Exemple i. Pour n

Comme on a ici n — i =5.3.2, la recherche des racines £1 doit pouvoir se ramener à la solution de deux équations du troisième degré et d'une du second. Cet exemple se comprendra d'autant plus facilement, que les opérations nécessaires sont contenues pour la plus gi'ande partie dans ce qui précède. En prenant 2 pour la racine primitive g , on trouve

pour les puissances o, i, 2, 5, 4» ^> ^s 7> ^f 9^ 10^ n^ ^2,

les vésidus minima i, 2, 4, 8, 16, i3, 7, 14, 9, 18, 17, i5, 11,

De là, par les n'^^ 344> 545, on déduit facilement la distribution suivante de toutes les racines fï. en trois périodes de six termes , et de chacune de ces périodes en trois autres de deux termes.

L'équation (A) dont les racines sont les sommes (6, i), (6,2}, (6,4) se trouve être {^oy. n' 35i, ex. 1.)

et une de ses racines = — 1,2218761625 j en exprimant cette racine par (6, i), on trouve

(6,4)=-.5 — (6, 0 4-(6, 0' = ^2p85i4248i8. Donc, si Ton substitue ces valeurs dans les formules du n" 348, X sera décomposé en facteurs du sixième degré.

L'équation (B) , qui a pour racines les sommes (2, i), (2, 7) (2,8) est (n° 55i, e:c. 2), v y v > /j>

ou....a?' + i,22i876i623^»— 3,5070186441a;— 4,5070186441=0. On trouve pour une de ses racines a: = — i,354563i433 j nous l'exprimerons par (2, i), et si l'on fait pour abréger (2, i)z=ç on aura (n" 346)

(2, 8)z=zf^8ç'-i-20ç^-'i6f-^2, (2, g)=g^^gf-^2jç'-^5of-i-gç.

On peut, dans le cas actuel, trouver ces valeurs plus commodément, de la manière suivante ;

Supposons [il=cos--4-/sin~;

on aura

r Q-, xSkP , . , iSkP kP . hP

[18] = COS •— - + 1 sm —- = cos -- — / sin -- : ^y ^9 19 19 '

et partant

(2, i) = 2cos — :

on a de même en général,

[AJ = COS f- i sm ,

et partant

(2, À) = [À] + [1 8A] = [A] + [ A] = 2 cos ^.

Si donc ^9 = 0050), il en résulte

(2, 2) =2 cos 20», (2, 3) = 2cos3(i), etc.;

d'où, par les équations connues qui donnent les cosinus des arcs multiples, on tirera les mêmes formules que ci-dessus. Ces formules donneront les valeurs numériques suivantes ;

Les valeurs de (2, 7) , (2, 8) , peuvent aussi se tirer de l'équation (B) dont elles sont les deux autres racines , et l'on déterminera laquelle des deux appartient à (2, 7) et laquelle appartient ' à (2, 8), ou par un calcul approché d'après les formules suivantes, ou par les tables des sinus, qui, avec une légère attention,

prouvent que si l'on fait ûi) = -^, on a (2, 1 )== cos wj donc il

faut faire

(2, 7J=2COS — P=2C0S et C2j o;=:3C0S — P=2C0S — .

Les sommes (2, 2), (2, 5J, (2, 5) se trouveront de même par l'équation

dont elles sont les racines, en levant d'ailleurs l'incertitude; comme nous venons de le faire. Les sommes (2, 4)f (^> Q, (2, 9) se trouveront par l'équation

Enfin [i] et [18] sont racines de l'équation

ce'— -(2, i):t: + i = o, dont Tune est

et l'autre ^^\(^, O — 'V{|— i(2> 3)},

d'où résultent les valeurs numériques

Les seize autres racines se tireront de l'élévation aux puissances de l'une ou de l'autre de ces deux premières , ou de la solution de huit équations semblables, dans laquelle, si l'on emploie la seconde méthode, on décidera du signe de la partie imaginaire, soit par les tables de sinus, soit par l'artifice que nous allons expliquer dans l'exemple suivant. C'est de cette manière qu'ont été

/^r^S RECHERCHES

trouvées leâ valeurs suivantes, dans lesquelles le signe supérieur

appartient à la première, et le signe inférieur à la seconde.

18] = — 0,6772815716 ztz 0,7557259107 i 17] = — . 0,0825795455 =p 0,996584495.0 l 16] = 0,7891405094 db 0,6142127127 î i5] = — 0,986561 5o54 dtz 0,1645945905 i ■i4] = 0,5469481581 =p 08571664785 i i5] = 0,2454854871 ± 0,9694002659 i 12] = -- 0,8794757512 =jp 0,4759475950 £ II] == 0,9458172417 qp 0,5246994692 /