III. Si a" ne divise pas D, on aura ^ entier et =1 (mod.4)j
les valeurs de l'expression \/D (moâ. a") seront \a, la, \a, a''^-^a., partant, le nombre des formes de F" sera ^, et parmi les formes, il y en aura autant de proprement primitives qu'il y aura
de nombres premiers à a dans la suite ——^,^—|, ^—.^,. . .
R. — (^a — ^)^ Toutes les fois que ~- ^ i , ( mod. 8) , tous ces
nombres seront pairs ^ et partant P^ ne renfermera aucuue forme
proprement primitive; mais quand —^^5 (mod. 8) , tous ces
nombres seront impairs , et partant^ toutes les formes seront proprement primitives , si a est 2 ou une puissance de 2. En général, il j aura dans ce cas autant de formes proprement primitives qu'il y a de nombres premiers avec a dans la suite précédente. Le
nombre de ces formes sera iV/'Ç/2...si^=2'/7^9 V...; iV étant =2 ; et P, Q, R, etc. se déterminant comme dans le cas précédent. Nous avons ainsi fixé le nombre des formes primitives contenues dans V, V, V% etc. Quant à la somme de ces nombres,
on trouve sans peine la règle suivante : Si u4= 2 P Q R ... P'> Ç', R', etc. étant des nombres premiers diflférens , le nombre total des formes proprement primitives contenues dans V^, V y V, etc.
sera ^p^ryL '" , où l'on doit faire w'= i dans le cas où ^=0, et dans
celui où ~ ^ I (mod. 8), 72'= 2, si 21 est entier et y=o', 7^=5;
si ^ = 5 (mod. 8) et v>o.a'=P', si P' divise ^; a=z P' ±: i ,
quand P'ne divise pas-^, en prenant le signe -{- ou le signe —,
suivant que ^ est non-résidu ou résidu de P'. On déduit b% c', etc. de Ç', P', comme|(2' de P.Nous omettons, pour abréger, la démonstration.
V. Quant à ce qui regarde le nombre de classes que fournissent ces formes proprement primitives , il faut distinguer les trois cas suivans :
i*. Quand D est négatif, chaque forme proprement primitive fournit une classe particulière , excepté deux cas où l'on aurait
-^=— •4ou= — 3, c'est-à-dire, Z) = — -4^ou = ^. Pour
démontrer ce théorème , il suffit évidemment de faire voir qu'il ne peut arriver que deux formes différentes de ^, V , V, etc. soient proprement équivalentes. Supposons donc que (/z% /, A}, (//% i', U), soient deux formes proprement primitives de V, V,
Nu 2 *
284 HECHERCHES
V\ etc. apparfenanfes à la même classe , et que la pretniëre se change en la seconde par la substitution ot, /3, ^, J^ , on aura les équations
On conclut facilement de là que y n'est certainement pas = o ; car on aurait a = nfc i , li'z=:.lï'', i' ^i (mod. A*), et partant , les formes (/z% /, k^ , (/z'*, i' , k') seraient identiques contre l'hypothèse. On voit ensuite que y est divisible par le plus grand diviseur commun des nombres h , N -, en effet , en nommant r ce diviseur , il divise 2/ et 21' (II et III) , mais sera premier avec k'j en outre z'^ — z'* est divisible par r% puisqu'on a /* — ^''zzzli'k — H'^k' , et l'on en déduit facilement que î — i' est divisible par r. Or on a ai' — aLi:=.!iH^-\^ykf donc yk et partant 5/ est divisible par r. Enfin on a (^cLh^-^-yiy — Dy^zzzh^'H'', Donc en posant ûLh*'^yi^=rp, yzr=rç , p et ç seront des entiers dont le dernier ne peut être nul,
et l'on a l'équation ;y* ^ — Dç^^: — ^— . Mais — j- est le plus petit
nombre divisible à-la-fois par h* et //% parconséquent il divisera
a* et par suite 4D', donc |^ sera un entier négatif que nous
représenterons par — ^, il en résultera
Dans cette équation le terme (i-p-j étant un quarré < 4^ ^e peut
ttre que o ou 1 ; dans le premier cas on a ^^'=:4 et D = — (~ j ?
'AD donc —7^ est un quarré affecté du signe — , et partant non ^ i
(mod. 4)j ainsi O ne sera ni un ordre improprement primitif, ni
un ordre dérivé d'un ordre improprement primitif. Donc -^ sera
entier , d'où Ton déduit facilement que e est divisible par 4j donc <7= I et Z) = — ( — J , et partant -jy un entier j donc on a nécessairement D ■=. — A'^ ou —j: = — • i , première exception. Dans le second cas , on aura t?^' = 5 3 donc ^ = i , ^ =; 3 et
A Til T H M E T I Q U E s. '^85
4D=: — ^( — Y; done 3 (—j) sera un entier qui ne peut être que 5, puisqu'en le multipliant par le quarré entier \j^) > on
a 3. Donc 4^== — ^^^ o" ^^^^ — ^' seconde exception. JDouc
dans tous les autres cas, les différentes formes proprement primitives de ï^, V , etc. appartiendront à des classes différentes. Quant aux cas exceptés, il suffira, pour abréger, de mettre ici le résultat, qu'on trouve sans peine, mais dont la recherche prolongerait trop cette analjse. Dans le premier cas, les formes appartiendront deux à deux à la même classe, dans le second trois à trois; donc le nombre des formes est dans celui-là double du nombre des classes, et triple dans celui-ci.
2°. Quand D est un nombre quarré positif, les différentes formes proprement primitives] de Vy V , jf^", etc. appartiennent sans exception à des classes différentes. Supposons en effet que (A^, z, A) et (//% i' i A') soient deux formes de cette espèce, et qu'elles soient équivalentes \ soit et, /S, j/, cP la substitution propre qui change la première en la seconde. Il est clair que tous les raisonnemens de l'observation précédente, où l'on ne suppose pas D négatif, ont
également lieu ici; on aura encore jrff^ entier, mais positif e»
quarré; faisons-le =ê% il en résulte \j^) — S^^*=4> ce qui est
absurde; car la difference de deux quarrés ne peut être /\, à moins que le plus petit ne soit =o; or cette supposition est inadmissible, puisque y=:.rq ne peut être nul, et que partant q ne peut pas l'être non plus.
3". Quand D est positif non quarré, nous ne pouvons donner de règle générale pour comparer le nombre des classes avec celui des formes. Nous pouvons seulement affirmer que le premier sera égal au second ou une partie aliquote du second. Nous avons même découvert une certaine liaison entre le quotient de ces nombres et les plus petites valeurs qui satisfont à l'équation f" — Dii''-=^A% mais il serait trop long de l'expliquer ici. Mais nous ne pouvons pas décider s'il est possible dans tous les cas de connaître ce quotient à la seule inspection des nombres D , A. Nous joignons quelques exemples qu'il sera facile de multiplier à volonté.
a86 RECHERCHES
Ponri?=i5, A =12, le nombre des formes proprement primitives de J^ , e(c. est 3, qui sont toutes équivalentes et né donnent qu'une seule classe.
Pour Dzz^Zj y A=z2, le nombre des formes est 5, qui appartiennent à trois classes dififérentes. Pour Z>= 588, ^=7, il j a 8 formes qui fournissent quatre classes. Pour Z) = 867, ^:=: 17, il j a dix-huit formes et deux classes. Pour Z>=i445 et A. = ij , il y a également dix-huit formes, mais elles fournissent six classes.
VI. De l'application de cette théorie générale au cas où O est l'ordre improprement primitif, il résulte que le nombre de classes contenues dans cet ordre est à celui de l'ordre proprement primitif comme i est au nombre de classes différentes proprement primitives
que donnent les trois formes (1,0, — D),f4, i, ^-7 — ), (4^ % ~ — )
Or il en résul tera une seule classe quand D^i (mod. 8), parcequa dans ce cas la deuxième et la troisième sont improprement primitives. Mais quand D^5 (mod. 8) , ces trois formes serontimproprement primitives et donneront autant de classes différentes si D est négatif, excepté le cas où /) = — 5, dans lequel elles appartiennent à la même classe j quant au cas où D est positif de la forme Sn-^5, il appartient à ceux pour lesquels nous n'avons pas jusqu'à présent de règle générale. Nous pouvons cependant affirmer que ces trois formes donneront ou trois classes ou une seule , jamais deuxj car on voit sans peine que si les formes (1,0, — £>),
(^4, I, —r-^\ (4> 5, ^-7—) appartiennent aux classes K, K' ^ K",
respectivement, on aura K.K'z=K' (.1° 343, 2°), K\K'=zK" (IbidS")', donc si l'on supposait K=:K\ on aurait aussi K"=:K\ et de même si K et K" étaient identiques, on aurait /sC'^ A"; d'ailleurs ou trouve K' .K"=: K\ donc si K' et K" étaient identiques, K et K" le seraient aussi. Ainsi les classes K ^ K', K" sont toutes difïérentes ou toutes identiques. Par exemple, au-dessous de 600 il y a 75 nombres de la forme Sn^S, parmi lesquels se trouvent dix-sept déterminans auxquels se rapporte le premier cas, c'est-àdire que le nombre de classes proprement primitives est trois fois plus grand que celui des classes improprement primitives j ces déterminans sont: 37, ici, i4i, 189, 197, 269, 325, 333, 549,
ABITHMÉTIQUES. 287
375, 58i, 389, 597, 4^5, 485, 55j, 5-jZ', pour les cinquanfe-lmifc autres, le second cas a lieu, c'est-à-dire qu'il y a le même nombre de classes dans l'un et l'au(re ordre.
VIT. Il est presque superflu d'observer que non-seulement par la recherche précédente , on peut comparer les nombres de classes des ordres difFérens de même déterminant, mais qu'elle est applicable à tous les déterminans diff'érens qui sont entre eux comme des nombres quarrésj savoir, si O est un ordre quelconque de déterminant dm", O' un ordre de déterminant dnï^, O pourra être comparé avec l'ordre proprement primitif de déterminant û^w^ celui-ci avec l'ordre dérivé de l'ordre proprement primitif de déterminant d, ou, ce qui revient au même pour le nombre de classes, avec ce dernier Ini-même; et par une raison semblable, l'ordre O' pourra être comparé avec le même.
257. Parmi toutes les classes d'un ordre et d'un déterminant donné, les classes ambiguës demandent un plus grand développement, et la détermination de leur nombre nous conduira à beaucoup de résultats inléressans. Or il suffit de chercher ce nombre pour l'ordre proprement primitif, puisque les autres s'y ramènent facilement. Nous y parviendrons en trouvant d'abord toutes les formes ambiguës proprement primitives (^, B , C) de déterminant Df dans lesquelles B=o ou ===^Ay et en déduisant ensuite de leur nombre celui de toutes les classes ambiguës proprement primitives.
1°. Toutes les formes proprement primitives (^, o, C) de déterminant Df se trouvent évidemment en prenant pour ^ tou$
les diviseurs de D, positifs et négatifs, pour lesquels C= -r- est
premier avec -<4. Ainsi quand D =1 , il j a deux formes de cette espèce : (i, o, — i), ( — i, o, i); il y en a autant quand Dz= — i, savoir, (i, o, i), ( — i, o, — i). Quand D est un nombre premier ou une puissance d'un nombre premier avec le signe -f- ou le signe — ^ il J ^ quatre formes
Généralement, quand D est divisible par 77 nombres premiers, il y a 3"-^' formes de ce genre j en effet, soit D=zhPQR ,
a88 RECHERCHES
V, Q,R, etc. étant des nombres premiers difFérens ou des puissances de nombres premiers difFérens, dont le nombre est n-, les valeurs de A seront: i, P, Q, R,...PQ, PR, QR,...PQR.., et en général le produit d'autant de ces nombres qu'on voudra j or, par la théorie des combinaisons, le nombre total de ces produits est 2", mais il faut le doubler, parceque chaque valeur de A peut être prise avec le signe + ou le signe — .
2'. On voit de même qiiè toutes les formes proprement primitives {2B, B, C) de déterininant £) s'obtiennent en prenant pour
B tous les diviseurs de D, pour lesquels Cz=.\(B — — j est entier et premier avec 2B', ainsi, comme C doit nécessairement être impair, et que partant C'^i (mod.8)j comme d'ailleurs on a I>=B^-^2BC=:z{B—Cy--C% on aura i)= 3 (mod. 4) si ^ est impair, et ^o (mod. 8) si B est pair. Ainsi, toutes les fois que D sera congru à l'un des nombres : i, 2, 4> 5, 6, suivant le module 8, il n'y aura aucune forme de cette espèce.
Quand Z)^5 (mod. 4)^ C est entier et impair, quel que soit le diviseur de D que l'on prenne pour B j mais pour que C n'ait pas de diviseur commun avec 2B , B doit être pris de manière
que -jT soit premier avec B : donc pour £)= — i ily a deux formes
de cette espèce (2, i, i), ( — 2, — i, — i), et en général on voit facilement que si le nombre de tous les diviseurs premiers de D est n , il y aura en tout 2""^' formes.
Quand D^o (mod. 8), C est entier foutes les fois que Ton prend pour B un diviseur pair de {- D y quant à la condition qui exige que Csoit premier avec 2^, on y satisfera de deux manières, i**. en prenant pour 5 tous les diviseurs impairement pairs de \D,
pour lesquels -^ est premier avec — , et dont le nombre est 2""^',
si le nombre total des diviseurs de D est tz, et que l'on fasse attention au double signe. 2°. En prenant pour B tous les diviseurs pairement pair? de \D, pour lesquels —z- est premier avec \B', leur nombre est aussi 2""^'; desorte qu'on a en tout pour ce cas 2"-^* formes. C'est-à-dire, que si l'on pose jD=±2^PÇi?, etc..
fj. étant >2 et P, Qt Ry etc. des nombres premiers ou des puissancesde nombres premiers impairs dont le nombre soit n, on pourra
prendre, tant pour \B que pour -^, lesnombres: i, iP, Ç,2?,etc.
et les produits de tant de ces nombres qu'on voudra, avec le signe -|ou le signe — ,
On peut conclure de tout ce qui précède, que si D est divisible par n nombres premiers impairs dififérens (où n doit être fait =0
si Dzzzzdz ï y dz2, ou db2 ), le nombre de toutes les formes proprement primitives (^, B, C) dans lesquelles B = o ou =i\A sera 2"-+" quand D~i, ou =5 (mod. 8) , 2"-^" quand D = 2 , 5, 4> 6, 7 (mod. 8) (^)-, enfin 2"-^^ quand D^o (mod. 8). Si l'on compare ce résultat avec celui que nous avons obtenu pour l-e nombre des caractères possibles des formes proprement primitives de déterminant D , on verra que dans tous les cas le premier est double du dernier. Au reste, il est évident que, pour les déterminans négatifs, il y a parmi les premières formes autant de positives que de négatives.
258. Toutes les formes trouvées dans le n" précédent appartiennent évidemment à des classes ambiguës, et réciproquement dans toute classe ambiguë proprement primitive, il doit y avoir au moins une de ces formes. En effet, dans une telle classe , il y a nécessairement des formes ambiguës , et toute forme (a, b, c) ambiguë proprement primitive de déterminant D doit trouver au moins une forme qui lui soit équivalente parmi celles du n" précédent, c'est-à-dire , une forme fa, o, — -), ou une forme
(a, j a, ^a ■ — — J, suivant que b^o, ou ^^ (mod. à). Ainsi
le problème est réduit à trouver en combien de classes ces formes peuvent se distribuer.
(*) Il est essentiel de remarquer que la conti'adiction qui semble se présenter ICI ne provient que de ce que n n'a pas la même signification qu'à l'article i*
de ce numéro. En effet , dans le premier cas le facteur 2 ou a'* se trouve compris dans le nombre n , tandis qu'il ne l'est pas dans le second. ( Note du traducteur. )
2f)o RECHERCHES
i>i la forme (a, o, c) est comprise parmi les formes du n* précédent, la forme (c, o, a) s'j trouvera aussi et sera toujours différente de la première, excepté dans le cas où l'on aurait <z=c=zhi, et partant Dz= — i, cas que nous laisserons de côté pour quelque temps. Mais comme ces formes appartiennent à la même classe, il suffit d'en conserver une, et nous rejetterons celle dont le premier terme est plus grand que le dernier j nous écarterons aussi le cas où az:= — c^:=zt:i, c'est-à-dire, oùZ>=;i.De cette manière, nous pouvons réduire toutes les formes (^, o, C) à moitié, et dans celles qui resteront, on aura toujours -4 < v/d=iD.
De la même manière, si parmi les formes du ii° précédent, il se rencontre la forme (2Z», à , c) , on y trouvera aussi la forme
(4^ — ^Z', 2C — ^, c) = r T-, — -r, c\ qui lui est proprement équivalente , mais qui n'est pas identique avec elle, excepté dans le seul cas où l'on aurait c:=b:=zt: i ou JD= — i. Il suffit de garder celle de ces deux formes dont le premier terme est le plus petit: d'où il suit que toutes les formes (2-5, B, 6") peuvent être réduites à moitié , et que dans celles qui resteront, on aura
j5<— ou B <C.{^^D, De cette manière, nous n'avons plus que
la moitié de toutes les formes du n" précédent 5 nous en désignerons^ l'ensemble par Tf^, et il ne reste plus qu'à faire voir combien ces formes fournissent de classes. Au reste , il est évident que si D est négatif, ff^ renfermera autant de formes positives que de formes négatives.
1°. Quand D est négatif, les différentes formes de TV^ appartiendront à des classes différentes ; car toutes les formes (^, o, C) seront réduites; de même, les formes (2By B, O) seront réduites, excepté celles dans lesquelles C-<2j5j mais dans ces formes on
aura 2C < aB'i-C , et comme on a ^< -^, ou < 2C — B , ou
25<2C, ouB<C , on tire de là 2C'-'2B<:C, ou C-^B <
donc la forme (C, C — B, C), qui est évidemment équivalente à la forme proposée, est une forme réduite. De cette manière^ on a autant de formes réduites qu'il j a de formes dans Ff^-, on Voit facilement d'ailleurs qu'il n'j en aura aucunes qui soient
identiques ni opposées, excepté dans le cas où C— ^5=0, ce qui donne C = B et exige que l'un et l'autre soit =bi, et partant que Z)=— i; or nous avons déjà écarté ce cas-là : il suit de là que le nombre total des classes ambiguës proprement primitives de déterminant D (négatif) est égal au nombre de formes de Pf^, ou à la moitié du nombre de formes du n" précédent.
Quant au cas que nous avons excepté, dans lequel D =z i on
a aussi le même résultat par compensation ; car il j a deux classes à la première desquelles appartiennent les formes (i, o, i)
(2f I, i), et à la seconde les formes ( — i, o, — i), ( 2, i, i).
Ainsi généralement pour les déterminans négatifs, le 'nombre dé classes ambiguës proprement primitives est égal au nombre de caractères assignables pour les formes proprement primitives de ce déterminant, et le nombre de ces classes qui sont positives en est la moitié.
2\ Quand D est un nombre positif quarré h% on démontre facilement que toutes les formes appartiennent à des classes diflPérentes. Mais on peut, dans ce cas, parvenir plus simplement à la solution du problème. Comme, par le n" 210, dans toute classe ambiguë proprement primitive on doit trouver une forme réduite (a, h y o), dans laquelle a est une valeur de l'expression /i (mod.2/z), comprise entre o et 2/2—1, et que cette propriété leur est particulière, on voit qu'il y aura autant de classes ambiguës proprement primitives, qu'on peut trouver de valeurs de cette expression-, or on déduit sans peine, du n' io5, que le nombre de ces valeurs es^2", ou 2"+', ou 2'-^% suivant qu'on aura i)=i , ou =4. ou =0 (mod. 8), n désignant le nombre des diviseurs premiers impairs de D, Donc le nombre de classes ambiguës proprement primitives est toujours égal à la moitié des formes du n** précédent, ou au nombre de caractères possibles.
5% Quand D est positif non quarré; déduisons des formes {Ay B, C) contenues dans TV, d'autres formes (v^, B', C) en prenant B'~B (mod.^) et compris entre \/D et yD^A (le signe supérieur ajant lieu quand A est positif, le signe inférieur quand A est négatif), et Cz=.^^. Désignons par ?V' l'ensemble de toutes ces formes; elles seront évidemment toutes pro-
aga RECHERCHES
prement primitives, ambiguës, de déterminant D et non identiques \ elles seront d'ailleurs réduites : en effet, ^\ A <^ y/D , B' sera évidemment <i\/ D et positif-, en outre, ^'>v/Z>=p^, et parconséquent -r^> v^Z> — i5'j donc A pris positivement est compris entre vZ-^ + ^S'et \/D-—B\ S'\A:>\/D, B n'est pas = 0, puisque nous avons rejeté les formes dans lesquelles ces deux circonstances étaient réunies, mais il est ^z^A; donc B' est , en grandeur, z=:lA , et il sera positif, car on a ^<2\/Z), partant zh^A tombera entre les limites assignées à B' et sera congru à Bf suivant le module A; donc B'=.-^\ A , donc B'<^\/D ou iB'<:i}/D'{'B', et parconséquent A<i\/ D-^-B' : donc enfin •à=.A tombera nécessairement entre les limites \/D-\'B' et ^/D—^B'. En outre, l^' contiendra toutes les formes réduites proprement primitives et ambiguës^ en effet, si {a, h, c) est une forme de cette espèce, on aura b^o ou ^\a (mod. a}^ dans le premier cas, on ne pourra pas avoir ^ <^, ni partant a^^D-,
donc la forme (a, c, j sera certainement contenue dans W,
et partant (iz, h, c) , qui lui correspond , le sera dans PP^'; dans le second on a nécessairement a<^2\/D, et partant la forme
o-i \cLy \a — •— ) sera contenue dans W ^ et la forme (a, t, c),
qui lui correspond, le sera dans W, Il suit de là que le nombre des formes de /^ est égal au nombre de formes réduites, ambio^uës et proprement primitives de déterminant D, Mais comme dans toute classe ambiguë il y a deux formes réduites ambiguës (n°* 187, 194)^ le nombre des classes ambiguës proprement primitives de déterminant D sera la moitié du nombre des formes de JV y ou la moitié du nombre de tous les caractères assignables.
259. Le nombre des classes ambiguës improprement primitives de déterminant D , est toujours égal au nombre de celles qui sont proprement primitives. Soit Xla classe principale, et K' , K", etc. les autres classes ambiguës proprement primitives de même déterminant, L une classe ambiguë improprement primitive, celle, par exemple, qui contient la forme (2, i, ~ — \D) ; la classe L résultera de la composition de K avec Z/ elle-même, et si nous nommons V, V , etc. les classes, qui proviennent de la composi-
A K I T H M É T I Q U E s. agS
tion cle la classe L avec les classes K', K' , etc. respectivement, ces classes seront toutes improprement primitives, ambiguës et de même déterminant D. Le théorème sera donc prouvé , aussitôt que nous aurons démontré que toutes les classes lu , IJ , L" , etc. sont différentes , et qu'il n'y a pas d'autres classes ambiguës , improprement primitives et de déterminant D. Pour y parvenir, nous distinguerons deux cas :
i". Quand le nombre des classes improprement primitives est égal au nombre des classes proprement primitives , chacune des premières naît de la composition de la classe L avec une clause déterminée proprement primitive*, d*où il suit que L, L', L\ etc. seront nécessairement toutes différentes. Mais en' désignant par A une classe quelconque ambiguë improprement primitive de déterminant Z) , on peut trouver une classe proprement primitive X, telle qu'on ait X.L = A, et si la classe X' est opposée à la classe X,on aura aussi X\L=z\, puisque L et A sont ellesmêmes leurs opposées; donc on a nécessairement X= X', et partant Xest une classe ambiguë. Xse trouvera donc parmi les classes A, K'i K" , etc., et A parmi les classes i, U , L", etc.
2°, Quand le nombre de classes improprement primitives est trois fois moins grand que celui des classes proprement primitives,
soit H la classe dans laquelle est la forme (A, ï , ^—^\ H' celle
dans laquelle est la forme (4, 3, ^^^^V, //et H' seront proprement primitives, et dififérentes tant entre elles qu'avec la classe principale K , on a. d'ailleurs H.H' = K , H^ = H', H'^= H, Si maintenant A est une classe quelconque improprement primitive de déterminant D qui résulte de la composition de la classe L avec une classe proprement primitive X, on aura aussi A:=L.X,ff, A=:L.X.H', et il n'y aura que les trois classes (proprement primitives et différentes) X, X.ff, X.H' qui, composées avec X, aient A pour résultante. Donc si A est une classe ambiguë et que X' soit opposée à X, on aura, comme ci-dessus, A = Z.X', et partant X' sera une des trois classes X, X.H, X.H'-, or si X'=X,
X' sera une classe ambiguë 5 si X' = X . /T, on aura
A'==X.X=X»./r=X\H'==C^.-É^')'; donc X.H' est une classe
Oo^
ambigu'ê ; on prouverait de même qu'en supposant X' = X.fî"', il s'ensuivrait que X.H e^t une classe ambiguë; d'où l'on peut conclure que A se trouve nécessairement parmi les classes L , V , L" , etc. Mais on voit facilement que parmi les trois classes X, X.Hy X.H\ il ne peut y en avoir qu'une ambiguë. En effet, si X et X.H étaient ambiguës , ou ai elles étaient identiques avec leurs opposées respectives X' , H'. X', on aurait X.Hz=^ X .W. ou H::=zH\ La même conclusion résulterait de la supposition de l'ambiguité simultanée des classes X et XM' ; enfin si X.H et X.H' étaient ambiguës ou identiques avec leurs opposées respectives X\H', X\H, il en résulterait X.H=:X\H', X.H'z=:X\H, et partant X.X\ H^z=.X.X' .H'^, ouH'=:H'' etH=:H\ Il n'y aura donc qu'une seule classe ambiguë proprement primitive qui , composée avec L y puisse produire A, et parconséquent toutes les classes L, II , L", etc. seront différentes.
Le nombre des classes ambiguës d'un ordre dérivé est évidemment égal au nombre des classes ambiguës de l'ordre primitif dont il est dérivé, et pourra ainsi se déterminer par ce qui précède.
260. Problème. La classe proprement primitwe K , résul* tant de la duplication d'une classe k proprement primitii^e dû même déterminant D, on demande toutes les classes semblables dont la duplication donne K.
Soit H la classe principale de déterminant D , et H' , B' , H"'i etc. les autres classes ambiguës de ce déterminant ; désignons par k\ k% W , etc. les classes k.H', k.H', k.H"', etc.; toutes les classes A', k\ etc. seront proprement primitives et différentes entre elles, et Ton voit facilement que K naît de la duplication de chacune d'elles. Or en nommant X une classe quelconque proprement primitive de déterminant Z>, qui produise K par sa duplication , elle sera nécessairement comprise parmi les classes k, k'y k" , etc.; en effet, en supposant X-=kh, dans lequel h est une forme proprement primitive de déterminant Z)(n"249), on aura k\h^ = K', mais k^ = K ; donc Kh^ = K , et partant h'' = H, h est donc ambiguë et se trouvera parmi les classes H^ H' y H% etc. ; donc X se trouvera parmi les classes k , k' , A", etc. Ainsi ces classes donnent la solution complète du problème.
AHITHMÉTIOUES. 395
Au reste, il est évident que dans le cas où D est négatif, il y a parmi les classes K , K', K\ etc. autant de classes positives que de négatives. ''
Puisque toute classe proprement primitive de déterminant D qui résulte de la duplication d'une certaine classe, peut résulter de la duplication d'autant de classes semblables qu'il j a de classes proprement primitives ambiguës de déterminant D , il est évident que si ie nombre des classes proprement primitives est r, et que le nombre des classes ambiguës proprement primitives soit «, 011
aura - pour le nombre des classes proprement primitives de déterminant D qui peuvent résulter de la duplication de classes delà même espèce. On trouve le même résultat pour les déterrainans négatifs, en restreignant la signification de r et tz aux classes positives seulement. Par exemple, pour Dz=z — 161, le nombre des classes proprement primitives est 16, celui des classes ambiguës 4 5 partant, le nombre de classes proprement* primitives qui peuvent résulter de la duplication d'une classe proprement primitive est nécessairement 4^ et l'on trouve effectivement que toutes les classes du genre principal sont douées de cette propriété j savoir, la classe principale (i, o, 161), qui naît de la duplication des quatre classes ambiguës; la classe (2, i, 18), de la duplication des classes (9, i, 18), (9, — I, 18), (11, 2, i5), (11, — 2, i5}-, la classe (9, 1, 18), delà duplication des classes (3, i, 54)j (6, 1, 27), (5, — 2, 33), (10, 3, 17); enfin la classe (9, — i, i8), de la duplication des classes (3, — i, 54), (6, —I, 27), (5, 2, 33), (10, —3, 17).
261. Théorème, lia moitié des caractères assignables y pour un déterminant positif non quarré, peut n'appartenir à aucun genre proprement primitif y et pour un déterminant négatif , à aucun genre proprement primitif positif
Soit 772 le nombre de tous les genres proprement primitifs, positifs s'il y a lieu , de déterminant D\ k \q nombre des classes de chaque genre, km sera (n° 252) le nombre total des classes proprement primitives, n le nombre de tous les caractères diflférens assignables pour le déterminant D. Alors, par le n"* 258, le nombre de toutes les classes ambiguës propremexit primitives sera
296' % R K r HE R C II E s
~ j doue par le n° grécédeut le nombre de toutes les classes pro-
prennent primitives .qui peuvent résulter de la duplication de classes
semblable* est UH-^ mais (n" 247) toutes ces classes appartiennent
au genre principal qui contient un nombre k de classes ; si donc toutes les classes du genre principal peuvent provenir de la duplication de quelque classe, ce que nous prouverons par la suite ,
on attrait ^-^ = k ou mz=-. Mais il est certain que l'on ne peut avoir ——^ k ni parconséquent tzz >-. Ainsi, puisque le nombre
des genres proprement primitifs ne peut être plus grand que la moitié du nombre des caractères assignables, il J a au moins la moitié de ces derniers qui ne répondent à aucun genre. Au reste, il faut bien remarquer qu'il ne suit pas encore de là , que les genres proprement primitifs répondent en effet à la moitié de ces caractères j mais nous pourrons, plus bas, tirer cette vérité des propriétés les plus abstraites des nombres.
Comme pour un déterminant négatif, il j a autant de genres négatifs que de positifs , il est clair qu'il n'y a pas plus de la moitié de tous les caractères assignables qui puissent appartenir à des genres proprement primitifs négatifs, nous reviendrons plus bas sur ce sujet, ainsi que sur les genres improprement primitifs. Nous finirons en observant que le théorème n'est pas applicable aux déterminans positifs quarrés , pour lesquels on peut voir sans peine que chaque caractère répond effectivement à un genre.
262. Ainsi, lorsquepour un déterminant donné, non quarré, il ne peut J avoir que deux caractères, il n'y a qu'un genre proprement primitif ( positif ), qui est nécessairement le genre principal. Cela arrive pour les déterminans — i, -|-2, — 2 , —4, les nombres premiers de la forme 4'^+^ i etles nombres premiers de la forme 4'z+5pris négativement, enfin pour toutes les puissances impaires de nombres premiers de la forme '\n'\-i, prises positivement et pourtoutesles puissances des nombres premiers de la forme ^n-^'^, prises positivement ou négativement, suivant que les exposans sont pairs ou impairs. Nous pouvons déduire de là une nouvelle démonstration,
non-
non-seulement pour le théorème fondamental, mais encore pour les autres théorèmes de la section précédente, relatifs aux résidus — I, +2, — 2, basée sur des principes tout-à-fait différens, et non moins élégante que la première. Nous ne nous occuperons pas du déterminant — 4 ^t de ceux qui sont des puissances de nombres premiers, parcequ'ils n'apprennent rien de nouveau.
Pourle déterminant]— I, il n'y a aucune forme positive dont le caractère soit 3,4 ; pour le déterminant 2, il n'y a absolument aucune forme dont le caractère soit 3 et 5^8; pourle déterminant — 2, il n'y a aucune forme positive dont le caractère soit 5 et 7,8. Pour le déterminant p, si p est un nombre de la forme 4^2-1-1^ ou pour le déterminant—;?, si p est un nombre de la forme 4^ + 5, aucune forme proprement primitive (positive dans le dernier cas) n'aura le caractère Np. Cela posé , nous démontrons comme il suit le théorème fondamental, et les autres précités:
i'. — I est non-résidu de tout nombre positif de la forme 4^-^5, En effet, si — i est résidu d'un tel nombre ud , en faisant — i=iB^ — ^C, {A, B, C) serait une forme de déterminant r— I , dont le caractère serait 3,4.
2*. — I est résidu de tout nombre premier p de la forme 4ri-\-i \ car le caractère delà forme ( — i, o, p), comme celui de toutes les formes de déterminant p^ sera Rp y donc —-iR.p*
3". -I-.2 et — 2 sont résidus de tout nombre premier p de la
forme 8«-|-i-, car les formes (8, i, -^ ) > ( — S, i, ^^) ou
les formes Ts, 3, '^^j , ( — 8, 3, ^—^^ seront proprement primitives de déterminant^, suivant que 7z est impair oupairj donc leur caractère est Rp; donc %Rp et — 8/?/?; d'où (n* 98) 2Rp et —•2Rp.
4°. -j-2 est non-résidu de tout nombre de la forme 8/2 -f- 3 ou 8/2-1-5 j car s'il était résidu d'un tel nombre A, il y aurait une forme (^A , B , C) de déterminant 2 dont le caractère serait 3 et 5,8.
5'. De rtiême — 2 est nou-ré$idu de tout nombre de la forme
8/z+5j Sn-i-j', sans quoi il j aurait une forme (yi , B , C) ôe déterminant — 2 dont le caractère serait 5 et 7,8.
6°. — 2 est résidu de tout nombre premier p de la forme 8/2-}-3. On peut prouver cette proposition de deux manières. D'abord , 2 étant N.p et — i aussi, on aura nécessairement (n° gS) — 2Rp» Ensuite si l'on considère le déterminant -f-^;?, pour lequel il J a quatre caractères assignables: M,pf i et 0,8; B.p, 5 et 7,8; N.p , 1 et 3,8; N.p, 5 et 7,8-, la moitié au moins ne répond à aucun genre. Or la forme (1,0, — 2p) a le premier caractère, la forme ( — i, o, 2p) a le quatrième j donc le deuxième et le troisième doivent être rejetés. Ainsi, comme le caractère de la forme (pj o, — 2), relativement au nombre 8, est i et 3,8, son caractère, relativement k p, ne pourra être que JRp ; donc — 2jRp,
7°. 2 est résidu de tout nombre premier p de la forme 8n-\-j; on peut de même prouver cette proposition de deux manières. D'abord, — 2 étant non-résidu de y» et — i aussi, on a nécessairement
•^iRp, Ensuite, comme l'une où rautre des formes (8, i, — 0^)»
^8, 3, ^î^j est proprement primitive de déterminant —^ , suivasj
que n est pair ou impair, son caractère sera R.p^ donc SR.p , et partant 2Rp.
8°. Tout nombre premier p de la forme ^n-^i est non-résidu de tout nombre impair q qui n'est pas résidu de p. Car il est clair que si p était résidu de q y il y aurait une forme proprement primitive de déterminant p dont le caractère serait N.p,
g". De la même manière, si un nombre quelconque impair q est non-résidu d'un nombre premier p de la forme 4^ + 5, — p sera non-résidu de q', autrement il y aurait une forme positive, proprement primitive, et de déterminant — p dont le caractère serait N.p,
10'. Tout nombre premier p de la forme 4^+1 est résidu de fout autre nombre premier q qui est résidu de p. En effet , si ^ est aussi de la forme 4^-1-1 , cette proposition est une suite de la huitième^ mais si q est de la forme 4?i-{-5, — q sera résidu de// par la deuxième proposition, et partant , par la neuvième, pR.ç»
11". Si un nombre premier quelconque q est résidu d'un liombrs premier/? de la forme 4^-}- 5, — p sera résidu de ç; en effet , si ç est de la forme 4^-}-i , il suit de la proposition 8 que pR.ç, ^t partant, par la deuxième , — pR-Ç', mais le cas où q est de la forme 4^-f-5 se soustrait à cette méthode^ cependant on peut facilement le traiter, par la considération du déterminant -\-pq; car, des quatre caractères assignables pour ce déterminant: R,p, R.q; R.p, N.q-, N.p , R.q; N.p, N.q, il n'y en a que deux qui appartiennent à des genres, et les formes (i, o, — pq), ( — I, o, pq) ajant pour caractères, la première Rp, Rq, la seconde Np,Nq, les deux autres n'appartiennent à aucun genre. Ainsi, comme le caractère de la forme (q, o, — p) est par hypothèse R»p, le caractère de la même forme, à l'égard du nombre q, doit être R.q, et partant — pR.q,
Si l'on suppose, dans la huitième et la neuvième proposition, que q désigne un nombre premier, et qu'on les réunisse à la dixième et à la onzième, on aura la démonstration complète du théorème fondamental de la section précédente.
265. Après avoir confirmé le théorème fondamental par une nouvelle démonstration, nous allons nous occuper de distinguer cette moitié des caractères, auxquels nous avons vu qu'il ne répond aucunes formes proprement primitives positives pour un déterminant quelconque non-quatré. Nous y parviendrons d'autant plus facilement que les élémens de cette discussion sont déjà renfermés dans les recherches des n*^^ 147 — i5o. Soit e" le plus grand quarré qui puisse diviser le déterminant proposé D , et JJ=D'e*, desorte que D' ne renferme aucun facteur quarré. Soient encore a y bf c, etc. tous les diviseurs premiers impairs de D% D' sera, abstraction faite du signe, le produit de ces diviseurs, ou le double de ce produit. Désignons par œ l'ensemble des caractères particuliers N.a, N.h, N.c, etc., seul quand D'^\ (mod. 4)? et en y joignant le caractère 5,4» quand £)''^5 et que e est impair ou impairement pair-, ou en y joignant les caractères 3,8 et 7,8, quand Z)'^5, et que e est pairement pair; en y joignant le caractère 5 et 5,8, ou les deux 5,8 et 5, S , quand Z>'^2 (mod. 8), et que e est impair ou pair, ou les deux 5,^ et 7,8, quand D'^6 (mod. 8), et que e est pair ou impair. Cela posé, il no
5oo RECHERCHES
répondra aucun genre proprement primitif (positif) à tous les caractères complets qui renfermeront un nombre impair des caractères particuliers w. Dans tous les cas, les caractères particuliers qui expriment la relation à l'égard de diviseurs de D qui ne sont pas diviseurs de D\ n'influent pas sur la possibilité ou l'impossibilité des genres. Or, par la théorie des combinaisons, on voit aisément que l'on exclut effeclivement la moitié de tous les caractères complets assignables.
La démonstration s'établit de la manière suivante :
Des principes de la section précédente, ou des lliéorèmes que nous venons de démontrer pour la seconde fois, on déduit sans peine que si p est un nombre premier impair et positif qui ne divise pas D, et auquel s'applique un des caractères rejetés, jD' renfermera un nombre impair de facteurs qui sont non-résidus de p, et que parconséquent £)', et par suite D, sera non-résidu de p. Or on voit facilement (n" 228) qu'on ne peut supposer l'existence d'un quelconque des caractères rejetés, et à-la-fois que ce caractère n'appartienne à aucun facteur d'un produit de tant de nombres premiers avec D qu'on voudra-, d'où, réciproquement, il est clair que tout nombre impair positif premier avec D, auquel convient im des caractères rejetés, renfermera nécessairement un facteur premier auquel le caractère appartienne, et que partant D est non-résidu de ce nombre. Si donc il existait une forme proprement primitive (positive) de déterminant D auquel répondît ce caractère , D serait non-résidu de tout nombre positif impair premier avec lui, qui pourrait être représenté par cette forme, ce qui est contradictoire avec le théorème du n° i54.
On peut prendre pour exemple les classifications données aujT n^* 23o et 23 1. Chacun pourra d'ailleurs en augmenter le nombre à volonté.
264. De cette manière , fous les caractères assignables pour un déterminant donné se divisent en deux espèces P, Q, dont chacune est composée d'un même nombre, et de manière qu'aucune forme proprement primitive ne puisse avoir un des caractères de Q ; mais quant à P, jusqu'à présent rien n'empêche que chacun des caractères qui y sont contenus n'appartienne à des formes
ARITHMÉTIQUES. 5ot
semblables. A Tégard de ces deux espèces de caractères; on remarquera la proposition suivante, qui se déduit facilement de la nature même de ces caractères : -SI l'on compose un caractèrs de y auec un caractère de Q (en feignant qu'il existe des genres qui répondent à cette espèce de caractère, et y appliquant ce qui a été dit n= 246) on ironisera un caractère de Q; si l'on compose deux caractères de P, ou deux caractères de Q,le caractère résultant appartient à P. A l'aide de ce théorème, on peut aussi exclure la moitié des caractères pour les genres négatifs et improprement primitifs , de la manière suivante :
I'. Pour le déterminant négatif Z), les genres négatifs sont contraires aux genres positifs, c'est-à-dire , que les caractères de P n'appartiendront à aucun genre négatif, et que ces genres n'auront que des caractères de l'espèce Q. En effet, quand U ~i (mod. 4), —D' sera un nombre positif de la forme 4^2 + 3 , et parconséquent parmi les nombres a, b, Cy etc. il y en aura un nombre impair de la forme 4^ + 3, de chacun desquels — i sera non-résidu ,
d'où il suit que le caractère complet de la forme ( i, o, D\
renferme un nombre impair des caractères particuliers de L, ou qu'il appartient à Ç. Quand Z>'=3 (mod. 4), par la même raison, entre les nombres a, b, c, etc., il n'j en aura aucun, ou il y en aura un nombre pair de la forme 4^2 + 5 j mais comme dans ce cas le caractère complet de la forme (—1, o, B) renferme l'un ou l'autre des deux caractères particuliers 3,8 ou 7,8, il est clair que ce caractère complet appartient encore à Ç. On obtient sans peine la même conclusion dans les autres cas, desorte que le caractère de la forme négative (—1, o, D) est toujours compris dans Ç. Mais comme cette forme, composée avec une autre forme quelconque proprement primitive et négative, donne pour résultante une forme semblable positive, on voit facilement qu'aucune forme proprement primitive négative ne peut avoir un des caractères de P.
2°. On prouve de même, pour les genres improprement primitifs positifs, que la chose a lieu comme pour les genres proprement^ primitifs, ou d'une manière contraire, suivant que D~x ou =5 (mod. 8). Car dans le premier cas, on aura aussi D ~\
5o« RECHERCHES
(mod. 8) y d'où l'on conclut facilement que parmi les nombres a, h^ c, etc. , il n'y aura aucun nombre de la forme 8/z-f-3 , et de la forme Sn-\-5, ou qu'il y en aura un nombre pair, puisque le produit de tant de nombres impairs qu'on voudra, parmi lesquels les facteurs des formes Sn-^-"^ et Sn-^-S sont pris ensemble en nombre impair, est toujours ^3 ou ^5 (mod. 8), et que le produite, h , c, etc. doit être égal à Z)' ou à — D\ Il suit de là que le
caractère complet de la forme (2, i, — — •) ne renferme aucun
caractère de &>, ou en renferme un nombre pair, et que partant il appartient à P. Maintenant, comme toute forme positive, improprement primitive et de déterminant D peut être considérée
comme composée de (2, i, j et d'une forme positive proprement primitive et de même déterminant D, on voit qu'aucune forme positive improprement primitive ne peut avoir un des caractères de Ç. Dans le second cas, où D^S (mod. 8), au contraire, D' qui sera aussi ^5 renfermera nécessairement un nombre impair de facteurs de la forme 8/2 -f- 3, et de la forme 8/z-f-5, d'où l'on conclut que le
caractère de la forme (1, 1, -^^^^^j , et partant celui de toute forme
positive improprement primitive de déterminant Z), appartient à Ç , et qu'il n'y en a aucun qui se trouve dans P.
3". Enfin, pour le déterminant négatif, les genres improprement primitifs négatifs sont encore contraires aux positifs; c'est-à-dire qu'ils n'auront aucun des caractères de P ou de Ç, suivant que Z) ^ I ou ^ 5 C mod. 8 ) , ou suivant que — D est de la forme 8/z -f- 7 j ou ^'^ -f- 3. On déduit facilement cette proposition de ce que la forme ( — i , o j Z)), dont le caractère est compris dans Q , composée avec les formes improprement primitives et négatives de même déterminant , donne des formes improprement primitives et positives ; et que parconséquent , quand on exclut pour ces dernières les caractères renfermés dans Q , on doit exclure pour les premières les caractères renfermés dans P , et réciproquement,
265. Les recberches faites aux n*^' sSy , 258, sur le nombre des classes ambiguës, et qui servent de base à tout ce qui précède, peuvent fournir beaucoup d'autres résultats très-dignes d'attention,
ARITHMETIQUES. 5o5
que nous sommes forcés de supprimer, cependant nous ne pouvons passer sous silence le suivant, qui est remarquable par son élégance. Nous avons fait voir que pour un déterminant positif/?, qui est un nombre premier de la forme 4^ -|- i , il n'j avait qu'une classe ambiguë proprement primitive 3 ainsi toutes les formes ambiguës proprement primitives de ce déterminant, sont proprement équivalentes entre elles. Si donc h est le nombre entier immédiatement au-dessous de y/p , et que l'on fasse j) — h*z=.a , les formes (i, b, — a'), ( — i,b,a') seront proprement équivalentes; et partant, comme elles sont évidemment toutes les deux réduites , l'une sera contenue dans la période de l'autre. En attribuant à la première l'indice o dans sa période , celui de la seconde sera nécessairement impair , puisque leurs termes extrêmes sont de différeus signes; supposons-le =277Z-f-i. On voit facilement que si les formes dont les indices sont i, 2, 5, etc., sont respectivement
(-./, h\ a"), {a% b% — àr), C^a", b% a-), etc. ;
celles dont les indices sont 2/72 , 2m — j , 2m — 2,2/72 — 5, etc., seront
(a% ^,-0, C— a', b', a'), (a% b'.-^a"), (-a-, b% a"), etc.
Il sait de là que si la forme dont l'indice est m, est (^, B, C), la même sera (—C,B,--A)', donc 0 = — ^ et;7 = ^* + ^'; donc tout nombre de la forme /^n-\-i est decomposable en deux quarrés , proposition que nous avons déjà démontrée (n' 182), mais par des principes tout-à-fait différens. Et nous pouvons parvenir à cette décomposition d'une manière uniforme, en développant la période de la forme réduite dont le premier terme est i , et dont le déterminant est le nombre à partager, jusqu'à ce que nous trouvions une forme dont les deux termes extrêmes soient égaux et de signe contraire. Ainsi , par exemple , pour p = 233, on a
d'où 235 = 64 H- 169. Au reste, il est clair que la forme {A , B, — A^ devant être proprement primitive, A sera nécessairement impair, et partant, B pair. Comme pour un déterminant
5o4 RECHERCHES
positif p qui est un nombre premier de la forme 4^^ H- i , il n'j a non plus qu'une seule ambiguë dans l'ordre improprement primitif; il est clair que si g est le nombre impair immédiatement au-dessous de ^py et qu'on fasse p — g*z=:^h, les formes réduifes {2, g, — 2^), ( — 2fg,2h) sont proprement équivalentes, et partant, l'une doit être comprise dans la période de l'autre: de là , par des raisonnemens absolument semblables aux précédens , on conclut que dans la période delà forme (2, g, — 2/i), il se trouvera une fornie dont les termes extrêmes sont égaux et de signes contraires, desorte qu'on peut encore tirer de là la décomposition du nombre p en deux quarrés. Mais il est clair que les termes extrêmes seront pairs, et partant, celui du milieu impair ; et comme il est constant qu'un nombre premier ne peut se décomposer que d'une seule manière en deux quarrés ; la forme trouvée par cette dernière méthode sera {B,'àzA, — B)^ ou (^—-ByZç.A, B). Ainsi, pour l'exemple précédent, où /? = 233 , on a
et 233 ;=; 169 -|- 64, comme plus haut.
266. Jusqu'à présent nous avons restreint nos recherches aux fonctions du second degré qui ne renferment que deux indéterminées , et il n'a pas été nécessaire de les distinguer par une dénomination particulière *, mais il est clair que ce sujet n'est qu'une section très-particulière des fonctions algébriques rationnelles , entières et homogènes , qui renferment plusieurs inconnues. Ces fonctions peuvent se distribuer en formes du premier, du deuxième, du troisième, etc. degré j et quant au nombre d'indéterminées, nous les distinguerons commodément en formes binaires y trinaires, quaternaires , etc. Ainsi , ce que nous avons appelé for?ne jusqu'à présent, prendra dorénavant le nom de y(7r77ze Z'/zz^zr^ du second degré, et les fonctions telles que
Ax' + 2Ba:y + Cy* + 2Dxz + 2Eyz + Fz* ;
A, B , C, D , etc. étant des nombres entiers, s'appelleront /b 7772 (7* trinaires du second degré y et ainsi de suite. Nous avions presque consacré la présente section aux formes binaires du second degré ; mais comme il nous reste à faire connaître quelques-unes de leurs
plus
ARITHMÉTIQUES. 3o5
plus belles propriétés , qui se déduisent naturellement de la théorie des formes trinaires , nous insérons ici une courte digression sur ces dernières, et nous exposerons des premiers élémeus de cette théorie , ce qui sera nécessaire pour compléter celle des formes binaires, pensant satisfaire davantage les Géomètres, que si nous les supprimions , ou si nous les déduisions de méthodes moins directes. Au reste , nous réservons pour une autre occasion l'examen plus exact de cet important sujet, tant parceque sa fertilité excéderait de beaucoup les bornes de cet ouvrage , que dans l'espoir de pouvoir lui donner par la suite plus de développemens. Mais nous écartons absolument les formes quaternaires , quinaires y etc. du second degré et celles des degrés plus élevés, et il suffira d'avoir recommandé ce champ vaste à l'attention des géomètres, où ils pourront trouver un très-beau sujet d'exercer leurs forces , et les mojens de donner à l'Arithmétique transcendante de très-beaux développemens. Nous pourrons ainsi nous contenter de distinguer les formes en binaires et ternaires.
267. Il sera avantageux, pour l'intelligence , d'établir un ordre fixe parmi les indéterminées des formes trinaires, comme nous Tavons fait pour les formes binaires , de manière à distinguer la ■première , la seconde et la troisième. Quant à la disposition des différentes parties de la forme, nous suivrons constamment aussi le même ordre , en plaçant le premier le terme qui renferme le quarré de la première inconnue, et ensuite ceux qui renferment le quarré de la seconde , le quarré de la troisième , le double produit de la seconde par la troisième , le double produit de la première par la troisième, et enfin le double produit de la première par la deuxième. Mais , comme nous abrégerons en ne dénotant pas toujours les indéterminées par des lettres particulières, nous représenterons la forme y
par le sjmbole u' ^/' %<)> quand nous n'aurons pas égard aux indéterminées.
En posant b^ — a'a=zA, h'^ — aa'^zA^ b"^ — aa'=: A% ab-^ b'b"=: B , a'b''^bb'z=zB'yab'---bb':=^B\ il résulte une autr«
5o6 RECHERCHES
f forme -f = C « ^'' B"")' ^'^^ ^°"^ appellerons adjointe de la
fû^nie f. Ces relations donnent aussi les suivantes^ en représentant par D le nombre
B^—AA"^=^B, B'^---AA"z=::a!D, B"^—AA!^a'D, AB~B'B" ^hD, AB'-- BB" ^h'D , A'B'— BB' —^ h'D;
d'oii il suit que la forme Ç^j^' ^,^' ^„^J est adjointe à la forme F.
Nous appellerons déterminant de la forme/, le nombre D de la nalure duquel dépendent principalement les propriétés des formes ternaires. De cette manière, le déterminant de la forme FestZ)% ou égal au quarré du déterminant de la forme à laquelle elle est adjointe.
Ainsi, par exemple, la forme ternaire (^^* J^' ^\ a pour adjointe (j^ ' "~^ °' \0* ^^ ^^^^^ °^* toutes deux pour déterminant, I.
Nous excluons de nos Recherches les formes ternaires dont le déterminant est o, que nous traiterons plus en détail dans une autre occasion , et qui ne sont ternaires qu'en apparence , se réduisant, comme on le verra, à des formes binaires.
26S, Si une forme ternaire f, dont les indéterminées sont a;, x', x", et le déterminant D , se change en une forme ternaire^, dont le déterminant est E, par la substitution
.T=:tr-f.,VH->/, cr'^ccy+isy+^j", x''=.a,y+^y+yy,
oiilescoefficiens a, (^, y,eL, etc. sont supposés des nombres entiers, nous dirons, pour abréger, que la formel se change en ^ par la substitution
et que / renferme g , ou que g est contenu dans/. De cette supposition dérivent six équations pour les six coefïiciens de g, qu'il est inutile de transcrire ici, et d'où Ton déduit facilement les - conclusions suivantes: ;»
ARITHMETIQUES. ^07
1% En désignant, pour abréger, par A le nombre
on trouve, réduction faite, E = k^D; d'où il suit que D doit diviser E et que le quotient doit être un quarré. L'on voit ainsi que le nombre k joue ici le même rôle que le nombre cl^ — (èy pour les formes binaires, d'où nous pourrions présumer que le signe de k établit aussi une différence essentielle entre les transformations propres et impropres. Mais en examinant la chose de plus près , il est clair que f se change aussi en y par la substitution
et que k devient alors — k, et que parconséquent cette substitution serait différente, et que toute forme ternaire en renfermerait une autre tant proprement qu'improprement. Ainsi nous ne ferons pas usage de cette distinction, qui devient inutile pour les formes ternaires.
2,\ En désignant par F et G les formes adjointes aux formes /, y , les coefïiciens de F se déterminent par les coefficiens aef, et les coefficiens de G par ceux de g-, qui se connaissent euxmêmes par les équations que fournit la substitution S. Or la comparaison des coefïiciens de i^ et G prouve sans peine que F renferme G et se change en elle par la substitution
^'y^ory^ yct''-^y"ct', .t'/S'— *"/S' ; ^"y—h"> >"*—>*', a'/S-^.fi', /3/— ^> , y^'—y'ct , *.S'— :t'^ (5').
Nous n'inscrivons pas ici le calcul, qui n'est sujet à aucunes difficultés.
3°. La forme g , par la substitution:
/Sy— iS">', /3'V-~/3/, /3/— /S'y; y'ct"— /*', yV— >*', 7*'->'ci; «T— ^T, et"/?— «t.0", ct^'-A'^ (5"),
se change évidemment en la même forme que celle en laquelle se change f par la substitution
kf 0, oj o, k, o) o. G, A-, c'est-à-dire en celle qu'on obtient en multipliant tous les coefficiens de la forme y par A*. Nous désignerons cette forme par/'.
3o8 RECHERCHES
4". On prouve absolument de la même manière^ que la forttie G 5e change , par la substitution
CL, a!, cl"', /3, /3', /S"; >, /, / Ç^S'"),
en la forme en laquelle se cbange F , en multipliant les difFérens coefficiens par k"-, nous désignerons cette forme par F',
Nous dirons que la substitution S"' naît, par transposition , de la substitution S-, alors il est évident que la substitution *S résulte de la transposition de la substitution S"; de même 5' et S" naissent de leur transposition réciproque. On peut appeler la substitution S' substitution adjointe k S y d'où la substitution S', sera adjointe à la substitution S'",
26g. S'il arrive, non-seulement que la forme /" renferme la forme y , mais encore que la forme g renferme la forme /', ces deux formes seront dites équivalentes, et dans ce cas on voit que D et E devant se diviser mutuellement, on a nécessairement D:=:E) et réciproquement si une forme /"en renferme une autre g de même déterminant, ces deux formes seront équivalentes 5 en effet on aura Â=dbi, et partant la forme /' en laquelle se cliange g par la substitution S", sera identique avec/*, et parconséquent y sera contenue dans g. Or il est clair que dans ce cas les formes F et G adjointes aux formes/" et g seront aussi équivalentes, et que la deuxième se change en la première par la substitution S", Enfin, si l'on suppose que les formes F, G soient équivalentes, et que la première se change en la deuxième parla substitution T, les formes/" et g seront aussi équivalentes, et/* se changera en g par la substitution adjointe k T, et g en /"par la substitution qui naît de la transposition de la substitution adjointe à T. Car par ces deux substitutions respectives, la forme adjointe à JP se change en la forme adjointe à G, et la forme G en cette même première forme; mais ces deux formes naissent de f et g, en multipliant chacun de leurs coefficiens par Z); d'où Ton voit sans peine que par les mêmes substitutions /'se change en g et g en y respectivement.
270. Si la forme ternaire/' renferme la forme ternaire/"' et celle-ci la forme/", la forme / renfermera aussi /". Car on voit
facilement que si f se change en f par la substitution
a. p^ y, ^> py y j ^ > p > y , et f en f, par la substitution
y se changera en y" par la transformation
a'/+^V-+/j% cc"£+/3V+>V, ct"C-f-/3''4'+/4'j
ainsi, dans le cas oùy est équivalente à/"', et y à y, la forme/" sera aussi équivalente à f , Au reste , on voit aisément comment ces théorèmes s'étendraient à im plus grand nombre de formes.
271. 11 suit évidemment de là que toutes les formes ternaires," ainsi que les formes binaires, peuvent se distribuer en classes, en rapportant à la même classe les formes équivalentes, et celles qui ne le sont pas, à des classes différentes. Ainsi les formes de déterminant différent appartiendront certainement à des classes différentes, et partant il y aura un nombre infini de classes de formes ternaires-, mais les formes ternaires de même déterminant donnent un nombre de classes tantôt plus grand, tantôt plus petit, maïs toujours Jini , ce qui peut être considéré comme une propriété principale de ces formes. Avant de traiter avec plus de détail cette proposition très-importante, nous expliquerons une différence essentielle qui a lieu entre les formes ternaires.
Quelques formes ternaires sont telles, qu'on peut représenter par elles, sans distinction des nombres positifs et négatifs, par exemple, la forme x^-\-y''—z', et nous les nommerons formes z/z^<sy?/z/V^. Au contraire, il en existe d'autres par lesquelles on ne peut représenter de nombres négatifs, comme la forme x''-\-y''-\-'Z^ , et nous les nommerons formes -posii'n'es; enfin, par d'autres, on ne peut représenter que des nombres négatifs, comme la forme —• JJ* — ^j*— z% nous les nommerons formes négatii^es. Les formes positives et négatives s'appelleront formes définies. Nous allons donner les caractères auxquels ou peut reconnaître à laquelle de ces espèces appartient ime forme donnée.
3io RECHERCHES
Si l'on multiplie par a la forme
de déterminant Z) , et que Ton désigne, comme au n* 268, par A, A' , A", B, B'f B" les coefficiens de la forme adjointe à/, on trouve
g = af=z {ax + Z>V+ h'xy -— A"x'^ + ^Bx'x"-- A'x"' 5 multipliant ensuite par A', il vient
h ^A'af:=:. A'{ax-\-V'x''ir b^xj-^ {A'x'-^^BxJ-iràDx'^ ;
d'où il suit que A!af est négatif si aD et A! le sont , et parconséquent que le signe de f est nécessairement opposé à celui de A'a^ c'est-à-dire quejTest de même signe que a ou de signe opposé à Z?. Ainsi la forme y" sera définie dans ce cas-là, et sera positive ou négative , suivant que a est positif ou négatif, ou suivant que L> est négatif ou positif.
Mais si aD et A! sont positifs, ou que l'un des deux le soit,' aucun n'étant =0, on voit facilement qu'en déterminant convenablement les valeurs des indéterminées , h pourra être positif ou négatif, et que partant y pourra obtenir des valeurs, tant de même signe que de signe opposé à h 5 donc f sera une forme indéfinie.
Pour le cas où ^'=0, sans qu'on ait aussi dr=ro, on aura
af^ {ax'\-y'x'^ h'xy-^ x\A"x'-^ nBx") ,
en donnant à x' une valeur arbitraire, qui cependant ne soit pas
=0, et prenant x" tel que le signe de — 0- — ^' soit le même
que celui de Bx', ce qui est possible, car B n'est pas =0, puisqu'on aurait B^ — A'A"-=.aDz=^o, et partant D:=zO', alors cc{A^x' — ^Bx") sera une quantité positive, et l'on voit aisément que X pourra être déterminé de manière que af obtienne une valeur négative j il est même évident que ces valeurs peuvent être prises, si l'on veut, de manière qu'elles soient toutes entières. Enfin, x' et x"* ajant des valeurs quelconques, on peut prendre ic assez grand pour que rz/" devienne positif. Donc, dans ce cas, la forme f est indéfinie.
'A T^ 1 T H M É T I Q U E s. 3if
Enfin, si ^ = o, on a
/== a'x' + 2bx'x''-{- a"x"'^ -f- 2x(h"x'-i- h'x") ,
et en prenant x' ^ x' à volonté, mais tels que h"x''\-h'x" ne soit pas zéro , il est évident que l'on peut déterminer x de manière que /'obtienne des valeurs positives et négatives^ donc/" est une forme indéfinie.
De même que nous avons déterminé l'espèce de la forme f , d'après les nombres aD et ^ , nous aurions pu j parvenir au mojen des nombres aD et A" , desorte que la forme f sera définie si aD et A' sont négatifs, et indéfinie dans tous les autres cas. On peut de même considérer les nombres ciD et A , ou aD et A% ou a'D et A , ou enfin a"!) et A\ Il suit de là que pour une forme définie les six nombres A , A' , A\ aD , a'D , a"D sont négatifs j pour une forme positive, a, a, a seront positifs et D négatif, et pour une forme négative, a, ci, a' seront négatifs et D positif; ainsi, toutes les formes ternaires de déterminant donné positif peuvent se distribuer en négatives et en indéfinies, toutes les formes d'un déterminant donné négatif peuvent se distribuer en positives et en indéfinies. Enfin, il n'y a pas de formes positives de déterminant positif, ni de formes négatives de déterminant négatif. On voit facilement, d'après cela, que la forme adjointe à une forme définie est définie et même nêgadue , et que la forme adjointe à une forme indéfinie est indéfinie.
Puisque tous les nombres représentables par une forme ternaire donnée le sont également par toutes les formes qui lui sont équivalentes, les formes ternaires comprises dans une même classe seront toutes positives, ou toutes négatives, ou toutes indéfinies. Ainsi ces dénominations pourront être transportées aux classes elles-mêmes.
272. Nous allons démontrer que les formes ternaires d'un déterminant donné peuvent se distribuer en un nombre fini de classes, et nous nous y prendrons comme pour les formes binaires , c'està-dire, que nous ferons voir d'abord comment une forme ternaire donnée peut être ramenée à une forme ternaire plus simple , et ensuite que le nombre des formes les plus simples auxquelles on parvient par ces réductions e§t toujours fini, quel que soit le déter-
5ii RECHERCHES
rainaut. Supposons généralement que la forme /= ^^' ^/ ^N de
déterminant D, se change en la forme équivalente g = C^' '^, ' "!, \
par la substitution
a,^,y; cl\ ^' , y' -, ^\ ^% y" {S)
il nous restera à déterminer a, jS, y y etc. de manière que g soit plus
simple que/. Soient JP = (^^' ^/ ^„^, G:=:(^'^; ^-^-„ Mes formes
adjointes kfet g , la forme i7 se changera en G par la substitution adjointe k S , et G en F par la substitution qui naît delà transposition de S. Nous ferons le nombre
cl^y 4- a'/3> + a^iS/ -< a'/SV — a/3 V — a'/S^" =; ± i = ;t. Cela posé, observons :
1°. Que si l'on fait y = o , 5^' = o , «" = o, /S" = o , 5^" =; i ; on a
n =^/3'4.^'/35 7?'=^*'+^^'*, 7z" = aa/34-Z»"(*iÊ'+a'/3)-}-«V/3;
on aura en outre a/S' — a'/3 = ± i. Il est évident par là, que la forme binaire (a, b", a') de déterminant ^" se change par la substitution a, /3, a', /S' en la forme binaire (m, n", m') , et qu'elle îui est même équivalente, puisque a/3' — a'/3 = db 1 ; on aura donc ^" = M" , ce qu'on peut aussi vérifier sans peine directement; Si donc la forme (a, b", a') n'est pas déjà la forme la plus simple de sa classe, on pourra déterminer cl, (3, af, /3', de manière que (ttz , n", m') soit une forme plus simple ; et par la théorie des formes binaires, on sait que cette réduction peut se faire de manière que m ne soit pas plus grand que \/ — | ^"si -^^ est négatif, ou que y/ A" si ^' est positif, ou enfin de manière que 77z = o si -^" = 0, Desorte que dans tous les cas , la valeur absolue de m peut être abaissée ou au moins au-dessous jusqu'à V^ =i= | ^". Ainsi la forme/ peut se ramener à une autre, dans laquelle, s'il y a lieu , le premier coefficient soit plus petit, et dont la forme adjointe ait le même troisième coefficient que la forme F adjointe à/. C'est en cela que consiste la première réduction.
ARITHMETIQUES. 3i3
2\ Mais si Ton fait (X=i, /3 = o, > = o,ct' = o, «"=0, on aura 5^ = /3y — /Sy = d= i , et la substitution adjointe à S deviendra
par laquelle jF se change en (?. On a ainsi
M'=:Ay^^2Byy-tAy% m=— ^'iSy+ B{^V'h^y)—A"^y,
d'où il suit que la forme binaire {A', B, A) dont le déterminant est Da, se change par la substitution /S', ^', — /S", /, en la forme (M", iV, M') de déterminant Dm-, ç,V k cause de l'équation ^V— /3V = d=i, ou de Da = Dm, ces deux formes sont équivalentes. Ainsi, à moins que la forme {A', D, A') ne soit déjà la plus simple de sa classe, les coefficiens /S', >', /S", / pourront être déterminés de manière que {M% N, M') soit plus simple-, et même cette réduction peut se faire de manière que M" , sans égard au signe, ne soit pas plus grand que [/zh^D) ensorte que Von réduit la forme/ à une autre qui a le même premier coefficient, mais dans la forme adjointe de laquelle le troisième coefficient est moindre, s'il j a lieu, que celui de la forme F adjointe à/. C'est en cela que consiste la seconde réduction.
3°. Si donc/ est une forme ternaire à laquelle aucune de ces deux réductions ne soit applicable , c'est-à-dire , qui ne puisse par aucune se changer en une plus simple , on aura alors nécessairement u^ < ou = f ^, et A'<:ou=zlaD , sans avoir égard au signe. Donc a^ sera < ou = ^ ^% et partant, a^ < ou = |i aZ?,
et a' < ou =1^ D; donc a < ou =| /J9 , et ^* < ou = ^ ^D^,
et parconséquent ^ < ou = | ^/Z)^ Ainsi, quand A et a surpassent ces limites, nécessairement l'une ou l'autre des réductions précédentes peut être appliquée à la forme/. Au reste, il ne faut pas renverser cette conclusion , puisqu'il arrive souvent qu'une forme ternaire dont le premier et le troisième coefficient sont au-dessous de ces limites, peut néanmoins être rendue plus simple par l'une ou l'autre de ces réductions.
Rr
V- * j.^ J.V vj H E s
4°. Si donc on applique alternativement la première et la seconde réduction à une forme donnée de déterminant D , c'est-àdire qu'on lui applique la première ou la seconde , à celle qui en résulte la seconde ou la première, à celle qni en résulte de nouveau la première ou la seconde, etc. , il est évident qu'on arrivera nécessairement à une forme à laquelle on ne pourra plus appliquer ni l'une ni l'autre , sans quoi on aurait deux suites de nombres entiers continuellement décroissans. Nous sommes donc parvenus à ce théorème important : Toute forme ternaire de déterminantX) , peut être réduite à une autre équivalente dont le premier coef-
Jicient ne soit pas plus grand que | yT> , et telle que le troisième
coefficient de la forme adjointe ne soit pas plus grand que | V^D% sans avoir égard au signe , à moins que la forme proposée nù jouisse déjà de ces deux propriétés.
Au reste , au lieu du premier coefficient de la forme f , et du troisième de la forme adjointe, nous aurions pu traiter absolument de la même manière , le premier coefficient Je f et le second de la forme adjointe, ouïe second de/" et le premier ou le troisième de la forme adjointe, ou le troisième dey et le premier ou le second de la forme adjointe , et nous serions arrivés de même à notre but; mais il vaut mieux s'en tenir à une méthode unique , afin de pouvoir ramener plus facilement les opérations à un algorithme fixe. Nous observons enfin que les deux coefficiens que nous avons appris à abaisser au-dessous de limites fixes , peuvent avoir encore des limites moindres, si l'on distingue les formes finies des formes indéfinies. Mais cela n'est pasnécessaire pour ce que nous nous proposons.
273. Voici quelques exemples qui éclairciront ce qui précède.
Exemple!, Soit/=(;^;^g; J, on aurai^=:( ^^^^ ^^3^ ^^J
etZ) = — 1. Comme (19, i, 21) est une forme binaire réduite qui n'a pas de forme équivalente dont le premier terme soit moindre que 19, la première réduction n'est pas applicable ici; mais la forme binaire {A" y B ^ A') = ( — 398, 267, — 166) se change en ( — 2, I, — 10) qui lui est é(juivalente , par la substitution 2^ 7, 3, II. Ainsi, en faisant ^'==2, >-' = — j , /S^ss — 3, 5."= 11, on aura pour la forme y, la substitution
ARITHMETIQUES. 3i5
I, O^ OJ O, 2, — 7; O, — 3, II,
par laquelle on trouve qu'elle se change euf'= ( ^•^' '^' q]'
Le troisième coefficient de la forme adjoinle k f est — 2, et partant, celle-ci doit être regardée comme plus simple que y.
On peut appliquer à la formel la première réduction. La forme binaire (19, — 82, 354) se changeant en (i, o, 2) par la transformation l'S, /i, 5, i , on aura pour la forme y la transformation
par laquelle elle se change en la forme (]j ^ g ^) =/'•
On peut appliquer de nouveau la seconde réduction à la forme/'
qui a pour adjointe (Z^J^^'^^s^iT^o)* ^^ ^^^^ > ^^ ^^^'"^^ ^^naire ( — 2, — gS, — 4^1 5) se change par la substitution 47, i , — 1,0 en ( — I, I, — .2), d'où/" se change par la substitution
en la forme /"= ( j ' ^^ ^'jg}« Le premier coefficient de cette forme
ne peut plus être réduit par la première réduction , ni le troisième de la forme adjointe par la seconde.
Exemple II, Soit/=(^°'^ ' ^^ qui a pour adjointe la forme
70—28 8 )>^^^ pour determmant. On trouve successivement par l'application alternative des deux réductions ,
par lesquelles
les Substitutions
1, 0,0; o, — 1,0; 0,4,-1 0/--i>oj ï> —2,0; 0,0, 1,
1, 0,0; 0,-1, OJ 0, 2, —1,
les formes
se changent en
/•tf -^ /' ^' a, 2 \ '•^ ~\ 2, —I, o )
cm f ^t ^t 2\
5i6 RECHERCHES
La forme y" ne peut être soumise à l'une ni à l'autre des deux réductions.
274. Quand on a une forme ternaire dont le premier coefficient, ainsi que le troisième de la forme adjointe, sont abaissés autant que possible par la méthode précédente , on obtiendra comme il suit une plus grande réduction.
En conservant toujours la notation du n" 172, et posant a=:i, ct'=o^ /S'=i^ «"=0^ l^"=:o, 3^"=!, c'est-à-dire en employant la substitution
I; {^f >; Oy If y-, 0, O, i;
on aura
m=:a, m':=::a''\-2h"^-\^P>% 77z''=a''+2Z'yH-2Z»'>-f-«>*+2Z>V>'-|-«'>'%
et en outre Wz:^A\ N^B-^Ay, N':=:B''-^A"y-'N^.
Ainsi, par cette substitution les coefficiens a, A", qui sont déjà réduits , ne changeront pas ; il ne reste plus qu'à diminuer les autres coefficiens en déterminant convenablement les valeurs
de /3, y, y.
Observons d'abord que si l'on a A"z=:Of on doit avoir aussi c=05 car si a n'était pas =0, la première réduction serait encore applicable, puisqu'à toute forme de déterminant =0 ré^ pond une forme équivalente telle que (o, o, h) (n° 21 5), et dont parconséquent le premier terme =0. De la même manière, si azzzo, on aura A"=:o , ainsi les deux nombres a et -<^ seront tous deux nuls, ou aucun des deux ne le sera.
Dans le second cas, il est évident que /3, y, y' peuvent être déterminés de manière que n", N, N' ne soient pas plus grands que {a, IA% {A" respectivement. Ainsi dans le premier exemple
du n" précédent, la dernière forme f^'^'^' V qui a pour adjointe T"" ^ ' 3! g' "^ J > se change, par la substitution
I, —16, i6j o, I, — l'y o, o, 1, en la forme />' ==x Q^ ^'^ J), qui a pour adjointe (""^^ ■"^^' ~^).
Dans le premier cas, où az=:A"^o , et partant h'z=.Oy on aura
ce qui donne D:=:a'b'^^mn'\ Or on voit facilement que l'on peut prendre /3 et y' de manière que n soit le résidu minimum absolu de h ,^ suivant le plus grand diviseur commun des nombres fl', h', c'est-à-dire, que n ne soit pas plus grand que la moitié de ce commun diviseur, abstraction faite du signe, et partant 77 = 0 toutes les fois que a! et h' sont premiers entre eux 3 /3 et y' étant ainsi déterminés, on pourra prendre y tel que 772" ne soit pas > h', à moins que l'on n'eût b'^o; mais alors on aurait Z) = o, cas que nous avons exclu. Ainsi, dans le second exemple, on a'pour la dernière forme 7z = — 2-/3+2/, et en faisant /;=o, > = i, il vient 77=0, partant 77z'=2— 2j. et 772^=0 en faisant y^i Ainsi, par la substitution
I, —2, ij o, I, o; o, o, I, cette forme se change en C^' ^' °\ =:=:/",
2j5. Si l'on a une suite de formes ternaires équivalentes f,f\ /',/'% etc., et les transformations de chacune d'elles en la suivante, des transformations de/ en f et de /' en /", on déduira (n* 270) celle de / en f; de cette dernière et de la transformation de/" en/", on déduira celle de /en/", etc. Ainsi, de cette manière on aura la transformation de/ en une forme quelconque de cette suite; et comme (n"* 268, 269) on déduit de la transformation d'une forme quelconque /en une autres-, Ja transformation àe g en/., on pourra obtenir la transformation d'une forme quelconque de la suite, en la première /.
Ainsi, pour les formes du premier exemple on trouve les substitutions
i5, 14, Q. 6, 2, — 7j —9,— 3, II....
i3, 188, —4; 6, Sj, ^2-, ~g, ^i3o, ; 3.... i3, —20, 16; 6,^9, 7; —9, 14.. —II,
par lesquelles /' se change en /',/•;/-,- et de la dernière 6 n déduit la suivante :
3iS RECHERCHES
par laquelle/'" se change en f\
De la même manière, pour l'exemple 2 du n* précédent, on trouve les substitutions
i^ — 1> ij — 3, 4, — 3; 10, — 14, II
par lesquelles la forme Ç^°' ^ ' M se change en (°' ^' ° J, et cette dernière en la première respectivement.
276. Théorème. Le nombre des classes en lesquelles peuvent se distribuer les formes ternaires de déterminant donné, est tou^ jours Jîni,
I. Le nombre de toutes les formes ( ?' ?/ ?/, j de déterminant
donné D, dans lesquelles on a ^ = 0, h"z=.o, b non plus grand que la moitié du plus grand commun diviseur entre a' et b', et a' non plus grand que b' , est nécessairement toujours fini. En effet, puisqu'on a dans ce cas Dz=zab''', on ne pourra prendre pour Z?' que +1, -— i et les racines des quarrés qui peuvent diviser D f s'il y en a d'autres que i, prises positivement ou négativement, et le nombre de ces valeurs est fini; or, pour chaque valeur de b', celle de a' est déterminée, et celles de b, a' sont évidemment limitées.
y fi n rT^\.
ir. Tln*j aura de même qu'un nombre fini de formes ( / ,/ ,„j
de déterminant Z) , dans lesquelles ^ n'est ni :==o ni >-| v^±/?,
y*^ — aa'^=iA" ni =0, ni >>^\/D% b' non plus grandque f^,
ab'^b'b"z=zB et a'b'—.bb"=B' non plus grands que {A", Car le nombre des combinaisons des valeurs de a, b", A", B, B' sera nécessairement fini, et en les supposant déterminés, les autres coefficiens a', k, b', a" de la forme et les coefficiens A=^b'' — a^a"^ A'-=.b''' — ac^, B"^=a"b" — bb' de la forme adjointe seront déterminés par les équations
,__b"'—J" Ar^B'—aD . B'^^a'D p/, BB'-^-h'D
ARITHMETIQUES. ^ù
b'^—A' b^—A bb'+B"
y AB—ÏÏB" Èa'4-B'b" y A'B'^BB" Bb-^S'a D — A" ' ^ D •" 'J' >
a 7—. Tn
Maintenant, comme foutes ces formes s'obtiennent en choisissant parmi toutes les combinaisons àe a, b\ A", J5, B' celles qui donnent des valeurs entières pour a' ^ a\ h, h', leur nombre sera nécessairement fini.
m. Toutes les formes dont nous venons de parler (I et II) constituent un nombre de classes qui sera moindre que celui de ces formes , s'il s'en trouve parmi elles d'équivalentes. Or comme il suit de l'analysé précédente que toute forme ternaire de déterminant D est nécessairement équivalente à l'une de ces formes, les classes qu'elles déterminent renfermeront toutes les formes de déterminant Z> , c'est-à-dire que toutes les formes de détenuiuant D peuvent se distribuer en un nombre fini de classes.
277. Les règles par lesquelles toutes les formes de I et II peuvent se former, suivent naturellement de ce qui a été dit dans rartîclé prééédentj ainsi il suffira d'en donner quelques exemples.
Pour D=: I , les formes (I) produisent les six suivantes, par l'ambiguité des signes , (^^^^, (oi-îi'o)' ^^^^ ^^^ formes II, rt et ^^ ne peuvent avoir d'autres valeurs que -f-i et — 1, et pour les quatre combinaisons qui en résultent, Z»", B ti Bf doivent être posés =0, ce qui donne les quatre formes
,. De même, pouri)=— i, il j a six formes (I) .. /°' ~'' °V
C ;;; 0 > e^ <l-tre formes (II). . .Q; ";; -;), (^'^> ^> -;)^
0> '> ï\ (-h -1, A \o, o, o/' Vs o, o, oj'
Pour D = 2, il y a six formes (I). . ,(°' ^^ °V (""' ""' ~*> '
/> ^ Vo, ±11, oj' \o, ±1, qj'
et huit formes C H ) • • • T' ""' ^\ (-^^ ^> ^\ /i, i, --a\ \ o, o, o)^ \o, o] o)' ( o,' l[ o)' C; o, ""o)^ Co, "X "'o)*'
Sao RECHERCHFS
Au reste, le nombre de classes est dans ces trois cas beaucoup moindre que le nombre des formes. En effet, on s'assure facileraenfe
1°. Oue la forme (°' ^' °) se change en i* ^' ], [* J' ^V
(°' . *' ""^V C' *' ""^V par les substitutions Vo, ±:j, o/V \o, o, c/' t-
\,0, O'j Oy 1,0) o, o, I...O, o, I-, o, I, IJ ±1^ 1^0
o, o, i; o, I, ij =i=i,— I,— i...i,o^ —ij I, I, — "ij o^— i^T. La forme ( ' ^' "*" ) se change en (^' ~"'' j, {^' l' l) par
la seule permutation des indéterminées. Ainsi ces dix formes de déterminant i se réduisent aux deux : {' ^' ), ( ^' "~ ' J,
\0, 1 , O/ \ Of o, c/
pour la première, on peut, si l'on veut, prendre la forme (^'' °' °Y Or la première forme étant indéfinie et la seconde définie, il s'ensuit que toute forme ternaire indéfinie de déterminant I équivaut à la forme a^'^ + a/z, et toute forme définie, à la forme — x* — ^* — z*.
2°. On trouve absolument de la même manière, que toute forme ternaire indéfinie de déterminant — i équivaut à la forme î— cc*-|-2/z, et toute forme définie, à la forme a;*+j*-f"2*.
: 5% Pour le déterminant 2, on peut sur-le-champ rejeter des huit formes (II) la seconde, la sixième et la septième, qui proviennent de la première par la seule permutation des indéterminées*, par la même raison, la cinquième, qui naît de la troisième^ et la huitième, qui naît de la quatrième. Les trois qui restent avec les six formes ( I ) déterminent trois classes -, en effet j /o, 2, o\ change en (°' ^' ] par la substitution
\o, +1, o) & Vo, —1, o/ ^
ï, o, oj O, I, oj o, o, —I, et la forme Q^ ^; ""^) en (°^ ^'^ J^),
tutions respectives
I, o, I j 1, 2, Oj 1, I, o I, o, — I ; I, 2, oj 1,1,0
^(i, I, o; 1,2,-15 I, 1,— I 1,0, oj I, 2, I) 1,1,1
Ainsi
Ainsi toute forme ternaire de déterminant :i est' réductible à l'uni
de ces trois .-f^'^'^V (^^'^'-n /-i,~i,-aN
Vo, 1, cy^ Vo,o, o)*\ c, o, cj^^^^^^^de
la pi-emière on peut prendre la forme (^' ^' ^^). Ainsi toute forme ternaire définie de déterminant 2 équivaudra nécessairement à la troisième--..^" ^-^,,.. '""^^ ^^^"^^ i'^^^^^i^ ^ la première ou a la seconde. Elle équivaudra à la première ^x^ -\- :,yz si le premier, le second et le troisième coefficient sont paires tous les
IZ 1 IT ''' '''^' r'"°' *'*^' ^^^'"^^ ^^ ^^^"§^^^ «« ^"e forme semblable par une substitution quelconque , et que partant elle
ne peut pas être équivalente à la seconde. Enfin elle équivaudra a la seconde a;» ^^ - 2z« , si le premier, le second et le troisième coethcient ne sont pas pairs tous les trois; car il est visible oar «ne raison semblable, qu'une telle forme ne peut se chan^ei- par aucune transformation, en la forme 2:c'-|-2jz.
On pouvait donc prévoir dans les exemples des n-^ ^^Z, 2^4 que la forme définie (;^;:;>/^) de déterminant - , , se réduirait à la forme 0.+^^+.^ et la forme indéfinie ( -; ^^; ^) de déterminant 2 a 2x'-^2yz, ou , ce qui revient au même , à '2x^ -f-jz.
278. Par une forme ternaire dont les indéterminées sont 07 x' x" on peut représenter des nombres en donnant des valeurs déter' minées k x , x', x\ et àes formes binaires par des substitutions de cette espèce : x :=^mt ^nu, x' ^ m't + n'u , z' = m't 4. n'a m, n, m\ etc. désignant des nombres déterminés, t et u les indéterminées de la forme binaire. Pour représenter d'une manière complete la théorie des formes binaires, il faudrait donner la solution des pi'oblèraes suivans.
1-. Trouver toutes les représentations d'un nombre donné par unejorme ternaire donnée.
V. Trouver toutes les représentations d'une forme binaire donnée par une forme ternaire donnée.
1.11.^'"'"°""' "'/'^"^/'"-'"'^^ '"rnaires données sont équivalentes ou non et dans le premier cas. trouver toutes les Iransformations de l'une en l'autre.
Ss
5^2 RECHEHCHES
4'. Distinguer si une forme donnée renferme ou non une autre forme ternaire donnée ; et dans le -premier cas , trouver toutes les transformations de la première en la seconde.
Nous traiterons plus en détail dans un autre lieu, ces problèmes qui sont bien plus difficiles que leurs analogues dans la théorie des formes binaires j nous nous bornerons ici à faire voir comment le premier problème peut se réduire au second , et le second au troisième, nous donnerons la solution du troisième pour quelques-uns des cas les plus simples , et qui peuvent éclairer la théorie des formes binaires. Mais nous excluons absolument le quatrième problème.
279. Le MME. Etant proposés trois nombres entiers quelconques a, a', a", qui cependant ne soient pas tous = o, trouver six, autres nombres B, B', B", C, C, C", tels qu'on ait B'C — B''C = a, BX — BC = a% BC — B'C = a".
Soit CL le plus grand diviseur commun des nombres a y a', a" , et les nombres entiers A, A , A\ tels que l'on ait Aa + -^ V. ^-^"a'' = a. Prenons à volonté trois nombres entiers Y, F', I", avec cette seule condition que les trois nombres VA'' -^\'A', Y" A — \A\ TA' — TA que nous représenterons par a^ b' , b' , et leur plus grand commun diviseur par /3, ne soient pas tous =0, Posant alorsa'^"— a"Z/'=ot/3C, a" b -^ ab" z= a^C , ab''^a'bz=%fiC', il est clair que C, C, C sont entiers. Et si l'on prend des nombres entiers K, K' , K" tels que Kb '\- K' b' -^^ K' b" z=. ^ , en posant Ka -|- K'a! + AV = ct/z , et prenant B-=.a.k'^ h A , B'^oLk' -^hA' y B" ^Ak"^hA'' , les valeurs de B, B' , B" , C , O, C satisfont aux équations proposées.
Eneffet, on ixowv e aB + a B' -\- a" B''^o, bA'\-h'A'\-b''A"z=:o, d'où bB + b'B' 4- V'B" = a/S. Or des valeurs de C , C , on tire a/3 ( B'C'^B"C' ) = ab'B' — a'bB' — a'bB' + ab"B'' =za(ibB + b'B' + b''B'' )^b(aB-i- a'B' + a"^") = aa^; àoncB'C"-^B''C:=a; de même B''C-^BC"=:a' , BC'-^B'C=a\
Nous sommes forcés au reste de supprimer ici l'analjse qui a conduit à cette solution , ainsi que la méthode par laquelle on déduit toutes les solutions d'une seule.
