z^-^Zt^u

Pour abréger, nous nous dispensons d'écrire les 47 autres représentations qui naissent de celle-là par permutation et changement de signes. Mais ces 48 représentations ne donnent qu'une seule décomposition en trois quarrés ,

Z^— I2/^/ + 36z/% 9t' + i2lii-i^4u% 9Z>+6^5 4-?^\ Absolument de la même manière on tire :

de la valeur (ijt, — 27) la décomposition (3f+5u)»-f-(3i— 4uy4.f»

de la valeur (269, — 83) la décomposition ( t+6uy-^{5t+ w)^+(3^— 2tt)«

de la valeur (231, —127) la décomposition ( «+3u)^-f-(3f-f 4u)»+(of— 4^^)».

Chacune de ces décompositions répond à 48 représentations. Mais ces 192 représentations ou ces quatre décompositions sont les seules, parceque, 770 n'étant divisible par aucun quarré, il ne peut y avoir de représentations impropres.

290. Nous ajouterons quelque chose de particulier à l'égard des

formes de déterminant — i et — • 2 , qui sont sujettes à quelques exceptions. Observons d'abord généralement que si (p , <p' sont deux formes binaires équivalentes quelconques, (0) une transformation de la première en la seconde , en combinant avec (0) une représentation quelconque de la forme (p par une certaine forme ternaire/", on obtient une représentation de la forme <p' par/; en outre, que de cette manière , les représentations propres de cp conduisent à des représentations propres de (ç' , les représentations différentes de (p à des représentations difîérentes de <p', et qu'en opérant de même sur toutes les premières, on obtiendra toutes les dernières. Tout cela se prouve facilement par le calcul. Ainsi Tune des formes (p' peut se représenter par y d'autant de manières que l'autre.

1°. Soit d'abord (p=:^* + z/% et <p' une autre forme binaire de déterminant — i qui sera parconséquent équivalente à (p-, supposons que (p se change en (p' par la substitution t z=: at' -i- ^1/ , u = yt' -f- JV. La forme (p se représente par la forme ternaire y=a;^+jK" + ;::*, en posant x-=t, y7=.Uy z=o. En permutant cCyYy 2, il en résulte six représentations, et de chacune d'elles on en déduit quatre en changeant les signes de / et de u, desorte qu'il y a en tout vingt- quatre représentations différentes qui répondent à une seule décomposition en trois quarrés et qui sont évidemment les seules. On conclut de là que la forme <p' ne peut se décomposer que d'une seule manière en trois quarrés, qui sont :

(a^'-f. ^11 y , (>-/+ cTw' )% et o ;

cette décomposition équivaut à vingt-quatre représentations.

2*. Soit (p = r4-3z/% et (p' une autre forme quelconque de déterminant — 2, en laquelle <p se change par la substitution tz=.o.i!-\'^iî , u-z^-yï-^^n!', on conclura, comme dans le cas précédent, que (p et parconséquent cp' ne peut être décomposé que d'une seule manière en trois quarrés, savoir, (p eni*-f-2^'-|-z^% et ^' en

on voit facilement que cette décomposition revient à vingt-quatre représentations.

Il suit de là que les formes binaires de déterminant — x et

— 2 s'accordent parfaitement avec les autres , quant au nombre des représentations par la forme ternaire .^*+jK''H-^''j en effet, comme dans les deux cas on a/tÂ=o, la formule donnée au numéro précédent, 4% conduit à vingt-quatre représentations. Cela vient de ce que les deux exceptions auxquelles elles sont sujettes se compensent mutuellement.

Nous omettons, pour abréger, d'appliquer à la forme Jt*-f-j'='-f-z" la théorie générale des représentations impropres exposée au u' 284.

291. La reclierclie des représentations d'un nombre donné positif M, par la forme ^''H-j'-f-z*, est d'abord ramenée, par le n" 281, à la recherche des représentations du nombre — M par la forme — x* — j* — -2"*=/^ Or on trouve ces dernières par les procédés du n" 280, ainsi qu'il suit :

i\ On cherchera toutes les classes de formes binaires de déterminant — M, dont les formes' peuvent être représentées proprement par la forme X*+jr*-{-Z* = F, qui a/ pour adjointe. Quand M^o, 4 ou 7 (n° 288) il n'existe point de telles classes, et parconséquent le nombre M ne peut pas être décomposé en trois quarrés qui n'aient pas de diviseur commun C^), Mais quand M^i, 2, 5 ou 6, il j aura un genre positif proprement primitif, et quand Af^ 5, un genre improprement primitif, qui renfermera toutes ces classes dont nous représenterons le nombre par A.

2". De chacune de ces classes on tirera à volonté une forme ; soient ces formes <p , q/, (p% etc. On cherchera les représentations

propres de chacune d'elles par F , le nombre en sera 3.2^ k=:Kf fjL étant le nombre des facteurs premiers impairs de M. Chaque représentation de cette espèce, telle que

— — — ' ' Il I , ,

(*) Cette impossibilité se manifeste d'elle-même; en effet, la somme de trois quarrés impairs est évidemment ^3 (mod. 8) ; la somme de deux impairs et d'un pair est ^2 ou ^6; la somme d'un pair et de deux impairs est ^1 ou ^5; enfin la somme de trois pairs est ^o ou s4; mais dans le dernier cas, la représentation est évidemment impropre.

dounera une represeutalion de M par a;*-|-j* + 2% qui sera

x:=im'n" — m"/ï, y=::m"n — mn% z^=^mn' — m'n, et l'ensemble de ces représentations, que nous désignerons parfl, renfermera nécessairement toutes les représentations de M.

5^ Ainsi il ne reste plus qu'à examiner si dans £L il peut se Irouver des représentations identiques, et comme (n° 280, 5°) les représentations qui sont dérivées de formes différentes sont nécessairement différentes, tout se réduit à chercher si , parmi celles qui se déduisent de la même forme, de cp, par exemple, il peut y en avoir d'identiques. Or il est évident, au premier coupd'œil , que si, parmi les représentations àe (p , on trouve la suivante :

X=: 772^ H- nu , jr=: w!t'\'n'uy Z^=^niH 4- n'u (/) ,

on y trouvera aussi X-=^—mt— nu y JT^s:— nït— n'u, Z = — mU — n'u (/■') ,

et que de chacune on déduit la même représentation de M, que nous désignerons par (i?)-, examinons donc si la représentation {R) peut encore résulter d'autres représentations de la forme (p. On voit par le n°:28o, 3% en j faisant x = (p, et supposant que toutes îes transformations propres de (p en elle-même soient données par les formules tz=^a.t'\-^u , u-=.yt-\-S'Uy que toutes les représentations de la forme <p, dont (i?) peut résulter, seront exprimées par

a; = (ct772+ >??)/+ (/St/z+J^tî);/, yx=:^{çfJVL'\'yn!)t'\'{fiiVL'\-S'n!)u , z = {o.m"-\''yn")t'\' {fiwH-^- Sn")u ;

mais il résulte de la théorie exposée n° 179» sur les transformations des formes binaires de déterminant négatif, qu'excepté les cas où l'on a M=i ou 71/= 3, il n'y a jamais que deux transformations propres de la forme (p en elle-même : i, o, o, i et — ij o, o, — I. On doit remarquer en efiPet que la forme cp étant primitive, le nombre désigné par m au n° 179 est ici i ou 2, et qu'ainsi le premier cas a nécessairement lieu, excepté pour les valeurs i et 2 du déterminant. Donc (/?) ne peut provenir que des seules représentations r et r, et parconséquent toute représentation propre du nombre M est contenue deux fois dans H f

mais ne peut l'être davantage. Lenombre des représentations propres différentes de M est donc { A: = 3 . 2''"^^k.

Pour ce qui regarde les cas exceptés, le nombre des fransformations de (p en elle-même sera (n' 179) 4 pour 31= i et 6 pour M=S: et en effet, on voit facilement que le nombre des représentations de i et 3 sont f^: et ^K respectivement, puisque ehacun de ces nombres ne peut se décomposer que d'une manière en trois quarrés, savoir, i en i^-o + o, et 3 en i-f-i+i. La décomposition de i donne six représentations , celle de 3 en donne huit. Or , pour 3/= I , on a A"==24 ( puisque ;/. = o et k^i)pour M:= 5, on a A = 48 (puisque /^=: i et /^=i). '

Au reste , observons que si h désigne le nombre de classes du genre principal, qui (n° 252) est égal au nombre de classes de tout autre genre proprement primitif, on aura k = /i pour M^ i , :2>3 5, 6 (mod. O^mais^/: = 1/2 pour 3/= 3, excepté le seul cas ou M= 3, dans lequel ^^ = ^ = i. Ainsi, pour lesnombres de la forme 8/z -f 3, le nombre des représentations est en général 2^"^^ h puisque dans le cas où J/==: 3, les deux exceptions le comprennent'

292. Nous avons distingué les décompositions en trois quarrés * tant pour les nombres que pour les formes binaires, des représe/ tations par la forme x^ + j* + z% en ne considérant dans les ore" mieres que lagrandeur des quarrés, et dans les dernières, en outrl de la grandeur des racines, leur ordre et les signes qui les affectentde manière que nous regardons comme différentes les deux reoré' sentations.r=fl,jK=Z,, z=:c, et x=:a' , j = b\ - = c' Lf que ron n'a pas a^a^, h^U, c^d; tandis que les^décomp^ sitrons .- + ^^ + 0% .^^+Z,- + c- n'en font qu'une seuleT'Te's premiers quarrés sont égaux aux derniers, sans faire attention à leur ordre. Il suit de là ,

Jl^Z}^^- ''.^'°'"r'*'°° "^^ "<""bre M eu froi. quarre's . t r . "'"T ^ 1^^>-='°te.l,uit représentations, si aurun nest nul et qu'.ls soient tons inéganx; à vingt-qna.re , si l'un des quarrés est nul et que les autres soient inégaux , ou qu'aucun ne soit nul et que deux soient égaux. Alais si deux quarrés sont nul ou que lun d'eux soit nul. tandis que les deux autres sont égaux, ou enfin qu'ils soient tous trois égaux, la décon^position

55o RECHERCHES

équivaudra à six, à douze ou à huit représentations. Or cela ne peut arriver que dans les cas particuliers où M=:i, ou 2, ou 5 respectivement , tant que les représentations doivent être propres. 3Excluons ces trois casj désignons par E le nombre total des décompositions du nombre M eu trois quarrés qui n'aient de commun diviseur , et supposons que parmi ces décompositions il y en ait e dans lesquelles un des quarrés soit nul, et e' dans lesquelles deux des quarrés soient égaux : on peut regarder les premières comme des décompositions en deux quarrés, et les dernières comme des décompositions en un quarré et le double d'un quarré. Alors le nombre total des représentations du nombre ilf par a;''-{-^'-f- ;2:* sera

24 (e H- e') -f- 48 ( £ ^- ^ — e' ) = 48E — 24 ( e + e'). Mais de la théorie des formes binaires on déduit facilement que e

sera ou =0, ou = 2 , suivant que — i est non-residu , ou

résidu quadratique de M, et que e' sera = o , ou = 2 , suivant que — 2 est non-résidu ou résidu de M, fji étant le nombre des facteurs premiers impairs de M (n° 182); nous supprimons le développement de cette conséquence : il suit de là que Ton a

^=a .^si — i,et— 2 sont non -résidus de M',

jE= 2 (A-f- 1), si l'un des deux est résidu, et l'autre non-résidu;

i;=2 (/c4-2), si — I et — 2 sont résidus de M,

Ces formules ne sont pas applicables aux cas où iJi = i ou 2 , car elles donnent £ =|, tandis que l'on doit avoir £= i ; mais pour M=: 3 on trouve £=i, parceque les exceptions se compensent.

Toutes les fois que M est un nombre premier , on a jm, = i , et partant,

^=f (^+2), si M~i (mod. 8).

JS=i(X:H-i), si M~Z ou =5 (mod. 8). (n«s 108 et 116).

Legendre a découvert par induction ces théorèmes particuliers ; et les a consignés dans le Mémoire que nous avons déjà cité souvent avec éloge. ( Hist, de VAcad. de Paris , 1 786 , p. 55o et suivantes'). S'ils sont présentés sous une forme un peu différente, c'est que ce savant géomètre n'a pas distingué l'équivalence propre

de l'équivalence impropre, et a parconséquent mêlé avec les autres les formes opposées.

2°. Pour trouver toutes les décompositions d'un nombre donné M en trois quarrés premiers entre eux, il n'est pas nécessaire de chercher toutes les représentations propres des formes (p , ç', (ç>% etc En effet, on voit d'abord facilement que les quarante-huit représentations de la forme ^:=(p,ç,r) qui appartiennent à la même valeur de l'expression /-(/^^-^^O, donnent la même décomposition du nombre M, et que parconséquent il suffit d'avoir «ne de ces réprésentations, ou, ce qui revient au même, de connaître les différentes décompositions (*) de la forme (p en troi<î quarrés. Il en est de même des formes (?)% p\ etc. En outre, si p appartient a une classe non-ambiguë, on pourra ne pas s'occuper de la forme qui serait tirée de la classe opposée , c'est-à-dire que de deux classes opposées , il suffit d'en considérer une. Comme il est en effet indifférent de prendre telle ou telle forme dans chaque classe , supposons que dans la classe opposée à celle où est cp , on ait choisi la forme opposée à (p , que nous désignerons par (p'. On voit alors au premier abord, que si les décompositions propres de la torme cp sont représentées indéfiniment par

les décompositions de la forme <p' le seront par

(gi^huy ^ {g't^h'uy + (g't^ifuy ,

qui donnent les mêmes décompositions du nombre 3/ que les premieres. Enfin, dans le cas où la forme <p est d'une classe ambiguë, sans e(re de la classe principale, ni équivalente à la forme (2> o, IM) ou à la forme (2, i, HM-^-i)) (suivant que M est pair ou impair), on pourra omettre la moitié des valeurs de l'expression v/— (;7 — ^, ;.) . inais pour abréger nous ne donnerons pas plus de details sur cette simplification. ~ Au reste, on peut employer ces simplifications, même quand on veut avoir les representations propres de Mpar ^«+^«4-.», puisque l'on déduit tacilement celles-ci dès qu'on a les décompositions.

exnrLl'n'^f' '"''°"'' sous-entendre décompositions ;.ro;,re., en ti-an.portont cette expression des representations aux décompositions, '^ ' ^

Cherchons^ par exemple, toutes les manières de décomposer en trois quarrés le nombre 770, par lequel //, = o, e=e'=:o, et partant E=.2k', par la classification des formes binaires positives de déterminant — 770 , classification que chacun peut faire à l'aide de ce qui a été dit n° aSi, et que nous pouvons nous dispenser d'inscrire ici, on trouve qu'il y a trente-deux classes qui sont toutes proprement primitives et peuvent se distribuer en huit genres, desorte qu'on a â:=:4 et E=8. Le genre dont le nombre caractéristique est — i doit avoir, à l'égard des nombres 5j j, II, les caractères particuliers i?5j A^7 -, i\^ii : d'où (n" a65) l'on conclut facilement que le caractère de ce genre, à l'égard du nombre 8, doit être i et 5,8, Or le genre dont le caractère est I et ^jS'y R.5: N.j) N.ii, comprend quatre classes, pour représentantes desquelles nous prendrons les formes

mais nous rejetons la seconde et la quatrième classes, commô opposées à la première et à la troisième. Or nous avons déjà donné (n* 289) les quatre décompositions de la forme (19, 3, 40 > ^^ en résulte pour les décompositions du nombre 770 en trois quarrés

on trouve de la même manière, pour la forme 6iJ*-|-4^^H- 129^^*1 les quatre décompositions

( t—Suy-h (2/4- uy-i-it-i-Siiy , ( /— ioz/)»-f-(2/+5^0'+(^+2z^)» , (2^— 5zO^H-( t+iouy+ii+'îuy , (2/+ 7^0*+( /— 8^)^-|-(^— 44s

qui résultent des valeurs respectives

de l'expression v^— (6, — 2, 129), et donnent les décompositions du nombre 770 en

225-1-256-1-289, 1-I-1444-625, 64-f8i-f-625, 1 6-1-225-1-529. Ces huit décompositions sont les seules que l'on puisse avoi£.

Quant à ce qui regarde celles dans lesquelles les quarrés ont

des diviseurs communs, l'application de la théorie générale du

11° 281 est trop facile pour qu'il soit nécessaire que nous nous y

arrêtions»

293. Les recherches précédentes servent aussi à démontrer que tout nombre entier positif est toujours decomposable en trois nombres triangulaires ; théorème célèbre trouvé par Fermât y mais dont la démonstration manquait jusqu'à présent (*). Il est évident que toute décomposition du nombre M en trois nombres triangulaires

conduit à une décomposition du nombre 8ikf+3 en trois quarrés impairs

et réciproquement. Mais par la théorie précédente, tout nombre entier positif 8i}/-f- 3 est decomposable en trois quarrés, qui seront nécessairement impairs (n' 291 , note), et le nombre des décompositions dépend, tant de celui des facteurs premiers de 83/-f-3, que de celui des classes suivant lesquelles peuvent être distribuées les formes binaires dont le déterminant est — (8^1/4-5). Nous supposons que le nombre |:c(x-f-i) soit regardé comme triangulaire, quelque valeur entière que l'on donne à x\ si l'on voulait exclure zéro des nombres triangulaires, il faudrait énoncer le théorème de la manière suivante: Tout nombre entier positif est iriangulalre , ou decomposable en deux ou en trois nombres triangulaires. Il faut faire le même changement dans le théorème suivant, si l'on veut exclure zéro du nombre des quarrés.

On démontre par les mêmes principes cet autre théorème de Fermât : Tout nombre entier positif est decomposable en quatre quarrés. En effet, si l'on retranche d'un nombre de la forme 4«+ 1 , un quarré pair; d'un nombre de la forme l\n-\-i , un quarré arbitraire; d'un nombre de la forme 4^2 + 3, un quarré impair; les restes seront décomposables en trois quarrés. Quant aux nombres

de la forme 4^ y on peut les représenter par ^^N, N étant nécessairement de l'une des trois formes ci-dessus; or quand on

aura décomposé le nombre iV, en quatre quarrés ,1e nombre /\''N le sera aussi. D'un nombre delà forme 8/2 + 3 , on pourrait encore re-

(*) Yoyez les Additions de l'auteur; à la fin.

35f RECHERCHES

trancher le quané d'un nombre pairemejat pair j d'un nombre de îa forme 8/z-f-7, îequarré d'un nombre impairement pair-, d'un nombre de la forme 8n-\-4> -^ quarré d'un nombre impair, et le reste sera decomposable en trois qnarrés. Au rcsle, ce théorème a déjà été démontré par Lagrange (Noin^eaux Mémoires de fyicad, de Berlin, 1770, -p. i23). La démonstration de cet illustre géomètre, qui est entièrement différenfe de lanôti-e, a été exposée avec plus de détails par Euler {Acta Ac. Petr. Vol. II ^ p. 48). Les autres théorèmes de Fermât , qui font, pour ainsi dire, la continuation des précédens, savoir: que tout nombre entier est decomposable en cinq nombres pentagones, six nombres hexagones, sept heptagones, manquent jusqu'à présent de démonstration et paraissent exiger d'autres principes.

294. Théorème, a, b, c éiajit des nombres premiers entre eux , dont aucun n''est z=:o y ni divisible parmi quarré, V équation ax-+bj''-}-cz''=:o. . . .{où) n'admettra pas de solutions en-iières {excepté la solution x=:j=z = o, que nous ne considérons pas), à moins que — bc, — -ac, — -ab ne soient résidus quadratiques de a, b, c respectivement , et que ces derniers ne soient affectés de signes différens; mais si ces conditions ont lieu, V équation (&>) sera résoluble en nombres entiers.

Si (&)) est résoluble en nombres entiers, elle le sera par ^qs valeurs de a?, jy, z qui n'auront pas de diviseur commun; car toutes les valeurs qui satisferont à l'équation (a») , y satisferont encore après avoir été divisées par leur plus grand commun diviseur. Supposons donc que l'on ait ap"" '\-bq'^ '^ cr"" z=.o , et que p, q, r soient premiers entre eux, ils le seront aussi deux à deux. En effet, si q et r avaient un commun diviseur /a, ce nombre serait premier avec p\ mais //<" divise ^z/?^, donc il diviserait a , contre l'hjpothèse : parla même raison , p et r, p et q sont premiers entre eux ; — ap'' peut donc être représenté par la forme binaire by" -\-cz''f en attribuant à j, z des valeurs premières entre elles et qui seront celles âeqetàep; ainsi le déterminant — bc de celte forme est résidu quadratique de ap'' , et parconséquent de a (n" i54).On aura de la même manière — acRby — abRc. Quant à la condition qui exige que a, b , c n'aient pas le même signe, elle est si évidente qu'elle n'a pas besoin d'explication.

Pour démontrer la proposition inv^erse, qui constitue la seconde partie du théorème , nous commencerons par donner le moyen de trouver une forme équivalente à la forme (^' ^' *^ Vet telle

que les deuxième, troisième et quatrième coefficiens soient divisibles par abc, et de là nous déduirons la solution de l'équation {où). 1°. On cherchera trois nombres entiers A , B ^ C qui n^aienè pas de diviseur commun , et tels que A soit premier avec b etc B avec a qï c , C avec a et b , tandis que aA^^bB^^cC*- sera divisible par abc , ce qui se fait de la manière suivante : Soient H, K , L respectivement des valeurs des expressions

V/— ^^ (raod.a), / — ac (mod, b), / — a^(mod. <?), valeurs qui seront nécessairement premières avec a, b, c respectivement. On prendra à volonté les trois nombres entiers li,k, l, pourvu qu'ils soient respectivement premiers avec a, b, c (on peut, par exemple, les prendre* tous égaux à i). Cela posé, ou déterminera A, B , C de manière qu'on ait

^=^<::(mod.^) et =/Z(raod.c), ^—/«(mod.c) et /z^(mod.cz), C=7z^(mod.a) et — A-A:(raod.^);

on aura alors

aA^+bB^-\-cC^^h\hH^-{-cb^)~h'(bW-^bH^)~o (mod. ^), c'est-à-dire ç{ue aA^-\-bB^-{^cC^ est divisible par û;; on prouvera de la même manière, qu'il est divisible par b et par c , et parconséquent par abc. On voit en outre que A est premier avec b et Cy B avec a et c , C avec a et b. S'il arrivait que les valeurs de A, B, C eussent un diviseur commun /a, ;* serait nécessairement premier avec a, b, c, et partant avec abc, donc en divisant ces valeurs par />c, on en obtiendra de nouvelles qui n'auront pas de diviseur commun , et qui satisferont à la condition de rendre ^^"4- ^5= +cC» divisible par abc, et parconséquent à toutes les conditions.

2°. A, B, C étant ainsi déterminés, Aa, Bb , Ce n'auront pas non plus de commun diviseur; en effet a étant premier avec Bb et Ce y il s'ensuivrait que le plus grand commun diviseur supposé, que nous désignerons par //. , serait premier avec iz; on