X -f.^ -\~^ + etc. — X — jc — X — etc

dont le terme le plus élevé ne surpassera pas x"~' ; il est cjaîr qu'on aurait jr=o, si l'on faisait a; = [i]; donc J' contiendrait lé facteur x — [i], qui lui serait commun avec la fonction déjà désignée par X (r° SSg) : or il est facile de démontrer l'absurdité de cette dernière supposition. En effet, si X et JT avaient un diviseur commun, il s'ensuivrait , par la nature de l'opération , qui sert à chercher le plus grand commun diviseur de deux fonctions semblables dont les coefficiens sont rationnels, que ce plus grand commun diviseur aurait tous ses coefficiens rationnels; car il est d'ailleurs évident qu'il ne peut être du degré n — i , puisque JT est divisible par x. Mais nous avons fait voir (n" 54i) que X ne peut être divisible par une fonction de degré inférieur à n — i, dont les coefficiens soient rationnels; donc on ne peut supposer que Ton ait N'=: o .

Exemple. Pour 72=19 ety=6, on a

d'où l'on tire p'=^4 — ^/^% 7^" = — ^ — P~\~P'''y

ainsi

547. Théorème. SiYz=z^ (t, u, y, ,,)estu7ie fonction invariable '(* ) algébrique rationnelle et entière de ï indéterminées i, u , v, etc. , et qu^en substituant à la place de ces indéterminées les f ra~

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( * ) On appelle fonctions 'invariables celles où tontes les indéterminées entreat de la même manière, ou plus clairement, celles qui ne changent pas, de quelque manière que les indéterminées soient permutées entre elles ; telles sont la somme des indéterminées, leur produit, la somme de leurs produits deux à deux, etc.

cines contenues dans la période (f, X), on ramène cette fonction à la forme

A -f ATi] H- A"[2] H- etc, = W ,

d'après ce qui ci été dit (n" 54o) -, les racines qui , dans cette expression , appartiendront à une même période quelconque de f termes , auront des coejîciens égaux.

Soient [/?] , [çj] deux racines qui appartiennent à une même période , et supposons p Qi q positifs et moindres que n j il s'agit de démontrer que [/?] et \(f\ auront dans TV le même coefficient.

Soit encore q^p/^ (mod. n), etnommons[À], [à'], [à'], etc. jles racines contenues dans (f, A), où nous supposons A, A', A*, etc, positifs et moindres que n-, soient enfin p^, pf, p!', etc. les ré-

sidus minima positifs des nombres A^ , A'^ , X"g , etc, suivant le module n'y p^, p^ , etc. seront évidemment identiques avec A, A' etc., si l'on ne fait pas attention à l'ordre. Or il suit du n° 340, que la fonction

peut être ramené à la forme

en désignant par 6, 6', 6', etc. les résidus minima des nombres

(^^ 1^^ i etc. suivant le module /ï*, il est évident, d'après cela, que M aura dans W le même coefficient que \p'\ dans TV, Mais on voit sans peine que le développement de l'expression (I) donne le même résultat que le développement de l'expression

(P{W> [/^']. [a*"], etc.},

puisque /^^ "^i^ i f^'^^'s > ^^^' ("^od. n) ; mais cette expression donne le même résultat que

^{W. [^']^ M> etc.}, parceque les nombres p, p!, p? , etc. ne diffèrent des nombres A, A% A", etc. que relativement à l'ordre, qui n'influe en rien

clans une fonction invariable j done W et /^seront identiques, et partant [yp] et [9] auront même coefficient dans W,

Il suit évidemment de là que ^^peut être ramené sous la forme

A~\-a{f, i)-{-aXf, è) + ^\f> r) + etc. + a^'^ (f, g-) : les coefficiens A ^ a, a', etc. seront entiers et déterminés, si tous les coefficiens de F sont rationnels et entiers.

Ainsi, par exemple, si 72=19, /^=6 et A=i, et que la fonction (p désigne la somme des produits des indéterminées prises deux à deux, sa valeur se ramène à

De plus, il est facile de voir que si l'on substitue ensuite pour t, u, ^, etc. les racines d'une autre période {f, kX), la valeur de F devient

^ + ^(/, ^)4-^t/, H)'^^\ffH')^ etc.