DES MATIÈRES

Section première. Des Nombres congrus en général.

Nombres congrus , modules , résidus et non-résidus ...... n° i — 3

Résidus minima 4

Propositions élémentaires sur les nombres congrus 5 — il

Applications ii et la

Section SECONDE. Des Congruences du premier degré.

Théorèmespréliminaires sur les nombres premiers, les diviseurs, etc. n° i3 — a3

Résolution des congruences du premier degré 2,4 — 3i

De la recherche d'un nombre congru à des nombres donnés suivant

des modules donnés 32 — 3S

Congruences du premier degré à plusieurs inconnues Zj

Différens théorèmes 38 et suiy.

Section troisième. Des résidus des puissances.

Les résidus des termes d'une progression géométrique qui commence

par l'unité, forment une suite périodique n' 45 — 4^

Des modules qui sont des nombres premiers.

Si le module est un nombre premier p , le nombre des termes de la

période divise nécessairement p — 1 49

Théorème de Fermât 5o , 5i

A combien de nombres répondent les périodes dont le nombre des

termes est un diviseur donné de p — 1 52 — 55

Racines primitives , bases , indices 5/

Algorithme des indices . . , 58 , 69

Des racines de la congruence a;" ^ ^ 5o — 68

Relation entre les indices pour différens systèmes 69 — 71

Bases choisies pour des usages particuliers 72

Méthode pour trouver les racines primitives * • 7^ » 74

Divers théorèmes sur les périodes et les racines primitives 75 — 8i

Théorème

TABLE DES MATIERES. xvi]

Théorème de TTH-lson. -.- n* 76

Des modules qui sont des puissances de nombres premiers 82 ^ 8q

Des modules qui sont des puissances de 2, qo qi

Des modules composés 03 ^ q3

Section quatrième. Des congruences du second degré.

Résidus et non-résidus quadratiques. . ; n" 04 , q5

Toutes les fois que le module est un nombre premier , le nombre

des résidus moindres que lui est égal au nombre des non-résidus . . 96 , 97 La question de savoir si un nombre composé est résidu d'un nombre

premier donné, dépend de la nature de ses facteurs qS , oo

Des modules composés loo— io5

Caractère général auquel on peut reconnaître si un nombre donné

est résidu ou non-résidu d'un nombre premier donné 106

Recherches sur les nombres premiers qui ont pour résidus ou nonrésidus des nombres premiers donnés T07 et suir.

Résidu — i , .... 108 — 111

Résidu -f- 2 et — 2 112 n6

Résidu + 3 et — 3 117 120

Résidu + 5 et — 5 . . . . . . . , . . . . . 121 ia3

Résidu -I- 7 et — 7 124

Préparation à une recherche générale 126 — 120

Le théorème général (fondamental) s'établit par induction; conclusions qu'on en dédujt. i3o — i34

Démonstration rigoureuse de ce théorème i35 — . 1X4

Méthode analogue de démontrer le théorèijie du a° 1 14 145

Solution du problème général i/g

Des formes linéaires qui contiennent tous les nombres premiers dont

un nombre quelconque donné est résidu ou non -résidu 147 i5o

Travaux des autres géomètres sur ce sujet i5i

Des congruences complètes du second degré iSa

Section cinquième. Des formes et des équations du

second degré.

Objet de la recherche ; définition et notation àiÇ,?, formes . . . . n" i53

Représentation des nombres ; déterminons i5/

Valeurs de l'expression v/(ô* — ce) (mod. ilf), auxquelles appaitient

la représentation du nombre ilf parla forme (a, ô, c) i55 iSg

Forme qui en contient une autre , ou qui y est contenue ; transformation propre ou impropre 15»

Equivalence propre et impropre i58

Formes opposées 15^

Continués , . . . . iSo

xvîij TABLE DES MATIERES.

Diviseurs communs des coefficiens des formes n" i6i

Relation entre les transformations semblables d'une forme donnée en

une autre forme donnée 162

Formes ambiguës i63

Théorème relatif au cas où une forme est contenue à-la-fois dans

une autre proprement et improprement ^^4 > i65

Considérations générales sur les représentations des nombres par les

formes et leur liaison avec les transformations 16G 170

Des formes de déterminant négatif 171 i3a

Applications particulières à la décomposition des nombres en deux quarrés , en un quarré et le double d'un autre , en un quarré et

le triple d'un autre 182

Des formes de déterminant positif non quarré 1 83 — ao5

Des form.es de déterminant quarré 206 212

Des formes qui sont contenues dans d'autres, auxquelles elles ne sont

cependant pas équivalentes 2i3 , ai4

Des formes de déterminant =0 2i5

Solution générale en nombres entiers de toutes les équations indéterminées du second degré à deux inconnues. ........ 216 — 221

Remarques historiques . . 22a

Recherches ultérieures sur les formes.

Distribution par classes des formes de déterminant donné . . . n" 228 — 226

' ■ Des classes en ordres 226 227

Diviiion des ordres en genres r . . 228 sSt

De la composition, des formes 238 zAÂ

Comparaison des ordres ^, 2^5

des genres 246—248

■ des classes 2/q ^Si

Pour un déterminant donné , chaque genre d'un même ordre contient

le même nombre de classes 262

Composition des nombres de classes contenues dans deux genres

d'ordres différens 253 256

Du nombre de classes ambiguës 25/ ^60

Il y a toujours une moitié des caractères assignables pour un déterminant donné, à laquelle ne répond aucun genre proprement primitif ( positif quand le déterminant est négatif) 261

Seconde démonstration du théorème fondamental, et des théorèmes

relatifs aux résidus — i,-}-2et — 2 a6a

On déterminera plus exactement cette moitié des caractères assignables auxquels ne répond aucun genre 263 — 264

Méthode particulière pour décomposer un nombre premier donné en deux quarrés . 266

TABLE DES MATIERES. xix

Digression contenant un traité des formes ternaires, n° 265 — 285

Quelques applications à la théorie des formes binaires. Trouver une forme de la duplication de laquelle résulte une forme

binaire donnée 28S

Il répond effectivement des genres à tous les caractères , excepté à

ceux qui (n°' 262, 263) ont été démontrés impossibles 287 (o")

Théorie de la décomposition des nombres et des formes binaires en

trois quarrés 288 — 293

Démonstration des théorèmes de Fermât, que tout nombre entier est decomposable en trois nombres triangulaires ou en quatre quarrés 2g3

Résolution de l'équation aj;" -f" ^^* + C2.* = o 2^^—2^S

Sur la méthode par laquelle Legendre a traité le théorème fondamental 29G — 298

Représentation de zéro par des formes ternaires quelconques .... 299 Résolution générale en nombres rationnels des équations indéterminées du second degré à deux inconnues 3oo

Du nombre moyen de genres 3oi

— de classes 3o2 — 3o4

Algorithme particulier des classes proprement primitives ; détermi-

nans réguliers et irréguliers 3o5 — 3o8

SECTION SIXIÈME. Application des recherches précédentes.

Décomposition des fractions en fractions plus simples Sog — 3ii

Réduction des fractions ordinaires en fractions décimales 3i2 — 3 18

Résolution de la congruence x^^A par une méthode d'exclusion . 3 19 — 322 Résolution de l'équation indéterminée mx* + ny^-=i A par exclusions, 323 — 326 Autre méthode pour résoudre la congruence x'^^A, quand A est

négatif 327 , 328

Deux méthodes pour distinguer les nombres composés des nombres

premiers , et pour chercher leurs facteurs 329 et suiy.

Section septième. Des équations qui déterminent les

dii>isLons du cercle.

On réduit la recherche au cas le plus simple , où le nombre des parties en lesquelles on doit diviser le cercle, est un nombre premier. . . n'' 336

Équations pour les fonctions trigonométriques des arcs qui sont une ou plusieurs parties ahquotes de la circonférence. Réduction des fonctions trigonométriques aux racines de l'équation x" — i = o. . 337

Théorie des racines de cette équation, en supposant n un nombre premier ; si l'on omet la racine i , les autres (Q) seront données par l'équation X = x""' ■+■ x"-^-f etc. -f- x -f- 1 = o 339 , 3^0

La fonction X ne peut être décomposée en facteurs de degré moindre dans lesquels les coefficiens soient rationnels 3^1