BECHER CHES

ôévïvé de l'ordre improprement primitif de déterminant —< 19 ne contient qu'mi seul genre composé d'une seule classe : il en est de même des classes négatives. Il est donc utile de chercher généralement la liaison des nombres de classes dans les différens ordres.

Supposons que K , L soient deux classes de même ordre (positif) O de déterminant jD, et M une classe proprement primitive de même déterminant, qui, composée avec K , donne pour résultante L, telle qu'on peut la trouver par le n° 25i, Dans quelques cas il peut arriver que 31 soit l'unique classe proprement primitive , qui, composée avec K, produise L) dans d'autres, plusieurs classes proprement primitives différentes peuvent être douées de cette propriété. Supposons généralement qu'il y ait r classes de cette espèce M, M', M",. . .M'~\ qui, par leur composition avec K, donnent toutes la même classe, et désignons leur ensemble par W', soit V une autre classe de l'ordre O, et N' une classe proprement primitive, qui, composée avec £», produise H, et désignons par ^''l'ensemble des classes iV'x M, A'xM', ]S"x^M" . . .]S'xM'-\ qui seront toutes proprement primitives et différentes entre elles. Il est facile de voir que K , par sa composition avec une classe quelconque de TV , produit V, d'où l'on conclut que W et TV'^ n'ont aucune classe commune : en outre , on prouve sans peine qu'il n'y a aucune classe proprement primitive, qui, par sa composition avec Ky produise Uj et qui ne soit contenue dans W» De la même manière, si L" est une classe de l'ordre O, on trouvera r classes proprement primitives différentes , tant entre elles qu'avec les classes TP^ et TV, et dont chacune composée avec A donnera U' , et ainsi de suite pour les autres classes^ mais comme toute classe proprement primitive et positive de déterminant D composée avec K , produit une classe de l'ordre O (n° 25i), on déduit facilement de là, que si le nombre de toutes les classes de l'ordre est/z, le nombre de toutes les classes proprement primitives (positives) de même déterminant est m. Nous avons ainsi une règle générale: K et L étant deux classes quelconques de l'ordre O, et x le nombre des classes proprement primitives de même déterminant, dont chacune produit L par sa composition ai'ecK , le nombre

A"RTTHMÉTIQUES. 379

de toutes les classes de V ordre proprement prirnldf (positif ) sera V fois plus grand que celui des classes de l'ordre O.

Comme les classes K , L peuvent être prises arbitrairement dans l'ordre O , on peut les choisir identiques, et même il sera avantageux de se servir de la classe qui contient la forme la plus simple de cet ordre, et en prenant celle-ci pour K et L, la difficulté est réduite à assigner toutes les classes proprement primitives qui , composées avec K , reproduisent K elle-même. Nous y parviendrons au moyen du théorème suivant :

254. Théorème. Si¥=.{A, B, C) est la forme la plus simple de l'ordre O de déterminant D, et f=(a, b, c) une forme proprement primitii^e de même déterminant ; le nombre A* pourra être représenté par la forme ï y si F est la résultante d'elle-même et de f ; et réciproquement , F sera composée d'ellemême et de ï, si A"" peut être représenté par f.

1°. Si F se change en fF par la substitution p, p', p", p" \ q* q\ q\ q'", on a (n' 2.Ï5) A^-^A{aq''^-^2hqq''-\-cq'), d'où A' = aq"^—'D.bqq"-\- cq\

2°. Si A"" peut être représenté par la forme y, désignons les valeurs des indéterminées qui effectuent la représentation par q" ^ — q i ou soit A'- z=aq"* — :ibqq"-\- cq" ; prenons q''a — q{b-\-E)-==.Ap, ^qC:=:Ap', q"(b—B)-qcz=Ap\ —q"Cz=Ap\ q' a-q{b-B)—Aq\ q"(b'\-B') — qc=Aq'\ Cela fait, on s'assure aisément que F se change en /"F par la substitution p , p', p", p"'; q , q , q\ q", pourvu que les nombres p, p, etc. soient entiers j or, par la nature

de la forme la plus simple, B est o ou i-^; donc —j est toujours un nombre entier j il résulte encore du même principe, que -2 est un nombre entier j donc q' — p , p', q"' — p" y p" sont des

nombres entiers-, il reste donc seulement à prouver que ;; et p"" sont des nombres entiers. Or on a

i donc J5=o, il vient ^*=;a — ^-^,p''*-=.c — -7-} et partant;? et

a8o RECHEBCHES

p" sont entiers. Mais si B = { A , on a /?*-f-/^^ = « — -^->

p''!i^p''q";^^c—'~j-, d'où Ton déduit aussi facilement que p et 7?" sont entiers. Donc F est composée de f et F.

255. Ainsi le problème est réduit à assigner toutes les classes proprement primitives de déterminant D, par les formes desquelles le nombre ^^ peut être représenté. Or ^^ peut évidemment être représenté par toute forme dont le premier terme est ^' lui-même, ou le quarré d'une partie aliquote de A', mais réciproquement si ^' peut être représenté par une forme y, en donnant aux indéterminées de cette forme les valeurs cte, ye, dont le plus grand diviseur commun est ^, la forme/" se changera, par la substitu-

tion et, /3, y^ «T, en une forme dont le premier terme sera—,

et cette forme sera proprement équivalente àjf, si /3, cTsont tels qu'on ait acT — ^y=.\\ donc toute classe par les formes de laquelle A^ pourra être représenté , renfermera des formes dont le premier terme sera A."^ ou le quarré d'une partie aliquote de A, Tout consiste donc à trouver toutes les classes proprement primitives qui renferment des formes de cette espèce j ce qui se fait de la manière suivante: Soient a y a, a", etc. tous les diviseurs positifs de A; on cherchera toutes les valeurs de l'expression \/D (mod. (2*) comprises entre o et a^ — i inclusivement, et les représentant par bj U , b", etc., on fera b* — D-=^a^c ^ b'" — D^^a'^d, jf^ — Dz=.a^c", etc.j désignons par V l'ensemble des formes (a^, by c) , (a% b' y c') , etc. On voit facilement que toute classe de déterminant D qui renfermera une forme dont le premier terme soit a"" devra contenir une forme de V, on déterminera de la même manière toutes les formes de déterminant D , dont le premier terme est a'' et le second compris entre i et a'^ — i, nous désignerons par V l'ensemble de ces formes. On aura de même l'ensemble V de formes qui commencent par a"", etc. On rejettera de V, V\ V", etc. toutes les formes qui ne sont pas proprement primitives, on réduira les autres en classes, et s'il y en a plusieurs qui appartiennent à la même classe , on n'en retiendra qu'une par classe. On aura de cette manière toutes les classes cherchées , et leur nombre sera à l'unité comme le nombre total des

classes

classes proprement primitives positives aux nombreâ de classes de Tordre O.

Exemple. Soit D=^ — 53i, et O Tordre positif dérivé de Tordre improprement primitif de déterminant — Sg, dans lequel la forme la plus simple est (6, 3, go). On a ^ = 6, a= i, a=z2, a''=o, a"'=6. /^ contiendra la forme (i, o, 55i)j y les formes (4, i, i33), C4, S, i35)j F' les formes (g, 'o, 5g), (g, 5, 60) , (g, 6, 63) j enfin /J^* contiendra les formes (36, 3, i5), (36, g, 17), (36, i5, 21), (36, 21, 27), (56, 27, 35), (36, 33, 45). De ces douze formes ily en a six à rejeter, la deuxième et la troisième de J^' , la premiere, la troisième, la quatrième et la sixième de J^", qui sont toutes des formes dérivées; on trouve que les six autres appartiennent à des classes différentes; en effet, le nombre des classes proprement primitives (positives) de déterminant — 53 1 est i8 , et le nombre des classes improprement primitives positives de déterminant — 5gj ou le nombre des classes de déterminant — 53i dérivées de celles-ci est 5, partant le premier est au second comme 6 est à I.

256. Cette solution sera mieux éclalrcie par les observations générales suivantes :

I. Si Tordre O est dérivé de Tordre proprement primitif, A* divisera JDj mais si O est dérivé de Tordre improprement primitif ou improprement primitif lui-même, jd sera pair, D sera divisible par ^^" et le quotient ^i (mod.4). Donc le quarré de tout diviseur de ^divisera D ou au moins 4^ , et dans le second cas, le quotient sera toujours ^i (mod. 4)«

IL Si a* divise D, toutes les valeurs de l'expression {/D

(mod. û*) qui tombent entre o et a* — -i seront o, a, 2a , etc.

a(û— i) , et partant a sera le nombre des formes de T^; mais parmi

elles il n'y en aura de primitives qu'autant qu'il y a de nombres

j 1 • D D D . premiers avec a dans les suivans : — , — — 1,— — 4^

— — (a — i)'. Ainsi quand a=i, ^n'aura qu'une forme (i, o, — D),

qui sera toujours proprement primitive. Quand a = 2 ou une puissance de 2, la moitié de ces nombres seront pairs, l'autre

moitié Impairs; ainsi V renferme \a formes proprement primitives. Quand a est un autre nombre premier/?, ou une puissance

de ce nombre premier, on doit distinguer trois cas: i°. si— n*est

ni divisible par /?, ni résidu quadratique de/?, ces nombres seront tons premiers avec a^ et partant, toutes les formes de V seront

proprement primitives. 2°. Si p divise — , comme depuis o jusqu'à a — I il y a - nombres divisibles par/7 (o compris), et par-

tant ^-^^ a non-divisibles , - — a sera le nombre des formes pro-

prement primitives que contient F'» 3°. Si -^ est résidu quadratique de /?, et non-divisible par /?, comme entre np et (n'^i)p il y a deux valeurs de l'expression l/— (mod./?), entre 1 et a

il y en aura— j donc il y aura ^^^a nombres non - divisibles

par p dans la suite —, — — i, etc., et partant, le nombre des

formes proprement primitives de /^ est ^^^a. Généralement, si

l'on a a=:2/? ç r .../?, ç, r, etc. étant des nombres premiers différens, le nombre de formes proprement primitives contenues dans /^ sera NPQR.,., où l'on doit faire i\^=i quand 1^ = 0,

et iV^=2 si j'>o; P=:p si — n'est pas résidu quadratique de p et n'est pas divisible par /?, P:=(p — i)/?^""^ quand— est

divisible par p , ou P^=^{p — 2)/?^""^ quand -r est résidu de p

mais non-divisible par /?. Q, Rj etc. se déterminent de la même manière en 9' , r, etc.