C II E B C H E S

soit premier avec a; on trouvera une forme composée de ces deux-là

en faisant A:=-aa, B^b (mod. a) et ^b' (mod. a') , (7= — -^ — .

Ce cas aura toujours lieu quand l'une des formes à composer est «ne forme principale, c'est-à-dire qu'on a û=i , b = o, c-=. — Z>. On aura alors A=za, B pourra être pris '=^h' , d'où l'on tirera C= d \ donc une forme quelconque est toujours composée d'elle-^ même et de la forme principale de même déterminant,

2°. Si deux formes opposées proprement primitives doivent être composées, par exemple, (tz, Z>, c) et (a, — b, c), on aura /'•=ii ; d'où Ton voit facilement que la forme principale (i, o, — D) est composée de ces deux formes.

3°. Etant données tant de formes qu'on voudra (/, b, c) , (t/, b\ c') , (a", W , c"), etc., proprement primitives et de niêiue déterminant D, et dont les premiers termes a, a', a", etc. soient des nombres premiers entre eux , on trouvera une forme (^, B, C) composée de celles-là, en prenant y4 égal au produit des nombres a, a', a", etc., B congru aux nombres b, b', b", etc., suivant les

modules a, a', a", etc. respectivement, et C;= — ^ — , En effet,

on voit facilement que (aa', B , 7— ] est composée des formes

(a, Z>, c), (cl y b' y d), que (aa'a'^B , — -7-»-} estcomposéedecette

dernière et de (a", b" , c") , etc,

4°. Réciproquement, étant donnée une forme proprement primitive {A, B, C) de déterminant D, si l'on décompose le nombre A en facteurs premiers entre'eux a, a*, a", etc., et que l'on prenne les nombres b , b', b", etc. égaux à B, ou du moins congrus à B ,

suivftnt les modules a* a\ a', etc. , c = , c' = — ^—

c' = -y—r, — , etc., la forme {A, B, C) sera composée des formes

{a, b, c), {a' y b'y c'), (a\ b", c'), etc., ou sera decomposable en ces différentes formes. On prouve sans peine que la même proposition a lieu également quand même la forme {A, B, C) serait improprement primitive ou dérivée. De cette manière on pourra décomposer toute forme en d'autres de même déterminant, dont

les

les premiers fermes sont tous des aombres premiers on c^es puissances de nombres premiers. Cette résolution est souvent commode pour coirposer plusieurs formes en une.

Soient, par exemple, à composer les trois formes (5, i, i54), (lo, 3, 4i), (i5, 1, 27)-, on décomposera la seconde en les deux (2, I, 201), (5, — 1, 81); la troisième en (5, — \, i54), (5, 2, 81)', et il est clair que la forme composée des cinq formes (5, \, i54), (2, I, 2ot), (5, —3, 81), (3,-1, i34), (5, 2, 8ï), en quelque ordre que ce soît, sera composée des trois formes données. INIais la composition de la première et de la quatrième donne (l^) la forme principale; la composition de la première et de la cinciuième la donne aussi; donc (2^) la forme composée définitive est (2, I, 201).

5\ Il nous semble qu'attendu l'utilité que présente ce procédé, il n'est pas inutile de lui donner ici plus de développement. L'observation précédente prouve que pour composer tant de formes propreir.ent primitives qu'on voudra , on peut réduire la difficulté a n'avoir à composer que des formes dont les premiers termes soient des puissances de nombres premiers. Il convient de considérer surtout le cas où l'on doit composer deu% formes proprement primitives {a, h y c), (a, h\ c'), dans lesquelles a et a sont des puissances

d'un même nombre premier. Soit donc a=h , a'=h , h étant

un nombre premier, st soit c/-> = a', h sera le plus grand diviseur commun des nombres a, a, et s'il divise l^-i-b', on rentrera dans le cas considéré au commencement de ce numéro, et (A , B , C) sera composée des formes proposées, pourvu que Ion

prenne A=^li'~"^ y B^h (mod. li'~"^), et ^b' (mod. 1), condition qui peut évidemment s'omettre; enfin C= — -^ — .Mais si /i ne divise pas h-\-h\ le plus grand diviseur commun des trois nombres a, ci, b-\-b' divisera h , et sera une puissance de

/î < /z ; supposons-le =h , il faudra déterminer les nombres 7t% 'tt', -tt* de manière qu'on ait

-Tr'/z V 7r'/+ ^\b + b') = h^,

^gg RECHERCHES

t étant prîs à volonté; et la forme {A,B,C) sera composée des formes domiées, si l'on prend

Mais on Toit facilement que dans ce cas V peut être pri^sjussi à volonté; donc en faisant * = ^'=o, on a ZJ = Z— ^"cfe' , ou

plus généralement E=kA+l--'ch\\'^: ^'Tt^L^l formule trfes-simple ne renferme que ^', qui est la valeur de

l'expression -gj-p (mod. h )•

Soit, par exemple, à trouver une forme composée des de,« formes (16,3,19) et (8,1,37), on a ft = 2, «=4. "■-=' , !!; Donc ^ = 8, ^■' est la valeur de l'expression ^ (mod. 8) , qui est 1, d'où iJ=8A-37 , ou en faisant A=9, 5- C=37; donc (8,-1, Sy) est la forme cherchée.

Étant donc proposées tant de formes qu'on ^°"^^^;/°"* ^^^ premiers termes sont des puissances de nombres premiers il faut exaXr si quelques-uns d'entre eux sont des puissances de même ToXs premiers, et comparer entre elles, par la règle que nous venons df donner, les formes auxquelles ils appartiennent. De Ltte manière ou obtiendra des formes dont les premiers termes ellntr:;, des puissances <^e -">bres preni Jrs mais e no^^^^^^^^ premiers différens; ainsi par l'observation (3) on pourra une forme composée de ces dernières.

Par exemple, étant proposées les formes (3, 1, 47). (4. o. 55), (5, o, 28), (.6, ., 9). (9- 7. -)< ('6. 6, n); de la première et de la cinquième on tire la Jo-^J'' 7' 7' 7)^ de la seconde et de la quatrième, la forme (16,-0, nj, ûe tl: Lnière et de la sixième, la f,.rnu^(i, ^^t^LT^X

ê,re négligée II -^ '-/ ^7 l^^f )^ pi 1^^ el e'ôii' peu't nnî nroduisent la forme (lao, — 20, 4;, jjuux j r

Tend e 40. 35), qui lui est proprement équivalente. Ainsr Srô 55) est la résultante de la composition des six formes pro-

posées.

Au re^ife , on peut lirer de là plusieurs artifices utiles dans la piaticjue-, mais nous sommes forcés de ne pas nous arrêler plus long-temps sur ce sujet, pour passer à des choses plus difficiles.

244- Si un nombre a peut être représenté par une certaine forme/, et un nombre ol par la forme y^', que d'ailleurs la forme F soit transformable en ff \ on voit sans peine que le produit aa peut être représenté par la forme F. 11 suit de là que lorsque les déterminans de ces formes sont négatifs, la forme F sera posilive, si / et y sont ou toutes deux positives, ou toutes deux négatives, et négative, si l'une est positive et l'autre négative. Arrêtons-nous particulièrement sur le cas que nous avons considéré au n° précédent, où F" est composée de F,f\ et où F , fy f ont le même déterminant D\ supposons encore que les représentations des nombres a^ d par les formes fyf se fassent par des valeurs premières entre elles des indéterminées, que la première appartienne à la valeur b de l'expression \/ D (mod. a), et la seconde à la valeur h' de l'expression \/ D (mod. a'), et que

l'on prenne c = , c'= — 7—5 alors (u° 168), les formes

(tz, b, c) , (a, b' , c) seront proprement équivalentes aux formes

ff f, donc F sera composée de ces deux formes ; mais la forme

{^A , B , C) sera composée des deux mêmes formes si, /jl étant le

plus grand commun diviseur des nombres a, a, b-^-h', ou fait

A^=.^y B^b Tmod. - ), ^b' Tmod. — j et (7 = ^ ~ ; donc

cette forme sera proprement équivalente à la forme F. Or le nombre aa' se représente par la forme Ax^'-^-^.bxy -\-Cy'', en faisant x=:fJLf y=.o y dont le plus grand diviseur commun est /a; donc aa' pourra être représenté par la forme F, de manière que les valeurs des indéterminées aient un diviseiu' conuuun fjL (n' 166). Donc toutes les fois que fjL=zi, aa' pourra être représenté par JP, au moyen de valeurs premières entre elles des indéterminées, et cette représentation appartiendra à la valeur B de l'expression \/D (mod. aa') , qui est congrue k b , b' , suivant les modules a y a', La condition //.=:i a lieu quand a est premier avec a', ou plus généralement, quand le plus grand commun diviseur de a, ti' est premier avec b-i^b'*

:,6S HE CHER CUES'

2/p- Théorème. Si la forme ï est comprise dans le même ordre que g , que ï' soit comprise dans le même ordre que g' ; la forme F composée de f , i' aura le même déterminant , et sera comprise dans le même ordre que G composée de g, g'.

Soxeni f=^{a, h, c),f^{a',b%c'), F=:{A,B, C) , et les dé.'ermiiians d , d' , D j soit m le plus grand diviseur commun des nombres a, 2b , c, /;/, le phis grand diviseur commun des nombres a, h , c\ et que ni, m\ y M, M, aier.t les mêmes significations par rapport aux/' et F respectivement. L'ordre de la forme y sera déterminé par les nombres d, m, m^ , d'où il suit que les mêmes nombres auront lieu pour la forme i^; par la même raison, les nombres d\ m', m\ y seront pour la forme g ce qu'ils sont pour la forme/"'. Or (n° 235) les nombres D y M, M, sont déterminés par les nombres d , m, m, ; rf , m\ m\ \ savoir, D est le plus errand commun diviseur des nombres dm'"^ et d'm'', M=mm' et M, = mjn\ (si l'on a en même temps m ■= m^ , ni = m , ) , ou p=: 2777,77?', ( <>i 777 = 2/77,, OU 777' = 2/7/,). Comme CCS propriétés de D y M , M\y suivent de ce que F est composé ^q f, f, on voit sans peine que D , M, M^ seront pour (j ce (ju*ils sont pour F, et que parconséqueiU F et G sont de même ordre.

Nous appellerons en conséquence l'ordre qui renferme la forme i^, ordre composé àç: ceux qui renferment/ et /"'. Ainsi , par exemple , l'o^.lre composé de deux ordres proprement primitifs est aussi un ordre oroprement primitif, et l'ordre composé d'un ordre proprement primitif et d'im ordre improprement primitif, est un ordre improprement primitif.

C'e-;t dans le même sens que nous pourrons dire qu'un certain ordre est composé de plusieurs autres,

246. Problème. Etant proposées deux formes priînitipe.^ quel' conques , f, f, de la coniposinon desquelles naît la forme ¥ , du ^enre auquel appartiennent f et f , déterminer le genre auquel appartient F.

I. Considérons d'abord le cas où une des deux formes au moins^ la première/par exemple, est proprement primitive, et désignons par d, d'y D y les déterminans des formes- /", /', i^ ; a'ors D sera le plus grand commun diviseur des nombres drn'^^d'} m étant = i.

on = o , suivant que/' est proprement ou improprement primitive ; dans le premier cas , F appartiendrait à un ordre proprement primitif; dans le second , à un ordre improprement primitif. Maintenant le genre de la forme F se déterminera par ses caractères particuliers, tant à l'égard des différens diviseurs premiers impairs de D, que, dans quelques cas, à l'égard des nombres 4 ou 8. II fèuidra donc déterminer chacun d'eux.

I^ Si p est un diviseur premier quelconque de B , il divisera nécessairement r/ et (/ -, ainsi la relation de la forme i^ avec p, se trouveront parmi les caractères des formes/, /'. Or, si le nombre a peut être représenté par la forme /", et le nombre a par /"' , aa pourra l'être par F. Si donc des résidus quadratiques de p , non divisibles par/?, peuvent être représentés, tant par /"que par/', il pourra y en avoir de représetités par la forme F-, c'est-à-dire, que si l'une et l'autre de ces àeu^ formes a le caractère Rp ^ la forme F aura le même caractère. Par une raison semblable , la forme F aura le caractère R,p. Si les deux formes/,/' ont le caractère ^ .p; au contraire F aura le caractère JS.p, si l'une des formes f^^J' a le caractère R.p , et l'autre le caractère IS .p.

2°. Si dans le caractère complet de la forme F , il entre \m^ relation à l'égard du nombre 4, cette relation doit entrer aussi dans les caractères des formes/,/'. En effet, cela ne peut arriver que lorsque Z)e=o (mod. 4) ou~3 (mod. 4): quand D e.l divisible par 4, àui'' et d' le seront aussi; donc/' ne peut p^is être improprement primitive (n° 226}, et partant on a ///= i ; donc d et d' sont divisibles par 4, et le caractère de chacune d'eiles renfermera la relation à l'égard de4. Quand Z^—S (mod. 4), D divisera r/etf/', lesquotiens seront des nombres quarrés, et parconséquent </et d' seront ou ^o, ou =3 (.mod. 4;, et la relation à l'égard du nom.bre 4 sera comprise dans les caractères des formes /", /'. Donc il suit de là, comme dans 1°. , cjiie le caractère de la forme F sera 1,4, si les deux formes/,/' ont le caractère 1,4 ou le caractère 5,4, et qu'au contraire le caractère de la forme F sera 0,4, si Tune des formes/, /' a le caractère 1,4 et l'autre le caractère 3,4.

3% Quand D est divisible par 8, 6^' l'est aussi; donc/' est pro-

270 R E C Fî E K C H E s

prement primitive, J7i=:i, et d divisible par 8-, ainsi un ties caractères 1,8-, 5,8; 5,^\ 7,8 peut se trouver parmi les caractères. de F, s'il a lieu tant pour la forme / cjuc pour la forme/'. On s'assure facilement, comme ci-dessus, que le caraciè.e de la forme F est 1,8, si/,/' ont le même caractère; qu'il sera 5,8y si l'une des formes/,/' a le caractère 1,8 el l'autre le caractère 3,8, ou si I une a le caractère 5,8 et l'autre le caractère 7,8; qu'il sera 5,8 si f, f ont pour caractères l'une 1,8, l'autre 5,8 ou 3,8 et 7,8; et enfin qu'il sera 7,8, si/,/' ont pour caractères 1,8 ôt 7,8, ou 5,8 et S,8.

4°. Quand D^i (mod. 8) , d' sera ^o, ou ^2 (mod. 8); partant //2'=i , et d^o ou ^2 (mod. 8); mais connue D est le plus grand commun diviseur de d et d' , ces deux nombres ne peuvent pas être tous deux divisibles par 8. Donc dans ce cas le caractère de la forme /^ne pourra être que i et 7,8 ou 3 el 5,8, soit que les deux formes/, /' aient l'un de ces deux caractères , soit que l'une d'elles en ajant un, l'autre ait un des caractères: 1,8; 3,8; 5,8; 7,8; d'où 1 on voit fiicilement que le caractère de la forme F se détermine par la table suivante :

Caractères de l'une des formes y, /.

1 et 7,8 ou 1,8 ou 7,8

3 et 5,8 ou 3,8 ou 3,8

Caractères de l'autre forme.

Caractères rcsultans pour F.

1 et 7,8

3 et 5,8

5". On prouve de la même manière, pour -D^6 (mod. 8), qu'on ne peut donner à la forme F l'un ou l'autre des caractères 1 et 5,8; 5 et 7,8, à moins que quelqu'un de ces caractères n'appartienne à l'une des formes/, /', et que l'autre n'ait l'un de ces mêmes caractères ou l'un des suivans : 1,8; 3,8; 5,8\ 7,83 desorte qu'on déterminera le caractère de la forme F par la table suivante :

ARITHMETIQUES.

Caractères de l'une des formes f, f .

i et 3,8 ou 1,8 ou 3,8

5 et 7,8 ou 5,8 ou 7,8

Caractères de l'autre forme.

Caractères de la forme F.

1 et 0,8

1 et 3,8

5 et 7,8

II. Si chacune des formes/", /*' est improprement primitive , D sera le plus grand commun diviseur des nombres 4^ et 4^',

ou |Z) celui de d et d' -, il suit de là que d, d' et — sont ^ i

(mod. 4)i puisque (n° 226) d et d' le sont. Mais en posant F-==.(^A, B, C), le plus grand commun diviseur des nombres «^, £, C sera 2^ et celui des nombres u4 , iB, C sera 4 j donc F est une forme dérivée de la forme improprement primitive (^{A) ïB, |C), dont \D est le déterminant, et dont le genre déterminera celui de F, Comme cette forme est improprement primitive, sou caractère ne renfermera point de relations avec 4 et 8 , mais seulement avec les différons diviseurs premiers impairs de \D. Or ces diviseurs doivent nécessairement l'être de d et d' . Si les deux facteurs d'un produit sont représenfables l'un par y et l'autre par/"', la moitié de ce produit le sera nécessairement par la forme {\A , \B y |C)-, on voit facilement , d'après cela, que le caractère de cette forme , à l'égard du nombre premier -p diviseur de ^Z), sera B.})\ d'abord, %\iB..p et que les formes f, f aient un même caractère à l'égard de p \ ensuite si l'on a :iNp et que les caractères des ïovmesfyf soient opposés à l'égard de ;y. Au contraire, le caractère de cette forme sera IS.p, %\f, f ont le même caractère et qu'on ait 2A./7 , ou s'ils en ont un différent , et qu'on ait 2R.p.

247. Par la solution du problème précédent, il est évident que si g est une forme primitive du même ordre et du même genre que/, que g soit une forme primitive du même ordre et du même

Ék genre que y, la forme composée de g , g appartient au même genre que la forme composée (\ef,f'. On voit par là ce que signifie un genre compose' de deux ou de plusieurs autres genres. Or on voit encore que si y, /"' ont le même déterminant, que^ soit une forme d'un genre principal , et que F soit composée de fif, F sera du même genre que y"', et qu'ainsi le genre principal peut toujours être omis dans la composition avec les autres genres de même déterminant. Si, toutes choses d'ailleurs égales, f n'est pas du genre principal, et que y soit une forme primitive, F sera certainenient d'un anlre genre que/'. Enfin si j^, y. sont des formes proprement primitives de même genre, i^ sera du genre principal (n° 245 (2°) et n° 25o, à la fin). Si donc une forme proprement primitive quelconque est composée avec ellemême, la forme qui résulte de la coiuposition, et qui sera proprement primitive et de même déterminant, seradu genre principal; mais si f et f sont toutes deux proprement primitives, de même déterminant et de genre différent, i^ne pourra pas appartenir au genre principal.

248. Problème. Etant proposées deux formes quelconques f, ï' dont F est composée 'y déterminer le genre de F d'après ceux de f, f.

Soit/= {a, h, c)yfz=^{a!, b' , d), F^{A, ByC),}x le plus grand commun diviseur des nombres « , b , c , }j! celui des nombres CL, U 3 Ci de manière que /"et y soient dérivées des formes pri-

mitives y-y -y -j, [—> —, — J, que nous désignerons par (p ,

Ç)'j cela posé, s'il y a au moins une des formes <p , <p' qui soit proprement primitive , le plus grand commun diviseur des nombres AyByC sera y.pJ , et inséra dérivée de la forme primitive

( — 7> — 7> — 7 ) = ^, et le genre de F dépendra de celui de ^i

mais on voit facilement que $ se change en çxp' par la même substitution qui change F en ff, et que parconséquent O est composée de <p, cp'; donc on pourra déterminer son genre par le problème du n° 246.

Mais si y et /' sont improprement primitives, le plus grand commun diviseur des nombres A, B, C sera 2/>tyU,', et la forme ^,

qui

qui est encore ici composée de (p , (p', est évidemment dérivée

delà forme proprement primitive (- — 7, -y—,, — — 7J. Le genre

de cette forme pourra être déterminé par le n** 246 , et comme F est dérivée de la même forme, son genre sera connu par là même.

Il est évident par cette solution, que le théorème donné au n" précédent pour les formes primitives, a lieu pour des formes quelconques, savoir, si /' et g sont des mêmes genres que/" et g respectivement, la. forme composée de y, f est du même genre que la forme composée de ^, g\

249. Théorème. Si les formes ï , î' sont des mêmes ordres y genres et classes que g, ^ respectiuement , la forme composée de ïet de f ' est de la même classe que la forme composée de g, g'.

Ce théorème n'est qu'une conséquence immédiate du n° 259. On voit par là ce qu'on doit entendre par une classe composée de deux ou de plusieurs classes.

Si l'on compose une classe quelconque K avec la classe principale, la classe composée sera K elle-même ; ainsi dans la composition des classes de même déterminant, on peut négliger la classe principale. Or (n" 24^) il naît toujours une classe principale de la composition de deux classes opposées proprement primitives*, donc toute classe ambiguë étant sa propre opposée, en composant avec elle-même une classe ambiguë proprement primitive, la résultante est la classe principale de même déterminant.

La réciproque de la dernière proposition est également vraie: Si la résultante H de la composition d'une classe proprement primitii-'e K auec elle-même , est la classe principale de même déterminant t K sera nécessairement une classe ambiguë. Eu effet, si K' est une classe opposée à A, la résultante des trois classes K, Kf K' sera la même que celle de H et K' y c'est-à-dire, sera égale à A'-, mais la résultante de K et K' est H , et la résultante de // et A est A ; donc K coïncide avec K', et est parconséquent une classe ambiguë.

Or on remarquera la proposition suivante : Si les classes K, L sont opposées aux classes K', L' respectit^ement, la classe

composée ^<? K , L sera opposée à la classe composée de K', L', Soienl les formes^, g, f, g' des classes K, L, K' , U respectivemenf, F la forme composée àef, g, F' la composée àe f j g'', comme y est improprement équivalente àjTet g' kg, et que F est composée directement àef, g, F sera aussi composée def, g', mais indirectement de chacune d'elles. Donc toute forme qui équivaut improprement à F, sera composée directement des formes y, g', et partant sera proprement équivalente à F^ (n°^ 238, 239); donc -F et G seront proprement équivalentes, et les classes auxquelles elles appartiennent seront opposées.

Il suit de là que la résultante d'une classe ambiguë K avec une autre classe ambiguë L est elle-même une classe ambiguë ; car elle est opposée à la résultante des classes opposées k K et L, et partant à elle-même, puisque ces classes sont elles-mêmes leurs opposées.

Observons enfin qu*étant proposées deux classes quelconques K, L de même déterminant, dont la première soit proprement primitive, on peut toujours trouver une classe M de même déterminant, telle que L soit composée de K et de M. En effet, on y parviendra en prenant pour M la classe composée de L et de Is. classe opposée à K. On voit aussi très-facilement que cette classe est la seule qui jouisse de cette propriété, ou que des classes différentes de même déterminant, composées avec la même classe proprement primitive , donnent des classes différentes.

La composition des classes peut se désigner commodément par le signe de multiplication x , de même que l'identité des classes par le signe d'égalité. Au mojen de ces signes, la proposition que nous venons d'exposer peut être présentée de la manière suivante : Si la classe K' est opposée à K , KxK' sera la classe principale de même déterminant; donc KxK'xL=L , en prenant donc M=K'x,L, on aura KxMz^L, comme on le desirait. Mais s'il y en avait une autre M' qui jouît de la même propriété, ou qu'on eàtKx3I'=:L, on SLUvait Kx,K'x 31:=: K'xL=: M; donc M'=M. Si l'on compose ensemble plusieurs classes identiques, on peut exprimer la résultante en mettant en exposant le nombre de ces classes. Ainsi K" désignerait la même chose que KxK,

K^, que KxKxK. On pourrait employer la même notation , pour les formes, mais nous nous en abstiendrons pour éviter l'arabiguité, ajant déjà donné une signification particulière à l'expression {/3I(a, b, c). Nous dirons que la classe K'' provient de la duplication de la classe K , K^ de la triplication , etc.

25o. Si D est divisible par rn^ (en supposant m positif), il y aura un ordre de formes de déterminant D , dérivé de l'ordre proprement primitif de déterminant — ^ (ou deux quand Z) est négatif, un positif et l'autre négatif). La forme Tw, o, j appartiendra évidemment à cet ordre (à l'ordre positif), et pourra avec raison être considérée comme la forme la plus simple de cet ordre

(comme la forme ( — m, o, — j dans l'ordre négatif quand D est négatif). Si en outre -^^i (mod. 4), il J aura aussi un ordre de formes de déterminant D dérivé d'un ordre improprement primitif de déterminant —i , auquel appartiendra évidemment la forme

(2m, m, j, qui sera la plus simple. Quand £> est négatif,

il j aura deux ordres , et dans le négatif la forme ( — 2/72 , — m , -^I-— ]

sera la plus simple. Ainsi, par exemple, si l'on veut appliquer cela au cas où 772 = 1, dans les quatre ordres de formes de déterminant 4^, les suivantes seront les plus simples : (i, o, — ^5), (2, 1,-22), (3, o, — -i5), (6, 5, —6).

Cette observation donne naissance au problème suivant:

Problème. Etant proposée une forme quelconque F de Vordre O , trouver une forme primitive (^positii^e , s'il y a lieu à distinction) qui, composée auec la forme la plus simple de Vordre O , ait pour résultante F.

Soit F-=.{ma, mb , me) dérivée de la forme proprement primitive/= (a, h y c) de déterminant d.

1°. Si/* est proprement primitive, nous observerons d'abord que quand a ne serait pas premier avec 2dm ^ on pourra toujours

27G RECHEKCHES

trouver des formes équivalentes à f y et dont les premiers fermes jouissent de cette propriété. Car (n° 228) on peut trouver, des nombres premiers à 2dm y et représenlables par cette forme; or soit a un tel nombre, on aura a'-=:asL''-\-9.by,y -^cy"", où l'on peut supposer que a, y soient premiers entre eux; partant, on pourra déterminer deux nombres tels qu'on ait acT — /3j/=:i, et la forme y se changera, par la substitution a, /3 , y, cT, en une forme {a', b' , c') qui lui sera proprement équivalente et jouira de la propriété précitée. Maintenant, comme i^et (a'm, h' m, dm) sont équivalentes, on voit qu'il suffit de considérer le cas où a est premier avec idm. Alors ((Z , hm, cnf) sera mie forme proprement primitive, car si iz, ihin et cm'' avaient un diviseur commun, il diviserait nécessairement 2^^/72 = 2&*/72 — 2acm; elle sera de même déterminant que F , et l'on s'assurera facilement que F se change par la substitution i, o, — b, — cin , o, m, a, hm , en le produit de la forme {a, bjn,cm''), par {m, o, — dm) ^ qui sera la plus simple de l'ordre O , a moins que la forme F ne soit négative. 11 suit de là, par la quatrième conclusion du n° 235 , que F est composée de (772, o, — dm) et (a, hm y cm^y, mais quand F est négative , elle se changera , par la substitution I, o, h, — cm', o, -—772, — a, hm , en le produit de la forme ( — m y o, dni) y qui est la plus simple de cet ordre, par la forme positive ( — a y hm , — cm"") y et parconséquent elle sera composée de ces deux formes.

2°. Si y est une forme improprement primitive, on peut supposer que \a soit premier avec 2^772, car si cette propriété n'a pas lieu pour la forme fy on trouvera toujours une forme qui en jouisse et qui soit proprement équivalente à f. Il suit de là que la forme (ia, huy icm'') est une forme proprement primitive de même déterminant que F, on s'assurera aussi facilement que F se change, par la substitution i, o, ^(irp^), — cm-, o, ±2772, d= \ay (hzhi)my en le produit des formes (±2772, ±772, ±^(772 — dm)), (dz^a, hiTiy ±2^772^), et que parconséquent elle est composée de ces deux formes, dont la première est la plus simple de l'ordre O, et ia seconde une forme proprement primitive positive. Les signes inférieurs doivent être pris quand F est ime forme négative, et ]es signes supérieurs dans les autres cas.

aSi. Problème. Etant proposées deux formes V y î de même

déterminant D et qui appartiennent au même ordre O, trouifer

une forme proprement primitive de déterminant D , telle que la

résultante de cette forme et de f soit F.

Soit <p la forme la plus simple de l'ordre O, F' g\ f des formes proprement primitives de déterminant D , qui, composées avec <p , donnent F Gif respectivement, f" une forme proprement primitive, qui, composée avec /', donne F\ alors F sera composée de trois formes (p , f , f", ou des deux/, /\

Ainsi toute classe d'un ordre donné peut être considérée comme composée d'une classe quelconque donnée de même ordre et d'une classe proprement primitive de même déterminant.

252. Théorème. Pour un déterminant donné , les différens genres d'un même ordre contiennent un même nombre de classes»

Supposons que les genres G , H appartiennent au même ordre, que G soit composé de n classes K, K' j K", etc. A"~', et soit L une classe quelconque du genre //•, cherchons par le n" précédent ,une classe proprement primitive M de même déterminant, qui, composée avec K , produise L y et désignons par I/, L", etc. i"— » les classes résultantes de la composition de la classe M avec les classes K', K" , A'", . . . A"""* respectivement. Alors de la dernière observation du n° 249, il suit que toutes les classes L, , L', 11' 3 etc. i"—' sont différentes, et par le n° 248 elles appartiendront toutes au même genre. Enfin ^ il est visible que H ne peut contenir d'autres classes, puisque toute classe de H peut être considérée comme résultante de M et d'une autre classe de même déterminant, qui sera nécessairement du genre G, Ainsi //contient,, comme G, n classes différentes.

253. Le théorème précédent suppose identité d'ordre , et ne doit pas s'étendre à des ordres différens. Ainsi, par exemple, pour le déterminant — 171 , il j a vingt classes positives qui se distribuent en quatre ordres; dans l'ordre proprement primitif il y a deux genres, dont chacun contient six classes j dans l'ordre improprement primitif il y a deux genres composé^ chacun de deux classes. I/ordre dérivé de l'ordre proprement primitif de déterminant — 19 ne contient qu'un genre composé de quatre classes; enfin Tordre