% ré"— j"s = aa"/, rs"— j^^s = «Z^'/+ ^^^V

rs-^^^j-^^s=bb\"-\-bb"v'-i-b'L"^-i-Avv'/, r'^'—r"s'=.ab%'-^ab'v\ r's"'—r's=^ac\\ r's'''—r''s'=a'b"v^dbv\ r'^^— rV=aVV, r's^''-'r''6=d>b\'-^b'b\—hh'v"--Lvv'v\ r' s''''—r-'''s'z=.hc%'^b' c%; y V — r^s" = ac'v\ r"s'' — r''s" = a"b'y — a"bv , r»^^-^ , V= hh'v"^ b'b"v — bb"/ — Av//, rV — r^^'s" = a"c'v, /^.v. ^-r'^^i,"=bc'v"-\-b"c'v, r'"s''-r''s'"z=b'b"v-'bb'v"—bb"v''\-ù,vv'/, r'"s' — 1-8'" = b'c% — bc%\ r^s'^ — r'^s'" = b''c'v — bc'v\ r"'s'''—r'"'s"'z=c'c"v, r'^s^—r^s'^zz^a'cv", r'''s'"—r'"s'''=aW, T^iT^vn ^vM^:y- ^'^/ ^ Z,"^/^ ^Y^v. — r'"s^=b"cv' — b'cy",

que nous désignerons par 0, et les neuf suivantes :

s'/ — ^/' — av'i"G , r^" + r's — r'^" — r"/ := aavVff , r'r"— ri'" = av'v"L , s's''—ss'''—{s"s''-'s"s^)z=ib/v"G,

r'r^'—rr'"'—{r"r'^—'r"r'')=ib/v"L , ^^^^'--^'^^^"=<?//G^ , que nous désignerons par "^ C^).

(*) On pourrait trouver dix-huit autres équations dans lesquelles a'^ ^b' \ c' ; û", 26", c" remplaceraient a, 26^ cernais nous le§ OBjettons paTcequ'elles* nous tout inutiles. . - -

ARITHMÉTIQUES. sS^

IV. Il serait trop long de faire ici le calcul pour ces trenle- Sept écjuations-, il suffira de le placer poui- (juelques-unes , afin de donner un tjpe d'après lequel on puisse trouver les autres.

,=. ^,/ /sz=p^ (rty.:— -Ti'x)-}- Co."'— T.^'z — ^'/."+ ^V/ )pq

Jir{^"yJ--'K'"')t')q^:=:zv"{^p'-\-2Bpq-\-Cq')=^."au première

équation.

2.\ rs" — r''sz={pq — p'q){7t')î' — 7i"x)z=an' a N=aa / deuxième

équation.

5^ rs^^^-.r^^^s={Ky'-^7i'y)pp'"+{-^X"'—7:"'y)pq"'—{:ty:—..\ )p''q

^n\hU-\- ydJ)-\-b''i\Xbn-+-b'u')=^bb\"-\-b'b\-\-bb"/-^^..\'',

puisque \/ dcf^r: b.vv (;'.iri) huitième équation de 0. Les

autres se trouveront de la même manière.

V. Des équations 0, il suit, comme on va le voir, que les vingt huit nombres n,' — rs, ri)" — /"i-, etc. n'ont aucun diviseur commun. Nous observerons d'abord qu'avec les nombres «, ih, c\ a', ib\ c'\ a, 2b", c"\ v, /, / ou peut former vingt-sept produits de trois facteurs, tels que l'un de ces facteurs étant r, le second sera \m des nombres a, 2b', c, et Je troisième un des nombres a', 2b"f c"\ ou bien, le premier étant \ , le second sera l'un des nombres a, 2b, c , et le troisième un des nombres a, 2b", c ', ou enfin le premier étant j", le second sera l'un des nombres a, 2b, c, et le troisième un des nombres a, 2b' , c. Or on s'assurera aisément, d'après les équations 0, que chacun de ces produils est égal à l'un des nombres /V — rs^ etc., ou à la somme de plusieurs, ou à leur différence. Si donc ces derniers nombres avaient un commun diviseur, les vingt-sept produits en auraient un. Mais il est facile de prouver, à l'aide du n° /\0 , par une méthode souvent employée dans ce qui précèile , que ce diviseur devrait aussi diviser les nombres mu'iiî' , v'mni , \"mm\ et parlant leurs

, . ^ dm'^Tn"^ d'in^m"^ d"ni^m'^ t%,t • /-tn a ,.1 i

quarres, qui sont , , . JN'Jais (ij A est le plus

grand commun diviseur des trois numérateurs; donc les fractions sont premières entre elles, et n'ont parconséquent pas de di\iseur commun.

VI. Tout ce que nous avons dit jusqu'à présent regarde la transformation de (p en //'/", et est tiré de celle de la forme F

2Go RECHERCHES

en//', et de <p en F/". Mais on trouvera absolument de la même manière, par les transformations de F' en ff" et de (p' en Ff, la transformation de (p' en ff'f" :

/==|or^V+ ^'xx'f-\- etc. z/';= (r:ra:V4- o-'jcjcy-j- etc.

On en tirera, comme plus haut, vingt-huit équations que nous désignerons par ©', et neuf que nous désignerons par '^'. Or sans faire le calcul , il est aisé de voir que les équations 0' auront les mêmes seconds membres que les équations 0, et que les équations '^' ne différeront des é(juations '^ que par l'accent de G , H y L, Donc, puisque tous les nombres rs'—~j's, etc., n'ont point de commun divi^^eur, on pourra, par le lemme du n° 2^4, trouver quatre nombres entiers a, /3 , y y S" tels quo l'on ait

c:p-i-l37 = r, a[/-f-/3^'=/, c^Z+zSo-'^;-', etc.

yp-^J'(7 = s, y^'^Sa'^s, yf-\-^Œ"=:zs'', etc. et ctJ'--/3> = i.

VIT. De là, en substituant les valeurs de ûG, aH , aL tirées des trois premières équations SP* , et les valeurs de aG' , aW , atl tirées des trois premières équations '^' , on s'assure aisément que l'on a

a{Gce-\-iHcLy-\-Ly-)z=:iaG' y a{Ga.^-\-B{ci.^'\-^y)-\-Ly$)=^ aH', a(G(i''i-2HlB<^^U^) = aL'',

d'où il suit, si l'on n'a pas a = o, que la forme (p se change en (p^ par la substitution propre a, I2>, y, S'*

Mais en prenant, au lieu des trois premières équations de *^ et 'ir', les trois suivantes ou les trois dernières, on obtiendra trois équations qui ne différeront des précédentes que parcequ'il y aura 2^ ou c à la place de ^ , et comme on ne peut avoir à-la-fois a, b, c=:o, la forme (p se changera nécessairement en <p' par la substitution a, I2> , y , S'.

241. Une forme telle que (p ou (p', qui naît de la composition avec une troisième, d'une forme composée de deux autres, sera dite composée de ces trois formes, et par le n" p«'écédent, on voit qu'il n'importe pas dans quel ordre se fait la composition. On voit que de cette manière on composera une forme d'autant d'autres formes qu'on voudra, et l'on démontrerait facilement que l'ordre dans lequel ces formes sont composées est indifFéreiat; c'est à-dire,

que les formes composées des mêmes formes sont fonjours proprement équivalentes. Or il est évident que si les formes/ f f" etc sont proprement équivalentes aux formes g, g'^ g"^ etc. /la forme composée des premières est proprement équivalente à la forme composée des dernières.

242. f« propositions précédentes renferment la composition des formes dans sa plus grande généralité ; passons maintenant à des app ications plus particulières , par lesquelles nous n'avons oas voulu interrompre l'ordre du sujet. Nous commencerons par reprendre le problème du n' ^56, que nous limiterons par les conditions suivantes : r. que les formes à composer aient le même dé ermrnant ou qu'on ait </=^; -«. q„e ;„ et m' soient premiers entre eux; 3=. que la forme cherchée soit composée directemen des formes/,/' Il su,t de là que ;;.■ et ^-seront auss^pr" mrers entre eux; donc on aura D = d=d'. puisque D doit être L plus grand commun diviseur des nombres dm" et d',„'- donc """-,'• V*"?^ '" "î"**^^ "ombres K, K', K', K" peuvent être pris a volonté, supposons-les = i , o, o, o, ce qui sera toujours permis, a moins qu'on n'ait à-la-fois a =: a'= b+b'~ cas dont nous ne nous occuperons parconséquent pas ici ma*!* qui ne peut avoir lieu que pour les forn.es de déterminant positf quarre A^ors ;. sera le plus grand diviseur commun aux nombrej a a, i + J, et les nombres ^, < ,- doivent être pris de ma mere qu'on ^.t^u + ^a'+^^b+ b') = ^., quant à *, il ,•«'« entièrement indéterminé. On tire de là, en substituant pour 7 9/ ;», 9, etc. leurs valeurs, V""^ P,

. ad 1

O Si l'on avait .==.'=:,, ô = ^,^^,^,,^^„^^^^^

et 1 on satisfera à l'équation de condition en prenant a'"= , et :r'-4- V-, oÀ

ce qui donne ^^ — i— aC'.Tcsrc^

p' = o, p" = o et p" = — c

Kk *

562 KECHERCHES

Ainsi dans celte solution la valeur de A ne dépend pas des nombres 'it t -tt', tt", tt'", qui peuvent être déterminés d'un nombre infini de manières; à l'égard de ^ , il aura des valeurs différentes quand on en donnera d'autres à ces mêmes nombres , et il sera utile de chercher la liaison de ces valeurs de JB,

1% De quelque manière qu'on détermine -tt, tt', tt", -tt", les valeurs de B qui en résultent sont congrues suivant le module A* Supposons en effet qu'en faisant nczrztzsr y 'Ti'z=.m\ ^"■=^m" , '7r"'='2«r'*', on ait ^ = /3, e t qu'eu faisant 'TT = ^ H- cT, tt' = -ts-'-f- J ', -77"= ?jr"+ J *, '?:"' = ^^ + cT" on ait -i5 = /3 -f- A , il en résultera les deux équations de condition.

multipliant le premier membre de la seconde équation par a'23-' + aW+(^-f-3')'Z3*'^, et le second par />t, et retranchant du premier produit la quantité

(a^ V H- a:hm' -f. (Z»^' + D)^'") (a^ + fl'cT '+ (h + b') <^'') , qui est évidemment =0, en vertu de la première équation, on trouvera, réduction faite,

et partant , /a* A est divisible par aa' , ou A par — ^ = -^.

a**. Si l'on rend 5= /3 en faisant tt =^, '7t'= ^\ 7r'='3r'', ^''=^'^, on peut trouver pour ces nombres d'autres valeurs qui rendent B égal à un nombre quelconque donné congru à /S, suivant le module u4 , c'est-à-dire , telles qu'on ait B = (B -{- kA, Observons d'abord que les nombres yu,, c, d,h — b' ne peuvent avoir de diviseur commun, car s'ils en avaient un, il diviserait les six nombres a, d y b-\-b' , Cf c' yh — h' , et partant, les six nombres a, ^.b, c, a', 2b', c' , et parconséquent m et m' qui sont premiers entre eux par hypothèse. Ainsi on peut assigner quatre nombres entiers h, h'. Il y h"' y tels qu'on ait hf/.-\'h!c'{-1ic'-\'Jï'\b'—b')z=:i : cela fait, si l'on prend kh—J^y k{h''{b+b')—'lfa'}z=:iJLS'y k{h'(b+b')-{-h"'a}—fA.<^, — k{h'a'-\-h"a)-=iJ.^''; il est clair que é", è', d", é" sont des nombres entiers, et l'on s'assurera facilement qu'on a aV -f air + (Z, + y ) r = o ,

ARITHMETIQUES. 265

La première équation fait voir que 'tt+J', Tr'-f-J', tZ-j-cT', 'Ti'-f-J"' sont des valeurs de 'tc , 'n'y ^n", -71"', et la seconde, que ces valeurs rendent B=P>-\rkA,

Il suit de là que B peut toujours être déterminé de manière à tomber entre o et A — i^ si A est positif, ou entre o et — A — i, si A est négatif.