Supposons que la forme binaire «r-f-2to + c«*s=(p dont

ARITHMÉTIQUES. SaS

le àéterm'ma.nt = D , soit représentée par la forme ternaire /"dont les indéterminées sont jr , œ' , x" , en posant x = mt -{- nu , x' :=zm' t -{' rî u f x" i^nî't-^ n"u, et que la forme F dont les indéterminées sont X, X', X", soit adjointe kf. On s'assure facilement par le calcul, ou comme conséquence du n^ 268, 2". que le nombre D est représenté par la forme F, en posant X-=.TTiri — rrCiï , X' = rrCn — mn^ , X" = mii — rrin ; nous dirons que cette représentation est adjointe à la représentation de la forme (p par la forme/! Si les valeurs de X, X', X" n'ont pas de commun diviseur, nous appellerons pour abréger, cette représentation propre, et dans le cas contraire , impropre ; et nous transporterons aussi ces dénominations à la représentation de (p par y.

Or la recherche de toutes les représentations du nombre Z? par la forme F , s'appuie sur les considérations suivantes :

1°. Il n'y a aucune représentation du nombre D par F qui ne puisse se déduire de la représentation d'une certaine fdrme binaire de déterminant D par la forraey, c'est-à-dire, qui ne soit adjointe à une telle représentation.

Soit en effet X=L, X' = Z>', X''=L" une représentation quelconque de D par F \ on déterminera par le lemme précédent, les nombres m, m' , m", n, n' , ii" , tels que l'on ait m'n" — m'n' z=.L, m'n — mrî'-=zIJ , mn' — Ttîn-=iII \ et alors en représentant par <p •=. at^ -^^ ihtu -^ cu^ , la forme binaire en laquelle y se change par la substitution

x:=.mt-\'nuy x' =: m!t + n'u , x" = m"t -f- n'u ,

on voit facilement que D sera le déterminant de la forme <p , et que la représentation de D par F sera adjointe à celle de (p par f.

Exemple. Soit /= x* + x^ + -^'^ > ^^ partant , -F = — ■ X' '— X'* — X"* , Z> = — 20g : le nombre — 209 sera représenté par Ff en faisant X== i , X'=8, X''= 12 , on trouve pour les nombres m,, m! , m" ^ n^ n' , ji" , les valeurs — 20, 1,1, — 12,0, i respectivement , et (^ = 402^ + 4^2 tu-^-iJ^S z^*.

2°. Si (p , X sont des formes binaires proprement équivalentes , tonte représentation de D par F adjointe à une représentation de (p par/, sera aussi adjointe à une représentation de % par/*.