Exemple II, Pour n=:ij

On a ici n — 1=2.2.2.2, ainsi le calcul des racines H peut se ramener à quatre équations du second degré. Nous choisirons 5 pour racine primitive; ses puissances fournissent, suivant le module 17, les résidus minima smya.ns:

o, 1, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, II, 12, i3, 14, i5 i> 5, 9, 10, i5, 5, i5, II, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6,

d'où résulte la distribution suivante en deux périodes de huit termes, quatre périodes de quatre termes et huit de deux termes :

et [

■(4, 5){g'/^ PM.4]

L'équation (A) dont les racines sont les sommes (8, i), (8, 5), se trouve (a* 55 1) être

a;* -f- X — 4 = 0, et ses racines sont :

^j iy/i7==i^56i5528i28 et —t—iV 17=— 2,56i5528i28j

ïioiis supposerons que la première soit (Sj i), l'autre sera nécessairement (8, 3),

L'équation (B), dont les racines sont les sommes (4/0 ®^ (4, 9), est

et ses racines sont

nous supposerons égale à (4, i) cellij de ces deux racines dans laquelle le radical est affecté du signe plusj on aura ainsi

(4, i) = 2,o494Si 1777' (4> 9) = — 0,4879283649. Les autres périodes de quatre termes , (4, 5) et (4, 10) peuvent être calculées de deux manières, savoir:

1°. Par la méthode du n" 346, qui donne les formules suivantes, en faisant, pour abréger, (4, i)=p,

La même méthode donne aussi la formule

(4, 9) = — ^ — ^p-hp'-hp*,

d'où l'on tire la même valeur que plus haut.

2". En résolvant l'équation dont (4* 3), (4, 10) sont les racines ', cette équation est

a:*-^(S, ^)x— I =0 et donne

a:=KS, 3)±fv/{4+(8, 3)-},

ou ;t=K8,5) + lv/{i2H-4(8, 0 + 3(8,3)},

et :^^K8, 5)^{]/{i2 + 4(8, 0 + 3(8, 5)};

nous déciderons, par l'artifice suivant annoncé au n" 552, laquelle de ces deux racines doit être prise pour (4, 3). Faisons le produit de (4, 1) — (4> 9) par (4, 3) — (4, 10), il est, calcul fait, = 2(8, i)— 2(8, 3). Or la valeur de cette expression est positive, puisqu'elle est :=2{/i'j'j d'ailleurs le premier facteur (4, i) — {4) 9) est aussi positif, comme égal à y/[i2-{-4(8, i)-f-5(8, 3)}-, donc le second facteur doit aussi être positif, et partant (4, 5)

46o RECHERCHES

doit être la racîne dans laquelle le radical est positif, et (4, lo) l'autre racine (*). Au reste, il en résulte les mêmes valeurs que plus haut.

Connaissant foutes les sommes de quatre termes , nous passons maintenant à la recherche des sommes de deux termes. L'équation (C), dont les racines sont (2, i), (2, i5), périodes contenues dans (4> 0' ^^^

a:* — C4, 0-^+(4 5) = o, qui donne

a:~K4 i)±iv/(-4C4, 5) + (4, i)»} =:A(4, i)±^v/{4 + (4, 9) -^(4, 5)}; nous prendrons pour valeur de (2, i) celle de ces deux racine* dans laquelle le radical est positif, et il en résulte

si l'on veut chercher les autres sommes de deux termes par la méthode du n° 346 , on pourra employer pour

les formules que nous avons données pour les quantités désignées de la même manière dans l'exemple précédent , savoir :

(2, 2) (ou (2, i5)) = (2, i)» — 2, etc.j

mais, si Ton préfère les déterminer deux à deux par des équations du second degré, on trouve pour (2, 9) et (2, i5) l'équation

^* — (4>9>+(4. io)=o, qui donne

et l'on déterminera le signe comme plus haut, savoir : le développement du produit de (2, i) — (2, i3) par (2, 9) — (2, i5) donne

(*) Le fond de cet artifice consiste dans une propriété facile à prévoir, d'après laquelle le développement de ce produit ne contient plus de périodes de quatre termes , mais se trouve exprimé par des périodes de huit termes • les gens instruits en découvriront facilement la raison que l'envie d'abréger nous force d'omettre.

AR I T KME T I Q UES. 461

quantité évicîemment négative; mais (2, i) — (2, i5)est positif; donc (2^ 9) — (2, i5) doit être négatif; ainsi, dans la valeur de X que nous avons trouvée , le signe supérieur doit être pris pour (2, i5), et le signe inférieur pour (2, 9). Il en résulte

(2, 9) = — .1,9659461994, (2, i5) = 1,4780178344, De même , comme on a

quantité positive, nous en concluons que (2, 5) — (2, 5) doit être positif. De là, en faisant le calcul nécessaire, on trouve

(2, 5)=K4,3)-f-^v^{44-(4> io)-2(4;9)}= 0,8914767116

(2, 5)=K4, 5)-iv/{4-|-(4 io)-2(4, 9)} = -0,5473259801 ; on obtient enfin, par des opérations tout-à-fait analogues,

(2, io) = K4io)— i /{4-f-C4 5)— 2(4, i)) = — 1,7004542715 (2, iO=K4 io)+iv/{4+C4. 3)— 2(4, 1)} = -- 1,2052692728.

Il reste encore à descendre aux racines fL elles-mêmes. L'équation (D), dont [i] et [i6] sont les racines, se trouve être

X* — (2, i):i;-|-i = o, qui donne

= 1(2, l)=±=izV{2-(2, l5)}.

Nous prendrons le signe supérieur pour [i], et partant le signe inférieur pour ri6]. Les quatorze autres racines se déduiront des puissances de [i] , ou de la résolution de sept équations du second degré, dont chacune donnera deux racines , pour lesquelles on lèvera l'incertitude, comme nous l'avons fait plus haut. Par exemple, [4] et [i3] sont les racines de l'équation

qui donne

a:z=:\(2, i3)d=izV{2-.(2, 9)}; or on trouve

quantité réelle négative; ainsi comme [i] — [i6] = /i/{2 — (2, i5)), c'est-à-dire le produit de l'imaginaire / par une quantité réelle

4ê3 "HE CHERCHES

positive, [4j — [i5j devra- être aussi, à cause.de /•rrt-^i, le produit de i par une quantité réelle positive *, d'où l'on conclura que l'on doit prendre pour [4] le signe supérieur, et pour [i5] le signe inférieur. De la même manière , on trouve pour les ra^ cines ^^j et [9] ,

et comme

([,j«[i6])xC[8]-[9j) = (2,9)-(:2> ,0),

quantité négative , on prçjidra pour [8] le signe supérieur, pour [9] Is signe inférieur. En calculant de la même manière les autres racines, oh trouve les valeurs numériques suivantes, dans lesquelles le signe supérieur appartient à la première, et le signe inférieur à la seconde.

[2], [i5]..... 0,7390089172 db 0,6756956436 i,

[3], [14] 0,4457383558 db 0,8951633914 /,

[4], [i3] 0,0922685595 db 0,9957341763 i ,

[5], [12]... — 0,2736629901 ± 0,9618256432 if [6], [il]-.. — 0,6026546364 ± 0,7980172275 /, [7], [10]... — 0,8502171557 -b 0,5264521629 / , [8], [ 9]---— 0,9829750997 d= 0,1857495178 /.

Ce qui précède pourrait suffire pour la solution de l'équation

^n 1 := o, et parconséquent pour trouver les fonctions trigono-

métriques qui correspondent aux arcs commensurables avec la circonférence. Cependant, à cause de l'importance du sujet, nous ne pouvons terminer nos recherches sans ajouter quelques-unes des nombreuses observations qui peuvent l'éclaircir , et des conséquences aussi nombreuses que l'on en peut déduire. Nous choisirons de préférence celles qui n'exigent pas beaucoup de recherches étrangères, et l'on ne doit voir dans ce que nous allons exposer, qu'un aperçu de cette immense doctrine dont nous nous proposons de parler par la suite avec détail.