II, 12-, —I
par laquelle f se change en ^\ Nous avons donc une double soluti<?n .de l'équation proposée, savoir; a: = ii,^==:g, z = 4ji a;==j2, j'==— g> ;z==3. La dernière devient plus simple, en divisant les valeurs par leur diviseur comumn 5, et elle donne a;=4; JK= — 5, z=:i.
295. La seconde partie du théorème du n" précédent peut encore être traitée de la manière suivante. Conservons aux lettres H, A", X la même signification que dans le n' précédent 5 on cherchera un entier h tel qu'on ait ah^L (mod.c), et l'on fera ah'''\-h:=:ci. Il est aisé de voir que i est entier, et que — ab est le déterminant de la forme binaire (p-=.{ac, ah, i). Cette forme ne sera certainement pas positive, puisque a,b,G n'étant pas tous de même signe, ab et ac ne peuvent pas être tous deux positifs. Or — i sera son nombre caractéristique, ce qui peut se démontrer sjnthétiquement de la manière suivante : Si l'on détermine les entiers e, e' de manière à avoir c^o(mod. fl) et ^ A (mod. ^), ce ^,H {moà, ci) et^hK(moâ.b),
(e , e') sera une valeur de l'expression \/ — (ac, ah, i); en effet, suivant le module a, on aura
e* ^o^ — ac, ee'^o^ — ah,c^e'''^H''^ — ^c^ — c*/oue'*^ — /j
et suivant le module b ,
Ê»^A*^ — ac, ceo'^liK^^—r-ach ou eé^ — ah, cV* ^li'K^ ^ — ach"" ^ — cH ou e'» ^ — /j
mais puisque les trois mêmes congruences ont lieu à-la-fois pour les modules a et h, elles ont lieu aussi suivant le module ab.
On conclut facilement de là, par la théorie des formes binaires, que (p est représentable par la forme { i' o o)* ^"PP*^" sons donc
ac^ + 2^/z/z^ 4- zV = — (et/ + )S«)* 4- 2(^f -I- /«) (g^-f- f «) j on aura, en multipliant par c,
aÇct'{-huy'i'bii'=:—c(cit'i-l^iiy'}-2c(yt-\-(tu)(el+^u)',
donc si l'on donne à ^ et « des valeurs telles que l'on aîfc yt j^ Su =:o.Qu g/ -j-^i^ =: O, Qtt ftura ime solution de l'équa-
don (ct>) , à laquelle parconséqnent on peut satisfaire de deux manières , eu faisant cc=!^c-^yh,y=:=:y, z=^Ae^ — 0y, ou a;=(^c—£/z, j=é, z=a^ — f^e.
On voit en même temps qne ni les premières ni les secondes valeurs ne peuvent être ensemble =o; en effets si l'on avait J'c — yh=:o et y=o, il s'ensuivrait aussi cr=o, et partant (p == — (a/ + /3i/)% d'où abz=iO, contre l'hypothèse : on démontrerait de même pour les autres.
Dans l'exemple que nous avons donné, on trouve pour la forme (p celle- ci (161, — 65, 24); en outre (j, — 5i) est une valeur de l'expression [/ — (p (mod. io5), et la représentation delà forme <p
par la forme T^^' °' ° j est
d'où résultent les solutions a:=7, j=ii, >z=: — 8; jr=:20, j'=i5, z=: — 5, ou en divisant par 5, et ne faisant pas attention au signe de z , x=:4, J' = 3, z=i.
Des deux méthodes que nous venons de donner pour résoudre réquation (co) , la seconde est préférable, parceque le plus souvent on n'emploie que de petits nombres; mais la première, qui peut s'abréger par difFcrens artifices que nous passerons sous silence, paraît plus élégante, surtout parceque les nombres a, h, c sont traités delà même manière, et que leur permutation ne change rien au calcul. La même chose n'a pas lieu dans la seconde, où le calcul devient souvent plus commode en prenant pour a le plus petit , pour c le plus grand des trois nombres , comme nous l'avons fait dans notre exemple.
296. Le théorème élégant que nous avons exposé dans les n"* précédens, a été trouvé par Legendre (Hist, de ÏAcad, de Paris y 1^85, p. Soy), qui en a donné une belle démonstration, mais entièrement différente des deux nôtres. Cet excellent géomètre a cherché en même temps à tirer de là une démonstration des propositions qui reviennent au théorème fondamental de la section précédente , démonstration que nous avons déjà annoncé (n° i5i) ne pas nous paraître remplir le but qu'il s'était proposé.
Il est donc à propos d'exposer ici en peu de mots cette démonstration i qui est très-éiégante , et d'y joindre les motifs de notre jugement.
Il commence par observer que si trois nombres a, b, c sont
^i {inod,l\)i V équation ax*+bj*4-cz' = o (oj) n'est pas
résoluble. En effet, on voit facilement que la valeur de ^.x'-j-Z^y^ + cz* deviendrait nécessairement ^ 1 , 2, 3 (mod. 4)> à moins que l'on ne donnât à x^y-y z des valeurs paires: donc si (ie)) était résoluble, ce ne pourrait être que par des valeurs paires, ce qui est absurde, puisque toutes les fois que trois nombres satisfont à l'équation {où) , ils y satisferont encore après qu'ils auront été divisés par leur plus grand commun diviseur , et que par cette opération il résulterait au moins un nombre impair. Or les différens cas du théorème à démontrer se rapportent aux suivans :
I. yy et <7 désignant des nombres premiers de la forme 4'^+^ positifs et inégaux, on ne peut pas avoir en même temps pRq et ql^P' En effet, si cela était possible, il est évident qu'en posant i = i2, — pz=zbj — qz=:c, toutes les conditions nécessaires pour la résolution de l'équation ^:c'4-^j'-f-cz^=:0 seraient remplies (n° 294). Mais d'après l'observation précédente , cette équation n'admet aucune solution , donc la supposition ne peut subsister. De là suit sur-le-champ la proposition 7 du n* i3i,
II. Si p est un nombre premier de la forme ^n-{-i , et ^ un nombre premier de la forme 4'zH-5, on ne peut avoir en même temps qRp } p^q f autrement on aurait — pl^(l> et l'équation ^s|^j=» — ^z= = o serait résoluble, tandis que l'observation précédente prouve qu'elle ne l'est pas. De là suivent les quatrième et cinquième cas du n° i5i,
III. Si ;y et q sont des nombres premiers de la forme 4^-1-1 t on ne peut avoir en même temps pRq et qlSfp'y en effet, prenons un autre nombre premier de la forme 4'z+5 , qui soit résidu de ^, et dont p soit non-résidu. Alors, parles cas traités dans l'instant (II), on aura qRr et rNp : si donc on avait pRq et qNp , il en résulterait qrRp, pRq y pq^J^» et partant — pqRr, Donc l'équation /;x'-|-^/* — r;:';=o serait résoluble,
contre
ARITHMÉTIQUES. Z6i
contre l'observation précédente, et partant, la supposition ne peut subsister. De là, suivent le premier et deuxième cas du n" i3i.
On peut présenter ce cas d'une manière plus simple. Soit r un nombre premier de la forme 4'z -f- 5 , dont p soit non-résidu -, on aura rNp , et partant, puisque l'on suppose pRç, g^p > ou aura aussi qrRp ; d'ailleurs on a — pBq , — pRr et parconséquent — pRqi'f donc l'équation x^-^-py'' — çrz'^z^o serait résoluble, contre l'observation précédente , etc.
IV. Si p est un nombre premier de la forme 4^^ i , et ç un nombre premier de la forme 4^-|-5, on ne peut pas avoir en même temps pRq et qNp. En effet, prenons un nombre premier r de la forme 4^ -\- i , qui soit non-résidu des deux nombres p et q : on aura (II) qNr, et (HI) pNr-, donc pqRr. Si l'on avait donc pRq , qNp f il s'ensuivrait 2iVmïprNq, — prRq , qrRp. L'équation px^ — qy^ -{-rz^ -=.0 serait donc résoluble, ce qui est absurde. On tire de là le troisième et le sixième cas du n'' i3i.
Y. p et q étant deux nombres premiers de la forme 4^^ +5, on ne peut pas avoir en même temps pNq , qNp -, supposons en effet que la chose ait lieu, et prenons un nombre premier r de la forme 4^2 + 1 qui soit non-résidu de ;o et de ^ ; on aura qrRp , prRq ; or (II) on a pNr et qNr ; et partant , pqRr et — pqRr. L'équation — « px^ — qy"" -j- rz* = o serait donc possible , contre l'observation précédente. De là se déduit le huitième cas du n" i3i.
297. En examinant attentivement cette démonstration, on verra facilement que les deux premiers cas sont démontrés de manière à ne permettre aucune objection : mais les autres s'appuient sur l'existence de nombres auxiliaires , et cette existence n'étant pas prouvée , la méthode perd toute sa force. Quoique ces suppositions soient si spécieuses, qu'au premier abord elles semblent ne pas exiger de démonstration , et qu'elles ramènent bien certainement le théorème à démontrer au plus haut degré de probabilité; cependant, quand on recherche la rigueur géométrique, il est impossible de les admettre gratuitement. Pour ce qui regarde la supposition des quatrième et cinquième cas , qu'il existe un nombre r de la forme 4^4-i qui soit non-résidu des deux autres nombres
Zz
premiers p et </; il est facile de conclure de la section IV, que tous les nombres moindres que ^pq , et premiers avec lui , qui sont au nombre de 2{p — i)C^ — 0> peuvent être distribués en quatre classes égales , dont l'une contient les non-résidus de p et de q y et les trois autres les nombres qui sont résidus de p ou de q seulement , ou de tous les deux : d'ailleurs, dans chaque classe, moitié des nombres seront de la forme 4^-^i , et l'autre de la forme ^^ri-^-S. Parmi ces nombres, il y en auradonc^(;7 — i) ( q — I ) qui seront non-résidus de p et de q , et de la forme 4^+1. Représentons -les par ^, g', g", etc., et tous les autres qui sont au nombre de J (p — i) {q — i) par h. H, H' , etc. Il est évident que tous les nombres de la forme
4pqt-{-g, 4pqt-\'g, /^pqt+g\ etc {G)
seront à-la-fois non-résidus de p ei de q ^ et de la forme /^ri'^i. Or, pour établir la démonstration, il ne reste plus qu'à faire voir qu'il y a nécessairement des nombres premiers compris sous les formes {G)\ cette assertion paraît d'autant plus plausible, que ces formes jointes aux formes
4pqt-^h, ^pqt-^-lï , /ipqt + h" -{'e{c {H),
renferment tous les nombres premiers k p et q , et parconséquent tous les nombres absolument premiers (excepté 2 , p et q) , et qu'il n'y a pas de raison pour que la suite des nombres premiers ne soit pas distribuée également entre ces formes, de manière que la huitième partie appartienne k (G) , et les autres à (^T). Cependant on voit sans peine combien un tel raisonnement est éloigné de la rigueur géométrique. Legendre avoue lui-même qu'il lui semble assez difficile de démontrer qu'il y a nécessairement des nombres premiers compris sous la forme kt-\-/, k et l étant deux nombres premiers entre evtxyet t un. nombre indéterminé, et il indique une autre méthode qui conduirait peut-être au but proposé. Mais il nous semblerait nécessaire de faire beaucoup de recherches préliminaires, avant de parvenir par celte dernière voie à une démonstration rigoureuse. — Il suppose encore (III, seconde méthode) qu'il existe un nombre premier r, de la forme 4'^4-5, dont un nombre premier donné p > de la forme 4^-f- ï ; soit non-résidu j mais il n'a. rien ajouté pour
confirmer sa supposition. Nous avons démontré (n" 129) qu'il existe nécessairement des nombres premiers dont p soit non-résidu; mais notre méthode ne paraît pas pouvoir démontrer l'existence de tels nombres, qui soient en même temps de la forme 4^ + 5 (ce qui est exigé ici, et non dans notre première démonstration ). Au reste, nous pouvons facilement démontrer, comme il suit, la légitimité de cette supposition. Parle ji° 2^j , il j aura un genre positif de formes binaires de déterminant — p dont le caractère sera 3,4 j ^p '• soit (^a, b, c") une telle forme, et û: impair (ce que l'on peut supposer). Alors a sera de la forme 4^i-{-5 , et il sera premier ou divisible par un facteur premier de r de la forme 4^2-1-5. D'ailleurs on aura — pRa, et partant, — pRr , d'où pNr, Mais il faut remarquer que les propositions des n°^ 265 , 287 s'appuient sur le théorème fondamental, et que parconséquent c'est faire un cercle vicieux que d'établir sur elles une partie de la démonstration de ce théorème. — La supposition de la première méthode du troisième cas est encore beaucoup plus gratuite, eusorte qu'il est inutile de nous y arrêter.
Qu'il nous soit permis d'ajouter une observation à l'égard du cinquième cas, qui n'est pas assez prouvé par la méthode précédente, mais qui n'échappe pas à la suivante. Si l'on avait à-la-fois pNç , çNp , on aurait — pRç, — Ç^P) d'où l'on conclut facilement que — 1 est nombre caractéristique de la forme (p, o, ç), qui parconséquent, d'après la théorie des formes ternaires peut être représentée par la forme x^-^y'^-j-z*. Soit
pi'-{-gu'= (at -h (Buy-i-(oL'i^ (^'iiy^CoL't-i- ^'uy,
ou
a*+^/'+A'''=;'/ /S'+.iS'^-f-/5'^=7, a5-|-a'/S'+*''/S''=:o;
par les deux premières équations, a, a, a.", /3, ^', /S* doivent être tous impairs; mais alors la troisième ne peut subsister.
Le deuxième cas peut se traiter d'une manière semblable.
398. ProjBlème. a,b, c étant des nombres quelconques dont cependant aucun n'est =0, trout^er les conditions nécessaires pour que r équation ax'"-f-by='-{-cz*==o {o)) soit résoluble.
Soient a% 6% y"- les plus grands quarrcs qui puissent diviser
hCf ac , ab respectivement, et soit fait
cLa:=.^yA , ^bz=^a.yB f yc:=.a.^C,
A, By C seront entiers et premiers entre eux; Téquation (<i)') sera resoluble ou non, suivant que l'équation ^X^-f-^JF*4-0Z^=o le sera ou ne le sera pas , ce qui pourra se déterminer par le n" 294.
\\ Soit fait Z'^rrr n'as ac=:zK^% abz=Ly% H,K,L sont des entiers délivrés de facteurs quarrés, et l'on a H=BC, K = AC , L z= AB ; donc HKL = {ABCf , et partant ABC-=.AH=^BK:=CL est nécessairement un nombre entier. Soit 77Z le plus grand commun diviseur des nombres H et AH, et H-=gin , AHz=.hm\ g sera premier avec h et avec 77i, puisque //est libre de tout facteur quarré. Or on a h*m=gA''U:=gKL, doue g divisera h^m, ce qui est impossible à moins que l'on ii'ait^=±i , et partant H==.zt:m, A=d=:h; donc A est entier : on démontrera de même que ^ et C le sont.
2°. Puisque -//= BC ne renferme pas de facteurs quarrés, B et C sont nécessairement premiers entre eux. De même A et B, B et C sont premiers entre eux.
3°. Enfin il est évident que si l'on satisfait à l'équation (m) en faisant X=P, T^=:Q, Z:=:Rf on satisfera à l'équation (ce') en faisant xz=:clP , yz=.^Q , z-=iyR, et réciproquement si l'on satisfait à l'équation (&>') en faisant xz=p , yz=iqy zz=r , on satisfera à l'équation {(*>) en faisant X=^yp, l':=cLyq , Z=:t/3r, Ainsi toutes deux sont résolubles, ou aucune ne l'est.
299. Problème. Étant proposée la forme ternaire ax»+aV=^-f aV^+2bx'x'' + 2b'xx''-{- 2b''xx' = f ,
"trouver si zéro peut être représenté par elle , en donnant aux indéterminées des valeurs qui ne soient pas toutes égales à zéro,
I. Quand ^ = 0, on peut prendre à volonté les valeurs de x', x", et il est clair que l'équation
a'x'' + 2bx'x"'{' d'x"^ =— 2a;(Z^V+Z'V), donne toujours pour x une valeur déterminée et rationnelle. Toutes
les fols qu'il en résulte une fraction , il suffit de multiplier les Valeurs de a:, oc, x' par le dénominateur de la fraction, et l'on obtient une solution entière. On doit seulement exclure les valeurs de x', x' qui rendraient h'x"-^b''x^z=:o, à moins qu'elles ne rendissent aussi a'x''''\':ihx'x''-{-a'x"''=o , auquel cas x peut être plis arbitrairement. On voit en même temps que de cette manière on obtient toutes les solutions possibles. Au reste, le cas où b'-=.h"z=.Q sort de nos considérations*, car x n'entre plus dans la forme, c'est-à-dire que^ est une forme binaire, et que l'on peut juger par la théorie des formes binaires si zéro est représentable par elle.
