HECHETICHES
Soient p', (f les întléterminées de la forme %', supposons que (p se change enx par la substitution propre t-=.&.p-{'^q, uz=.yp'\'^q, et que la forme <p soit représentée par/", en faisant
x = mt-{-nu, x' z=:Tn!t'\-riu, x" =:m"t'\'n"u (i?)
On voit sans peine que si l'on fait
oLm -^ynzzz g , am' + yn' =g t ^^t^ + yn" ^=g'' ,
îa forme x sera représentée par f, en posant
x:=^gp + hq, x':=:gy-^hq, x" =: g" p -{^ h" q (R)
et l'on trouve ^Vz"— h' g' = m'rf— rd'n! , g" h -- gh' = m"n — mn%
gh! — g' h = jnn' — m'n , en observant que aJ' — /3;/ = i . Donc Ja même représentation de D par F est adjointe aux représentations R et R\
Ainsi , dans ^exemple précédent on trouve que la forme (p équivaut à la forme %= i3y»* — lopq -^ iSq^ , en laquelle elle se change par la substitution propre t = — 5p -^ q , u = 5p --^ 2ç ^ de là on trouve pour la représentation de % P^^ J^' ^ ^= 4ç , ce ■=. — Zp -\- q y x" := 2p — q , qui donne pour le nombre — 209 la représentation dont nous étions partis.
3°. Si deux formes (p, % de déterminant i) , dont les indéterminées sont /, u\ p , q peuvent être représentées par y, et que la même représentation de D par F soit à-la-fois adjointe à une représentation de (p par y, et à une repré^^entation de % par y 5 ces deux formes seront nécessairement équivalentes»
Supposons que <p soit représentée par la forme /*, en faisant x-=zmt-^nu , x'z^.m't'^-n'u y x!' z=:m!'t'^n"u, et % en faisant xzzzigp-^hq , x^ = gp -{- Jïq , x" = g"p 4- h!'q. Supposons en outre qu'on ait m'n" — m'fi = g'Ji — g'ii' = L , m"n — m?i" = g" h — gU = JJf mil — w^n ■=.g]î — g' h = L" , on prendra les nombres entiers /, /', l\ tels que l'on ait Ll-\' Vl'-^-Ul" z=z i, on fera
n'l"-'n"l'z=M, nn-^nr^M' , nV-^n'l^M\ rm"--rm'==N', l"m'-'lm"z=N' , Im' '-l'm=:-N\
gU ^g'M''i-g"Arz=:cL , hM + h'M'-\-h"M"=::fi ,
gN + g'JS' ^g^JS" ^y, hN + h'JS' -H h"]S" ^<^r
on déduit facilement de là
On trouve de même am-^yn'z^g^ l^m'-{-(^n'=h', ef,7n''-{-yn'=:g'', fim" -{- (^n" z=.h"'y ii suit de là que mt'\-jiu, m't-\-Jiu, rn't-^-riu se changent en gp-^hq, g'p-^-h'q , ^'p-^Wq par la substitution
i z=z ap -j- l^q , u-=yp -\- S'q (S). D*oà il résulte que <p se
cbange par la substitution «S, en la même forme en laquelle y se change en posant X7=gp -^-hq , x' ■=. g'p -f- Kq , x" = g"p + liq, c'est-à-dire en x, et que partant <p est équivalente à %. D'ailleurs on trouve clS — ^y •=: TA '\- JJ L' -{• L" H' ■:=z i j donc la substitution S est propre, et les formes <p , % sont proprement équivalentes.
On tire de ce qui précède les règles suivantes pour trouver toutes les représentations propres de D par F* On cherchera toutes les classes de formes binaires de déterminant D , et l'on prendra à volonté une forme dans chaque classe j on cherchera toutes les représentations propres par y de ces différentes formes ( en rejetant cellesquine pourraientpas se représenter par y), et de cesdiflérentes représentations, on déduira celles dunombre D par la forme F. Il est évident (1°. et 2°.) que de cette manière on aura toutes les représentations possibles , et qu'ainsi la solution est complète ; et qu'en outre (3°.) les transformations des formes prises dans des classes différentes , produisent nécessairement des représentations différentes.
281. La recherche des représentations impropres d*un nombre donné D par une forme F , se ramène facilement au cas précédent. En effet, il est évident que si D n'est divisible par aucun quarré , il n'y aura aucune représentation de cette espèce ; mais si les quarrés A*, At-*, v" sont diviseurs de Z) , toutes les représentations deZ) par -F s'obtiendront, en cherchant toutes les représentations
propres des nombres — , -j, — , etc. par la forme F, et en multipliant
• les valeurs des indéterminées par X, jx, v y etc. respectivement.
Ainsi la recherche de toutes les représentations d'un nombre donné par une forme ternaire donnée , qui est adjointe à iine autre forme ternaire, dépend du second problème j et l'on peut
ramener de la manière suivante tous les cas à celui-là, qui paraît n'être qu'un cas très-particulier. Soit D un nombre à repré-
senter par la forme (f'f''f")^ ^^^^ 1® déterminant =A, et qui
a pour adjointe la forme T^' ^/ ^„J=yj cette dernière aura
pour adjointe la forme (^^ ^|/ ^|'/) = -^^ et il est clair que
les représentations du nombre AD par i^ qu'on peut trouver par la méthode précédente , sont identiques avec les représentations du nombre D par la forme proposée. On voit au reste que si les coefficiens de la forme /ont //. pour commun diviseur, tous ceux de jF seront divisibles par fc% et parconséquent A£) , sans quoi il n'y aurait aucune représentation *, les représentations du nombre D par la forme proposée coïncident avec les représentations du nombre
— ^ par la forme qui naît de F en divisant les différens coef-
ficiens par /-t*, et cette forme sera adjointe à celle qui naît de/" en divisant les différens coefficiens par /*.
Enfin observons que cette solution du premier problème n'est pas applicable au cas où £>=o, car alors les formes de déterminant D ne peuvent pas se distribuer en un nombre fini de classes ; nous résoudrons plus bas ce cas particulier par une méthode différente.
282. La recherche des représentations d'une forme binaire donnée de déterminant qui n'est pas =0, par une forme ternaire donnée, dépend des observations suivantes :
I. De toute représentation propre d'une forme binaire (yp, ^, r) = (p de déterminant D par une forme ternaire y de déterminant A, on peut déduire des nombres entiers B, B' tels qu'on ait B^^Ap , BB'^ — A^, B'^^t^r (mod. £>} , et partant une expression de y/ b^(^p , — q, r) (mod.Z)).
Soit en effet x=:At'\-^u, a:'=: ol t -^ (à' u , x"=a!'t'\-^"u une représentation propre de la forme <p paryj x, x' , x"; t, u étant les indéterminées des formes f j (p. On prendra des nombres entiers y, y', y", tels que
AHITHMÉTIQUES. %
Soit g=(l' 1/ l'J la forme en laquelle/ se change par la
substitution
et G:= Ç^' ^/ ^„) la forme adjointe à g. Alors il est évident
qu'on aura a=p, b"=ç , a'-=:^r ^ A":=zD et que A sera le déterminant de la forme g, d'où
B'^àp-^-A'D, BB'^'-'^q'\'B"D^ B"^àr'\-AD,
Ainsi, par exemple, la forme i^t^-^Çttu-^-Z^iu" se représente par la forme x^'{-x'^-\'x"\ en posant a;=3/-|-5z/, x'=z'5t — /^u, oû':=zt; d'où, en faisant 5.=— i, y= i , >"=o , on trouve -^ = — 171* -^'=27, ou (—171, 27) pour une valeur de l'expression / — 1(19^ — 3, 41) (mod. 770).
Il suit de là que si Af;?, —q, r) n'est pas résidu quadratique de D, (p ne peut être représenté proprement par aucune forme ternaire de déterminant A. Ainsi, dans le cas où A et /) sont premiers entre eux, A doit être le nombre caractéristique de la forme <p,
II. Comme y, y, y" peuvent être déterminés d'une infinité dé manières, il en résultera différentes valeurs pour B, ^', et nous allons chercher quelle relation elles ont entre elles. Supposons que S", J', é" soient aussi tels que
k' pouvant être -f-i et — -i, et que la forme /se change, par la substitution
a, /3, J^', a', ./S', r-, cl", /S", J',
en la forme ^ :;;::) =/., dont l'adjointe est (^;f/^;;) ==^,
alors g et h seront équivalentes ainsi que G et H-, et par l'application des principes des n'>' 169 et 170, on trouvera que Ja forme H se change en la forme G par la substitution
k, o, o; o, k, 0; (, vî, A, en taisant
On tirera de]h B=:y)k'D-{-k//N, B'=:^k'D^kk'N', etpavtani ; comme kk'=^±:i , B~N, B' = N\ ou B~--N, B~^N' (mod. D), Dans le premier cas , ]es valeu s de (5, B') , (iV, N') seront dites équivalentes; dans le second, opposées. Nous dirons aussi d'une représentation de la forme <p , qu'elle appartient à la valeur de \/A(p , — Çf /•), lorsqu'on peut l'en déduire par la méthode (I). Ainsi toutes les valeurs auxquelles appartient la même représentation sont équivalentes ou opposées.
III. Réciproquement, si une représentation de (p par f est cc/4-/3«, etc., et appartient à la valeur {B, B'), qu'on en déduit à l'aide de la transformation
et, /3, y, et', /3', y-, et", /3', /,
elle appartiendra à toute autre valeur (N, N' ) qui lui sera équivalente ou opposée; c'est-à-dire, qu'au lieu des nombres y, y' y y", on pourra prendre d'autres nombres cT, cT', ^\ pour lesquels l'équation
(«,'/3''-.a''/3') J^+ (a"^ — a/S^y'+Coc/S'— et'/S)cr''=:db i ..... .Q
ait lieu, et tels que les coefficiens 4 et 5 de la forme adjointe à celle en laquelle y se change par la substitution
et, /3, cTj et', ^\ r-, CL% /S", cr%
soient respectivement égaux à N, N\ Soit, en effet, dzB=^N-\-y\D, ::hB'z=:N'-\'^D , en prenant ici et après les signes supérieurs ou intérieurs, suivant que les valeurs {B , B') , (N, A'') sont équivalentes ou opposées, (^, V] seront entiers, et si la forme g se change par la substitution
en la forme h. On verra sans peine que le déterminant de h est A, et que les coefficiens 4 et 5 de sa forme adjointe sont JV, N'. Or en faisant
ct^+/3^=b>==cr, et'^ + ./3'>id=>'=J', et"(^-f-/S%d=/=J",
on verra sans peine que f se change en h par la substitution S, et que l'équation Cl est satisfaite.
383. On déduit de ces principes la méthode suivante, pour trouver
toutes
foutes les représentations de la forme binaire (p = pi*-^:içtu-^ru\ de déterminaat D, par la forme ternairey de déterminant A.
I. On chercliera toutes les valeurs différentes, c'est-à-dire ; non équivalentes de l'expression {/A(p, — q, r) (raod. Z>). Ce problème a déjà été résolu (n° 233) pour le cas où A est premier avec D , et où la forme (p, — ç, r) est primitive, et les autres cas se ramènent très-facilement à celui-là. La nécessité d'abréger ne nous permet cependant pas d'insister davantage sur ce sujet. Observons seulement que lorsque A est premier avec Dg l'expression ^(p, — ç, ?) ne peut être résidu quadratique de D, à moins que (p ne soit une forme primitive : supposons en effet ù.pz=B^-.DA' y ^^q—BB'—DB", Ar=^' — Z)^; on en déduit (DB''-^Açy = (DA'^Ap){DA~i-ù.r), ou en développant el remplaçant D par ç* — pr ,
(r—pr) (B''^'-^^')-'à(Ap+2B''ç^A'r) 4- A* = o.
Si donc p, q f r avaient un commun diviseur, ce diviseur diviserait A*, et parconséquent A ne pourrait. pas être premier avec D» Ainsi <p sera une forme primitive.
II. Désignons par 772 le nombre de ces valeurs, et supposons qu'il s'en trouve n opposées à elles-mêmes. Alors il est évident que parmi les m — n qui restent , chacune aura nécessairement son opposée , car nous supposons qu'on a toutes les valeurs non équivalentes. De chaque couple de valeurs opposées , on en rejettera une à volonté, et il en restera en tout \{m-\-n)» Ainsi, par exemple, des huit valeurs de l'expression \/ — i (19, 3, 41) (mod. 770) qui sont: (Sq, 237), (171, — 27), (269, — 83), (291, —127), (—39, —257), (—171, 27), (—269, 83), (—291, 127), les quatre dernières sont à rejeter, comme opposées aux quatre premières. Au reste, il est aisé de voir que si (^, £') est une valeur opposée à elle-même, iB ^ 2B', et partant 2A/7, 2^q , 2\r sont divisibles par D; donc dans le cas où A et Z) sont premiers entre eux, il faudrait que up, iq , 2r fussent divisibles par D , et comme dans ce cas (I) les nombres p, q , r n'ont pas de diviseur commun, 2 doit être divisible par £), et partant la chose ne peut avoir lieu que pour Z? = =t:i, ouZ?=i2. Donc si A
Tt
33o RECHERCHES
est premier avec D, on aura 72 = 0 pour les valeurs de Z) plus
grandes que 2,
IIT. Cela fait, il est évident que toute représentation propre de la forme <p par y appartient nécessairement à quelqu'une des
valeurs restantes, et à une seule j ainsi il faut parcourir
ces dij&'érentes valeurs, et clierclier les représentations qui appartiennent à chacune d'elles.
Pour trouver les représentations qui appartiennent à une valeur donnée {B , B'), il faut déterminer d'abord une forme ternaire
g:=:z(^' "/ ", j dont le déterminant soit A, et dans laquelle on
ait û='/7, b'';=q, a'z=:ir , ab — h'h"=zB, aU ^bb':=B' ',\es\3ileurs de b, b', a" se déduisent de là, à l'aide des équations du n° 276, II, par lesquelles on voit facilement que lorsque D et A sont premiers entre eux, les nombres Z>, b' , a" sont nécessairement entiers, puisque les produits de ces nombres par Z) et A sont des nombres entiers j mais en général si l'un de ces trois nombres se trouve fractionnaire, ou si les formes f, g ne sont pas équivalentes, il n'y aura aucunes représentations deep par y appartenantes à la valeur {B , B')\ mais si^, U, a" sont entiers et que les formes/', g soient équivalentes, toute transformation de f en g, comme
ce, ^, y, a', /3^ y'; cl\ /S% y\
donne une représentation telle que x-^-o-t-^- ?>u, c(:z=.ii!t-\-p>^Uy x"z=OLt-\-'^'irj et de cette manière il n'y a aucune représentation qui ne puisse se déduire d'une transformation. Ainsi la partie du second problème, relative aux représentations propres, est ramenée au troisième problème.
IV. Au reste, les différentes transformations de f en g produisent toujours des représentations différentes, excepté le seul cas où (-5, B') est une valeur opposée à elle-même, dans lequel deux transformations ne donnent qu'une seule représentation. Supposons, en effet, que^se change aussi en g par la substitution
oc, /3, J'j a, /3', J'; fit", /3", J", qui donne la même représentation que la précédente; et désignant
ARTTîTMKTTOUES. 55i
par kf k'y 2, -A les mêmes nombres qu'en II, n' précédent, on aura B = kk'B-\-'^k'D , B'=:kTîB'-\-lJCD', si donc chacun des nombres A, A' =+i ou — i, on aura »=o, <^ = o, d'où Ton déduit facilement J=>, J'=>', £}"=/. Ainsi ces deux transformations ne pourront être différentes que dans le cas où l'un des nombres k, K est +i et l'autre ■— i. Or alors B^—B, B'—'-^B' (mod. D), c'est-à-dire que la valeur (B, B') est opposée à elle-même.
V. Il suit facilement de ce que nous avons dit (n'ayi) sur les caractères des formes définies et indéfinies , que si A est positif, D négatif et cp une forme négative, g est une forme définie négative , et que si A est positif et D positif ou négatif, mais (p une forme positive, g est une forme indéfinie. Or comme /, g ne peuvent être équivalentes, à moins qu'à cet égard elles ne soient semblables, il est évident que des formes binaires de déterminant positif et les formes positives ne peuvent être représentées proprement par une forme ternaire indéfinie de déterminant positif, et que par une forme ternaire de la première ou de la deuxième espèce, on ne peut représenter que des formes binaires de la deuxième ou de la première respectivement. On peut conclure de la même manière , que par une forme ternaire définie de déterminant négatif (qui est positive) , on ne peut représenter que des formes binaires positives, et par une forme ternaire indéfinie de déterminant négatif, que des formes binaires négatives et des formes de déterminant positif.
284. Comme les représentations impropres d'une forme binaire <p de déterminant D , par une forme ternaire / qui a pour adjointe F, sont celles d'où l'on déduit les représentations impropres du nombre D par la forme F, il est évident que (p ne peut être représenté improprement par/, à moins que D n'ait des diviseurs quarrés. Supposons que les différens diviseurs quarrés de D, non compris i, soient e% e'% e'% etc., dont le nombre sera toujours fini puisque D ne peut pas êire =0, toute représentation impropre de (p par f donnera une représentation du nombre D par F, dans laquelle les valeurs des indéterminées auront pour plus grand commun diviseur l'un des nombres e, e, t;", etc. Par cette raison, nous dirons^ pour abréger, que toute repiésen-
tatiou impropre de la forme <p depend du diviseur quarré e* , ou e'^f ou ^"% etc. qui lui correspond. Or toutes les représentations de la forme (p dépendantes d'un diviseur quarré d% dont nous supposons la racine e prise positivement, se trouvent de la manière suivante. De la démonstration sjnthétique que nous en donnons, pour abréger, on pourra facilement déduire Tanaljse qui nous y a conduits.
1°. On cherchera toutes les formes binaires de déterminantes
qui se changent en la forme cp par la substitution T:=y.t~\-Xu,
U:=IJiu, T et U désignant les indéterminées d'une telle forme ,
/, u les indéterminées de la forme (p\ ;t, ^ des entiers positifs
dont le produit est parconséquent =e, A un entier positif moindre
que /A, ou zéro. Ces formes, ainsi que les transformations qui
leur répondent, se trouvent ainsi qu'il suit:
On égalera successivement tc aux différens diviseurs positifs
de Cfj compris i et e , l'on fera/A=-5 pour chacune des valeurs déterminées de ;c, jit, on donnera à A toutes les valeurs entières depuis o jusqu'à yO. — ^i, et l'on aura certainement toutes les transformations. Or la forme qui se change en <p par la substitution T:=zxt-{-Xu , TJz=.}xu, se trouve en cherchant la
T ?U forme en laquelle (p se change par la substitution /;= — ——,
2/c= — , et Ton obtiendra les formes qui répondent à chacune des
transformations^ mais il ne faudra conserver que celles dont les trois coefEciens sont entiers (*).
2°. Soit O une de ces formes qui se change en (p par la substitution T-;=.xt-\-'KUy U-;=.}jiU\ on cherchera toutes les représentations propres de ^ par/, s'il en existe; supposons-les représentées indéfiniment par
x=.AT+BU, x'^A'T-\-B'U, x"=A''T-{-B"U (P) ;
(■'') Si nous pouvions donner plus de détails sur ce problème, nous abrégerions beaucoup la solution. Il est d'abord évident que x. doit être choisi de manière à ce que son quarré soit diviseur du premier coefficient de (p. Au reste, nous nous réservons de reprendre dans une autre occasion ce problème ^ d'où l'on peut tirer des solutions plus simples des problèmes des n°' 2i3, 2i4.
ARITHMETIQUES. 335
en substKuant dans ces formules les valeurs de T, U, on en déduit les suivantes :
a:=a/+/3«, x'z=::cf:t'\-^'u, x"z=^o^'t'ir^"i^ {Q) »
dans lesquelles ou a de même
a. = y, A , &!=. tlA', a!!z=i ^lA",
^z=zXA +f^B, (^'z=: KA'-i-iuLB', /S"= xA'-i-^B" (R).
On traitera de la même manière les autres formes, s'il jr en a plusieurs, et je dis qu'on aura ainsi toutes les représentations de la forme (p dépendantes du diviseur quarré e*.
I. Nous ne nous arrêterons pas à prouver que y se change en (p par la substitution (Q), cette partie de la proposition étant évidente j mais ou déduit des valeurs de cl, af, etc.
c^'^'-^x"^'^{A'B"--^A"B')e , a!'(è — cL^''={A''B^AB'')e, a/3' -, ct'/3 = ( AB' ^A'B)e',
et comme (P) est une représentation propre , il s'ensuit que le plus grand commun diviseur de ces trois nombres est ^, et que la représentation (Ç) dépend du diviseur c*.
II. Nous allons maintenant faire voir que de toute représentation donnée de la forme <p , on peut déduire une représentation
propre d'une forme de déterminant — contenue parmi les formes
trouvées par la première règle ; c'est-à-dire, que des valeurs données de a, A, CL, /S, /B', /S", ou peut déduire des valeurs entières de X, K, /uL qui satisfassent aux conditions prescrites, et des valeurs de A, B, A', B' , A", B" qui satisfassent aux équations (i?) , et cela d'une seule manière. Il est clair d'abord par les trois premières équations (/?), que l'on doit prendre pour z. le plus grand commun diviseur des nombres <x, a', a" pris positivement, puisque ^'^^ — A"B\ A'B — AB" , AB' — AB ne devant pas avoir de diviseur commun A, A' , A" n'en auront pas non plus. Donc A, A' , A" seront
déterminés , ainsi que />t qui doit être égal à -, et sera nécessairement un nombre entier. Soient trois nombres entiers k, k, k\ tels qu'on ait kA -|- k!A' -j- AVi' = i , les trois dernières équations
(R) donnent , en faisant kB -f k'B' + k"B" = m ;
d'où il suit qu'il n'y a qu'une seule valeur de X comprise en(re o et />t— I ; les valeurs de B , B' , B" , sont alors déterminées , et il ne reste qu'à démontrer qu'elles sont entières. Or on aura
= - { U\A'^ — A^") — U {A?! — A^ )} + Am
=:l{A"(a''iS — a/3") — Â:'( et/3' — • a /3 )} + ^w.
Donc B est nécessairement entier. On le démontrera de même pour B'f B", Il suit de ces raisonnemens qu'il n'y a aucune représentation impropre de <p par y dont on ne puisse déduire une représentation propre d'une forme (p par f , et dont on puisse en déduire plusieurs. Donc la métliode précédente donnera toutes les représentations cherchées ^ et n'en donnera que de différentes.
En appliquant la même méthode aux autres diviseurs quarrés de D , on trouvera toutes les représentations impropres possibles de (p par/^
Au reste , on voit aisément par cette solution , que le théorème énoncé à la fin du n° précédent pour les représentations propres, a lieu également pour les représentations impropres, c'est-à-dire, qu'en général aucune forme binaire positive de déterminant négatif ne peut être représentée par une forme ternaire négative, etc. En effet, soit une forme (p , qui par ce théorème ne puisse être
représentée proprement par/^j les formes de déterminant— ,-7^, eic,
qui renferment <p , ne pourront non plus être représentées par y, puisque leur déterminant sera affecté de même signe que celui de (p *, et lorsque ces déterminans sont positifs, toutes les formes sont positives ou négatives, suivant l'espèce de la forme <p.
285. Nous ne pouvons placer ici que peu de détails sur les questions qui font le sujet du troisième problème , auquel nous avons réduit les deux autres, c'est-à-dire sur la manière de juger si deux formes ternaires de même déterminant sont équivalentes.
ou non ; et dans le premier cas , de trouver ionfes les transformations de l'une en l'autre; parceque la solution complète, telle que nous l'avons donnée pour les formes binaires, est sujette à beaucoup de difficultés. Aussi nous bornerons ici notre recherche à^ quelques cas particuliers pour lesquels nous avons fait cette digression.
I. Pour le déterminant -{- 1 , nous avons fait voir plus haut que toutes les formes ternaires se distribuent en deux classes ;, dont l'une contient toutes les formes indéfinies ^ et l'autre toutes les formes définies (négatives). Ilj.suit de là que deux formes quelconques de déterminant + i sont équivalentes si elles sont toutes deux définies ou toutes deux indéfinies, mais qu'elles ne le sont pas si l'une est indéfinie et l'autre définie. ( Cette seconde partie de la propoposition a lieu pour un déterminant quelconque }. De Ja même manière, deux formes indéfinies de déterminant — i sont équivalentes, si elles sont toutes deux définies ou toutes deux indéfinies. — Deux formes définies de déterminant 2 seront toujours équivalentes-, deux formes indéfinies le seront aussi, à moins que dans l'une les trois premiers coefficiens ne soient pairs j et qu'ils ne les soient pas tous dans l'autre. — Nous pourrions donner plusieurs propositions particulières de la même manière, si nous avions plus haut(n° 277) calculé un plus grand nombre d'exemples.
II. On pourra aussi pour tous ces cas , f, f désignant deux formes ternaires équivalentes, trouver une transformation de l'une en l'autre. Car pour chaque classe nous avons assigné un assez petit nombre de formes , à l'une desquelles toute forme de cette classe peut être ramenée; nous avons aussi appris à réduire toutes ces formes à une seule. Soit F cette forme de la même classe que
fsf'i on pourra par les moyens indiqués, trouver les transformations àef^' en F, et partant, de F eaf^f. Ainsi par le n° 270, on pourra déduire les transformations àefcnf et de /' en/.
m. Ainsi il ne resterait plus qu'à montrer comment d'une seule transformation de /'en y, on peut tirer toutes les transformations possibles -, ce problème dépend d'un autre plus simple qui consiste à trouver toutes les transformations de la formeyen elle-même. Fn
effet, si/ se change en elle-même par plusieurs substitutions (t)V (r'), (r"), etc., et en/' par la substitution {t) , il est aisé de voir qu'en combinant par la méthode du n° 270, la transformation (^) avec (t) , (O ' (.^') > ^^ ^^^ résulte des transformations par lesquelles/se change en/. En outre, on peut prouver facilement par le calcul, que toute transformation de/ en/' peut se déduire de cette manière, de la combinaison de la transformation (/) de /en/ avec une, et une seule transformation de la forme / en elle - même , et que parconséquent la combinaison de la transformation (0 avec les différentes transformations de / en ellemême , donne toutes les transformations de /en/', et ne donnera qu'une fois chacune d'elles.
Nous bornerons ici notre recherche au cas où /est une forme définie dont les coefficiens /^, 5, Q sont =0 (*). Soit donc
/=( ^' " ' ; > et représentons une substitution quelconque qui
change / en elle-même , par
ce, /3, y; *', /3', y'; cl% /3', /,
on aura les équations
G*/2-fa'*'/â'4-aV"^"=o, a*>^+a'«6';^'+a"ct'y=o, a^>+aT}''+aT>"=o ]^''^' Or on doit distinguer trois cas;
1*. Quand a, a! y a', qui doivent avoir le même signe, sont tous inégaux, nous supposerons a<ia!, d<^a"\ si l'ordre de grandeur était différent, on trouverait de même les conclusions analogues. La première des équations (<i)) exige nécessairement que l'on ait a'=a''=o, et partant a==hij les équations /\, 5 donnent alors jS = o, > = o-, l'équation a donne /s"=o et /3'=rfci, et l'équation 6 exige qu'on ait y'=0', donc par l'équation 3, y=d=ij desorte que, à cause de l'ambiguité des signes, il J a en tout huit transformations différentes.
(*) Les autres cas où la forme/est définie, peuvent se ramener à celui-là; mais si elle est indéfinie , il faut employer une méthode tout-à-fait différente , et le nombre des transformations est infini.
AKITHMÉTIQUES. '^d;
2*. Quand parmi les nombres a, a, a" il j en a deux égaux, a' et a"j par exemple, supposons d'abord a<^a\ Alors, de la même manière que dans le cas précédent, ou aura a'=o, a''=o, a = ±i, /S = o, >=Oj les équations 2, 5, 6 deviennent g>''-ir^'^ — I ^ y^-f-y- = I , ,/3y+/Sy=o ^ d'où l'on tire /S = 0, ^^=±1, /=ifci, y'=o, ^ou /3'=±i, /B"=o, :^'=o, 5^"= it I . IVIais si a >> iz', les équations 2 et 5 donnent /3 = o , ;,=o et /3'=o, /2''=±i,>'=d=i,/=o, ou /3'=±i, /S"=o, 5.'=o, y=:=bi-, l'une ou l'autre supposition donnent, par les équations 4 et 5, a==o, «."=0, et par l'équation i, a = Hbi. Ainsi dans les deux cas il j a seize transformations différentes. Les deux autres cas où a = a", ou bien a-=za! se résolvent de la même manière, pourvu qu'on change *, cl, a", pour le premier cas, en /S, /3', /B"^ pour le second, en y, y', >" respectivement.
5'. Quand les nombres a, a', a" sont égaux, les équations i, 2, 3 exigent que des nombres a, a, a", ainsi que des nombres ^^ /3', /B", et des nombres y, y', y" deux soient égaux à zéro et le troisième égal hdszi', or , par les équations 4, 5, 6, on voit qu'il ne peut y avoir qu'un seul nombre ;=d=: i parmi a, /3, y, ou a, /5', ;/', ou a", /3", y. Il ne reste que six combinaisons,
/S'= ± I > , et les six autres coefficiens = 0 j
desorte que par l'ambiguité des signes il j a en tout quarante-buiÉ transformations. — Le même tableau renferme aussi les cas précédens^ mais des six colonnes il ne faut prendre que la première, quand a, a, a sont tous inégaux- la première et la seconde, quand a=:a"; la première et la troisième, quand a = a'j la première et la sixième, quand a^^z.a".
Il suit de là que si la forme f:=ax'''\-a'x'^-\-a''x'' se cliauge en la forme équivalente /' par la substitution
^^^-=<^y+^y-hiy\ x'=jy^,y-^^y, x'=:ry^{y+?jy,
toutes les transformations àe f en f sont contenues dans le tableau suivant :
Vr
cl"
of
=±CJ'y+ey+cy)>
avec cette différence que l'on doit employer les six colonnes lorsque a=.a'=Li"\ la première et la seconde, quand^'=:a"j la première et la troisième, quand a = a'; la première et la sixième, quand i2=a"j enfin la première seule, quand «, a', a" sont tous inégaux, et il y aura dans le premier cas quarante-huit transformations, seize dans le second, le troisième et le quatrième, et huit dans le cinquième.
Après avoir exposé succinctement les premiers élémensdes formes ternaires, nous allons passer à quelques applications particulières, parmi lesquelles le problème suivant mérite la première place.
:i^6. Problème. Eta?it donnée une forme binaire F=(A, B, C) âe déterminant D appartenant au genre principal , trouuer une forme binaire f qui donne F par sa duplication,
1°. On cherchera une représentation propre de la forme (^Ay —By C) = iF' par la forme ternaire x"^ — ^y-j supposons qu'elle soit
Xz=.a.T-\~^LT, y — afT-^^'U, z=::ci"T-^(^'U.
Il est aisé de voir, par la théorie précédente, que la chose est toujours possible. En effet, F étant, par hjpothèse, du genre principal, on pourra trouver une valeur de l'expression V^(^, B, C) (mod./)) (253, 6°), et parconséquent une forme ternaire (p de déterminant I , dans laquelle la forme (^, — B , C) entre comme partie, et dont l'on voit facilement que tous les coefîiciens sont entiers. Il est également clair que la forme (p doit être indéfinie, puisque, par hypothèse, F n'est certainement pas une forme négative*, donc (f) seta équivalente à la forme x^ — 2jzj on pourra parconséquent assigner une transformation de x'' — 2yz en (p, qui fournira une représentation propre de F' par la forme x' — 2yz 5 d'ailleurs on aura A = a,^ — 2x0,", — Bz=a,^ — a/B" — a."/3', C=iS»-~2/2^|Ô"5 d'où l'on voit qu'en faisant A^'^-c^'^^a,
A Tl I T H M E T I Q U E s. Z5<^
a'/S' — a'|S'=^, «"/S — ol(B"=:c , ces nombres n'auront pas de commun diviseur, et qu'on aura D=:b^ — 2ac,
2\ De là et à l'aide de la dernière observation du n' 235, on peut facilement conclure que F , par la substitution 2/S', /3, /S, /S"; 2x', ce, a, cl", se change en le produit de la forme (2a, — Z», c) par elle-même, et par la substitution (6', /3, /3, 2/3" j et, Ci., Cf., 2% , en le produit de la forme (^a, — h , 2c) par ellemême. Or le plus grand commun diviseur des nombres 2a, 2b , ^c est 2; si donc c est impair, 2^, 2b , c n'auront pas de commun diviseur, et la forme {2a, — b , c) sera une forme proprement primitive. De même si a est impair (<z, — b, 2c) sera une forme proprement primitive; dans le premier cas, F naît de la duplication de la forme (211, — b, c) , et dans le deuxième, de la duplication de la forme (a, — b, 2c). (Vojez Conclus. 4 5 n° 235). Or un de ces cas arrivera nécessairement. En effet, si n, c étaient tous deux pairs , b serait nécessairement impair ; or on s'assure aisément que l'on a /S"iZ-|-/3Z»-j-/3'c=o, cLa-\-xb-\-xc=Q', donc ^b et oi.b , et partant a et /3 seraient tous les deux pairs ; u^ et C \e seraient donc aussi, ce qui est contre l'hjpothèse , puisque F est une forme du genre principal, et parconséquent de l'ordre proprement primitif. Au reste il peut arriver que a et c soient impairs, et dans ce cas on a deux formes qui produisent F par leur duplication.
Soit proposée, par exemple, la forme F=(5, 2, di) de déterminant — i5i; on trouve (55, 22) pour valeur de l'expression
j/(5, 2, 3i)-, donc la forme ternaire (p = ( ' ' __2)'Ol' par
les règles du n' 272, on trouve la forme ( ' ' j équivalente
à ^, et qui se change en elle par la substitution 2, 3, i; I, —6, ~-2-, o, 3, I. De là, à l'aide des transformations consignées n" 277, on trouve que ( ' ' j se change en (p par la substitution
5, —7, —2; 2, —I, o; I, —9, — 3j aii!sia=:ii, Z> = — 17, c=20. Et comme a est impair, /^ naît
54o RECHERCHES
de ]a (îuplicadoii tie la forme (ii, 17, 40), et se cliange en le produit de cette forme par elle-même, par la substitution ^i> —li —1, —iSj 2, 5, 5, 2.
287. Nous ajouterons les observations suivantes sur le problème précédent.
1°. Si une forme F se change, par la substitution p , p' , p" , p"'-, q, q', q", q" , en le produit des deux formes (/z, /, A), (//, i', k'), toutes deux étant prises directement, comme nous le supposons toujours, on déduira facilement de la troisième conclusion du n° 235 les équations
p"!!?! — p'Jin — p^hj' — i'n) = 0,
(/— /) (^■«'+ ^^ri) -^p{kn'— Kn) -^p'\hi{-- lui) = o ,
p'hi—p"Un'-p"\iii!—i'n) = o,
et trois autres qu'on obtient en remplaçant dans celles-ci p^ p'tp", p" par q, q' , q" , q" . n et rî sont les racines quarrées positives desquotiens qui résultent de la division desdéterminans des formes (Ji, i, k) , (Ji, i', A') par celui de la forme F. Si donc ces formes sont identiques ou qu'on ait n:=:n , hz=z]i , iz=zi , k=^k\ les équations précédentes deviennent {p" — ;?')/z7z = o, {p" — •p)i?i:=io, (p" — p')knz=.0'j donc on a nécessairement pz=ip", et absolument de la même manière, q'z=.q"-^ ainsi, en donnant aux formes (Ji, i, k) , (Ji, i', //) les mêmes indéterminées /et zi, et désignant par Ty U les indéterminées de la forme F, F se changera en (^ht''-\^2itu-\-ku''y, par la substitution
Tz=ipe-\-2p'iu-\-p"'iâ, £/■"= ql^'\-iq'tu-\-q''u\
1". Si la forme F naît de la duplication de la formel, elle naîtra aussi de la duplication de toute forme contenue dans la même classe que /, ou la classe de la forme F naîtra de la duplication de la classe de la forme y^(n* 238). Ainsi dans l'exemple du n" précédent, (5, 2, 3i) naîtra aussi de la duplication de la forme (11, — 5, 16), proprement équivalente à (11, 17,40)» Une fois qu'on connaît une classe de la duplication de laquelle résulte la classe de la forme F, on les trouvera toutes, s'il j en a plusieurs, à l'aide du problème du n° 260. Dans notre exemple, il n'y a pas d'autre classe positive de cette espèce, parcequ'il
ARITHMETIQUES. Ht
n'y a qu'une seule classe ambiguë proprement primitive et positive de déterminant — i5i, qui est la classe principale. Comme de la composition de la seuleclasse ambiguë négative ( — i, o, — i5i) avec la classe (ii, — 5, 16), il résulte la classe ( — 11, — 5, — 16}; celle-ci sera la seule classe négative dont la duplication douae la classe (5, 2^ 5i).
3'. Comme la solution du problème du n° précédent prouve que toute classe de formes binaires qui est proprement primitive, positive et qui appartient au genre principal, résulte de la duplication d'une classe proprement primitive de même déterminant. Je théorème du n° 261 , par lequel nous étions certains qu'il y avait au moins la moitié de tous les caractères assignables pour un déterminant D non quarré , auxquels ne répondît aucun genre proprement primitif-positif, reçoit par là plus de développement; puisque nous vojons qu'il y a moitié de ces caractères auxquels répondent des genres, et moitié auxquels il n'en répond aucun (Voyez la démonstration de ce théorème). Donc, puisque nous avons distribué (n° 265) tous ces caractères assignables en deux espèces P et Ç, composées d'un même nombre, desquelles la dernière, Ç, ne pouvait répondre aux formes proprement primitives positives, tandis qu'il était incertain si chaque caractère de l'espèce P répondait effectivement à quelque genre ; maintenant il ne reste aucun doute qu'il n'y a aucun caractère de cette espèce auquel ne réponde un genre.
On déduit facilement aussi de là, pour le déterminant négatif dans l'ordre proprement primitif négatif, à l'égard duquel nous avons prouvé (n' 264, 1°) qu'il n'y avait d'admissibles que les caractères Ç, qu'ils le sont tous efi'ectivement. Soit en effet K un des caractères de Q, f une forme quelconque de l'ordre proprement primitif négatif de déterminant Z), et A' son caractère, A' appartiendra à l'espèce Q; donc le caractère composé de A et A', d'après le n° 246, appartiendra à l'espèce P, et parlant il y a des formes positives proprement primitives de déterminant D , qui lui répondent-, en composant donc une de ces formes avec la forme /', il en naîtra une proprement primitive négative de déterminant D dont le caractère sera A.
On prouverait absolument de la même manière, pour Tordre improprement primilif, que les caractères démontrés seuls possibles (n* 264, 2° et 5") sont tous possibles, qu'ils soient de l'espèce P ou de l'espèce Ç.
Ces théorèmes, si nous ne nous trompons étrangement, doivent être rangés parmi les plus beaux de la théorie des formes binaires, surtout parceque, malgré leur grande simplicité , ils sont tellement cachés qu'il n'est pas possible d'en donner la démonstration rigoureuse, sans le secours d'un grand nombre d'autres recherches.
Nous passons maintenant à une autre application de la digression précédente, savoir, la décomposition, tant des nombres que des formes binaires en trois quarrés. Nous résoudrons d'abord le problème suivant :
288. Problème. M étajit un nombre positif , trouuer les con' ditions auxquelles doii^ent satisfaire les formes binaires primitii^es négatives de déterminant — M , qui sont résidus quadratiques de M , ou pour lesquelles i est le nombre caractéristique.
Désignons par cù l'ensemble de tous les caractères particuliers que donnent les relations du nombre i aux différens diviseurs premiers impairs de M^ et au nombre 8 ou 4* quand il divise D, Ces caractères seront évidemment i?;?, Rp , Rp", etc., p , p, p'',etc, étant les diviseurs premiers, et 1,4 ou 1,8, suivant que 4 ou 8 divise M'. Employons en outre les lettres P et Ç dans le même sens qu'au n" précédent ou qu'au n° 263. Nous distinguerons les cas suivans:
1°. Quand Tlf" est divisible par4> «sera le caractère complet, et il est clair (n" 233 , 5°) que 1 ne peut être nombre caractéristique que de formes dont le caractère est 00. Mais il est manifeste que ct) est le caractère de la forme principale (i, o, 31) , que parconséquent il est de l'espèce P , et qu'ainsi il ne peut appartenir à aucune forme proprement primitive négative, et comme il n'y a pas de forme improprement primitive pour ce déterminant , il n'y a pas de formes primitives négatives qui soient dans ce cas résidus de M,
2'. Quand 7ÎJ^3 (mod. 4)> les mêmes raisonnemens ont lieu, ôvec celte seule différence que dans ce cas l'ordre improprement
AKITHMÉTIQUES. 545
primitif négatif existe, dans lequel les caractères de Pespèce P seront possibles ou impossibles, suivant que ilf^S ou ^ 7 (mod. 8). (Vojez u° 264, 3°.) Si donc M=5 (mod. 8), il j aura dans cet ordre un genre dont ca sera le caractère , ainsi i sera nombre caractéristique de toutes les formes qui y seront contenues. Si Al^ 7 (mod. 8) , aucune forme négative ne pourra jouir de cette propriété.
3". Quand M^i (mod. 4)^ ^ n'est pas le caractère complet, il faut y ajouter la relation à 4* Mais il est clair que où doit nécessairement entrer dans le caractère de la forme dont i est nombre caractéristique, et que réciproquement toute forme dont le caractère est ca; 1,4 ou a>; ^,4, aura i pour nombre caractéristique. Or, ct); 1,4 est le caractère du genre principal, qui appartient à P et est parconséquent impossible dans l'ordre proprement primitif négatif. Par la même raison, le caractère ù), 3^4 appartiendra à Q (n" 263) ^ donc il y aura dans Tordre proprement primitif négatif un genre qui lui répondra et dont toutes les formes auront i pour nombre caractéristique.
Dans ce cas, non plus que dans le suivant, il n'y a pas d'ordre improprement primitif.
4". Quand M^2 (mod. 4) > il faut joindre k ù) la relation au nombre 8, pour avoir le caractère complet. Ces relations sont I et 3,8 ou 5 et 7,8, quand M^2 (mod. 8), et i et 7^8 ou 5 et 5,8, quand M^6 (mod. 8). Pour le premier cas, le caractère &>; i c?/3.8 appartient évidemment à P, et partant le caractère û)-, 5 el 7,8 appartient à Q; donc il répond à ce dernier caractère un genre proprement primitif négatif. Par la même raison, pour le second cas, il j a dans l'ordre proprement primitif négatif un genre dont les formes sont douées des propriétés précitées j le caractère de ce genre est m; 3 et 5,8.
Il résulte de tout cela qu'il n'y a de formes primitives de déterminant — M, dont le nombre caractéristicpie soit i, que quand M est congru à Tun des nombres i, 2, 3, 5, 6, suivant le module 8, et cela dans un seul genre qui sera impropre quand il/^3, desorte qu'il n'en existe aucune lorsque il/^o, 4 O'^ 7 ('^^od. 8). Au reste, il est évident que si ( — Uj — bj — c) est une forme
344 RECHEKCHES
primitive negative qui ait -f- 1 pour nombre caractéristique , (a, b, c) sera uiie forme primitive positive dont le nombre caractéristique sera — i. On voit par laque dans les cinq premiers cas (quand M^i, i, 5, 5, 6), il existe un genre primitif positif dont le nombre caractéristique est — i , genre impropre si M^3, et que dans les trois autres (quand M^o, 4f j) il n'en existe aucune.
289. A l'égard des représentations propres des formes binaires par la forme ternaire x" -{- y"" -{- z'' z=:f , on peut déduire ce qui suit de la théorie générale exposée au n" 282,
1°. La forme binaire (p ne peut être représentée parla forme/", à moins qu'elle ne soit primitive , positive , et que son nombre caractéristique ne soit — i (déterminant de la forme /"). Ainsi aucune forme de déterminant positif, ou même de déterminant négatif — M, si 7ï/^o (mod. 4) ou ^7 (mod. 8), ne pourra être représentée proprement par/I
2°. Mais si ^ :=:(p, q, r) est une forme primitive positive de déterminant — M, et que — i soit son nombre caractéristique, il sera aussi celui de son opposée {p , — «7, r) , et alors chaque valeur de l'expression \/ — (^p, — q, r) fournira des représentations de cp par f, c'est-à-dire que les coefficiens de la forme ternaire ^ de déterminant — i (n" 283) seront nécessairement entiers, que g sera une forme définie et partant équivalente kf (n°285, I).
3". Le nombre des représentations qui appartiennent à la
même valeur de l'expression \/ — (p, — Ç>^) ^st égal dans
tous les cas, excepté dans ceux où il/= i ou 2, au nombre de
transformations de y en g (n° 285, III), et sera parconséquent
(n° 285) égal à 4^* H si^it de là que lorsque l'on connaîtra une
représentation appartenante à une valeur donnée, on trouvera
les 4? autres, tant en permutant les valeurs de x:,j, z entre
elles de toutes les manières possibles , qu'en les affectant de dif-
férens signes. Ainsi les quarante-huit représentations ne donnant
qu'une seule décomposition de la forme cp en trois quarrés, si
l'on ne considère que les quarrés, et non l'ordre et les signes des
yacinea.
ARITHMÉTTQtTES. 545
4*. Soit fx le nombre des diviseurs premiers impairs de iff • on déduit sans peine du n° 233 , que le nombre de toutes les valeurs différentes de l'expression /—(/?, -^, r) (mod. M) est 2 , dont on ne doit considérer que la moitié (quand Tkf >2)» ainsi le nombre de toutes les représentations propres de la forme '^ par /sera 48. a''""' =3 . 2^"^^; mais le nombre des décompositions en trois quarrés n'est que 2^^""*.
Exemple, Soit ?»= 19/» +6/^^+4 1:^% et partant i»f= 770; on a ICI a considérer (n° 283) les quatre valeurs suivantes et l'expression i/— (ig, —5, 41) (mod. 770) :
(59. 237), (171, —27), (269, -85), (291, —127). Pour trouver les représentations qui appartiennent à la valeur (39, 237), on détermine d'abord la forme ternaire ^=C'^' "*'' ^), en laquelle on trouve que / se change, à l'aide des ikéthodes précédentes (n'^^ 272 et 275), par la substitution
1,-6, -oi —3, —2, ~i; ^3, —I, —I. D'où résulte pour la représentation de (p par/,
