PRÉFACE DE L'AUTEUR

Xj E S Recherches contenues dans cet Ouvrage appartiennent à cette partie des Mathématiques où Ton considère particulièrement les nombres entiers, quelquefois les fractions, mais où l'on exclut toujours les nombres irrationnels. L'Analyse indéterminée^ ou de Diophante , qui apprend à distinguer, parmi les solutions d'u ' problème indéterminé, celles qui sont entières, ou du moins rationnelles et le plus souvent positives, ne constitue pas cette doctrine, mais elle en est une partie très-distincte; elle a avec elle à-peu-près le même rapport que l'Algèbre, c'est-à-dire, l'art de réduire ou de résoudre les équations, avec l'Analyse universelle. En effet, de même que l'on rapporte à l'Analyse toutes les recherches que l'on peut faire sur les affections générales des quantités, la considération des nombres entiers et des fractions, quand ces dernières s'expriment au moyen de nombres entiers, constituent proprement l'objet de ï Arithmétique ; mais on ne donne ordinairement sous ce nom que l'art de former les nombres et de les calculer, c'est-à-dire, l'art de représenter les nombres par des signes convenables (par exemple, suivant le système décimal), et d'exécuter les opérations arithmétiques, en y ajoutant quelques points, dont les uns n'appartiennent pas à l'Arithmétique, comme la théorie des logarithmes et les autres ne sont pas particuliers aux nombres entiers, et ont lieu pour toutes les quantités. On voit par là que l'on doit distinguer deux parties dans l'Arithmétique , et que les considérations dont nous venons de parler se rapportent à l'Arithmétique élémentaire, taudis

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que les recherches générales sur les affections particulières aux nombres entiers sont revendiquées par V Arithmétique transcendante.

Ce qyiEucUde a présenté dans le Liure VII de ses Êlé' mens , avec l'élégance et la rigueur ordinaires aux anciens , appartient à l'Arithmétique transcendante , mais se borne aux premiers élémens. Le célèbre Ouvrage de Diophanie y qui est consacré tout entier aux problèmes indéterminés , contient un grand nombre de questions qui^ par leur difficulté et la subtilité des artifices, donnent une grande idée du génie et de la pénétration de l'auteur, surtout quand on considère le peu de ressources qu'il pouvait employer; mais comme ces problèmes demandent plutôt de l'adresse et des procédés ingénieux que des principes difficiles, et qu'en o utre ils sont trop particuliers et conduisent rarement à des conclusions générales, cet Ouvrage semble plutôt avoir fait époque dans l'histoire des Mathématiques, parcequ'il fixe les premiers vestiges de l'Algèbre , qu'avoir enrichi l'Arithmétique transcendante par de nouvelles découvertes. La Science est bien plus redevable aux modernes, parmi lesquels peu d'hommes à la vérité, mais tous dignes d'une gloire immortelle. Fermât, Euler, Lagrange, Le GENDRE (et un petit nombre d'autres), ont ouvert l'entrée de cette science divine , et ont découvert la mine inépuisable de richesses qu'elle renferme. Je n'entre pas ici dans l'énumération des découvertes de ces géomètres, d'autant qu'on peut les connaître par la Préface des Additions dont Lagrange a enrichi V Algèbre d' Euler ^ et par celle de l'Ouvrage de Legendre, dont nous parlerons bientôt. D'ailleurs nous rendrons hommage à ces différentes découvertes, lorsque l'occasion s'en présentera dans nos Recherches.

Mon but en publiant cet Ouvrage , annoncé depuis cinq

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ans, a été de faire connaître les recherches dont je m'étais occupé avant cette époque , et celles que j ai faites depuis. Mais afin que l'on ne s'étonne pas de voir ici la Science prise presque dès son principe, et que je sois revenu sur des recherches faites déjà par plusieurs autres, j'ai cru qu'il n'était pas inutile d'avertir que, lorsqu'en ijg5 , j'ai commencé à m'appliquer à ce genre de considérations , je n'avais absolument aucune idée de tout ce qui avait été fait sur ce sujet, même par les modernes, et que j'étais privé de tous les secours que j'aurais pu tirer de leurs travaux. Occupé dans ce temps d'une autre matière , je tombai par hasard sur une vérité imj^ortante de l'Arithmétique (c'était, si je ne me tz'ompe , le théorème du n° io8) ; comme elle me sembla très- belle par elle-même, et que je la soupçonnais liée à d'autres plus importantes, j'employai toute la contention d'esprit dont j'étais susceptible, à découvrir les principes sur lesquels elle s'appuyait, et à en trouver une démonstration rigoureuse; le succès ayant répondu à mes vœux, je me sentis tellement entraîné par l'attrait de ces questions, qu'il me fut impossible de les abandonner, et comme une vérité me conduisait à une autre, la plus grande partie des quatre premières Sections était déjà terminée avant que j'eusse rien vu des travaux des autres géomètres sur ce sujet. M'étant ensuite trouvé à même de lire les ouvrages de ces hommes de génie, je ne tardai pas à reconnaître que j'avais employé la plus grande partie de mes méditations à des choses faites depuis long-temps; mais animé d'une nouvelle ardeur, je m'efforçai , en suivant leurs pas , de cultiver plus avant le champ de l'Arithmétique, et telle a été Torigine des Sections V, VI et VIL Quelque temps après, je demandai des conseils sur le projet que j'avais de publier le fruit de mes veilles, et d'après le désir de plusieurs personnes, je me

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laissai d'autant plus facilement persuader de ne rien supprimer de mes premières recherches^ qu'à cette époque il n'existait aucun ouvrage dans lequel on pût trouver les travaux des autres géomètres^ épavs dans les Mémoires des Académies; que d'ailleurs elles renfermaient un grand nombre de choses nouvelles, et d'autres présentées d'une manière qui m'appartenait; qu'enfin toutes ces recherches étaient tellement liées entre elles, et avec celles qui leur étaient postérieures, qu'il aurait été très- difficile d'expliquer les choses nouvelles sans reprendre les autres dès leur principe.

Dans cet intervalle , il a paru un excellent ouvrage d'un homme qui avait déjà rendu de très - grands services à l'Arithmétique transcendante ( Essai sur la Théorie des nombres y Legendre, an P^I), dans lequel il a non-seulement rassemblé et mis en ordre tout ce qui a paru jusqu'à présent sur cette science, mais ajouté beaucoup de choses nouvelles qui lui sont propres. Gomme cet ouvrage m'est parvenu trop tard, et lorsque la plus grande partie de mes Recherches était imprimée , je n'ai pu en faire mention dans les endroits où l'analogie des matières m'en aurait donné l'occasion. Les Additions renferment seulement quelques observations qu'il m'a paru nécessaire d'y placer, et j'espère que son indulgence et sa franchise les lui feront interpréter avec bienveillance.

Pendant l'impression, que diiFérens obstacles ont plusieurs fois interrompue, et qui s'est prolongée pendant quatre années entières, non-seulement j'ai continué les recherches entreprises auparavant, et dont je m'étais décidé à retarder la publication, dans la crainte que l'ouvrage ne devînt trop volumineux, mais j'en ai entrepris de nouvelles. Plusieurs points que je n'ai fait, par la même raison, que toucher légèrement ( par exemple, aux n*" '3j , 82 et sui-

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vans, et en d'autres endroits), ont été repris ensuite, et m'ont donné lieu de faire des recherches plus générales , qui me semblent mériter d'être connues. ( Voyez encore ce qui est dit dans les Additions , par rapport au n° 3o6. ) Enfin , comme le volume devenait plus considérable que je ne m'y étais attendu , surtout à cause de la Section V, j'ai été forcé de retrancher beaucoup de choses que je me proposais d'y faire entrer, et partie uhèrement la Section VIII toute entière , qui traite en général des congruences algébriques de tous les degrés, et qui se trouve souvent citée. Tout cela formera facilement un volume égal à celui-ci, que je publierai lorsque les circonstances me le permettront.

Si, dans plusieurs questions difficiles, j'ai employé des démonstrations synthétiques, et supprimé l'analyse qui m'y avait conduit, je m'y suis déterminé parle désir d'abréger, auquel je devais me conformer autant qu'il était possible.

La théorie de la division du cercle, ou des polygones réguliers, qui compose la Section VII, n'appartient pas p^r elle-même à l'Arithmétique, mais ses principes ne peuvent être puisés que dans l'Arithmétique transcendante. Ce résultat pourra sembler aux géomètres, aussi inattendu que les vérités nouvelles qui en dérivent, et qu'ils verront, j'espère, avec plaisir.

Telles sont les choses dont j'ai cru devoir prévenir le lecteur. Quant à l'Ouvrage lui-même, il ne m'appartient pas de le juger; ce que je desire surtout, c'est qu'il .plaise à ceux qui s'intéressent aux progrès des sciences, soit en ne laissant plus rien à désirer sur quelques points qui manquaient jusqu'à présent, soit en frayant la route pour d'autres découvertes.

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