G RECHERCHES

prouvera de même que fju est premier avec h Qi c\ donc il devrait diviser ud, B , C, contre l'hypothèse. On pomTa donc trouver trois nombres oc, P», y^ tels que l'on ait ct^a+/3^^-f-^Cc = i : on cherchera six nombres cl, (è', y \ a", /3% y' tels qu'on ait

^'y^ (^y^ Aa , y' cl"— y'V:=: Bh , ct'/S"— a"/3'= Ce 5 la forme y se changera, par la substitution

a, a, cl"; /3, /3', /S"; y, y', y",

en une certaine forme g^=(^' ^/ „j qui lui sera équivalente,

et dans laquelle ni y m' , n seront divisibles par abc. Posons en ' effet

{i"y^^-/~A', y"cL—ycL"z=iB, a'/S — 06/3"=^, ièy'^^'y:=.A% ;^ot'— /ct=5% a/3'— .a'iS^Cj on aura

<L'=h"Cc-^C"Bb, ^'z=:C'Aa^A''Cc, y'^A"Bh—B"Aa;

ct"= CBb — B'Cc , iS"= A Ce — C'Aay y'^^zB'Aa—A'Bb y et en substituant ces valeurs dans les équations Vj:-=:ac^'-\-h^'''\-cy'\ m"z^aol'''^b^''-\-cy'\ 72=acxfoL'''i-b^'^"'{-cyy% on trouve, suivant le module a, '

m! = hcA"\B^b + C'c) = o , m" = bcA\B^h + Cv) — o , n = bcA'A\B^b+ C'c)=o , c'est-à-dire, que ni, m", n sont divisibles par ai on démontre de même qu'ils sont divisibles par b et par c , et ainsi par abc,

3°. Faisons, pour abréger, le déterminant des formes f, g , c'est-à-dire, le nombre — ahcz=:d, nid = M, m'z=.M'd, m" = M''d, 7z= ISd , 7i'=iV', Tz'^iVj il est clair que f se change, parla substitution

cLd , o! , a"-, ^d, fh', /S"-, yd, y', y" (*§"),

en la forme ternaire gz=l J ,,J N"d) determmant a^ ,

qui est parconséquent contenue dausy. Or je dis que cette forme est nécessairement équivalente à la forme g'=(j ' \ En effet, il est évident que g"' = r ' a/ a?//) est une forme ternaire

ARITHMÉTIQUES. Z5j

ide defermînant i -, or, comme par lijpolhèse a, h, c n'ont pas tous les trois le même signe , f est une forme indéfinie , d'où l'on conclut facilement que g' et g" sont aussi des formes indéfinies ; donc g-"' sera équivalente à la forme Q' °' ^\ (n" 277) ,

et l'on pourra trouver une transformation {S') de la première en la seconde. Mais d'ailleurs la transformation (5') change g\ en g" ; donc g' sera contenue dans/", et de la combinaison des substitutions (6"), (^S') , on déduira une transformation dey en ^'. Représentons-la par

il est évident qu'il en résultera deux solutions de l'équation (o)) :

;c=cr, jK==6', z=(^' et xz=S\ j=6', z:=lj'.

on voit aussi que les valeurs ne peuvent être toutes égales à zéro en même temps, puisque l'on doit avoir

Exemple. Soit 'jx'' — i5/* + 23z^ = o l'équation proposée ; elle est résoluble, puisqu'on a 3457?7, — i6ii?i5, io5i?23. On trouve pour valeurs de H, K, L les nombres 3, 7, 6, et faisant h=zk=zl=:z I , on en déduit ^ = 98, ^=— 39, C^=^-^^, De là résulte la substitution

par laquelle/se change en (^^^°; ^ff9°' -7^45):^^.Onfrouve pour la substitution (5)

7245, 5, 22J — 24i5, 2, ' — 28-, 19320, 25, — 7, pi. „« / 3670800, 6, — 3\,

on trouve enfin que g" se change en (^' °' °), par la subslitu-

tion (S')

3, 5, i; —2440, —4066, — 8i3; —433, —722, —144, qui, combinée avec (S), donne la suivante: