Comme dans toute équation
x.^ — ct^-^~' + /Sx-^"' — yxf-"^ -{- etc. = o
les coefficiens et, /3, ^, etc. sont des fonctions invariables des racines, savoir, et la somme, /S la somme des produits des racines prises deux à deux, y la somme des produits trois à trois , etc. \ il en résulte que dans l'équation qui donne les racines contenues dans la période (/) A), le premier coefficient sera {^f, ?.), et chacun des autres pourra être ramené à la forme
on A , a, a y etc. sont des entiers. D'ailleurs il est clair que l'équation qui donnerait les racines que contient toute autre période (y^ AA) se déduirait de celle-là, si dans chacun des coefficiens on substituait (^f, K) pour (/^ i), (y) kg) pour (^f,f^)f et généralement (^f) kp) pour (^f, p). On pourra donc de cette manière assigner un nombre e d'équations
Z = 0, /=0, z''==::0, CtC.
qui donneront respectivement les racines contenues dans les périodes (/ 0. (f,g), (/; ë')f etc. j
aussitôt que l'on connaîtra les sommes ( /", i ) , ( /, g) , (/, g^) , etc. J ou même, que l'on en connaîtra une seule, pr.iscjue (n° 346), la valeur de chacune d'elles peut s'exprimer rationnellement en fonction d'une seule. Cela fait, la fonction X sera décomposée en e facteurs du degré /: le produit des fonctions z, z' , z\ etc. sera évidemment = X,
Exemple, Pour 72=19, la somme de toutes les racines contenues dans la période (6, i) est =(6, i)=:a-, la somme des produits deux à deux est =34-(6, i ) -|- (6, 4) = /3 ; la somme des produits trois à trois est =2 + 2(^6, i)-f-(6, 2) = p •, la somme des produits quatre à quatre est =3-j-(6^ i ) -H C^^ 40 ^^^ ^> ^* somme des produits cinq à cinq est =(6, i) = c' le produit de toutes =15 donc l'équation
zz:zx^ — a.x' + i^cc^+T-^^ -{- cTo;' — ê-^- 1=0
donnera toutes les racines contenues dans la période (6, 1). Si, dans les coefficiens a, /3, y, etc. on substitue
(6, 2), (6, 4), (6, i) pour (6, i), (6, 2), (6, 4)
respectivement, il en résulte l'équation ;«:' = o, qui donnera les racines contenues dans (6, 2) ; si Ton fait dans celle-ci le même changement, on a l'équation £" = 0, qui donnera les racines contenues dans (6, 4)> ©t le produit zz^H sera égal à %,
549. Il est souvent plus commode, surtout quand y est un grand nombre, de déduire les coefficiens a, jS, y , etc., des sommes des puissances des racines. Il est évident que la somme des quarrés des racines contenues dans (^f. A) est = (^fj 2A) , que la somme des cubes est = (/', 5à) , etc., ainsi en faisant pour abréger,
U> ^) = 7 ' if» 2^) = -7'. (/. 5A) = q\ etc. , ou aura
0L-=zq y 2/3 = a<7 — q' , Zy=:^q — a,q' •+• 9»' , etc. ;
expressions dans lesquelles on doit convertir sur-le-champ (n* 545), les produits de deux périodes en sommes de périodes. Ainsi, dans notre exemple, si l'on fait pour abréger,
on trouve 7=/^^ y = / = 7''=f;'^ 9'' = 7''=/^'5
donc
donc eL^:^p f
'^y=(}+p+p')p—pp+p'==^+^P-h'^P%
4=^ = (2+2;7-j./);7-(3H-.;7-f-/}/+;7;7'-/=i:i4-4;;4-4/, etc.
Au reste , il suffit de calculer de cette manière la moitié des coefficiens, car on prouve sans difficulté que les derniers sont égaux aux premiers dans l'ordre inverse , savoir le dernier = i , l'avantdernier = a , l'antépénultième = /3 , etc. ; ou qu'ils s'en déduisent en substituant pour (/, 1), (/, g) , etc. , les périodes (/, — i ) , (/, — g)i etc., c'est-à-dire (/, « — g), {f,n — i). Le premier cas a lieu quand y est pair, le second quand y est impair; mais le dernier coefficient est toujours = i. Cette propriété se tire du théorème du n° 79, mais nous sommes forcés de ne pas nous arrêter sur ce sujet.
35o. Théorème. Si m — i est le produit de trois nombres entiers positifs a , jô , y y et que la période (^y, A ) , qui a ^y termes , soit composée de /3 périodes (y, X), (y, A'), (>, A"), etc, dont chacune a y termes 3 si de plus y en substituant les sommes (y* ^)f (>j ^0' (y^ ^"y» ^^^' ^ ^^ place de t, u , v , etc. , dans une fonction F = (p (t, u, v. . .) telle qu^au n° 347 , elle se réduit à
A + a(>,0+a'(>,ë)-a+^^^(^,g''^-'')... + a^Vg*'~')=W; en supposant d'ailleurs que F soit une fonction int^ariable ; les périodes comprises dans (W) , qui appartiendront à une même période de (By termes , c'est-à-dire, en général celles qui seront
telles que (y , g )et(7', g '^') , v étant un entier quelconque , auront nécessairement les mêmes coejfficicns.
La période {^y i A^ ) étant identique avec la période (/S;^, A),
les périodes plus petites {y, Xg ), {y, K'g ), {y, X"g ), etc. dont la première est évidemment composée , doivent coïncider avec celles qui composent la seconde , abstraction faite de l'ordre. Si donc on suppose que par la substitution de ces périodes à la place des indéterminées i, u ^ u , etc., le facteur F se change en Tf^', JV devra coïncider avec fV. Mais (n° 547) on a
LU
Ainsi, puisque cette expression doit coïncider avec P^ , le premier coefficient de Py^ (en commençant par a) devra être identique avec le a-f-i^'"', le second avec le a-j-a'"", le troisième av«c le fit -f- 3'"", etc. , et généralement les coefïiciens des période»
(yyg)>(y>^ )> Cy>s^ )> (yyS )>
qui sont les
respectivement , devront être identiques.
Il suit de là évidemment que PP^ peut être ramené à la forme
où tous les coefficiens A, a, etc. seront entiers, si tous ceux de F le sont. On voit en outre que si l'on substitue dans J^ à la place des indéterminées, les /S périodes de y termes qui constituent ime autre période de ^y termes, telle par exemple que (/3>, aA), périodes qui sont (y,>^ik), iy>^'^Oi iyj^"^)» etc., la valeur qui en résulte est
Au reste , il est clair que ce théorème s'étend aussi au cas où «t = i, c'est-à-dire, où /3p/ = tz — i. Alors tous les coefficiens de W sont égaux, et /^ se ramènera à la forme
55i. Ainsi, en conservant la notation du n° précédent, on conclura que les difFérens coefficiens de l'équation qui donnerait les /3 sommes (y, A), (y, K' ) , (y, X") , etc. peuvent être mis SOU3 la forme
et que les nombres A, a , etc. seront entiers. Or l'équation qui donnerait les ^ périodes de y termes qui composent une autre période {Q>y, Aà) , se déduira de la première , en remplaçant dans tous les coefficiens la période quelconque (/3>, /a) par {^y , kjx).
ARITHMÉTIQUES. 45t
Si donc A = I , les /3 périodes de y termes se détermineront par une équation de degré ^, dont les coefficiens peuvent être rais sous îa forme ^ -f- ^ ( jS}/ , i ) , et sojit parconséquent des quantités connues. Si a > i , les coefficiens de l'équation dont les racines sont toutes les périodes de y termes contenues dans une période donnée de p>y termes, seront des quantités connues, dès que l'on connaîtra les valeurs numériques des périodes de ^y termes.
Au reste le calcul devient souvent plus facile , surtout quand /3 n'est pas un petit nombre , en calculant d'abord les sommes des puissances des racines, et en déduisant les coefficiens par le théorème de Newton , comme ci-dessus , n° 34g.
Exeinple I. On demande pour 7z= 19, l'équation dont les racines sont les sommes (6, i), (6, 2), (6, 4)»
Désigdons ces racines par p, p', p" respectivement , et l'équation cherchée, par ^
ou aura , , , ^ » >-. ^ »
^=;7-f-/+/, Bzzzpp'JrPP-^PP * ^^PPP >
donc A z= (18, 1) = — 1 ; or on a
pp^=:p-\^2p' + ^p', pp'=^2p-{-Sp'-i-p', /.y =3;?+/ + 2/5
donc Bz=:6(p-hp''hp')=^C^^» 0 = — 6;
enfm C = (/.-f-a/+5/)/ =3(6,0)4-1 1(1 8, 0= i8-ii=7*.
donc l'équation cherchée est
En employant l'autre méthode , nous avons
p+p-^-p'^—^'^ p'':=:6^2p+p'-h^p%p''==^6-^2p'-hp''-h^P^P'-^+^P'-^P+^Py d'où ;^ + ;,'>+/^=l8H- 5 (/> + / + /) =l5.
De même.. / ^-/^ +/^==56 + 54(;74-;>' + /^'') -= 2. ^
De là, à l'aide du théorème de Newton , on tire la même équation
que ci-dessus.
Exemple 2. On demande pour 72 = 19, l'équation dont les racines sont l«s sommes (2, i), (2, 7), (2, 8).
Dt^signons-les par 9, ç', q" respectivement, on aura
chercWerrr""''"' '' "'""" '^ '''"'"P'"-" P"^-=dent, 1 ■équation
L'équation dont les racines sont les sommes fa.a), fa 3>
l,tf- '°f'°"'' '^'°' ^^''^' '^ ^'•'^"'' ''" 'a précédente', en substituant^ y,, ;, pour p, p' , p' respectivement; et en faisant encore une fois la même substitution, on obtient l'énuation dont le^^ racines sont les sommes (.,4), (., G), (., 9) contenues dans
le,^h^;.^'' *^°'''?"' Précédens, avec leurs corollaires , contiennent es bases principales de toute la théorie, et le moyen de trouver ies racines a peut s'exposer maintenant en peu de mots.
On doit, avant tout, prendre un nombre g qui soit racine primitive pour le module n , et trouver les résidus minima des puissances de 5- jusqu'à g"-'. On décomposera n-^ en facteurs, et nieme en facteurs premiers, si l'on veut réduire le problème à des equations d „ degré le plus simple possible. Soient « , /3 , >, ?
les facteurs de n — i , et soit fait >t- > lf> c.
^ = ^^---^ = '^'^ = > C = i,etc.
cle celles-ci en /3 périodes de à termes; chacune de ces dernières en ;. périodes etc. On cherchera, par le n» 35o, l'équaïon T^ de degré « qui aura pour racines ces « sommes de « termes slmes dont on connaîtra les valeurs par la résolution de ceUe iquX!
pédÏdes"ord't7"/" T '''®'=""^' ^^^ "" "•= ™" P^^ à quelles peuodes on doit égaler chaque racine de l'équation (^), c'est-
a-d re, quelle est la racine qui doit être représentée par (.,0
quelle est celle qui doit être représentée par (., gf, e c On
remédiera a cet inconvénient de la manière suivlnl. On peu"
en effet, comme une racine quelconque de l'équat on (J) est k somme de a racines a , et qu'il est absolument indifférent que
l'on ait représenté par [i] telle racine de O. plutôt que telle autre , on sera libre de supposer que [i] soit une des racines qui constituent une racine quelconque donnée de l'équation (y4) , desorte qu'alors cette racine de l'équation (^) deviendra {a , i). Mais la racine [i] n'est pas encore par-là tout- à-fait déterminée, et le choix de celle des racines comprises dans (a, i) que nous prendrons pour [i], est absolument arbitraire. Au reste , une fois que (a , i) est déterminé , toutes les autres sommes de a racines peuvent en être déduites rationnellement (n* 546) ; d'où il suit qu'il n'y a qu'une racine de l'équation (^) qu'il soit nécessaire de trouver. On peut aussi employer pour faire cette distinction , la méthode suivante qui est moins directe. On prendra pour [i] une racine indéterminée , c'est-à-dire^ qu'on fera
I =cos f- l siu ,
l'entier k étant pris à volonté , pourvu qu'il ne soit pas divisible par n. Alors [2] , [3] , etc. indiquent des racines déterminées, et parconséquent {a, i), {P'yg^i ^^<^' Si par les tables des sinus on calcule ces quantités , seulement avec assez de précision pour pouvoir décider quelles sont les plus grandes et les plus petites, il ne restera plus de doute sur la distinction à faire entre les racines de l'équation {A),
Quand on aura trouvé de cette manière les a sommes de a racines, on cherchera (n* 55o) l'équation (5), dort les racines sont les /3 sommes de b termes contenues dans ((^ , i)j les coefficiens de cette équation seront des quantités connues. Comme il j a encore de l'indétermination dans le choix de celle des racines contenues dans {^ci , i), que l'on désignera par [i], toute racine de l'équation (^) peut être représentée par (i6, i), parceque l'on peut évidemment supposer qu'une des racines qui la compose soit désignée par [i]. On cherchera donc une racine quelconque de l'équation (-5) par sa résolution *, on la supposera égale à {h , i), et on en déduira , par le n° 546 , toutes les autres sommes de b racines. De cette manière, nous avons un moyen de vérifier le calcul, puisque les périodes de Z> racines qui appartiennent aune même période de a termes, doivent produire des sommes que l'on connaît. Dans quelques cas, il est aussi expéditif de former
